Lista de Exercícios Capitulo 8 do Boldrini Resolvidos - Álgebra Linear

Introdução à Álgebra Linear\nlista de exercícios do capítulo 8 do Bolbini\n1ª Questão: Comprove que as funções definidas nos exemplos do parágrafo 8.1 são produtos internos;\nAs funções definidas são:\n(I) Produto escalar usual de vetores do espaço \\mathbb{R}^n\n(II) \\langle v_1,v_2 \\rangle = 2 x_1 x_2 - x_1 y_2 - x_2 y_1 + y_1 y_2,\npara v_2 = (x_1,y_1) \\quad v_2 = (x_2,y_2)\n(III) \\langle f_1,f_2 \\rangle = \\int_0^1 f_1(t) f_2(t) dt\nFazendo para (I):\n\\langle v_1,v_2 \\rangle = x_1^2 + x_2^2 + ... + x_m^2 > 0\nx_1 = x_2 = ... = x_m = 0\n\n\\alpha \\in \\mathbb{R}\n\\langle \\alpha v_1,v_2 \\rangle = \\alpha x_1 y_1 + ... + \\alpha x_m y_m = \\alpha \\langle (x_1,y_1),(x_2,y_2) \\rangle\n*\\langle u_1 + u_2,u_3 \\rangle = (y_1 + y_2)z_1 + ... + (y_m + y_m)z_m\n\\langle u_2 + u_2,u_3 \\rangle = \\langle (x_1 z_1 + ... + x_n z_m\\rangle + (y_1 z_2 + ... + y_m z_m)\n* \\langle u_2,u_3 \\rangle = x_1 y_2 + ... + x_m y_m = y_l y_m = \\langle u_1,u_2 \\rangle\n Fazendo para (II):\n\\langle v_1,v_2 \\rangle >> 0\n\\langle (x_1,y_1),(x_1,y_2)\\rangle = 2 x_1 y_1 - x_1 y_2 - x_2 y_1 + y_2 y_1\n= 2 x_1^2 - 2 x_1 y_1 + y_1^2\n= (x_1 - y_2)^2 + y_1^2 \\geq 0\nt \\alpha \\in \\mathbb{R}\n\\langle \\alpha u_1,u_2 \\rangle = 2 \\alpha x_1 x_2 - \\alpha x_1 y_2 - \\alpha y_2 y_1\n\\langle u_1,u_2 \\rangle = \\alpha (2 x_1 x_2 - x_1 y_2 - x_2 y_2)\n\\langle u_1,u_2 \\rangle = \\alpha \\langle v_2,v_2 \\rangle\n* \\langle u_1 + u_2,u_3 \\rangle = 2 (x_1 + x_2)x_3 - (x_1 + x_2)y_3\n\\langle u_1 + u_2 ,u_3 \\rangle = \\langle u_1,u_3 \\rangle + \\langle u_2,u_3 \\rangle\n* \\langle u_1,u_2 \\rangle = 2 x_1 x_2 - x_2 y_1 - x_1 y_2\n\\langle u_2,u_3 \\rangle = 2 x_1 x_2 - x_2 y_1 - y_2 y_1\n Fazendo para (III):\n\\langle f_1,f_1 \\rangle = \\int_0^1 f_1(t) f_1(t) dt = \\int_0^1 f_1^2(t) dt > 0 \\\\ para \\mathbf{f}(t) = 0\n* \\alpha \\in \\mathbb{R}\n\\langle a f_1, f_2 \\rangle = \\int_0^1 a f_1(t) f_2(t) dt = \\int_0^1 f_1(t) f_2(t) dt = = \\langle f_1, f_2\\rangle\n\\langle f_1+f_2,f_3 \\rangle = \\int_0^1 (f_1(t) + f_2(t)) f_3(t) dt\n\\langle f_1 + f_2,f_3 \\rangle = \\int_0^1 f_1(t) f_3(t) dt + \\int_0^1 f_2(t) f_3(t) dt = \\langle f_1, f_3 \\rangle + \\langle f_2,f_3 \\rangle\n* \\langle f_1,f_2 \\rangle = \\int_0^1 f_1(t) f_2(t) dt = \\langle f_2,f_1 \\rangle\n2ª Questão: Seja V = \\mathbb{R}^2,\n\\supset V_1 = (x_1,y_1) \\vee V_2 = (x_2,y_2)\\quad \\text{se} f(u_1,u_2) = 2 x_1 x_2 + y_1 y_2 + x_2 y_1\n\\rightarrow x_1 x_2 + x_2 y_2 + y_1^2 \\geq 0\n\\text{Basta verificar os quatro propriedades, assim:}\n\\cdots \\geq (x_1+x_2)^2 = (x_1+y_2+x_2)^2\n\\langle u_1,u_1 \\rangle = (x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2\n\\Rightarrow y_1 = y_1^2 + (y_2 + y_2)^2 = \\langle u_1,u_2 \\rangle Questão\nMostre a desigualdade triangular. (Sugestão: ||V + W||² < ||V||² + ||W||²), considerando a uma desigualdade de Schwarz.\n\n- Levando a sugestão dada, temos:\n\n< V + W, V + W > = < V, V > + < V, W > + < W, V > + < W, W >\n= < V + W, V > + < V + W, W >\n= < V, V > + < W, V > + < W, W >\n\nmas, < V, V > = ||V||², < W, W > = ||W||².\n\nPortanto,\n||V + W||² = ||V||² + ||W||² + 2 < V, W >\n\n- Levando a desigualdade de Schwarz:\n\n< V, W > ≤ ||V|| ||W||\n\nSubstituindo,\n||V + W||² - ||W||² ≤ 2 ||V|| ||W|| ⇒ ||V + W||² ≤ (||V|| + ||W||)²\n\nAssim:\n||V + W|| ≤ ||V|| + ||W|| Questão\nSeja ρ = {(1,2), (2,1)}, um processo do Gram-Schmidt para achar uma base ortonormal β' de R² em relação ao produto interno usual.\n\nV₁ = (1,2) V₂ = (2,4)\n\nV'₁ = V₁ = (1,2) U'₂ = V₂ = (2,1)\n\nFazendo V₂ estar ortogonal a V₁, temos:\n\nc = <V₂, V₁>\n<V₁, V₁>\n\nV'₂ = V₂ - <V₂, V₁> / <V₁, V₁> V₁ \n= (2,1) - <(2,1), (1,2)> / <(1,2), (1,2)> (1,2)\n= (2,1) - (2/5)(1,2) ⇒ V'₂ = (6/5, -3/5)\n\nDessa forma,\n\nU'₁ = V'₁ / ||V'₁|| ⇒ U₁ = (1,2) / √(5) ⇒ U₁ = (1/√5, 2/√5)\n\n* U'₂ = V'₂ / ||V'₂|| ⇒ U₂ = (6/5, -3/5) / √(√((6/5)² + (-3/5)²))\n\nAssim, encontramos a base ortonormal β' de R²:\n\nβ' = {(1/√5, 2/√5), (2/√5, -1/√5)} Questão\nSeja ρ = {(1,1,0), (4,0,1), (0,2,0)}. Ache uma base ortonormal β' de R³, em relação ao produto interno usual.\n\nV₁ = (1,1,0) \nV₂ = (1,0,1) \nV₃ = (0,2,0)\n\nPara V'₂ estar ortogonal a V₁, temos:\n\nC = <V₂, V₁> / <V₁, V₁>\n\nV'₂ = V₂ - <V₂, V₁> / <V₁, V₁> V₁\n= (1,0,1) - <(1,0,1), (1,1,0)> / <(1,1,0),(1,1,0)> (1,1,0)\n= (1,0,1) - (1/2)(1,1,0) ⇒ V'₂ = (1/2, -1/2, 1)\n\nPara V'₃ estar ortogonal a V₁, temos:\n\nV'₃ = V₃ - <V₃,V₁> / <V₁, V₁> V₁\n= (0,2,0) - ($<0,2,0>,(1,1,0)> / <V₁, V₁>)(1,1,0)\n\nDessa forma, encontramos u₁, u₂ e u₃.\n\n* U'₁ = V'₁ / ||V'₁|| ⇒ U₁ = (1,1,0) / √2 ⇒ U₁ = (1/√2, 1/√2, 0)\n\nE assim, V'₃ = (0,2,0) + 2/3(1,1,0) - (1/2)(2/3,2/3)​ ⇒ V'₃ = (0,0,0) u2 = \\frac{V_2}{\\|V_2\\|} \n\nu_2 = \\left( \\frac{\\frac{1}{2},\\frac{1}{2},1}{\\sqrt{\\frac{3}{2}}} \\right) = \\left( \\frac{1}{\\sqrt{6}}, \\frac{1}{\\sqrt{6}}, \\frac{2}{\\sqrt{6}} \\right)\n\n\\star u_3 = \\frac{V_3}{\\|V_3\\|} \n\nu_3 = \\left( -\\frac{2}{3}, \\frac{2}{3}, \\frac{2}{3} \\right) = \\left( -\\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\right)\n\nDessa forma, a base B' para: \n\nB' = \\{ u_1, u_2, u_3 \\}\n\nou seja, B' = \\left\\{ \\left( \\frac{1}{\\sqrt{2}}, \\frac{1}{\\sqrt{2}}, 0 \\right), \\left( \\frac{1}{\\sqrt{6}}, \\frac{-1}{\\sqrt{6}}, \\frac{2}{\\sqrt{6}} \\right), \\left( -\\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\right) \\right\\} Questão: Siga B = \\{(-1,1), (1,1)\\}. Ache uma base ortonormal B' de \\mathbb{R}^2, em relação ao produto interno definido no Exercício 2.\n\nSabendo que B = \\{(-1,1), (1,1)\\}\n\nf(V_1, V_2) = 2k_1V_2 + k_2V_1 + k_2V_2 + k_2V_2\n\nFazendo V_1 = (-1,1) \\sim V_2 = (1,1)\n\nV_1' = V_1 = (-1,1) \\quad V_2' = V_2 = V_2 - c V_1\n\nDessa forma,\n\nV_2' = V_2 = \\frac{-V_2.V_1}{\\|V_1\\|^2} V_1 = (1,1) \\cdot \\frac{-2-2+4+1}{(2-1-1+1)} \\cdot (-1,1) = (1,1) + (-1,1)\\n\n\\implies V_2' = (0,2)\\n\n\\text{Encontrando } u_1 \\text{ e } u_2. \n\n\\star u_1 = \\frac{V_1'}{\\|V_1'\\|} = \\frac{(-1,1)}{\\sqrt{2}} \\sim u_1 = (-1,1)\\n\n\\star u_2 = \\frac{V_2'}{\\|V_2'\\|} = \\frac{(0,2)}{\\sqrt{4}} \\sim u_2 = (0,1)\n\nDessa forma a base B' ortonormal de \\mathbb{R}^2 para:\n\nB' = \\{u_1,u_2\\} = \\{(-1,1), (0,1)\\} Questão: Determine uma base ortonormal (em relação ao produto interno canônico) para o seguinte subespaço de \\mathbb{R}^3:\n\nV = \\{(x,y,z) \\in \\mathbb{R}^3 ; \\ x - y + z = 0\\}\n\nFazendo V = \\{(x + z, z) = (x(1,1,0) + z(0,1,1)\\}\n\nentão, V = \\{(1,1,0), (0,1,1)\\} \n\nV_1 = (1,1,0) \\sim V_2 = (0,1,1)\\;\n\n\\beta = \\{(1,1,0), (0,1,1)\\}\n\nV_1' = \\|V_1\\| = (1,1)\\n\nV_2 = V_2 - cV_1\\n\n\\text{Encontrando } u_1\\n\n\\star u_1 = \\frac{V_1}{\\|V_1\\|} = (1,1,0)\\sim u_1 = (1,0,0)\\n\n\\star u_2 = \\frac{V_2}{\\|V_2\\|} = (0,1,1)\\sim u_2 = (0,\\frac{1}{\\sqrt{2}}, \\frac{1}{\\sqrt{2}})\\n\n\\text{Encontrando } u_1 + u_2.\\n\n\\star u_2 = \\frac{(-\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2})}{\\sqrt{\\frac{3}{2}}}\\implies u_2 = \\left( \\frac{1}{\\sqrt{2}}, \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\right) Deseja formar a base \\( \\beta' \\) ortonormal de \\( \\mathbb{R}^3 \\):\n\\[ \\beta' = \\left\\{ (u_1), (u_2) \\right\\}, \\text{ ou seja } \\beta' = \\left\\{ \\left( \\frac{1}{\\sqrt{2}}, \\frac{1}{\\sqrt{2}}, 0 \\right), \\left( -\\frac{1}{\\sqrt{6}}, \\frac{2}{\\sqrt{6}}, 0 \\right) \\right\\} \\]\n\\n\\( 8 ) \\text{ Questão: Seja } W \\subset \\mathbb{R}^3 \\text{ o subespaço gerado por } (4,0,1) \\text{ e } (1,4,0). \\n\\text{ a) Considere } W \\text{ em relação ao produto interno canônico, encontre uma base para } W^1. \\nW \\subset \\mathbb{R}^3, \\quad W^1 = \\left[ (10,0,1), (4,4,0) \\right]\n\\nFazendo que \\( W^1 \\) é formado pelos vetores ortogonais de W, então, vamos encontrar uma de W. \\n\\n\\[ \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ L_2 - l_1 - l_2 \\end{pmatrix} \\sim \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \\end{pmatrix} \\] Assum, \\( \\beta = f(1,0,1), (0,4,-1) \\) \\n\\n\\[\\text{Solução que } \\forall \\; V_i \\; 1 \\; V_j \\; \\perp \\; V_2; V_3\\;=0\\] \\ n\\text{ E então, } W^1 = \\{ (X,Y,Z) | \\langle (X,Y,Z),(1,0,1) \\rangle = 0 \\; \\Rightarrow \\; \\langle (X,Y,Z),(0,1,0) \\rangle = 0 = \\langle (X,Y,Z),(0,l,-1) \\rangle = 0 \\} \\n\\text{ e } \\langle (X,Y,Z)(1,0,1) \\rangle = 0 \\Rightarrow X + Z = 0 \\Rightarrow X = -Z \\n\\langle (X,Y,Z)(0,1,1) \\rangle = 0 \\Rightarrow Y - Z = 0 \\Rightarrow Y = Z \\n\\n\\text{ Assim, } \\beta = \\{ (X,Y,Z) | X = -Z, Y=Z, \\; Z = \\frac{\\beta (-1,-1,1)}{\\sqrt{3}}, \\; \\beta \\in \\mathbb{R} \\} \\nW^1_{[-1,-1,1]} \\n\\text{ onde A base para } W^1 \\text{ é: } \\beta = \\{ (-1,-1,1) \\}