1 Unidade Espaços de Transformacoes Lineares - Assunto Base Canônica coordenadas e Dimensõe Exercícios Resolvidos de Cada Assunto

Bases Canônicas Introdução Vamos começar com a pergunta de 1 milhão de dólares! O que é uma base??? Base, é base de um espaço vetorial V, é um conjunto ordenado de vetores B = {v1, v2, ..., vn} que: 1) span{v1, v2, ..., vn} = V ..2) {v1, v2, ..., vn} é l.i. Base, tem 3 coisas que temos que saber: V, L.I e Organizadamente né? Encontrando uma Base de um Espaço Vetorial Encontrando a Base de um Espaço Vetorial Exercícios 1ª Questão Seja H o subespaço definido por: H = <(2, -1, -1), (1, 2, -1), (-1, 4, 1), (0, 2, -4)> Qual dos conjuntos abaixo é base de H? Solução Passo 1 O subespaço H é formado por vetores R³. Resposta Letra (a) 3ª Questão Seja o subespaço S de M2x2: S = {[a c] | a = b = d = a} 2ª Questão Mostrar que o conjunto é uma base de M2x2. Solução Passo 1 Como as matrizes já são do tipo 2x2, basta verificar que o conjunto é L.I., pois, consequentemente, espaço gerado será todas as matrizes 2x2. 3. 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝐸𝓃𝓊𝓃𝒸𝒾𝒶𝒹𝑜 a) Existe alguma base β de ℝ² tal que, [⃗0] β = [1 0]? b) É possível encontrar uma segunda base β′ de modo que também satisfaçam [2 1] beta↦[1 0]? -> 𝑆𝑜𝓁𝓊𝒸𝒶𝑜 𝒑𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟣 Letra a) Bom, vamos definir uma base para ℝ²: β = {(1,0),(0,1)}; sabendo que o vetor (2,1) será escrito na coordenada da base β. Assim: (2,1) = 2(1,0) + 1(0,1) = β. Com isso, podemos perceber que o vetor (2,1) será sempre a segunda vetor da base qeu escolhermos, QUALQUER QUE SEJA, pois ele não tem um valor na posição (1). Assim, nossa resposta será: β = {(1,0), (2,1)} -> 𝑆𝑜𝓁𝓊𝒸𝒶𝑜 𝒑𝒂𝒔𝒔𝒐 Segunda base, o vetor v = (0,0) não ficará de fora pois ele está em múltiplo de se, mas se o vetor α satisfy a primeira base da é similar β então será β2 = β1 sabendo que o v = (0,0) → β Letra b) Saindo como se resolve a letra (a), fica fácil a letra (b)! Nos vimos como (0 e multiplão) de sinais será aumítimaé0 ou removedor para qualquer vetor que forma a base 2. Nos vemos como vetores do setor não sairá. Então escolhemos um vetor desta forma: β′ = {(0,1), (2,1)} Resposta a) β = {(1,0),(2,1)} b) β′ = {(0,1),(2,1)} 4. 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝐸𝓃𝓊𝓃𝒸𝒾𝒂𝒹𝒐 Seja β = {v1,v2,v3} uma base do ℝ³. Mostre que w1,w2,w3 ∈ ℝ³ são tais que [𝑤𝑖] β = [1 0 0] , [𝑤2] β = [0 1 0], [𝑤3] β = [0 0 1] então {𝑤1,𝑤2,𝑤3} é uma base de ℝ³. -> 𝑆𝑜𝓁𝓊𝒸𝒶𝑜 𝒑𝒂𝒔𝒔𝒐 𝟣 Para sermos a base para o ℝ³, a base deverá ter: {v1, v2, v3}, ou seja L(𝑊1, 𝑊2, 𝑊3) = ℝ³. - Com isso, qualquer vetor do ℝ³ terá a possibilidade de ecrever somente os três v. Tirado isso, esses valores para não um vetor como forma vt e outro v0 que saíram dessa forma: Com caus chiasso... Mas note a sguinte maneira: β′ porque não temos mais valores, precisaremos encontrar. zak como estamos formando esta base. β = β1, dado por acima. Alguns conversor de elektronastinaryavo saçoes: passo 3 Nossos y zero que se baseada, z será encontrado. São: que o funcionamento do controle é escolher uma repetição no mesmo vetor como fator. Então devíamos, ou seja, qualquer vetor novo possível do argv3. Parbd: {(0,0),(2M)} poderá ser uma base desta base. Resposta: Resumindo... Base Conjunto Gerador: Qualquer conjunto de vetores que geram um espaço vetorial Base: Conjunto gerador que os vetores são LI. Linha coluna dá diferença dij. Em ultima base. Linear que gera o espaço e se LO: Logo ela ter uma base q que qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Oito maneiras base de um base um espaço vetorial: Importante: Se você já sabe que para um espaço vetorial a base tem 3 vetores, qualquer outra base que você forme deverá ter 3 LI. Além disso, qualquer conjunto com menos de 3 vetores gera subespaço. Como descobrir se um dado conjunto é base? Ok, se não tem interação, basta colocar os vetores como colunas de uma matriz e escalonar. Se a matriz estiver LI, formará a base! E com isso escreve normal toda informação tal, verá que sim. Qual é a base! Importante: Se as extremas uma linha estiver totalmente você já pode afirmar que o conjunto é LO e não é base! Coordenada Entenda que são os conjunto de ONU vertvers lineamento independentes que geram um vetorial. Com a base geração desta. Fica base jc diferente! Base verde. Lembre-se de que pode base: β = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} Ela é base do ℝ³, então qualquer vetor desse espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores dessa base. Isto quer dizer, eles só poderiam se combinado de uma única forma. Por exemplo, o vetor (2,1,3) = 2(1,0,0) + 1(0,1,0) + 3(0,0,1) Dizemos que o vetor (2,1,3) escrito na base β é dado pelos coeficientes da combinação linear: [(2),(1),(3)] β Repare que se usarmos os mesmo vetors eu mantemos a ordem teremos uma novo base e uma nova representação apra essa base: M = { (ℝ, ℝ) (⃗, )} = (1,0) β ⊇ (2,1,3) e (1-0,0-1, 0) = (2,1,3)- λ1 = (0,0,0) + 0,0= (0,1,1) Todos os Os vectores “normais” fixados que servimos aqui, por definição, escritos na base canôndica. No ℝ³, por exemplo... {[𝑏𝑏] = [𝑏𝛼] = [(𝑏𝑏)],[ℕ⟨(𝑏)) Da par fazer a transferencia inversa nos v até uma base canônica e para uma base canônica! Imagine o seguinte: γ = {(1,0),(0,1),(2ℳ)} 𝜇𝑀1 = (𝑀,ℳ) Se quisermos saber quem é, basta resolvermos (3λ,1) = [⋀].⋀ (0,4),(1) = (⋆0) | ⊆ Dimensão Você já sabe há tempo que são base. Se você tem 2 ela é uma linha, e tem 1 e 0 por aí afora. Mais o que isso significaria estudarmos? Show! Saiba que sempre você vai precisar dizer “tamanho” á direção. Sendo bem franca, neste nitro o os espaço-dimensão está operacionalizado e você vai ver isso! O ℝ² tem dimensão 2. Isso é toda base dele vai ter 2 vetores! Se polinômio de grau n tem como base {1,x,x²,x³,...xⁿ}. Logo, ele tem dimensão (n+1), porque se você fazer tentativa e dizer que tem dimensão 2 por causa do grupo haha, pois tem elementos em sua base! Oh no Guess who crept in the back door Oh no Guess who crept in the back door Oh no Guess who crept in the back door Oh no Guess who crept in the back door