Prova de Introducao a Algebra Linear - Produto Interno e Ortonormalizacao

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 3ª Avaliaçãopresencial de Introdução à Álgebra Linear remota 20212 Aluno Matrí Questão 1 i Defina Produto Interno ii Verifique que 𝑢 𝑣 𝑥1𝑦1 𝑥1𝑦2 𝑥2𝑦1 3𝑥2𝑦2 é um produto interno real onde 𝑢 𝑥1 𝑥2 𝑒 𝑣 𝑦1 𝑦2 iii Considere u 15 e v 34 em ℝ2 Ache a distância 𝑣 𝑢 usando o produto interno usual e o produto 𝑢 𝑣 𝑥1𝑦1 𝑥1𝑦2 𝑥2𝑦1 3𝑥2𝑦2 Qual a diferença entre eles Questão 2 Seja V um espaço com produto interno considerando u e v em V Mostre que 4 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣2 𝑢 𝑣2 Questão 3 Considere em 𝑃2 o Produto Interno px qx 𝑎0𝑏0 𝑎1𝑏1 𝑎2𝑏2 Sendo 𝑝𝑥 𝑎0 𝑎1𝑥 𝑎2𝑥2 e 𝑞𝑥 𝑏0 𝑏1𝑥 𝑏𝑥2 Dados os vetores 𝑝1𝑥 𝑥2 2𝑥 3 𝑒 𝑝2𝑥 3𝑥 4 𝑒 𝑝3𝑥 1 𝑥2 Calcule i 𝑝1 𝑝2 ii 𝑝1 e 𝑝2 iii 𝑝1 𝑝2 iv o ângulo 𝜃 entre 𝑝2 𝑒 𝑝2 v Determine o complemento ortogonal de W 𝑝2𝑥 Questão 4 i Determine uma base ortonormal 𝛽 em relação ao produto interno usual para o subespaço W de ℝ4 gerado pelos vetores 𝑣1 1 1 1 1 𝑣2 1 1 2 4 𝑒 𝑣3 1 2 4 3 ii Escreva o vetor 𝜔 1 2 6 𝜋 como combinação linear de 𝛽 iii Determine uma base para o complemento ortogonal de W