Introdução a Álgebra Linear - Parte 2 Assuntos Transformação Linear Aplicação Linear operador Linear Exercícios de Transformação Linear

Introdução\n3.1 - Definição: sejam V e W espaços vetoriais, uma aplicação T: V → W é denominada aplicação linear se estão satisfeitas as seguintes propriedades:\nI) T(αu + v) = αT(u) + T(v)\nII) T(μu) = μT(u),\npara quaisquer u, v ∈ V e todo α ∈ R.\n\nCasos: W = V, a aplicação linear T: V → V é chamada operador linear sobre V.\n\nAmpliando por Convecimento:\nToda aplicação linear f: R → R só pode ter do tipo: f(x) = αx1, com α ∈ R.\nDe fato: Temos que f(x) = f(1 ⋅ x), como f é linear x um escalar,\nf(x1) = x1f(1). Deixamos f(1) = a,\ntemos f(x) = a ⋅ x. E nome aplicação linear então foi inspirado\n\nno caso, U = W = R, pois o gráfico da f(x) = ax é uma reta que passa pela origem.\n\nObserva-se que, se T: V → W é uma aplicação linear então T(0) = 0.\nIsto é: T leva vetor nulo de V em vetor nulo de W.\nDe fato, T(0) = T(αu + (−αu))\nT(0) = T(αu) + T(−u)\nT(0) = T(αu) + [T(μ)]\nT(0) = 0.\n\nUma consequência desses fatos é que se T(0) = 0 então T: V → W nem é linear.\n\nPor exemplo, T: R² → R é definida por T(x,y) = (x+y, x+y).\nBasta observar que T(0,0) = (1,0), não é linear. 3.12 Exemplos de Transformações Lineares\n1) Seja T: R² → R³ definida por T(x,y) = (4z1 - 8y, z + y).\nVerificamos que T é uma aplicação linear: Observando que T(0,0) = (0,0,0), mas isto não é suficiente para garantirmos que T seja linear.\n\nVerificamos se as duas condições da definição 3.1 nos pertencer, de fato:\nI) Sejam μ = (x1,y1) e ν = (x2,y2) vetores do R², então\nT(μ + ν) = T(x1 + x2, y1 + y2) =\nT(μ) + T(ν).\nT(μ + t) = T(x1, y1 + t) \nT(μ + ν) = (4x1 + 6x2 - 8y1 - 8y2, x2 + y1 + y2).\nII) Dado α ∈ R, αμ = (αx1, αy1)\nvetor do R², temos que:\nT(αμ) = T(αx1, αy1) =\nα T(μ) = αT(x1, y1, y2) = (αz, y1, y2) \npor outro lado, αT(μ) = αT(x1,y1,z3).\n\nEntão T(μ) = αT(μ), ∀ μ ∈ R³.\nDas condições I e II temos que T é uma aplicação linear. 3.35 Corolários\nSeja T: V → W uma aplicação linear. Se dim V = dim W, então T é injetora se o corredor for T é sobrejetora.\n\nDemonstração\nSuponhamos que T seja injetora, pelas propriedades do teorema 3.2 e 3.3, N(T) = {0}, logo N(T) não possui base e dim N(T) = 0. De teorema da dimensão dim V = dim N(T) + dim T(R) = dim T(R).\nComo nas hipóteses, dim V = dim N(T) + dim T(R), damos que N(T) = {0} é N(T) é injetora. \nAssim, numa aplicação linear onde dim V = dim W, mas T é injetora ou sobrejetora, então T é sobrejetora (ou injetora).