Soluções da Lista 1 sobre Cardinalidade

Solucao da lista 1 Mostre que card N cardN cardN Solucao Lembrese que card N cardN card N 0 N 1 Entao basta mostrar que card N 0 N 1 cardN Para isso pelo Teorema de CantorBernstein basta exibir uma funcao injetora f N 0 N 1 N e uma outra funcao injetora g N N 0 N 1 Podemos considerar fn 0 2n fn 1 3n e gn n 0 Podemos tambem resolver de forma mais simplificada como segue N A B com A 1 3 5 7 9 B 2 4 6 8 10 Logo como A e B sao disjuntos temos cardN cardA cardB e como card A cardB cardN segue o resultado 2 Mostre que card N cardR cardR 1 Solucao Basta exibir uma funcao injetora f N 0 R 1 R e uma outra funcao injetora g R N 0 R 1 Podemos definir gx x 1 que obviamente e injetora Para a funcao f podemos definir fa 0 2a 10 fb 1 arctan b que tambem e injetora 3 Mostre que card N cardN cardN Solucao Lembrese que card N cardN card N N Entao basta mostrar que card N N cardN Para isso basta exibir uma funcao injetora f N N N e uma outra funcao injetora g N N N Podemos definir fa b 2a3b e gn n 1 2