Derivadas de Funções Reais de Uma Variável Real: Propriedades e Aplicações

Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Analise Real Matematica 2022 Marcos Roberto Teixeira Primo Universidade Estadual de Maringa Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Aula 14 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais 3 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Neste capıtulo vamos obter o conceito de derivada de funcoes reais de uma variavel real estudar suas principais propriedades e algumas de suas principais aplicacoes 33 Maximos e Mınimos Locais Nesta secao vamos utilizar o conceito de derivada de uma funcao real de uma variavel real para estudar o crescimentodescrescimento destas funcoes Iremos estudar tambem a existˆencia de maximos e mınimos para estas funcoes Os resultados que utilizarem derivadas laterais e respectivas desigualdades possuem resultados analogos quando trocamos f por f e respectivamente ou por ou ou viceversa Enunciaremos apenas um caso por agilidade Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Vamos comecar mostrando um resultado que relaciona funcoes monotonas com o sinal das derivadas laterais Proposicao 141 Sejam X um subconjunto nao vazio f X R R uma funcao monotona e nao decrescente definida no subconjunto X e a X X tal que f a existe entao f a 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Demonstracao Como f a existe entao f a lim xa f x f a x a Se x a como f e nao decrescente entao f x f a e portanto f a lim xa f x f a x a 0 Se x a como f e nao decrescente entao f x f a e portanto f a lim xa f x f a x a 0 Em qualquer caso temos que f a 0 completando a demonstracao da proposicao Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Em nenhum dos cados da proposicao anterior podemos afirmar que f a 0 como mostra o proximo exemplo Exemplo 142 Consideremos f R R definida por f x x3 Temos que f e crescente em R f 0 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Teorema 143 Sejam X um subconjunto nao vazio f X R R uma funcao definida no subconjunto X e a X X Se f e derivavel em a X e 1 f a 0 entao existe δ 0 tal que x X a a δ f a f x 2 f a 0 entao existe δ 0 tal que x X a a δ f a f x Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Demonstracao Faremos a demonstracao apenas do item 1 O item 2 fica como exercıcio Temos que lim xa f x f a x a f a 0 Assim tomando ε f a 0 existe δ 0 tal que x X e a x a δ f x f a x a f a ε f a f a f x f a x a f a f a f x f a x a f a f a f x f a x a 0 mas x a 0 para todo x X com a x a δ Portanto x X e a x a δ f x f a provando o teorema Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Observemos que no teorema acima comparamos ponto 4a direita de a X com 0 ponto a Exemplo 144 Vamos estudar 0 comportamento da funao g3 R R xsen4 sex 40 g3x xe 0 sex 0 x Notemos que g3x gox ay onde g foi estudada anteriormente De fato Temos que 2xsen4cos44 sex 40 B4 4 a 3s se x 0 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Temos portanto que g 30 1 2 0 existe x1 proximo de a 0 tal que g 3x1 0 De fato Basta tomar x1 1 n1π com n1 N par e grande existe x2 proximo de a 0 tal que g 3x2 0 De fato Basta tomar x2 2 n2π com n2 N ımpar e grande A proposicao 141 implica que g3 nao pode ser monotona proxima de a 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Figure Grafico da funcao g3 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Corolario 145 Sejam X um subconjunto nao vazio f X R R uma funcao monotona e nao crescente definida no subconjunto X e a X 1 Se a X e f a existe entao f a 0 2 Se a X e f a existe entao f a 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Demonstracao Faremos a demonstracao apenas do item 1 O item 2 fica como exercıcio Suponhamos por absurdo que f a 0 entao o Teorema 143 implica que existe δ 0 tal que x X a a δ f a f x o que e um absurdo pois como f e monotona e nao crescente temos que f a f x Assim devemos ter que f a 0 completando a demonstracao Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Corolario 146 Sejam X um subconjunto nao vazio f X R R uma funcao definida no subconjunto X e a X X X Se f e derivavel em a X com f a 0 entao existe δ 0 tal que x y X e a δ x a y a δ f x f a f y Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Definicao 147 Sejam X um subconjunto nao vazio f X R R uma funcao definida no subconjunto X e a X Diremos que 1 f tem um maximo local no ponto a X quando existir δ 0 tal que x X e 0 x a δ f x f a 2 f tem um maximo local estrito no ponto a X quando existir δ 0 tal que x X e 0 x a δ f x f a 3 f tem um mınimo local no ponto a X quando existir δ 0 tal que x X e 0 x a δ f x f a 4 f tem um mınimo local estrito no ponto a X quando existir δ 0 tal que x X e 0 x a δ f x f a Costumeiramente tambem falamos que a e um ponto de maximo ou mınimo local ou maximo ou mınimo local estrito para a funcao f Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Definicao 148 Sejam X um subconjunto nao vazio f X R R uma funcao definida no subconjunto X e a X Diremos que 1 f tem um maximo absoluto no ponto a X quando f x f a para todo x X 2 f tem um mınimo absoluto no ponto a X quando f x f a para todo x X Costumeiramente tambem falamos que a e um ponto de maximo ou mınimo absoluto para a funcao f Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais No grafico Figure Pontos de maximo e mınimo temos que a1 e um ponto de maximo local para f a2 e um ponto de mınimo local estrito para f a3 e um ponto de maximo local estrito para f a4 e um ponto de mınimo local para f a2 e um ponto de mınimo absoluto para f a3 e um ponto de maximo absoluto para f Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Vamos agora relacionar os conceitos acima com o conceito de derivada Corolario 149 Sejam X um subconjunto nao vazio f X R R uma funcao definida no subconjunto X e a X X 1 Se f e derivavel a direita e tem um ponto de maximo em a X entao f a 0 2 Se f e derivavel a direita e tem um ponto de mınimo em a X entao f a 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Corolario 1410 Sejam X um subconjunto nao vazio f X R R uma funcao definida no subconjunto X e a X X X X Se f e derivavel em a X e possui um ponto de maximo ou mınimo em a entao f a 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Definicao 1411 Sejam X um subconjunto nao vazio f X R R uma funcao definida no subconjunto X e a X X X X Se f e derivavel em a X e f a 0 diremos que a X e um ponto crıtico de f Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Maximos e mınimos Locais Exemplo 1412 Consideremos f1 f2 R R definidas por f1x x e f2x x3 1 a 0 e um ponto de mınimo para f1 e nesse caso temos que f 1 0 nao existe 2 f 2 0 0 e a 0 nao e nem ponto de maximo e nem ponto de mınimo para f2 Nesse caso diremos que a e um ponto de inflexao da funcao Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022