Propriedades do Conjunto das Partes e Cardinais

Se A e um conjunto denotemos por P A o conjunto das partes de A isto e o conjunto de todos os subconjuntos de A Por exemplo se A 1 2 3 entao P A 1 2 3 1 2 1 3 2 3 A E claro que nesse caso P A tem mais elementos que A Vejamos que isso acontece tambem para conjuntos infinitos Theorem 1 Se A e um conjunto entao card A card P A Demonstracao Seja f A P A uma funcao Considere S x A x fx Note que S P A Alem disso se x A entao x S x fx Logo para qualquer x A sabemos que S fx Concluımos portanto que S Imf e assim f nao e sobrejetora Logo card A card P A Corollary 2 card N card P N card P P N Corollary 3 Existe uma infinidade de infinitos maiores que outros 1