Lista 1 de Análise Real 2 - Marcelo Moreira Cavalcanti

Universidade Estadual de Maringa UEM Curso Matematica Lista 1 de Andalise Real 2 Marcelo Moreira Cavalcanti 12 Questao Sejam fr 2a Re L a Sejae 0 Encontre um 6 0 tal que fz L e para todo x que satisfaz 0 xza 0 2 Questao Sejae 0 Encontre um 6 0 tal que 0 x1 6 2 1 3 Questao Sejae 0 Encontre um 6 0 tal que 0 r0 6 ake 9 4 Questao Sejam fr za0e L0 Sejae 0 Encontre um 6 0 tal que fz L e para todo x que satisfaz 0 xza 0 5 Questao Sejae 0 Encontre um 6 0 tal que 0 x1 6 Ve 1 6 Questao Se nao existem os limites lim fz e lim gx podem existir lim fa a a ra gx ou lim fagx xLa 72 Questao Demonstre que lim fz Ls lim fxaaL xwa xra 8 Questao Demonstre que lim fz L lim fx L 0 ta ta 1 9 Questao Seja L 0 Demonstre que lim L é falso z0 2 10 Questao Usando a definicdo de limite prove que nao existe lim fxVa R xra para a seguinte funcao f 0 se we Q fie 1 se rE RQ 11 Questao Sejam f X Rae X ec Y fX a Se lim fx L entao xra Ley 1 12 Questao Sejam f X ReaeX A fim de que exista lim fx é suficiente xLa que para toda seqtiéncia de pontos 7 X a com limz a a seqiiéncia fan seja convergente 13 Questao Sejam f X IRgY Rceom fX CYaeXxXebeYny Se lim fz b e lim fx za xb prove que lim 9fx c contanto que c gb ou entao que x a implique flo b 14 Questao Sejam fg X R definidas por fx 0 se x éirracionale fr x se x Q g0 1legx 0 sex 40 Mostre que lim fx O0e lim gy 0 x0 y0 Porém nao existe lim gfzx x0 15 Questao Dada a fungao 3 se E Z fie 1 se re RZ en que pontos do dominio de f nao existe limite 16 Questao Seja f IR Ra fungao identidade ou seja fa x para todo x R Entao prove as seguintes afirmacoes a lim fz lim z a para todoa R ra ra b lim x a Yn INusar inducgao wa c lim px pa onde px anx dnya 1 a 4 ao wa d lim fa fa onde fx ne px e qx sao polindmios e ga F 0 ra e Seja fx ne o quociente de dois polindmios Se qa 0 entaéo a é uma raiz de qx e portanto x a divide qx Seja m 1 tal que qx x aqu a com qia 0 e seja n 0 tal que px x api x com pa 4 0 Entao pila 1 Semn lim fx i lim fle ES it Semn lim fx 0 wa i Semn nao existe lim fz wa 17 Questao Seja f IR R a fungao definida por jf 0 se we Q fie 1 se rE RQ Prove que nao existe lim fa para todo a IR Mas se gx x a fx prove ra que lim gx 0 ra 2 18a Questao Seja f Q IR a funcao definida por fx 1 q se p q e uma funcao irredutivel com q 0 1 se x 0 Prove que lim xa fx 0 para todo a IR 19a Questao Seja f IR0 IR a funcao definida por fx sin 1 x Entao nao existe lim x0 fx 20a Questao Seja f tal que fx x x IR Prove que f e contınua em 0 21a Questao Suponhase que g e contınua em 0 g0 0 e que fx gx x IR Prove que f e contınua em 0 22a Questao Sejam f g X IR IR contınuas no ponto a X Prove que sao contınuas no ponto a as funcoes φ ψ X IR IR definidas por φx maxfx gx e ψx minfx gx para todo x X 23a Questao Prove que f IR IR e contınua se e somente se para todo X IR temse fX fX 24a Questao Seja f IR IR contınua Prove que se fx 0 para todo x X IR entao fx 0 para todo x X 25a Questao Seja f IR IR contınua tal que lim x fx lim x fx Prove que existe x0 IR tal que fx0 fx para todo x IR 26a Questao Dar um exemplo de uma funcao f que nao seja contınua em nenhum ponto mas tal que f seja contınua em todos os pontos 27a Questao Achar uma funcao que seja contınua em a mas que nao o seja em nenhum outro ponto 28a Questao Suponhase que f satisfaz fx y fx fy x y IR e que f e contınua em 0 Prove que f e contınua em a para todo a IR 29a Questao Seja f contınua em a e tal que fa 0 seja α 0 Prove que δ 0 tal que fx α 0 x a α a α 30a Questao Seja fx x3 x 3 x IR Encontre um n Z de modo que x0 n n 1 tal que fx0 0 31a Questao Seja fx x5 x 1 x IR Encontre um n Z de modo que x0 n n 1 tal que fx0 0 32a Questao Prove que x0 IR tal que x179 0 163 1 x2 0 sin2x 119 3 33a Questao Prove que c IR tal que sinc c 1 34a Questao Seja f a b IR contınua e tal que fx Q x a b Prove que f e constante 35a Questao Seja f g a b IR contınuas tais que fa ga e gb fb Prove que x0 a b tal que fx0 gx0 36a Questao Prove que a funcao fx 1 1 x2 para x IR e uniformemente contınua em IR 37a Questao Prove que se f g sao uniformemente contınuas em X IR entao f g e uniformemente contınua em X 38a Questao Prove que se f g sao uniformemente contınuas em X IR e sao limitadas em X entao o produto fg es uniformemente contınua em X 39a Questao Se fx x e gx sin x Prove que f e g sao uniformemente contınuas em IR mas que seu produto nao o e 40a Questao Prove que se f e contınua em 0 e uniformemente contınua en a para alguma constante positiva a entao f e uniformemente contınua em 0 4