Teorema de Cantor-Bernstein: Comparação de Cardinalidades

Como vimos podemos comparar conjuntos infinitos usando o conceito de cardinalidade Informalmente dizemos que o tamanho de um conjunto in finito B é menor ou igual ao de um conjunto infinito A se existir uma fungao injetora f B A Em termos menos informais temos cardB cardA Uma pergunta natural é seraé que essa comparacao de cardinalidades é bem comportada no sentido que cardB cardA e cardA cardB implicam card A card B Em outras palavras se existem fung6es injetoras f B Aeg A B sera que existe uma fungao bijetorah A B A resposta a pergunta anterior é positiva e é o que afirma um teorema chamado de Teorema de CantorBernstein Esse resultado é muito Util para provar que dois conjuntos A e B tém a mesma cardinalidade Ao invés de exibirmos explicitamente uma funcao bijetora de A em B basta mostrarmos que existem fungoes injetoras f B AegAB Por exemplo para mostrar que card N cardN x N basta perceber que fNoONxN fn n1 é injetora e gNxNON gm n 2773 também é injetora Tente usar um argumento semelhante para mostrar que card 01 card 01 x 01 1