Cálculo das Probabilidades e Estatística I - Módulo II: Prova e Variáveis Aleatórias

Calculo das Probabilidades e Estatıstica I Departamento de Estatıstica UFPB Profª Ana Flavia Profª Izabel Cristina Profª Juliana Freitas Profª Julyana Tavares Profª Maria Lıdia Modulo II 2ª Prova 5 Variavel Aleatoria 51 Introducao 52 Variavel Aleatoria Discreta 53 Distribuicao Binomial 54 Variaveis Aleatorias Contınuas 55 Distribuicao Normal 1 15 Introducao Exemplo 1 numa pesquisa de opiniao uma populacao foi indagada quanto a uma determinada pergunta com respostas do tipo sim ou nao Sabemos que a pro porcao de sim corresponde a probabilidade de um in dividuo da populacao responder sim Mas como tratar matematicamente um espaco amostral nao numerico tal como Ω tsim naou SIM NÃO A solucao e criar uma correspondˆencia numerica para os resultados nao numericos do espaco amostral Ω isto e definir uma variavel aleatoria 2 15 Introducao Definicao Variavel Aleatoria Uma funcao X que associa a cada elemento ω P Ω um numero real Xpωq x e denominado de variavel aleatoria X denotada por va X isto e Xpq Ω ÝÑ RX ω ÝÑ x em que RX e o espaco amostral de X o contra domınio da funcao X ou em outras palavras conjunto de todos os valores que X pode assumir 3 15 Introducao Exemplo 1 numa pesquisa de opiniao uma populacao foi indagada quanto a uma determinada pergunta com respostas do tipo sim ou nao Sabemos que a proporcao de sim corresponde a probabilidade de um individuo da populacao responder sim Mas como tratar matematicamente um espaco amostral nao numerico tal como Ω tsim naou SIM NÃO Poderıamos definir uma va X numero de respostas sim de tal forma que para uma resposta RX t0 1u duas respostas RX t0 1 2u n respostas RX t0 1 nu tNaou tSimu Ω 4 15 Introducao Exemplo 1 numa pesquisa de opiniao uma populacao foi indagada quanto a uma determinada pergunta com respostas do tipo sim ou nao Sabemos que a proporcao de sim corresponde a probabilidade de um individuo da populacao responder sim Mas como tratar matematicamente um espaco amostral nao numerico tal como Ω tsim naou SIM NÃO Poderıamos definir uma va X numero de respostas sim de tal forma que para uma resposta RX t0 1u duas respostas RX t0 1 2u n respostas RX t0 1 nu tNaou tSimu 0 1 XpSimq XpNaoq Ω RX 4 15 Introducao Exemplo 1 numa pesquisa de opiniao uma populacao foi indagada quanto a uma determinada pergunta com respostas do tipo sim ou nao Sabemos que a proporcao de sim corresponde a probabilidade de um individuo da populacao responder sim Mas como tratar matematicamente um espaco amostral nao numerico tal como Ω tsim naou SIM NÃO Poderıamos definir uma va X numero de respostas sim de tal forma que para uma resposta RX t0 1u duas respostas RX t0 1 2u n respostas RX t0 1 nu tNaoNaou tNaoSimu tSimNaou tSimSimu 0 1 2 Ω RX 4 15 Introducao Exemplo 1 numa pesquisa de opiniao uma populacao foi indagada quanto a uma determinada pergunta com respostas do tipo sim ou nao Sabemos que a proporcao de sim corresponde a probabilidade de um individuo da populacao responder sim Mas como tratar matematicamente um espaco amostral nao numerico tal como Ω tsim naou SIM NÃO Poderıamos definir uma va X numero de respostas sim de tal forma que para uma resposta RX t0 1u duas respostas RX t0 1 2u n respostas RX t0 1 nu ω1 ω2 ω2n 0 1 n Ω RX 4 15 Introducao Em alguns casos pensamos primeiros num espaco amostral nao numerico Ω e em seguida associamos uma va Xpωq Em outros casos o Xpωq e pensado como o proprio resultado do experimento como no lancamento de um dado Num lancamento de um dado podemos definir diretamente a variavel X numero da face do dado voltada para cima e RX t1 2 3 4 5 6u se torna o espaco amostral Quando pensamos em experimentos cuja as observacoes sao contagens ou medicoes ja pensamos no espaco amostral associado a variavel aleatoria em questao Exemplos total de acidentes de trˆansito por mˆes RX N t0 1 2 u tempo de vida RX tx P R x ě 0u temperatura RX R 5 15 Tipos de Variaveis Uma variavel X e denominada de variavel aleatoria discreta vad se RX e um conjunto finito ou infinito enumeravel Por exemplo t0 1u t1 2 3 4 5 6u N Z Uma variavel X e denominada de variavel aleatoria contınua vac se RX e um conjunto infinito nao enumeravel Por exemplo p0 1q tx x P R x ě 0u R Na maioria das situacoes praticas se RX e um subconjunto dos reais R entao dizemos que X e uma vac 6 15 Variavel Aleatoria Discreta Definicao Funcao de Probabilidade seja X uma variavel aleatoria discreta Portanto RX sera formado no maximo por um numero infinito enumeravel de valores e podemos representalo por RX tx1 x2 x3 u A funcao de probabilidade ppq e uma funcao que associa a cada possıvel resultado xi de RX um numero ppxiq PpX xiq denominado de probabilidade de xi ppq RX ÝÑ r0 1s x ÝÑ ppxq A funcao de probabilidade de X deve satisfazer as seguintes condicoes a 0 ď ppxiq ď 1 para todo xi P RX b ppx1q ppx2q ppx3q 1 7 15 Exemplo 2 Considere a funcao ppxiq dada na tabela ao lado em que X e a variavel numero de meninos em trˆes nascimentos de uma especıfica populacao Verifi que se ppxiq e uma funcao de probabilidade para variavel X xi 0 1 2 3 ppxiq 012 037 038 013 Para verificar que as probabilidades dadas na tabela acima e a distribuicao de probabilidade de X observe que a 0 ď ppxiq ď 1 para todo xi P RX t0 1 2 3u porque pp0q 012 P r0 1s pp1q 037 P r0 1s pp2q 038 P r0 1s e pp3q 013 P r0 1s b pp0q pp1q pp2q pp3q 012 037 038 013 1 Portanto as probabilidades dadas na tabela acima formam a distribuicao de probabilidade de X numero de meninos em trˆes nascimentos 8 15 Exemplo 3 A funcao ppxiq xi 5 com RX t0 1 2 3u define uma funcao de probabilidade Solucao a 0 ď ppxiq ď 1 para todo xi P RX t0 1 2 3u porque pp0q 0 P r0 1s pp1q 1 5 P r0 1s pp2q 2 5 P r0 1s e pp3q 3 5 P r0 1s b pp0q pp1q pp2q pp3q 0 5 1 5 2 5 3 5 6 5 1 Portanto ppxiq xi 5 com RX t0 1 2 3u nao e uma funcao de probabilidade 9 15 Exemplo 4 Considere a funcao de probabilidade ppxq a x em que x P t2 4 6 8u Determine o valor de a para que ppxq seja uma funcao de probabilidade Solucao O espaco amostral de X e RX t2 4 6 8u Para que ppxq seja uma funcao de probabilidade temos que ter 0 ď ppxq ď 1 x P t2 4 6 8u pp2q pp4q pp6q pp8q 1 pp2q pp4q pp6q pp8q a 2 a 4 a 6 a 8 12a 6a 4a 3a 24 25a 24 1 Logo a 24 25 e ppxq 24 25x Note ainda que 0 ď 24 25x ď 1 x P t2 4 6 8u 10 15 Funcao de Distribuicao Acumulada Definicao Funcao de Distribuicao Acumulada seja X uma vad com funcao de probabilidade ppxq Entao a funcao de distribuicao acumulada Fpxq ou simplesmente funcao de distribuicao de X e definida por Fpxq PpX ď xq ÿ xiďx ppxiq Exemplo 5 Considere a funcao de probabilidade ppxq dada na tabela a seguir Encontre a funcao de distribuicao acumulada de ppxq x ppxq 1 01 3 03 5 04 7 02 Fpxq 1 3 5 7 02 04 06 08 10 Fpxq 0 x ă 1 01 1 ď x ă 3 04 3 ď x ă 5 08 5 ď x ă 7 1 x ě 7 11 15 Funcao de Distribuicao Acumulada Definicao Funcao de Distribuicao Acumulada seja X uma vad com funcao de probabilidade ppxq Entao a funcao de distribuicao acumulada Fpxq ou simplesmente funcao de distribuicao de X e definida por Fpxq PpX ď xq ÿ xiďx ppxiq Exemplo 5 Considere a funcao de probabilidade ppxq dada na tabela a seguir Encontre a funcao de distribuicao acumulada de ppxq x ppxq Fpxq 1 01 3 03 5 04 7 02 Fpxq 1 3 5 7 02 04 06 08 10 Fpxq 0 x ă 1 01 1 ď x ă 3 04 3 ď x ă 5 08 5 ď x ă 7 1 x ě 7 11 15 Funcao de Distribuicao Acumulada Definicao Funcao de Distribuicao Acumulada seja X uma vad com funcao de probabilidade ppxq Entao a funcao de distribuicao acumulada Fpxq ou simplesmente funcao de distribuicao de X e definida por Fpxq PpX ď xq ÿ xiďx ppxiq Exemplo 5 Considere a funcao de probabilidade ppxq dada na tabela a seguir Encontre a funcao de distribuicao acumulada de ppxq x ppxq Fpxq 1 01 01 3 03 5 04 7 02 Fpxq 1 3 5 7 02 04 06 08 10 Fpxq 0 x ă 1 01 1 ď x ă 3 04 3 ď x ă 5 08 5 ď x ă 7 1 x ě 7 11 15 Funcao de Distribuicao Acumulada Definicao Funcao de Distribuicao Acumulada seja X uma vad com funcao de probabilidade ppxq Entao a funcao de distribuicao acumulada Fpxq ou simplesmente funcao de distribuicao de X e definida por Fpxq PpX ď xq ÿ xiďx ppxiq Exemplo 5 Considere a funcao de probabilidade ppxq dada na tabela a seguir Encontre a funcao de distribuicao acumulada de ppxq x ppxq Fpxq 1 01 01 3 03 04 5 04 7 02 Fpxq 1 3 5 7 02 04 06 08 10 Fpxq 0 x ă 1 01 1 ď x ă 3 04 3 ď x ă 5 08 5 ď x ă 7 1 x ě 7 11 15 Funcao de Distribuicao Acumulada Definicao Funcao de Distribuicao Acumulada seja X uma vad com funcao de probabilidade ppxq Entao a funcao de distribuicao acumulada Fpxq ou simplesmente funcao de distribuicao de X e definida por Fpxq PpX ď xq ÿ xiďx ppxiq Exemplo 5 Considere a funcao de probabilidade ppxq dada na tabela a seguir Encontre a funcao de distribuicao acumulada de ppxq x ppxq Fpxq 1 01 01 3 03 04 5 04 08 7 02 Fpxq 1 3 5 7 02 04 06 08 10 Fpxq 0 x ă 1 01 1 ď x ă 3 04 3 ď x ă 5 08 5 ď x ă 7 1 x ě 7 11 15 Funcao de Distribuicao Acumulada Definicao Funcao de Distribuicao Acumulada seja X uma vad com funcao de probabilidade ppxq Entao a funcao de distribuicao acumulada Fpxq ou simplesmente funcao de distribuicao de X e definida por Fpxq PpX ď xq ÿ xiďx ppxiq Exemplo 5 Considere a funcao de probabilidade ppxq dada na tabela a seguir Encontre a funcao de distribuicao acumulada de ppxq x ppxq Fpxq 1 01 01 3 03 04 5 04 08 7 02 1 Fpxq 1 3 5 7 02 04 06 08 10 Fpxq 0 x ă 1 01 1 ď x ă 3 04 3 ď x ă 5 08 5 ď x ă 7 1 x ě 7 11 15 Valor Esperado Definicao Valor Esperado seja X uma vad com valores em RX tx1 x2 u e ppxiq sua funcao de probabilidade Entao o valor esperado media esperanca ou esperanca matematica de X denotado por EpXq e definido como EpXq x1ppx1q x2ppx2q x3ppx3q µ em que µ EpXq e a verdadeira media populacional de X Exemplo 6 Seja X uma vad com funcao de probabilidade dada na tabela a seguir Qual e o valor esperado de X 1 Crie a coluna x ppxq e preencha a tabela 2 A soma da coluna x ppxq e o valor esperado EpXq isto e EpXq 01 09 20 14 44 x ppxq 1 01 3 03 5 04 7 02 12 15 Valor Esperado Definicao Valor Esperado seja X uma vad com valores em RX tx1 x2 u e ppxiq sua funcao de probabilidade Entao o valor esperado media esperanca ou esperanca matematica de X denotado por EpXq e definido como EpXq x1ppx1q x2ppx2q x3ppx3q µ em que µ EpXq e a verdadeira media populacional de X Exemplo 6 Seja X uma vad com funcao de probabilidade dada na tabela a seguir Qual e o valor esperado de X 1 Crie a coluna x ppxq e preencha a tabela 2 A soma da coluna x ppxq e o valor esperado EpXq isto e EpXq 01 09 20 14 44 x ppxq x ppxq 1 01 10101 3 03 30309 5 04 50420 7 02 70214 12 15 Valor Esperado Definicao Valor Esperado seja X uma vad com valores em RX tx1 x2 u e ppxiq sua funcao de probabilidade Entao o valor esperado media esperanca ou esperanca matematica de X denotado por EpXq e definido como EpXq x1ppx1q x2ppx2q x3ppx3q µ em que µ EpXq e a verdadeira media populacional de X Exemplo 6 Seja X uma vad com funcao de probabilidade dada na tabela a seguir Qual e o valor esperado de X 1 Crie a coluna x ppxq e preencha a tabela 2 A soma da coluna x ppxq e o valor esperado EpXq isto e EpXq 01 09 20 14 44 x ppxq x ppxq 1 01 01 3 03 09 5 04 20 7 02 14 Total 10 44 12 15 Propriedades do Valor Esperado 1 EpX EpXqq 0 isto e o valor medio dos desvios em relacao a media e zero 2 Seja X uma variavel aleatoria discreta vad com funcao de probabilidade ppxiq Se definirmos uma nova variavel Y hpXq para alguma funcao hpq entao o valor esperado de Y pode ser obtido a partir da distribuicao de X da seguinte forma EpY q EphpXqq ÿ hpxiqppxiq 3 Se Y a bX entao EpY q a bEpXq isto e o valor esperado possui a propriedade de linearidade 13 15 Exemplo 7 Seja X uma variavel aleatoria discreta com funcao de probabilidade dada na tabela a seguir Obtenha o valor esperado das seguintes funcoes de X Y X2 e W 1 2X x ppxq 1 01 3 03 5 04 7 02 1 Crie as coluna y x2 e w 1 2x 2 Crie as coluna y ppxq e w ppxq 3 A soma da coluna y ppxq e o valor espe rado EpY q e a soma da coluna w ppxq e o valor esperado EpWq isto e EpY q 01 27 10 98 226 EpWq 03 21 44 3 98 Observacao sabemos pelo Exemplo 6 que EpXq 4 4 observe agora que EpY q EpX2q 226 pEpXqq2 p44q2 196 e EpWq Ep1 2Xq 98 1 2EpXq 1 2p44q 98 14 15 Exemplo 7 Seja X uma variavel aleatoria discreta com funcao de probabilidade dada na tabela a seguir Obtenha o valor esperado das seguintes funcoes de X Y X2 e W 1 2X x ppxq y x2 w 1 2x 1 01 12 1 1 2p1q 3 3 03 32 9 1 2p3q 7 5 04 52 25 1 2p5q 11 7 02 72 49 1 2p7q 15 1 Crie as coluna y x2 e w 1 2x 2 Crie as coluna y ppxq e w ppxq 3 A soma da coluna y ppxq e o valor espe rado EpY q e a soma da coluna w ppxq e o valor esperado EpWq isto e EpY q 01 27 10 98 226 EpWq 03 21 44 3 98 Observacao sabemos pelo Exemplo 6 que EpXq 4 4 observe agora que EpY q EpX2q 226 pEpXqq2 p44q2 196 e EpWq Ep1 2Xq 98 1 2EpXq 1 2p44q 98 14 15 Exemplo 7 Seja X uma variavel aleatoria discreta com funcao de probabilidade dada na tabela a seguir Obtenha o valor esperado das seguintes funcoes de X Y X2 e W 1 2X x ppxq y x2 w 1 2x y ppxq w ppxq 1 01 1 3 10101 30103 3 03 9 7 90327 70321 5 04 25 11 2504100 110444 7 02 49 15 490298 150230 1 Crie as coluna y x2 e w 1 2x 2 Crie as coluna y ppxq e w ppxq 3 A soma da coluna y ppxq e o valor espe rado EpY q e a soma da coluna w ppxq e o valor esperado EpWq isto e EpY q 01 27 10 98 226 EpWq 03 21 44 3 98 Observacao sabemos pelo Exemplo 6 que EpXq 4 4 observe agora que EpY q EpX2q 226 pEpXqq2 p44q2 196 e EpWq Ep1 2Xq 98 1 2EpXq 1 2p44q 98 14 15 Exemplo 7 Seja X uma variavel aleatoria discreta com funcao de probabilidade dada na tabela a seguir Obtenha o valor esperado das seguintes funcoes de X Y X2 e W 1 2X x ppxq y x2 w 1 2x y ppxq w ppxq 1 01 1 3 01 03 3 03 9 7 27 21 5 04 25 11 100 44 7 02 49 15 98 30 Total 10 226 98 1 Crie as coluna y x2 e w 1 2x 2 Crie as coluna y ppxq e w ppxq 3 A soma da coluna y ppxq e o valor espe rado EpY q e a soma da coluna w ppxq e o valor esperado EpWq isto e EpY q 01 27 10 98 226 EpWq 03 21 44 3 98 Observacao sabemos pelo Exemplo 6 que EpXq 4 4 observe agora que EpY q EpX2q 226 pEpXqq2 p44q2 196 e EpWq Ep1 2Xq 98 1 2EpXq 1 2p44q 98 14 15 Exemplo 7 Seja X uma variavel aleatoria discreta com funcao de probabilidade dada na tabela a seguir Obtenha o valor esperado das seguintes funcoes de X Y X2 e W 1 2X x ppxq y x2 w 1 2x y ppxq w ppxq 1 01 1 3 01 03 3 03 9 7 27 21 5 04 25 11 100 44 7 02 49 15 98 30 Total 10 226 98 1 Crie as coluna y x2 e w 1 2x 2 Crie as coluna y ppxq e w ppxq 3 A soma da coluna y ppxq e o valor espe rado EpY q e a soma da coluna w ppxq e o valor esperado EpWq isto e EpY q 01 27 10 98 226 EpWq 03 21 44 3 98 Observacao sabemos pelo Exemplo 6 que EpXq 4 4 observe agora que EpY q EpX2q 226 pEpXqq2 p44q2 196 e EpWq Ep1 2Xq 98 1 2EpXq 1 2p44q 98 14 15 Referˆencias Bibliograficas Os livros BUSSAB e MORETTIN 2017 COSTA NETO 2002 estao disponıvel na Minha Biblioteca que e uma base de livros eletrˆonicos em portuguˆes que reune milhares de tıtulos acadˆemicos das diversas areas do conhecimento Para acessar a Biblioteca vocˆe deve fazer o login no SIGAA da UFPB e acessar seguindo esta sequˆencia no menu Biblioteca ą Pesquisar Livros Digitais ą Minha Biblioteca BUSSAB W O MORETTIN P A Estatıstica Basica 9ª ed Sao Paulo Saraiva 2017 Disponıvel em xhttpssigaaufpbbry COSTA NETO P L O Estatıstica 2ª ed Sao Paulo Edgard Blucher 2002 Disponıvel em xhttpssigaaufpbbry 15 15