Variáveis Aleatórias Contínuas: Conceitos e Exemplos

UNIDADE 04 UNIDADE 04 Sabrina Alves de Freitas sabrinaafcearufpbbr VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONTÍNUAS Variáveis Aleatória Contínuas Valor Esperado Variância e Desvio Padrão Distribuições de Probabilidade Normal Exponencial Gama QuiQuadrado TStudent Weibull VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONTÍNUAS Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas X Variável Aleatória e S Espaço amostral X é va contínua quando S consistir em um ou mais intervalos Para cada xÎS PXx0 Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 041 Se no estudo de ecologia de um lago fizermos medidas de profundidade em locais selecionados aleatoriamente então X profundidade nesse local é uma va contínua Neste caso A é a profundidade mínima na região da amostragem e B é a máxima Sendo M a profundidade máxima em metros qualquer número do intervalo 0 M é um valor possível de X Se considerarmos X discreta arredondando a profundidade para o valor mais próximo de metro os valores possíveis são inteiros nãonegativos menores ou iguais a M Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 041 A distribuição discreta resultante das profundidades pode ser ilustrada por um histograma de probabilidade Se a área do retângulo acima de qualquer inteiro possível k é a proporção do lago cuja profundidade para o metro mais próximo é k então a área total de todos os retângulos é 1 Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 041 Se a profundidade for medida com maior precisão cada retângulo no histograma de probabilidades será muito mais estreito apesar de a área total de todos os retângulos permanecer 1 Se continuarmos executando medidas de forma mais e mais precisas a sequência resultante de histogramas terá uma curva cada vez mais suave Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 041 Como para cada histograma a soma das áreas de todos os retângulos é igual a 1 a área total sob a curva suavizada também é 1 A probabilidade de a profundidade em um ponto selecionado aleatoriamente estar entre a e b é igual à área sob a curva entre a e b Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas X va contínua A função densidade de probabilidade fdp de X é uma função fx tal que para quaisquer dois números a e b com a b Isto é a probabilidade de X ter um determinado valor no intervalo a b é a área contida entre o intervalo e abaixo da curva da função de densidade Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas X va contínua A função densidade de probabilidade fdp de X é uma função fx tal que para quaisquer dois números a e b com a b Além disso Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 042 A direção de uma imperfeição a respeito de uma linha de referência em um objeto circular como um pneu disco de freio ou volante do motor está em geral sujeito à incerteza Considere a linha de referência que conecta a válvula do pneu até o ponto central e X como o ângulo medido no sentido horário até o local da imperfeição Uma possível fdp para X é Claramente fx0 A área sob a curva de densidade é a de um retângulo altura base 1360360 1 Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 042 A probabilidade de que um ângulo esteja entre 90 e 180 é Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Uma va contínua X tem distribuição uniforme no intervalo A B se a fdp de X é Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Proposição 041 Se X é uma va contínua então para qualquer número c Além disso para quaisquer dois números a e b com a b Ou seja a probabilidade de um intervalo não depende da inclusão dos seus pontos extremos Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 043 Tempo de avanço no fluxo do tráfego é o tempo entre o instante em que um carro termina de passar por um ponto fixo e o instante em que o próximo carro começa a passar por esse ponto Seja X tempo de avanço para dois carros consecutivos escolhidos ao acaso em uma estrada durante um período de tráfego intenso A seguinte fdp de X é essencialmente a sugerida em The Statistical Properties of Freeway Traffic Transp Research vol 11 p 221228 Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 043 O gráfico de fx é mostrado abaixo Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 043 Vamos mostrar que fx é uma fdp Claramente fx0 Resta mostrar que Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 043 A probabilidade de que o tempo de avanço é no máximo de 5 segundos é Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas X Va contínua e fx fdp de X A função de distribuição acumulada fda Fx de X é definida para todo x por Fx é a área sob a curva de densidade à esquerda de x Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Fx é a área sob a curva de densidade à esquerda de x Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Proposição 042 Se X é uma va contínua com fdp fx e fda Fx Então para qualquer número a e para quaisquer dois números a e b com a b Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Proposição 042 Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 044 Seja X o tempo que um livro de uma reserva de duas horas na biblioteca de uma faculdade é examinado por um estudante selecionado aleatoriamente e suponha que X tenha função de densidade Calcular a PX 1 b P05 X 15 c P15 X Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 044 a PX 1 b P05 X 15 Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 044 c P15 X Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 045 Suponha que a fdp da grandeza X de uma carga dinâmica de uma ponte em newtons seja dada por Para qualquer número x entre 0 e 2 Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 045 Assim Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 045 A probabilidade de a carga estar entre 1 e 15 é A probabilidade de a carga exceder 1 é Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Proposição 043 Se X é uma va contínua com fdp fx e fda Fx então em cada x cuja derivada Fx existe Fx fx Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis Aleatórias Contínuas Exemplo 046 A distribuição da quantidade de cascalho em toneladas vendida para uma determinada loja de material de construção em uma determinada semana é uma va contínua X com fdp A fda das vendas para qualquer x entre 0 e 1 é Valor Esperado Valor Esperado O valor médio ou esperado ou esperança de uma va contínua X com fdp fx é Valor Esperado Valor Esperado Exemplo 046 Continuação A distribuição da quantidade de cascalho em toneladas vendida para uma determinada loja de material de construção em uma determinada semana é uma va contínua X com fdp Então Valor Esperado de uma Função Valor Esperado de uma Função Se X é uma va contínua com fdp fx e hX é qualquer função de X então Valor Esperado de uma Função Valor Esperado de uma Função Exemplo 047 Duas espécies estão competindo em uma região pelo controle de uma quantidade limitada de um determinado recurso Seja X a proporção do recurso controlado pela espécie 1 e suponha que X tem fdp As espécies que controlam a maior parte desse recurso controlam a quantidade Valor Esperado de uma Função Valor Esperado de uma Função Exemplo 047 A quantidade esperada controlada pelas espécies com controle majoritário dos recursos é então Variância e Desvio Padrão Variância e Desvio Padrão A variância de uma va contínua X com fdp fx e valor médio m é O desvio padrão de X é Variância e Desvio Padrão Variância e Desvio Padrão Proposição 044 Variância e Desvio Padrão Variância e Desvio Padrão Exemplo 046 Continuação A distribuição da quantidade de cascalho em toneladas vendida para uma determinada loja de material de construção em uma determinada semana é uma va contínua X com fdp Calculamos EX 38 Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Distribuição Normal Distribuição Exponencial Distribuição Gama Distribuição QuiQuadrado Distribuição TStudent Distribuição de Weibull Distribuição Normal Distribuição Normal Uma va contínua X tem distribuição normal ou Gaussiana com parâmetros m e s com m e s 0 se para x a fdp de X for Notação Distribuição Normal Distribuição Normal Aspecto do gráfico de f Formato de sino f é simétrico em relação a m Ponto de máximo em x m Quando x fx 0 assintoticamente Para m s x m s o gráfico tem concavidade para baixo e para x m s e x m s o gráfico tem concavidade para cima ou seja x m s são pontos de inflexão Quanto maior o valor de s mais achatado o gráfico tende a ser Distribuição Normal Distribuição Normal Aspecto do gráfico de f m Parâmetro de locação s Parâmetro de escala Distribuição Normal Distribuição Normal Proposição 045 EX m e VX s2 Distribuição Normal Distribuição Normal A função de distribuição acumulada Fx é Distribuição Normal Distribuição Normal Mudança de variáveis Distribuição Normal Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão m 0 e s 1 Distribuição Normal Padrão Uma va que tenha distribuição normal padrão é denominada va normal padrão e é denotada por Z A fdp de Z é A FDA de Z é e é denotada por FZ Distribuição Normal Distribuição Normal Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 048 Determine as seguintes probabilidades normais padrão a PZ 125 b PZ 125 c PZ 125 d P038 Z 125 e PZ 5 Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 048 Determine as seguintes probabilidades normais padrão a PZ 125 PZ 125 F125 0894350 Tabela Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 048 Determine as seguintes probabilidades normais padrão a PZ 125 Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 048 Determine as seguintes probabilidades normais padrão b PZ 125 PZ 125 1 PZ 125 1 F125 1 0894350 010565 Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 048 Determine as seguintes probabilidades normais padrão c PZ 125 PZ 125 F125 010565 Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 048 Determine as seguintes probabilidades normais padrão c PZ 125 Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 048 Determine as seguintes probabilidades normais padrão d P038 Z 125 P038 Z 125 F125 F038 0894350 0351973 0542377 Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 048 Determine as seguintes probabilidades normais padrão e PZ 5 Para F399 temos 0999967 Assim podemos concluir que PZ 5 F5 1 Distribuição Normal Distribuição Normal Relação entre Fa e Fa Pela simetria Fa Fa 1 Þ Fa 1 Fa De modo que Fa Fa Fa 1 Fa 2Fa 1 Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 049 O tempo que um motorista leva para reagir às luzes de freio em um veículo em desaceleração é crucial para evitar colisões traseiras O artigo Fastrise brake lamp as a collisionprevention device Ergonomics 1993 391395 sugere que o tempo de reação de uma resposta no trânsito a um sinal de frenagem com luzes de freio convencionais pode ser modelado com uma distribuição normal de média 125 segundo e desvio padrão 046 segundo Qual é a probabilidade de que o tempo de reação esteja entre 100 e 175 segundo Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 049 XN125 02116 Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 0410 Suponha que X N1004 e que desejemos encontrar PX 104 Para utilizarmos a va normal padronizada Z devemos padronizar o ponto de interesse x104 Assim Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 0411 A força de ruptura em newtons de uma tela sintética é denotada por X N800144 O comprador da tela exige que ela tenha uma força de pelo menos 772N Uma amostra da tela é selecionada aleatoriamente e testada Distribuição Normal Distribuição Normal Propriedade reprodutiva da Distribuição Normal Suponha que tenhamos n variáveis aleatórias normais independentes X1 X2 Xn com Xi Nmi si 2 para todo i Se Y a0 a1X1 a2X2 anXn então EY a0 a1m1 a2m2 anmn e VY a1 2s1 2 a2 2s2 2 an 2sn 2 Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 0412 Uma montagem consiste em três componentes de conexão X1N12 002 X2N24 003 e X3N18 004 onde as médias são dadas em centímetros e as variâncias em centímetros quadrados As conexões são produzidas por máquinas e operadores diferentes de modo que podemos supor X1 X2 e X3 independentes Calcular P538 Y 542 Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 0412 Calcular P538 Y 542 Distribuição Normal Distribuição Normal Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Se X1 X2 Xn é uma sequência de n variáveis aleatórias independentes com EXi mi e VXi si 2 ambas finitas e Y X1 X2 Xn então sob certas condições gerais tem uma distribuição aproximada N0 1 na medida que n se aproxima de infinito Distribuição Normal Distribuição Normal Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Se X1 X2 Xn é uma sequência de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com EXi m e VXi s2 e Y X1 X2 Xn então tem uma distribuição aproximada N0 1 na medida que n se aproxima de infinito Distribuição Normal Distribuição Normal Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Exemplo 0414 Pequenas peças são embaladas em engradados de 250 unidades Os pesos das peças são variáveis aleatórias independentes com uma média de 05 libra e um desvio padrão de 010 libra Vinte engradados são carregados para uma bandeja Suponha que desejamos achar a probabilidade de que as peças na bandeja excederão 2510 libras de peso despreze tanto o peso da bandeja quanto do engradado Distribuição Normal Distribuição Normal Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Exemplo 0414 Distribuição Normal Distribuição Normal Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Exemplo 0414 Distribuição Normal Distribuição Normal Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Exemplo 0415 Lançase um dado e observamse os resultados e suas probabilidades de ocorrência Distribuição Normal Distribuição Normal Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Exemplo 0415 Lançamse dois dados e observamse as médias dos resultados e suas probabilidades de ocorrência Distribuição Normal Distribuição Normal Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Exemplo 0415 Lançamse três dados e observamse as médias dos resultados e suas probabilidades de ocorrência 0000 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0000 0020 0040 0060 0080 0100 0120 0140 Distribuição Normal Distribuição Normal Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Exemplo 0415 Lançamse quatro dados e observamse as médias dos resultados e suas probabilidades de ocorrência 1 125 15 175 2 225 25 275 3 325 35 375 4 425 45 475 5 525 55 575 6 0000 0020 0040 0060 0080 0100 0120 Distribuição Normal Distribuição Normal Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Se X for uma variável aleatória binomial então é aproximadamente uma variável aleatória normal padrão A aproximação melhora com o crescer de n e é exata no caso limite Como a distribuição binomial é discreta e a distribuição normal é contínua é prática comum usar uma correção de meio intervalo ou correção de continuidade Distribuição Normal Distribuição Normal Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Distribuição Normal Distribuição Normal Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Exemplo 0416 Em uma va binomial com n100 e p02 calcular a PX 15 b PX 15 c PX 18 d PX 22 e P18 X 21 Distribuição Normal Distribuição Normal Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Exemplo 0416 Em uma va binomial com n100 e p02 calcular a PX 15 Distribuição Normal Distribuição Normal Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Exemplo 0416 Em uma va binomial com n100 e p02 calcular b PX 15 c PX 18 d PX 22 Distribuição Normal Distribuição Normal Teorema Central do Limite Teorema Central do Limite Exemplo 0416 Em uma va binomial com n100 e p02 calcular e P18 X 21 P19 X 20 Distribuição Normal Distribuição Normal Exercício 041 Uma máquina que produz rolamentos inicialmente foi configurada para que o diâmetro real médio dos rolamentos produzidos fosse de 0500 polegada Um rolamento é aceitável se o diâmetro está dentro de 0004 polegada desse valoralvo Suponha entretanto que a configuração tenha sido alterada durante o curso da produção de forma que os rolamentos tenham diâmetros com distribuição normal com média 0499 polegada e desvio padrão 0002 polegada Qual porcentagem dos rolamentos produzidos não será aceitável Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial Dizse que X tem uma distribuição exponencial com parâmetro l l 0 se a fdp de X for A FDA de X é Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial Quanto maior o valor de l menor a dispersão Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial Se X tem uma distribuição exponencial com parâmetro l então Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial Exemplo 0417 O artigo Probabilistic fatigue evaluation of riveted railway bridges J ofBridge Engr 2008 237244 sugeriu a distribuição exponencial com o valor médio 6 MPa como modelo para a distribuição da variação de tensão de certas conexões de uma ponte Assuma que esse seja de fato o modelo verdadeiro Então EX 1l 6 implica que l 01667 A probabilidade de que a variação da tensão seja no máximo 10 MPa é A probabilidade de que a variação de tensão esteja entre 5 e 10 MPa é Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial Relação da Distribuição Exponencial com a Distribuição de Poisson Se o número de ocorrências tem uma distribuição de Poisson então o tempo entre as ocorrências tem uma distribuição exponencial ou seja Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial Exemplo 0418 Suponha que ligações feitas para um centro de atendimento a vítimas de estupro em um determinado município ocorram de acordo com um processo de Poisson com taxa a 05 chamada por dia Então o número de dias X entre chamadas sucessivas tem uma distribuição exponencial com valor de parâmetro 05 de forma que a probabilidade de haver mais de 2 dias entre chamadas é Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial Exercício 042 O tempo de espera T em um guichê de banco entre dois clientes sucessivos é distribuído exponencialmente com média de quatro minutos Ache as seguintes probabilidades a PT 5 b P3 T 6 c PT 4 d PT 5 Distribuição Gama Distribuição Gama Função Gama Para a 0 a função gama Ga é definida por Distribuição Gama Distribuição Gama Dizse que uma variável aleatória contínua X tem uma distribuição gama se a fdp de X for em que os parâmetros a e b satisfazem a 0 b 0 A distribuição gama padrão tem b 1 Distribuição Gama Distribuição Gama b é parâmetro de escala e a é parâmetro de forma Quando a1 f é decrescente Quando a1 f apresenta pico Distribuição Gama Distribuição Gama Se X tem uma distribuição gama com parâmetros a e b então Distribuição Gama Distribuição Gama Se X tem uma distribuição gama padrão então a fda de X é Função Gama Incompleta Distribuição Gama Distribuição Gama Tabela de distribuição acumulada Gama Padrão Distribuição Gama Distribuição Gama Exemplo 0419 O artigo The probability distribution of maintenance cost of a system affected by the gamma process of degradation Reliability Engr and System Safety 2012 6576 nota que a distribuição gama é amplamente utilizada para modelar a extensão da degradações como corrosões desgaste ou arrastamento Suponha que X representa a quantidade de degradação de um determinado tipo e assuma que possui uma distribuição gama padrão com a 2 Uma vez que Pa X b Fb Fa e Fb Fba podemos calcular P3 X 5 F52 F32 09596 08009 01587 Distribuição Gama Distribuição Gama Exemplo 0419 A probabilidade de a quantidade de degradação exceder 4 é PX 4 1 PX 4 1 F42 1 09084 00916 Distribuição Gama Distribuição Gama Seja X uma va com uma distribuição gama com parâmetros a e b Então para qualquer x 0 a fda de X é dada por em que F é a função gama incompleta Distribuição Gama Distribuição Gama Exemplo 0420 Suponha que o tempo de sobrevivência X em semanas de um camundongo macho selecionado aleatoriamente exposto a 240 rads de radiação gama tenha uma distribuição gama com a 8 e b 15 Os dados de Survival distributions reliability applications in the biomedical services de A J Gross e V Clark sugerem que a85 e b133 O tempo de sobrevivência esperado é EX815120 semanas ao passo que VX81521800 e s 4243 semanas A probabilidade de um camundongo sobreviver entre 60 e 120 semanas é Distribuição Gama Distribuição Gama Exemplo 0420 P60 X 120 PX 120 PX 60 F12015 8 F6015 8 F88 F48 05470 00511 04959 A probabilidade de um camundongo sobreviver ao menos 30 semanas é PX 30 1 PX 30 1 F3015 8 1 F28 1 00011 09989 Distribuição Gama Distribuição Gama Exercício 043 O tempo de vida em anos do disco rígido de um computador segue uma distribuição gama com média de cinco anos e desvio padrão de três anos Ache a probabilidade de que o disco rígido dure a Não mais de seis anos b Pelo menos quatro anos c Entre cinco e sete anos Distribuição QuiQuadrado Distribuição QuiQuadrado Base de diversos procedimentos de inferência estatística Seja u um inteiro positivo Dizse que uma va X tem uma distribuição quiquadradoc2 com parâmetro u se a fdp de X for a densidade gama com a u2 e b 2 A fdp de uma va qui quadrado é O parâmetro u é chamado número de graus de liberdade gl de X Distribuição QuiQuadrado Distribuição QuiQuadrado Se X1 X2 Xu são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal padrão então X X1 2 X2 2 Xu 2 tem distribuição quiquadrado com u graus de liberdade Se U1 U2 Uk são variáveis aleatórias independentes com distribuição quiquadrado com u1 u2 uk graus de liberdade respectivamente então W U1 U2 Uk tem distribuição quiquadrado com u1u2uk graus de liberdade Distribuição QuiQuadrado Distribuição QuiQuadrado Se X for uma variável aleatória com distribuição quiquadrado EXu e VXu2 Distribuição TStudent Distribuição TStudent Problemas que envolvem pequenas amostras de distribuições normais Se X e Y são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal padrão e quiquadrado com n graus de liberdade respectivamente então a va tem a seguinte fdp Distribuição TStudent Distribuição TStudent A média e a variância de T são A variância só é finita para n2 Distribuição TStudent Distribuição TStudent Nessas condições essa distribuição é chamada t de Student com n graus de liberdade tn Podese provar que quando n tnN01 Com n 30 usamos a distribuição N01 como aproximação para a distribuição tn Distribuição de Weibull Distribuição de Weibull Modelo para tempo de falha de componentes em sistemas elétricos e mecânicos Uma va X tem distribuição de Weibull se a fdp de X for Onde g é o parâmetro de localização d 0 é o parâmetro de escala e b 0 é o parâmetro de forma Distribuição de Weibull Distribuição de Weibull Quando g 0 e b 1 a distribuição de Weibull se reduz a uma distribuição exponencial com l 1d Se X tem distribuição de Weibull Distribuição de Weibull Distribuição de Weibull Se X tem distribuição de Weibull a fda de X é