Conceitos de Séries e Somas Infinita

1 Séries O que queremos dizer quando expressamos um número como um decimal infinito Por exemplo o que significa escrever 314159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 A convenção por trás de nossa notação decimal é que qualquer número pode ser escrito como uma soma infinita Aqui isso significa que 2 Séries onde os três pontos indicam que a soma continua para sempre e quanto mais termos adicionamos mais nos aproximaremos do valor real de Em geral se tentarmos somar os termos de uma sequência infinita obteremos uma expressão da forma a1 a2 a3 an que é denominada uma série infinita ou apenas série e é denotada por simplicidade pelo símbolo 3 Séries Seria impossível encontrar uma soma finita para a série 1 2 3 4 5 n porque se começarmos adicionando os termos obteremos as somas cumulativas 1 3 6 10 15 21 e depois do nésimo termo obteremos nn 12 que se torna muito grande à medida que n aumenta Contudo se começarmos a somar os termos da série 4 Séries obtemos A tabela mostra que quando adicionamos mais e mais termos essas somas parciais se tornam cada vez mais próximas de 1 5 Séries De fato somando um número suficiente de termos da série podemos fazer as somas parciais se tornarem tão próximas quanto quisermos de 1 Assim parece razoável dizer que a soma dessa série infinita é 1 e escrever Usamos uma ideia parecida para determinar se uma série geral tem uma soma ou não 6 Séries Consideramos as somas parciais s1 a1 s2 a1 a2 s3 a1 a2 a3 s4 a1 a2 a3 a4 e em geral sn a1 a2 a3 an Essas somas parciais formam uma nova sequência sn que pode ou não ter um limite 7 Séries Se limn sn s existir como um número finito então como no exemplo anterior o chamamos soma da série infinita an 8 Séries Assim a soma de uma série é o limite da sequência de somas parciais Desse modo quando escrevemos an s queremos dizer que somando um número suficiente de termos da série podemos chegar tão perto quanto quisermos do número s Observe que 9 Exemplo 2 Um exemplo importante de uma série infinita é a série geométrica a ar ar2 ar3 ar n1 a 0 Cada termo é obtido a partir do anterior multiplicandose pela razão comum r Se r 1 então sn a a a na Como limn sn não existe a série geométrica diverge nesse caso 10 10 Exemplo 2 Se r 1 temos sn a ar ar2 arn1 e rsn ar ar2 arn1 arn Subtraindo essas equações obtemos sn rsn a arn continuação 11 11 Exemplo 2 Se 1 r 1 sabemos que rn 0 quando n assim Então quando r 1 a série geométrica é convergente e sua soma é a1 r Se r 1 ou r 1 a sequência r n é divergente assim pela Equação 3 limn sn não existe Portanto a série geométrica diverge naqueles casos continuação 12 12 Séries Resumimos os resultados do Exemplo 2 como a seguir 13 13 Exemplo 8 Mostre que a série harmônica é divergente SOLUÇÃO Para essa série particular é conveniente considerar as somas parciais s2 s4 s8 s16 s32 e mostrar que elas se tornam grandes 14 14 Exemplo 8 Solução continuação 15 15 Exemplo 8 Solução Analogamente s32 1 s64 1 e em geral Isso mostra que quando n e assim sn é divergente Portanto a série harmônica diverge A recíproca do Teorema 6 não é verdadeira em geral Se limn an 0 não podemos concluir que an é convergente continuação 16 16 Séries O Teste para Divergência vem do Teorema 6 porque se a série não for divergente ela é convergente e assim limn an 0