Cálculo de Integrais Impróprias e Convergência

Cálculo III EXEMPLO 1 A área sob a curva y ln xx² de x 1 a x é finita Se sim qual é o seu valor EXEMPLO 2 Calcule 0 dx1 x² lim b 0b dx1 x² lim b tg¹ xb0 lim b tg¹ b tg¹ 0 π2 0 π2 Assim dx1 x² π2 π2 π Como 11 x² 0 a integral imprópria pode ser interpretada como a área finita sob a curva e acima do eixo x Figura 815 EXEMPLO 3 Para que valores de p a integral 1 dxxᵖ converge Quando a integral converge qual é seu valor Solução Se p 1 1b dxxᵖ xp1p 1b1 11 p bp1 1 lim b 11 p1bp1 1 1p 1 p 1 p 1 Portanto a integral converge para o valor 1p 1 se p 1 e diverge se p 1 Se p 1 a integral também diverge 1 dxxp 1 dxx lim b 1b dxx lim b ln xb1 lim b ln b ln 1 EXEMPLO 4 Investigue a convergência de ₀¹ 11 x dx O integrando fx 11 x é contínuo em 0 1 mas descontinuo em x 1 e se torna infinito quando x 1 Figura 817 Calculamos a integral como sendo lim b1 ₀ᵇ 11 x dx lim b1 ln 1 x₀ᵇ lim b1 ln1 b 0 O limite é infinito então a integral diverge EXEMPLO 5 Calcule ₀³ dxx 1²₃ Solução O integrando tem uma assintota vertical em x 1 e é contínuo em 0 1 e 1 3 Figura 818 Assim de acordo com a Parte 3 da definição dada anteriormente ₀³ dxx 1²₃ ₀¹ dxx 1²₃ ₁³ dxx 1²₃ Em seguida calculamos cada integral imprópria do lado direito dessa equação ₀¹ dxx 1²₃ lim b1 ₀ᵇ dxx 1²₃ lim b1 3x 1¹₃ᵇ₀ lim b1 3b 1¹₃ 3 3 ₁³ dxx 1²₃ lim c1 ₁ᶜ dxx 1²₃ lim c1 3x 1¹₃ᶜ₁ lim c1 33 1¹₃ 3c 1¹₃ 32 Concluímos que ₀³ dxx 1²₃ 3 32 EXEMPLO 6 A integral ₁ ex² dx converge Solução Por definição ₁ ex² dx lim b ₁ᵇ ex² dx Não podemos calcular essa integral diretamente porque ela é não elemental Mas podemos demonstrar que seu limite é finito quando b Sabemos que ₁ᵇ ex² dx é uma função crescente de b Portanto quando b ou ela se torna infinita ou tem um limite finito Ela não se torna infinita para cada valor de x 1 temos ex² ex Figura 819 de modo que ₁ᵇ ex² dx ₁ᵇ ex dx eb e1 e1 036788 Assim ₁ ex² dx lim b ₁ᵇ ex² dx converge para algum valor finito definido Não sabemos exatamente qual é o valor exceto que é positivo e menor do que 037 Aqui contamos com a propriedade de completude dos números reais discutida no Apêndice 6 EXEMPLO 7 Esses exemplos ilustram como podemos usar o Teorema 2 a 1 sen²xx² dx converge porque 0 sen²xx² 1x² em 1 e 1 1x² dx converge Exemplo 3 b 1 1x² 01 dx diverge porque 1x² 01 1x em 1 e 1 1x dx diverge Exemplo 3 EXEMPLO 8 Mostre que 1 dx1 x² converge por comparação com 1 12 dx Calcule e compare os valores das duas integrais Solução As funções fx 1x² e gx 11 x² são positivas e contínuas em 1 Além disso lim x fxgx lim x 1x²11 x² lim x 1x² 1 0 1 1 um limite finito positivo Figura 820 Portanto 1 dx1 x² converge porque As integrais convergem para valores diferentes porém 1 dxx² 12 1 1 Exemplo 3 EXEMPLO 9 Investigue a convergência de 1 1 exx dx Solução O integrando sugere uma comparação de fx 1 exx com gx 1x No entanto não podemos usar o teste da comparação direta porque fx gx e porque a integral de gx diverge Por outro lado ao utilizarmos o teste da comparação no limite descobrimos que lim x fxgx lim x 1 exx1 lim x 1 1 que é um limite finito positivo Portanto 1 1 ex dx diverge porque 1 dxx Na Tabela 85 são apresentadas aproximações para a integral imprópria Observe que não parece que os valores se aproximam de um valor limite fixo quando b Se sequência limn frac1n 0 qualquer constante k Mostre que a sequência 1 1 1 1 diverge Uma vez que frac1n 0 sabemos que EXEMPLO 5 Mostre que n 1n 1 EXEMPLO 7 Mostre que lim n ln nn 0 EXEMPLO 8 A sequência cujo nésimo termo é an n 1n 1 n converge Em caso positivo encontre lim n an Então lim ln an lim n lnn 1n 1 lim lnn 1n 11n lim 2n² 11n² lim 2n²n² 1 2 Uma vez que ln an 2 e fx ex é contínua o Teorema 4 nos diz que an eln an e² A sequência an converge para e² EXEMPLO 9 Estes são exemplos dos limites no Teorema 5 a lnn²n 2 ln nn 2 0 0 Fórmula 1 b n²n² n²n n¹n² 1² 1 Fórmula 2 c n3n 3¹nn¹n 1 1 1 Fórmula 3 com x 3 e Fórmula 2 d 12ⁿ 0 Fórmula 4 com x 12 e nn 2ⁿ 1 2nⁿ e² Fórmula 5 com x 2 f 100ⁿn 0 Fórmula 6 com x 100 EXEMPLO 10 a As sentenças a₁ 1 e an an₁ 1 para n 1 definem a sequência 1 2 3 n de inteiros positivos Com a₁ 1 temos a₂ a₁ 1 2 a₃ a₂ 1 3 e assim por diante b As sentenças a₁ 1 e an n an₁ para n 1 definem a sequência 1 2 6 24 n de fatoriais Com a₁ 1 temos a₂ 2 a₁ 2 a₃ 3 a₂ 6 a₄ 4 a₃ 24 e assim por diante c As sentenças a₁ 1 a₂ 1 e an₁ an an₁ para n 2 definem a sequência 1 1 2 3 5 dos números de Fibonacci Com a₁ 1 e a₂ 1 temos a₃ 1 1 2 a₄ 2 1 3 a₅ 3 2 5 e assim por diante d Como podemos ver na aplicação do método de Newton veja o Exercício 133 as sentenças x₀ 1 e xₙ₁ xₙ sen xₙ x²cos xₙ 2xₙ para n 0 definem uma sequência que quando converge fornece uma solução para a equação sen x x² 0 EXEMPLO 11 a A sequência 1 2 3 n não tem limitante superior uma vez que finalmente ultrapassa todo número M No entanto ela é limitada inferiormente por todo número real menor ou igual a 1 O número m 1 é o maior limitante inferior da sequência b A sequência 12 23 34 nn 1 é limitada superiormente por todo número real menor ou igual a 1 O limitante superior M 1 é o menor limitante superior Exercício 125 A sequência também é limitada inferiormente por todo número menor ou igual a 12 que é o maior limitante inferior EXEMPLO 12 a A sequência 1 2 3 n é crescente b A sequência 12 23 34 nn 1 é crescente c A sequência 1 12 14 18 12n é decrescente d A sequência constante 3 3 3 3 é tanto crescente quanto decrescente e A sequência 1 1 1 1 1 1 não é monótona Séries EXEMPLO 1 A série geométrica com a 19 e r 13 é 19 127 181 n1 19 13n1 19 1 13 16 EXEMPLO 2 A série n0 1n54n 5 54 516 564 é uma série geométrica com a 5 e r 14 Ela converge para a 1 r 5 1 14 4 EXEMPLO 3 Você solta uma bola de uma altura de a metros acima de uma superfície plana Cada vez que a bola atinge a superfície depois de cair de uma distância h ela rebate a uma distância rh onde r é positivo mas menor que 1 Encontre a distância total percorrida pela bola quicando para cima e para baixo Figura 109 Solução A distância total é s a 2ar 2ar² 2ar³ a 2ar1 r a 1 r1 r Se a 6 m e r 23 por exemplo a distância é s 61 231 23 653 13 30 m EXEMPLO 5 Encontre a soma da série telescópica n1 1nn 1 EXEMPLO 6 A série n1 n 1n 21 32 43 n 1n diverge porque as somas parciais finalmente ultrapassam cada número predeterminado Cada um dos termos é maior que 1 e portanto a soma de n termos é maior que n EXEMPLO 7 Os exemplos seguintes são todos de séries divergentes a n1 n² diverge porque n² b n1 n 1n diverge porque n 1n 1 lim n aₙ 0 c n1 1ⁿ¹ diverge porque lim n 1ⁿ¹ não existe d n1 n2n 5 diverge porque lim n n2n 5 12 0 EXEMPLO 8 A série 1 frac12 frac12 frac14 frac14 cdots frac12n cdots frac12n diverge porque seus termos podem ser agrupados em infinitos blocos que somam 1 e por isso as somas parciais aumentam sem limitações No entanto os termos das séries formam uma sequência que converge para 0 O Exemplo 1 da Seção 103 mostra que a série harmônica também se comporta dessa maneira EXEMPLO 9 Encontre as somas das seguintes séries a sumn1infty frac3n16n1 sumn1infty left frac12n1 frac16n1 right sumn1infty frac12n1 sumn1infty frac16n1 frac11 12 frac11 16 2 frac65 frac45 b sumn0infty frac42n 4 sumn0infty frac12n 4 left frac11 12 right 8 EXEMPLO 10 Podemos escrever a série geométrica sumn1infty frac12n1 1 frac12 frac14 cdots como sumn0infty frac12n ou até mesmo sumn4infty frac12n4 As somas parciais permanecem as mesmas não importando qual índice escolhamos EXEMPLO 1 A série n11n 1 12 13 1n é chamada série harmônica A série harmônica é divergente mas isso não segue o teste do nésimo termo O nésimo termo 1n tende a zero mas ainda assim a série diverge O motivo pelo qual isso ocorre é porque não há limitante superior para suas somas parciais Para compreender a razão disso agrupe os termos da série da seguinte maneira 1 12 13 14 15 16 17 18 19 110 116 A soma dos dois primeiros termos é 15 A soma dos dois termos seguintes é 13 14 que é maior que 14 14 12 A soma dos próximos quatro termos é 15 16 17 18 que é maior que 18 18 18 18 12 A soma dos oito termos seguintes é 19 110 111 112 113 114 115 116 que é maior que 816 12 A soma dos próximos 16 termos é maior que 1632 12 e assim por diante De maneira geral a soma dos 2n2n1 é maior que 2n2n1 12 A sequência de somas parciais não é limitada superiormente Se n 2k a soma parcial sn é maior que k2 A série harmônica diverge Teste da Integral Solução Determinamos a convergência de n11n2 através da comparação com 11x2dx Para efetuar a comparação pensamos nos termos da série como valores da função fx 1x2 e interpretamos esses valores como as áreas de retângulos sob a curva y 1x2 Como mostra a Figura 1010 sn 112 122 132 1n2 f1 f2 f3 fn f1 1n1x2dx 1 11x2dx 1 1 2 Então as somas parciais de n11n2 são limitadas superiormente por 2 e a série converge A soma da série é conhecida por ser π26 164493 EXEMPLO 3 Mostre que a série p n1 1np 11p 12p 13p 1np sendo p uma constante real converge se p 1 e diverge se p 1 Solução Se p 1 então fx 1xp é uma função decrescente positiva de x Como 1 1xp dx 1 xp dx lim b xp 1p 1b1 11 p lim b 1bp 1 1 11 p0 1 1p 1 porque bp 1 quando b porque p 1 0 A série p n1 1np converge se p 1 diverge se p 1 A série converge pelo teste da integral Enfatizamos que a soma da série p não é 1p 1 A série converge mas não sabemos para qual valor Se p 1 então 1 p 0 e 1 1xp dx 11 p lim b b1 p 1 A série diverge pelo teste da integral Se p 1 temos a série harmônica divergente 1 12 13 1n Temos convergência para p 1 mas divergência para todos os outros valores de p EXEMPLO 4 A série n1 1n² 1 não é uma série p mas ela converge pelo teste da integral A função fx 1x² 1 é positiva contínua e decrescente para x 1 e 1 1x² 1 dx lim b arctg xb1 lim b arctg b arctg 1 π2 π4 π4 Mais uma vez enfatizamos que π4 não é a soma da série A série converge mas não sabemos o valor de sua soma EXEMPLO 5 Calcule a soma da série Σ1n² utilizando as desigualdades em 2 e n 10 Solução Temos que ₁ⁿ 1x² dx lim b 1xᵇₙ lim b 1b 1n 1n Utilizando esse resultado com as desigualdades em 2 teremos s₁₀ 111 S s₁₀ 110 Tomando s₁₀ 1 14 19 116 1100 154977 essas últimas desigualdades fornecem 164068 S 164997 Se aproximarmos a soma S pelo ponto médio desse intervalo descobrimos que ₙ₁ 1n² 16453 O erro nessa aproximação é menor que a metade do comprimento do intervalo portanto o erro é menor que 0005 EXEMPLO 1 Aplicamos o Teorema 10 para diversas séries a A série Σₙ₁ 55n 1 diverge porque seu nésimo termo 55n 1 1n 15 é maior que o nésimo termo da série harmônica divergente b A série Σₙ₀ 1n 1 11 12 13 converge porque seus termos são todos positivos e menores ou iguais aos termos correspondentes de 1 Σₙ₀ 12ⁿ 1 1 12 12² A série geométrica à esquerda converge e temos 1 Σₙ₀ 12ⁿ 1 11 12 3 O fato de 3 ser um limite superior para as somas parciais de Σₙ₀ 1n não significa que a série converja para 3 Conforme veremos na Seção 109 a série converge para e c A série 5 23 17 1 12 1 14 2 18 3 converge Para vermos isso ignoramos os três primeiros termos e comparamos os termos remanescentes com aqueles da série geométrica convergente Σₙ₀ 12ⁿ O termo 12n n da sequência truncada é menor que o termo correspondente 12n da série geométrica Vemos que termo a termo temos a comparação 1 12 1 14 2 18 3 1 12 14 18 Assim a série truncada e a série original convergem por uma aplicação do teste da comparação EXEMPLO 2 Quais das séries a seguir convergem E quais divergem a 34 59 716 925 n1 2n 1n 12 n1 2nn2 2n 1 b 1 13 17 115 n1 12n 1 c 1 2 ln 29 1 3 ln 314 1 4 ln 421 n2 1 n ln nn2 5 Solução Aplicamos o teste de comparação no limite para cada série a Seja an 2n 1n2 2n 1 Para n grande esperamos que an se comporte como 2nn2 2n já que os termos principais dominam para n grande assim tomamos bn 1n Como n1 bn n1 1n diverge e limn anbn limn 2n2 nn2 2n 1 2 an diverge pela parte 1 do teste de comparação no limite Poderíamos também ter tomado bn 2n mas 1n é mais simples b Seja an 12n 1 Para n grande esperamos que an se comporte como 12n assim tomamos bn 12n Como n1 bn n1 12n converge e lim n anbn lim n 2n2n 1 lim n 11 12n 1 an converge pela parte 1 do teste de comparação no limite c Seja an 1 n ln nn2 5 Para n grande esperamos que an se comporte como n ln nn2 ln nn que é maior que 1n para n 3 portanto definimos que bn 1n Como n2 bn n2 1n diverge e lim n anbn lim n n n2 ln nn2 5 an diverge pela parte 3 do teste de comparação no limite EXEMPLO 3 n1 ln nn32 converge Solução Como ln n cresce mais lentamente que nc para qualquer constante positiva c Seção 101 Exercício 105 podemos comparar a série a uma série p convergente Para tomarmos a série p vemos que ln nn32 n14n32 1n54 para n suficientemente grande Então tomando an ln nn32 e bn 1n54 temos lim n anbn lim n ln nn14 1n 14n34 lim n 4n14 0 Como bn 1n54 é uma série p com p 1 ela converge de forma que an converge pela parte 2 do teste de comparação no limite EXEMPLO 1 Investigue a convergência das séries a seguir a n0 2n 53n b n1 2nnn c n1 4n n n2n Solução Aplicamos o teste da razão para cada uma das séries a Para a série n0 2n 53n an1an 2n1 53n12n 53n 13 2n1 52n 5 13 2 52n 13 21 23 A série converge porque ρ 23 é menor que 1 Isso não significa que 23 seja a soma da série Na verdade n0 23n n0 53n 11 23 51 13 212 b Se an 2nnn então an1 2n 2n 1n 1 e an1an nn2n 22n 2n 1n 12n 2n 22n 1n 1n 1 4n 2n 1 4 A série diverge porque ρ 4 é maior que 1 c Se an 4n nn2n então an1an 4n1n 1n 12n 22n 12n4n n n 2n 1n 12n2n 1 1 Como o limite é ρ 1 não podemos decidir a partir do teste da razão se a série converge Quando notamos que an1an 2n 22n 1 concluímos que an1 é sempre maior que an porque 2n 22n 1 é sempre maior que 1 Portanto todos os termos são maiores ou iguais a a1 2 e o nésimo termo não se aproxima de zero quando n A série diverge EXEMPLO 2 Considere novamente a série com os termos an n2n n ímpar 12n n par Σan converge Solução Aplicamos o teste da raiz e descobrimos que nan n2 n ímpar 12 n par Portanto 12 nan n2 Como n1 Seção 101 Teorema 5 temos limn nan 12 pelo teorema do confronto O limite é menor que 1 portanto a série converge pelo teste da raiz EXEMPLO 3 Quais das seguintes séries convergem E quais divergem EXEMPLO 1 A série harmônica alternada satisfaz claramente os três requisitos do Teorema 14 com N 1 ela portanto converge EXEMPLO 3 Testaremos o Teorema 15 em uma série cuja soma conhecemos EXEMPLO 4 Este exemplo nos dá duas séries que convergem absolutamente a Para n11n1 1n²11419116 a série correspondente de valores absolutos é a série convergente n1 1n²11419116 A série original converge porque ela converge absolutamente b Para n1 sen nn²sen 11sen 24sen 39 que contém termos tanto positivos quanto negativos a série correspondente de valores absolutos é n1sen nn²sen 11sen 24 que converge por comparação com n11n² porque sen n1 para todo n A série original converge absolutamente portanto ela converge EXEMPLO 5 Se p é uma constante positiva a sequência 1np é uma sequência decrescente com limite zero Sendo assim a série p alternada n11n1np112p13p14p p0 converge Se p1 a série converge absolutamente Se 0p1 a série converge condicionalmente Convergência condicional 1121314 Convergência absoluta 1123213321432 EXEMPLO 6 Sabemos que a série harmônica alternada n11n1n converge para algum número L Além disso pelo Teorema 15 L está entre as somas parciais sucessivas s₂12 e s₃56 portanto L0 Se multiplicarmos a série por 2 obteremos 2L2n11n1n211213141516171819110111 212312251327142915211 Agora alteramos a ordem dessa última soma agrupando cada par de termos com o mesmo denominador ímpar mas deixando os termos negativos com os denominadores pares conforme são posicionados assim os denominadores são os inteiros positivos em sua ordem natural Esse rearranjo nos dá 2 1 12 23 13 14 25 15 16 27 17 18 1 12 13 14 15 16 17 18 19 110 111 n1 1n1n L Sendo assim rearranjando os termos da série condicionalmente convergente n1 21n1n a série se torna n1 1n1n que é a série harmônica alternada por si só Se as duas séries forem a mesma implicaria 2L L o que é certamente falso uma vez que L 0 EXEMPLO 1 Tomar todos os coeficientes como sendo 1 na Equação 1 nos dá a série de potências geométrica n0 xn 1 x x² xn Essa é a série geométrica com o primeiro termo 1 e a razão x Ela converge para 11 x para x 1 Expressamos esse fato escrevendo 11 x 1 x x² xn 1 x 1 EXEMPLO 2 A série de potências 1 12x 2 14x 2² 12nx 2n combina com a Equação 2 com a 2 c0 1 c1 12 c2 14 cn 12n Essa é uma série geométrica com o primeiro termo 1 e razão r x 22 A série converge para x 22 1 ou 0 x 4 A soma é 11 r 11 x 22 2x assim 2x 1 x 22 x 2²4 12ⁿx 2ⁿ 0 x 4 A Série 4 gera aproximações polinomiais úteis de fx 2x para valores de x próximos de 2 P₀x 1 P₁x 1 12 x 2 2 x2 P₂x 1 12 x 2 14 x 2² 3 3x2 x²4 e assim por diante Figura 1015 EXEMPLO 3 Para quais valores de x as séries de potências a seguir convergem a n1 1ⁿ¹ xⁿn x x²2 x³3 b n1 1ⁿ¹ x²ⁿ¹2n 1 x x³3 x⁵5 c n0 xⁿn 1 x x²2 x³3 d n0 nxⁿ 1 x x 2x² 3x³ Solução Aplique o teste da razão à série uₙ onde uₙ é o nésimo termo da série de potências em questão Lembrese de que o teste da razão se aplica a séries com termos não negativos a uₙ₁uₙ xⁿ¹n 1nx nn 1x x A série converge absolutamente para x 1 Ela diverge se x 1 porque o nésimo termo não converge para zero Em x 1 obtemos a série harmônica alternada 1 12 13 14 que converge Em x 1 temos 1 12 13 14 o negativo da série harmônica ela diverge A série a converge para 1 x 1 e diverge em qualquer outro lugar b leftfracun1unright fracx2n12n 1 cdot frac2n 1x2n1 frac2n 12n 1 x2 o x2 A série converge absolutamente para x2 1 Ela diverge para x2 1 porque o nésimo termo não converge para 0 Em x 1 a série se torna 1 frac13 frac15 cdots que converge pelo teorema da série alternada Ela também converge em x 1 porque frac1x 1 é novamente uma série alternada que satisfaz as condições para convergência O valor em x 1 é o negativo do valor em x 1 A série b converge para 1 leq x leq 1 e diverge em qualquer outro lugar c leftfracun1unright fracxn1n 1 cdot fracnxn leftfracxn 1right o 0 para todo x A série converge absolutamente para todo x d leftfracun1unright fracn 1 xn1n xn n 1 x o infty a menos que x 0 A série diverge para todos os valores de x exceto x 0 EXEMPLO 4 Encontre a série para fx e fx se fx frac11 x 1 x x2 x3 x4 cdots sumn0infty xn 1 x 1 Solução Derivamos a série de potências à direita termo a termo fx frac11 x2 1 2x 3x2 4x3 cdots n xn1 cdots sumn1infty n xn1 1 x 1 fx frac21 x3 2 6x 12x2 cdots nn 1xn2 cdots sumn2infty nn 1xn2 1 x 1 EXEMPLO 5 Identifique a função fx sumn0infty frac1n x2n12n 1 x fracx33 fracx55 cdots 1 leq x leq 1 Solução Derivamos a série original termo a termo e obtemos fx 1 x2 x4 x6 cdots 1 x 1 Essa é uma série geométrica com o primeiro termo 1 e razão x2 portanto fx frac11 x2 frac11 x2 Podemos agora integrar fx 11 x² para obtermos fx dx dx1 x² tg¹ x C EXEMPLO 6 A série 11 t 1 t t² t³ converge no intervalo aberto 1 t 1 Sendo assim ln1 x ₀ˣ 11 t dt t t²2 t³3 t⁴4 ₀ˣ EXEMPLO 1 Encontre a série de Taylor gerada por fx 1x em a 2 Onde se em algum lugar a série converge para 1x 12 x 222 x 2223 1nx 2n2n1 Essa é uma série geométrica com o primeiro termo 12 e razão r x 22 Ela converge absolutamente para x 2 2 e sua soma é 12 1 x 22 1 2 x 2 1x Nesse exemplo a série de Taylor gerada por fx 1x em a 2 converge para 1x para x 2 2 ou 0 x 4