Introdução às Sequências Infinitas e Limites

1 Sequências Podese pensar numa sequência como uma lista de números escritos em uma ordem definida a1 a2 a3 a4 an O número a1 é chamado primeiro termo a2 é o segundo termo e em geral an é o nésimo termo Trataremos exclusivamente de sequências infinitas de modo que cada termo an terá um sucessor an1 Observe que para cada inteiro positivo n existe um número correspondente an e dessa forma uma sequência pode ser definida como uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos 2 Sequências Mas geralmente escrevemos an em vez da notação de função fn para o valor da função no número n Notação A sequência a1 a2 a3 é também indicada por an ou 3 Exemplo 1 Algumas sequências podem ser definidas dando uma fórmula para o nésimo termo Nos exemplos seguintes damos três descrições da sequência uma usando a notação anterior outra empregando a fórmula da definição e uma terceira escrevendo os termos da sequência Observe que não é necessário começar em 1 Exemplo 1 continuación c n 3n3 an n 3 n 3 0 1 2 3 n 3 d cosnπ6n0 an cosnπ6 n 0 1 32 12 0 cosnπ6 5 Sequências Uma sequência como aquela no Exemplo 1a an nn 1 pode ser visualizada marcando seus termos na reta real como na Figura 1 ou traçando seu gráfico como na Figura 2 Figura 2 Figura 1 6 Sequências Observe que como uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto de inteiros positivos seu gráfico consiste em pontos isolados com coordenadas 1 a1 2 a2 3 a3 n an A partir da Figura 1 ou 2 parece que os termos da sequência an nn 1 estão se aproximando de 1 quando n se torna grande De fato a diferença pode ficar tão pequena quanto se desejar tornando n suficientemente grande 7 Sequências Indicamos isso escrevendo Em geral a notação significa que os termos da sequência an aproximamse de L quando n tornase grande 8 Resolução do limite lim 𝒏 𝒏 𝒏 𝒏 𝒏 𝟏 𝒏 lim 𝒏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 9 Sequências Observe que a seguinte definição do limite de uma sequência é muito parecida com a definição do limite de uma função no infinito 10 10 Sequências A Figura 3 ilustra a Definição 1 mostrando os gráficos de duas sequências que têm limite L Gráficos de duas sequências com Figura 3 11 11 Sequências Uma versão mais precisa da Definição 1 é a seguinte 12 12 Sequências A Definição 2 é ilustrada pela Figura 4 na qual os termos a1 a2 a3 são marcados na reta real Não importa quão pequeno seja escolhido o intervalo L ε L ε existe um N tal que todos os termos da sequência de aN1 em diante devem estar naquele intervalo Figura 4 13 13 Sequências Outra ilustração da Definição 2 é dada na Figura 5 Os pontos no gráfico de an devem estar entre as linhas horizontais y L ε e y L ε se n N Esse quadro deve ser válido independentemente do quão pequeno ε é escolhido mas geralmente um ε menor exige um N maior Figura 5 14 14 Sequências A única diferença entre limn an L e limx fx L é que n precisa ser inteiro Então temos o seguinte teorema que é ilustrado pela Figura 6 Figura 6 15 15 Sequências Em particular como sabemos que limx 1xr 0 quando r 0 temos Se an aumentar quando n aumentar usaremos a notação limn an Considere a definição Se limn an então a sequência an é divergente mas de maneira especial Dizemos que an diverge para Se r 0 16 16 Sequências As Propriedades do Limite também valem para os limites de sequências e suas demonstrações são similares Propriedades do Limite para Sequências 17 17 Sequências O Teorema do Confronto também pode ser adaptado para sequências como a seguir veja a Figura 7 Teorema do Confronto para Sequências A sequência bn fica presa entre as sequências an e cn Figura 7 18 18 Sequências Outro fato útil sobre limites de sequências é dado pelo seguinte teorema O seguinte teorema diz que se aplicarmos uma função contínua aos termos de uma sequência convergente o resultado também será convergente 19 19 Exemplo 11 Para quais valores de r a sequência rn é convergente SOLUÇÃO Sabemos que limx ax para a 1 e limx ax 0 para 0 a 1 Logo colocando a r e usando o Teorema 3 temos É óbvio que e 20 20 Exemplo 11 Solução Se 1 r 0 então 0 r 1 então e portanto limn rn 0 pelo Teorema 6 Se r 1 então rn diverge continuação 21 21 Exemplo 11 Solução A Figura 11 mostra os gráficos para vários valores de r O caso r 1 é mostrado na Figura 8 continuação Figura 11 A sequência an rn Figura 8 22 22 Sequências Os resultados do Exemplo 11 estão resumidos a seguir para uso futuro 23 23 Sequências Por exemplo a sequência an n é limitada inferiormente an 0 mas não superiormente A sequência an nn 1 é limitada porque 0 an 1 para todo n 24 24 Sequências Sabemos que nem toda sequência limitada é convergente por exemplo a sequência an 1n satisfaz 1 an 1 mas é divergente e que nem toda sequência monótona é convergente an n Mas se uma sequência for limitada e monótona então ela deve ser convergente 25 25 Sequências Este fato é provado no Teorema 12 mas intuitivamente você pode entender porque é verdade olhando para Figura 12 Se an está aumentando e an M para todo n então os termos são forçados se aglomerar e se aproximar de um número L Figura 12 26 26 Sequências A demonstração do Teorema 12 é baseada no Axioma de Completude para o conjunto dos números reais que diz que se S é um conjunto não vazio de números reais que tem um limitante superior M x M para todo x em S então S tem um limitante superior mínimo b Isto significa que b é um limite superior para S mas se M é qualquer outro limitante superior então b M O Axioma de Completude é uma expressão do fato de que não há salto ou furo na reta do número real