Modelos Matemáticos para o Crescimento Populacional

1 Modelos para o Crescimento Populacional Nesta seção investigaremos equações diferenciais que são usadas para modelar o crescimento populacional a lei do crescimento natural a equação logística e muitas outras A Lei de Crescimento Natural 3 A Lei de Crescimento Natural Em geral se Pt for o valor de uma quantidade y no tempo t e se a taxa de variação de y com relação a t for proporcional a seu tamanho Pt em qualquer tempo então onde k é uma constante A Equação 1 é algumas vezes chamada lei do crescimento natural Se k for positivo então a população aumenta se k for negativo ela diminui 4 A Lei de Crescimento Natural Como a Equação 1 é uma equação diferencial separável podemos resolvêla pelo método a seguir ln P kt C P ekt C eCekt P Aekt onde A eC ou 0 é uma constante arbitrária 5 A Lei de Crescimento Natural Para percebermos o significado da constante A observamos que P0 Aek 0 A Portanto A é o valor inicial da função 6 A Lei de Crescimento Natural Outra maneira de escrever a Equação 1 é que diz que a taxa de crescimento relativa a taxa de crescimento dividida pelo tamanho da população é constante Então diz que a população com uma taxa de crescimento relativo constante deve crescer exponencialmente 7 A Lei de Crescimento Natural Podemos levar em conta a emigração ou a remoção de uma população modificando a Equação 1 se a taxa de emigração for uma constante m então a taxa de mudança da população é modelada pela equação diferencial O Modelo Logístico 9 O Modelo Logístico Como estudamos anteriormente uma população com frequência cresce exponencialmente em seus estágios iniciais mas em dado momento se estabiliza e se aproxima de sua capacidade de suporte por causa dos recursos limitados Se Pt for o tamanho da população no instante t assumimos que se P for pequeno Isso diz que a taxa de crescimento inicialmente está próxima de ser proporcional ao tamanho 10 O Modelo Logístico Em outras palavras a taxa de crescimento relativo é praticamente constante quando a população é pequena Mas também queremos refletir o fato de que a taxa de crescimento relativo diminui quando a população P aumenta e tornase negativa quando P ultrapassa sua capacidade de suporte M a população máxima que um ambiente é capaz de sustentar a longo prazo A expressão mais simples para a taxa de crescimento relativo que incorpora essas hipóteses é 11 O Modelo Logístico Multiplicando por P obtemos o modelo para o crescimento populacional conhecido como a equação diferencial logística 12 Exemplo 1 Desenhe um campo de direções para a equação logística com k 008 e capacidade de suporte K 1 000 O que você pode deduzir sobre as soluções SOLUÇÃO Nesse caso a equação diferencial logística é 13 Exemplo 1 Solução Um campo de direções para essa equação é mostrado na Figura 1 continuação Campo de direções para a equação logística no Exemplo 1 Figura 1 14 Exemplo 1 Solução Mostramos apenas o primeiro quadrante porque as populações negativas não têm significado e estamos interessados apenas no que acontece depois de t 0 A equação logística é autônoma dPdt depende apenas de P não de t assim as inclinações são as mesmas ao longo de qualquer reta horizontal Como esperado as inclinações são positivas para 0 P 1000 e negativas para P 1000 As inclinações são pequenas quando P está próximo de 0 ou 1000 a capacidade de suporte Observe que as soluções se distanciam da solução de equilíbrio P 0 e se aproximam da solução de equilíbrio P 1000 continuação 15 Exemplo 1 Solução Na Figura 2 usamos o campo de direções para esboçar as curvas solução com populações iniciais P0 100 P0 400 e P0 1300 continuação Curvas solução para a equação logística no Exemplo 1 Figura 2 16 Exemplo 1 Solução Observe que as curvas solução abaixo de P 1000 estão aumentando e aquelas que começam acima de P 1000 estão diminuindo As inclinações são maiores quando P 500 portanto as curvas solução que começam abaixo de P 1000 têm pontos de inflexão quando P 500 De fato podemos demonstrar que todas as curvas solução que começam abaixo de P 500 têm um ponto de inflexão quando P é exatamente 500 continuação 17 O Modelo Logístico A equação logística é separável e podemos resolvêla explicitamente Uma vez que temos 18 O Modelo Logístico Para calcularmos a integral no lado esquerdo escrevemos Usando frações parciais temos 19 O Modelo Logístico Isso nos permite reescrever a Equação 5 onde A eC 20 O Modelo Logístico Isolando P na Equação 6 obtemos então Encontramos o valor de A colocando t 0 na Equação 6 Se t 0 então P P0 a população inicial portanto 21 O Modelo Logístico Então a solução para a equação logística é Usando a expressão para Pt na Equação 7 vemos que que é o esperado 22 Exemplo 2 Escreva a solução do problema de valor inicial e usea para encontrar a população P40 e P80 Quando a população alcançará 900 23 Exemplo 2 Solução A equação diferencial é uma equação logística com k 008 capacidade de suporte M 1000 e população inicial P0 100 Portanto a Equação 7 dá a população no instante t como onde Logo 24 Exemplo 2 Solução Assim os tamanhos da população quando t 40 e 80 são A população alcançará 900 quando continuação 25 Exemplo 2 Solução Resolvendo essa equação para t temos Logo a população chega a 900 quando t for aproximadamente 55 continuação 26 Exemplo 2 Solução Como uma verificação de nosso trabalho traçamos a curva da população na Figura 3 e observamos onde ela intercepta a reta P 900 O cursor indica que t 55 continuação Figura 3 27 Comparação do Crescimento Natural com os Modelos Logísticos 28 Comparação do Crescimento Natural com os Modelos Logísticos Na década de 1930 o biólogo G F Gause realizou uma experiência com o protozoário paramécio e usou uma equação logística para modelar seus dados A tabela fornece suas contagens diárias da população de protozoários Ele estimou a taxa relativa de crescimento inicial como 07944 e a capacidade de suporte como 64 29 Exemplo 3 Encontre os modelos exponencial e logístico para os dados de Gause Compare os valores previstos com os valores observados e comente o ajuste SOLUÇÃO Dadas a taxa de crescimento relativo k 07944 e a população inicial P0 2 o modelo exponencial é Pt P0ekt 2e07944t 30 Exemplo 3 Solução Gause usou o mesmo valor de k para seu modelo logístico Isso é razoável porque P0 2 é pequeno comparado com a capacidade de suporte K 64 A equação mostra que o valor de k para o modelo logístico está muito próximo do valor para o modelo exponencial continuação 31 Exemplo 3 Solução A seguir a solução da equação logística na Equação 7 fornece onde Então continuação 32 Exemplo 3 Solução Usamos essas equações para calcular os valores previstos arredondados para o inteiro mais próximo e os comparamos na tabela a seguir continuação 33 Exemplo 3 Solução Observamos na tabela e no gráfico da Figura 4 que para os primeiros três ou quatro dias o modelo exponencial fornece resultados comparáveis àqueles do método logístico mais sofisticado Para t 5 contudo o modelo exponencial é muito impreciso mas o modelo logístico se ajusta bem às observações continuação Os modelos exponencial e logístico para a população de paramécios Figura 4 34 Outros Modelos para o Crescimento Populacional 35 Outros Modelos para o Crescimento Populacional A Lei do Crescimento Natural e a equação diferencial logística não são as únicas equações propostas para modelar o crescimento populacional Dois dos outros modelos são modificações do modelo logístico A equação diferencial tem sido usada para modelar as populações que estão sujeitas à remoção de uma maneira ou de outra Pense em uma população de peixes que é capturada a uma taxa constante 36 Outros Modelos para o Crescimento Populacional Para algumas espécies existe um nível mínimo populacional m abaixo do qual as espécies tendem a se extinguir Os adultos podem não conseguir encontrar parceiros adequados Essas populações são modeladas pela equação diferencial onde o fator extra 1 mp leva em conta as consequências de uma população esparsa