Integrais Impróprias: Extensões e Exemplos

Integrais Impróprias Nessa seção estendemos o conceito de integral definida para o caso em que o intervalo é infinito e também para o caso onde f tem uma descontinuidade infinita em a b Em ambos os casos a integral é chamada de integral imprópria Tipo 1 Intervalos Infinitos Tipo 1 Intervalos Infinitos Considere a região infinita S que está sob a curva y 1x2 acima do x e à direita da reta x 1 Você poderia pensar que como S tem extensão infinita sua área deve ser infinita mas vamos olhar mais de perto A área da parte de S que está à esquerda da reta x t sombreado na Figura 1 é Figura 1 Tipo 1 Intervalos Infinitos Observe que At 1 independentemente de quão grande t sela escolhido Também observamos que A área da região sombreada se aproxima de 1 quando t veja a Figura 2 assim dizemos que a área da região infinita S é igual a 1 e escrevemos Figura 2 Tipo 1 Intervalos Infinitos Usando esse exemplo como um guia definimos a integral de ƒ não necessariamente uma função positiva sobre um intervalo infinito como o limite das integrais sobre os intervalos finitos Tipo 1 Intervalos Infinitos Qualquer uma das integrais impróprias na Definição 1 pode ser interpretada como uma área desde que f seja uma função positiva Por exemplo no caso a se fx 0 e a integral for convergente então definimos a área da região S x yx a 0 y fx na Figura 3 como Isso é apropriado porque é o limite como t da área sob o gráfico de f de a a t Figura 3 Exemplo 1 Determine se a integral é convergente ou divergente SOLUÇÃO De acordo com a parte a da Definição 1 temos O limite não existe como um número finito e assim a integral imprópria é divergente Tipo 1 Intervalos Infinitos Vamos comparar o resultado do Exemplo 1 com o exemplo dado no início desta seção Figura 4 Figura 5 Tipo 1 Intervalos Infinitos Geometricamente isso quer dizer que embora as curvas y 1x2 e y 1x pareçam muito semelhantes para x 0 a região sob y 1x2 à direita dex 1 a região sombreada na Figura 4 tem uma área finita enquanto a região correspondente sob y 1x na Figura 5 tem uma área infinita Observe que 1x2 e 1x se aproximam de 0 quando x mas 1x2 se aproxima mais rápido de 0 que 1x Os valores de 1x não diminuem rápido o suficiente para que sua integral tenha um valor finito Resumindo temos Tipo 2 Integrados Discontinuos Tipo 2 Integrados Descontínuos Suponha que f seja uma função contínua positiva em um intervalo finito a b mas tenha uma assíntota vertical em b Seja S a região delimitada sob o gráfico de f e acima do eixo x entre a e b Para as integrais Tipo 1 as regiões se estendem indefinidamente em uma direção horizontal Aqui a região é infinita em uma direção vertical A área da parte de S entre a e t a região sombreada na Figura 7 é Figura 7 Tipo 2 Integrados Descontínuos Se acontecer de At se aproximar de um número A quando t b então dizemos que a área da região S é A e escrevemos Usamos essa equação para definir uma integral imprópria do Tipo 2 mesmo quando f não for uma função positiva não importando o tipo de descontinuidade que f tenha em b Tipo 2 Integrados Discontinuos 3 Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 2 a Se f é contínua em a b e descontínua em b então a b fx dx limtb a t fx dx se esse limite existir como um número b Se f é contínua em a b e descontínua em a então a b fx dx limta t b fx dx se esse limite existir como um número A integral imprópria a b fx dx é chamada convergente se o limite correspondente existir e divergente se o limite não existir c Se f tiver uma descontinuidade em c onde a c b e ambas integrais impróprias a c fx dx e c b fx dx forem convergentes então definimos a b fx dx a c fx dx c b fx dx Exemplo 5 Encontre SOLUÇÃO Observamos primeiro que a integral dada é imprópria porque tem a vertical assíntota x 2 Como a descontinuidade infinita ocorre no extremo esquerdo de 2 5 usamos a parte b da Definição 3 Exemplo 5 Solução Então a integral imprópria dada é convergente e como o integrando é positivo podemos interpretar o valor da integral como a área da região sombreada na Figura 10 Figura 10 continuação Um Teste de Comparação para Integrais Impróprias Um Teste de Comparação para Integrais Impróprias Algumas vezes é impossível encontrar o valor exato de uma integral imprópria mas ainda assim é importante saber se ela é convergente ou divergente Nesses casos o teorema seguinte é útil Apesar de afirmarmos isso para as integrais do Tipo 1 um teorema análogo é verdadeiro para as integrais do Tipo 2 Um Teste de Comparação para Integrais Impróprias Omitiremos a demonstração do Teorema da Comparação mas a Figura 12 o faz parecer plausível Se a área sob a curva superior y fx for finita então a área sob a curva inferior y gx também o é Figura 12 Um Teste de Comparação para Integrais Impróprias E se a área sob y gx for infinita então a área sob y fx Observe que a recíproca não é necessariamente verdadeira se 𝑎 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 for convergente 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 for convergente pode ou não pode ser convergente e se 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 for divergente𝑎 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 pode ou não ser divergente Exemplo 9 Mostre que é convergente SOLUÇÃO Não podemos calcular a integral diretamente porque a primitiva de não é uma função elementar Escrevemos e observamos que a primeira integral do lado direito é apenas uma integral definida ordinária Na segunda integral usamos o fato de que para x 1 temos x2 x assim x2 x e portanto ex Veja a Figura 13 A integral de ex é calculada facilmente Exemplo 9 Solução continuação Figura 13 Exemplo 9 Solução Então tomando fx ex e gx no Teorema de Comparação vemos que é convergente Segue que é convergente continuação