Testes de Comparação em Séries: Convergência e Divergência

1 Os Testes de Comparação Nos testes de comparação a ideia é comparar uma série dada com uma que sabemos ser convergente ou divergente Por exemplo a série nos remete à série que é uma série geométrica com e e é portanto convergente Como a série é muito similar a uma série convergente temos a impressão de que esta também deve ser convergente Na verdade é A desigualdade 2 1 2𝑛 1 1 2𝑛 1 21 1 1 2¹ 1 3 1 2 3 Os Testes de Comparação mostra que nossa série dada tem termos menores que aqueles da série geométrica e dessa forma todas as suas somas parciais são também menores que 1 a soma da série geométrica Isso significa que suas somas parciais formam uma sequência crescente limitada que é convergente Também segue que a soma da série é menor que a soma da série geométrica 4 Os Testes de Comparação Argumentação semelhante pode ser usada para demonstrar o seguinte teste que se aplica apenas a séries cujos termos são positivos A primeira parte diz que se tivermos uma série cujos termos são menores que aqueles de uma série que sabemos ser convergente então nossa série também será convergente A segunda parte diz que se começarmos com uma série cujos termos são maiores que aqueles de uma série que sabemos ser divergente ela também será divergente 5 Os Testes de Comparação Ao usarmos o Teste de Comparação devemos é claro ter algumas séries conhecidas bn para o propósito de comparação Na maior parte do tempo usamos uma destas séries A série p 1np converge se p 1 e diverge se p 1 Uma série geométrica arn 1 converge se r 1 e diverge se r 1 6 Exemplo 1 Determine se a série converge ou diverge SOLUÇÃO Para um n grande o termo dominante no denominador é 2n2 assim comparamos a série dada com a série 52n2 Observe que pois o lado esquerdo tem um denominador maior Na notação do Teste de Comparação an é o lado esquerdo e bn é o lado direito 7 Exemplo 1 Solução Sabemos que é convergente porque é uma constante vezes uma série p com p 2 1 Portanto é convergente pela parte i do Teste de Comparação continuação 8 Os Testes de Comparação OBSERVAÇÃO 1 Embora a condição an bn ou an bn no Teste de Comparação seja dada para todo n precisamos verificar apenas que ela vale para n N onde N é algum inteiro fixo porque a convergência de uma série não é afetada por um número finito de termos OBSERVAÇÃO 2 Os termos da série sendo testada devem ser menores que aqueles de uma série convergente ou maiores que aqueles de uma série divergente Se os termos forem maiores que os de uma série convergente ou menores que os de uma série divergente então o Teste de Comparação não se aplica 9 Os Testes de Comparação Considere por exemplo a série A desigualdade é inútil para ser usada com o Teste de Comparação porque é convergente e an bn 10 Os Testes de Comparação Mesmo assim temos a impressão de que 12n 1 deve ser convergente pois ela é muito parecida com a série geométrica convergente Em tais casos o seguinte teste pode ser usado 11 Exemplo 3 Teste a série quanto a convergência ou divergência SOLUÇÃO Usamos o Teste de Comparação no Limite com e obtemos 12 Exemplo 3 Solução Como esse limite existe e 12n é uma série geométrica convergente a série dada converge pelo Teste de Comparação no Limite continuação Estimando Somas 14 Estimando Somas Se tivéssemos usado o Teste de Comparação para mostrar que uma série an converge pela comparação com uma série bn poderíamos ser capazes de estimar a soma an pela comparação dos restos Consideramos o resto Rn s sn an 1 an 2 Para a série de comparação bn consideramos o resto correspondente Tn t tn bn 1 bn 2 15 Estimando Somas Como an bn para todo n temos Rn Tn Se bn é uma série p podemos estimar seu restante Tn Se bn for uma série geométrica então Tn é a soma de uma série geométrica e podemos somála exatamente Em qualquer dos dois casos sabemos que Rn é menor que Tn 16 Exemplo 5 Use a soma dos 100 primeiros termos para aproximar da soma da série 1n3 1 Estime o erro envolvido nessa aproximação SOLUÇÃO Uma vez que a série dada é convergente pelo Teste de Comparação O resto Tn para a série de comparação 1n3 foi estimado usando a Estimativa do Resto para o Teste da Integral 17 Exemplo 5 Solução Lá encontramos que Portanto o resto Rn para a série dada satisfaz Com n 100 temos continuação 18 Exemplo 5 Solução Usando uma calculadora programável ou um computador encontramos que com erro menor que 000005 continuação