Lista de Exercicios Resolucao de Equacoes Diferenciais de Segunda Ordem e Superior - Calculo III

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS FUNDAMENTAIS E SOCIAIS Cód Turma 3104195 Cálculo III Professor PÉRICLES DE FARIAS BORGES Aluno Data 15052023 Lista de Exercícios do 3 Estágio de Cálculo III 1 Verificar se o conjunto eax ebx é LI ou LD Resp É LI onde 𝑎 𝑏 2 Determine o Wronskiano do conjunto exex Resposta 2 3 Determine o Wronskiano do conjunto sen 3x cos 3x Resposta 3 4 Determine o Wronskiano do conjunto 1x 1x13x Resposta 0 5 O wronskiano das funções e é Selecione a resposta correta a b c d e 6 Use a redução de ordem conforme a fórmula a seguir para encontrar uma segunda solução y2x 𝑦2 𝑦1𝑥 𝑒 𝑃𝑥𝑑𝑥 𝑦1 2𝑥 a 𝑦 4𝑦 4𝑦 0 𝑦1 𝑒2𝑥 Resp y2 xe2x b 𝑦 2𝑦 𝑦 0 𝑦1 𝑥𝑒𝑥 Resp y2 𝑒𝑥 c 𝑦 16𝑦 0 𝑦1 cos 4x Resp y2 sen 4x d 𝑦 9𝑦 0 𝑦1 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 Resp y2 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 e 𝑦 25𝑦 0 𝑦1 𝑒5𝑥 Resp y2 𝑒5𝑥 f 9𝑦 12𝑦 4𝑦 0 𝑦1 𝑒2𝑥3 Resp y2 𝑥𝑒2𝑥3 7 Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem a 4𝑦 𝑦 0 Resp b 𝑦 36𝑦 0 Resp c 𝑦 6𝑦 6𝑦 0 Resp d 𝑦 8𝑦 16𝑦 0 Resp 8 Determine a solução geral da equação diferencial de ordem superior dada a 𝑦 8𝑦 5𝑦 0 resp b 𝑦 8𝑦 5𝑦 0 resp c 𝑦 5𝑦 3𝑦 9𝑦 0 resp d 𝑦 3𝑦 4𝑦 12𝑦 0 resp 9 Dada a função 𝑦1 𝑒3𝑥 é uma solução da equação 𝑦 7𝑦 12𝑦 0 Determinar a uma segunda solução linearmente independente Resp 𝑦 𝑐1𝑒3𝑥 𝑐2𝑒4𝑥 10 Dada a função 𝑦1 1 𝑥² é uma solução da equação 𝑥²𝑦 5𝑥𝑦 4𝑦 0 Determinar a uma segunda solução linearmente independente Resp 𝑦 𝑐1 1 𝑥² 𝑐2 1 𝑥² ln 𝑥 11 Dada a função 𝑦1 𝑒𝑎𝑥 é uma solução da equação 𝑦 2𝑎𝑦 𝑎²𝑦 0 Determinar a uma segunda solução linearmente independente Resp 𝑦 𝑐1𝑒𝑎𝑥 𝑐2𝑥𝑒𝑎𝑥 12 Determine a solução geral da equação 𝑦 10𝑦 24𝑦 0 Resp 𝑦 𝑐1𝑒4𝑥 𝑐2𝑒6𝑥 13 Determine a solução geral da equação 𝑦 16𝑦 64𝑦 0 Resp 𝑦 𝑐1𝑒8𝑥 𝑐2𝑥𝑒8𝑥 14 Determine a solução geral da equação 𝑦 2𝑦 3𝑦 0 Resp 𝑦 𝑐1𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐2𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥 15 Determine a solução geral da equação 𝑦 2𝑦 5𝑦 0 Resp 𝑦 𝑐1𝑒16𝑥 𝑐2𝑒16𝑥 16 Determine a solução geral da equação 𝑦 43𝑦 12𝑦 0 Resp 𝑦 𝑐1𝑒23𝑥 𝑐2𝑥𝑒23𝑥 17 Determinar a solução geral da equação 𝑦 3𝑦 2𝑦 4𝑥 6 Resp 𝑦 𝑐1𝑒𝑥 𝑐2𝑒2𝑥 2𝑥 6 18 Determinar a solução geral a equação 𝑦𝑝 10𝑦𝑦𝑝 24𝑦𝑝 48𝑥² 10 Resp 𝑦 𝑐1𝑒4𝑥 𝑐2𝑒6𝑥 2𝑥2 5 3 𝑥 17 18 19 Determinar a solução geral a equação 𝑦 2𝑦 3𝑦 12𝑒𝑥 3𝑥 Resp 𝑦 𝑐1𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐2𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 2𝑥 2𝑒𝑥 𝑥 2 3 20 Determinar a solução geral a equação 𝑦 10𝑦 24𝑦 4𝑒4𝑥 Resp 𝑦 𝑐1𝑒4𝑥 𝑐2𝑒6𝑥 2𝑥𝑒4𝑥 21 Determinar a solução geral a equação 𝑦 4𝑦 4𝑦 18𝑥𝑒3𝑥 Resp 𝑦 𝑐1𝑒2𝑥 𝑐2𝑥𝑒2𝑥 3𝑥³𝑒2𝑥 22 Determinar a solução geral a equação 𝑦 𝑦 16cos 3𝑥 Resp 𝑦 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑐𝑜𝑠3𝑥 23 Resolva 𝑦 𝑦 8 cosx com y 𝜋 2 2 y 𝜋 2 1 Resp 𝑦 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 2𝜋𝑠𝑒𝑛𝑥 4𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 24 Resolva a equação 𝑦 5𝑦 6𝑦 𝑒𝑥 1𝑒𝑥 utilizando o método da variação de parâmetros Resp 𝑦 𝑐1𝑒2𝑥 𝑐2𝑒3𝑥 𝑒2𝑥ln𝑥 1 𝑥 𝑒3𝑥ln1 𝑒𝑥 𝑥 25 Resolva a equação 𝑦 2𝑦 𝑦 𝑒𝑥 𝑥1 utilizando o método da variação de parâmetros Resp 𝑦 𝑐1𝑒𝑥 𝑐2𝑒𝑥 𝑥 1𝑒𝑥 ln𝑥 1 𝑥𝑒𝑥 26 Resolva o problema de valor inicial 𝑦 4𝑦 4𝑦 𝑒2𝑥 𝑙𝑛𝑥 com y0 2 y0 4 pelo método da variação de parâmetros Resp 𝑦 2𝑒2𝑥 8𝑥𝑒2𝑥 1 2 𝑥2𝑒2𝑥𝑙𝑛𝑥 3 4 𝑥2𝑒2𝑥 27 Resolva o problema de valor inicial 𝑦 𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑥 com y 𝜋 2 0 y 𝜋 2 0 pelo método da variação de parâmetros Resp 𝑦 2 3 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 3 𝑠𝑒𝑛2𝑥 1 3 1 Weax ebx eax ebx beabx aeabx b a eabx xa b a aeax bebx W 0 usando LI 2 W ex ex 2 ex ex 3 W sen 3x cos 3x 3 sen2 3x cos2 3x 3 3cos 3x 3 sen 3x 4 W 1 x 1 x 1 3x 0 ultima fileira 0 1 1 3 0 0 0 5 FALTAM DADOS 6 y Px y Qx 0 a y 4y 4y 0 y2x e2x e 4dx e4x dx e2x dx xe2x b y 2y y 0 y2x xex e 2dx x2e2x xex 1 x2 dx ex c y 16y 0 y2x cos 4x e 0 cos2 4x dx cos 4x xsec2 4x dx sen 4x d y 9y 0 y2x sen 3x e0 cos2 3x dx sen 3x xsec2 3x dx cos 3x e y 25x 0 y2x e5x e0 e10x dx e5x f 9y 12y 4y 0 y2x e2x3 e12x3 e4x3 dx xe2x3 y 43 4 𝕕𝕚𝕘𝕚𝕥𝕒𝕝𝕚𝕫𝕒𝕕𝕠 𝕔𝕠𝕞 𝕮𝖆𝖒𝕾𝖈𝖆𝖓𝖓𝖊𝖗 7 a Eq caracteristica 4λ2x 0 λ1 0 λ2 14 yx c1 c2 ex4 8b Eq carac λ2 36λ 0 λ1 0 λ2 36 yx c1 c2 e36x c λ2 6λ 6 0 Δ 36 46 60 yx c1 e6 15x 2 c2 e6 15x 2 d y 8y 16y 0 Δ 0 y1x e4x fazendo redução de ordem y2x e4x e8x e8x dx xe4x yx c1 e4x c2 e4x x 8 y 8y 5y 0 x3 8x2 5x 0 π1 0 λλ2 8λ 5 0 Δ 64 20 84 8 84 2 4 21 λ2 4 21 λ3 4 21 yx c1 e4 21x c2 e4 21x c3 e4 21x b Igual a a Gabarito diferente c y 5y 3y 8y 0 λ3 5λ2 3λ 8 0 por inspeção 18 é raiz 1 5 3 9 1 1 6 9 0 x2 6x 9 0 yx c ex c2 e3x c3 x e3x λ 3 d y 3y 4y 12y 0 x3 3x2 4x 12 0 As raízes da eq são 3 2 2 yx c1 e2x c2 ex c3 e3x 9 Usando redução de ordem y2x e3x e7x e6x dx e4x yx c1 e3x c2 e4x 10 y2x vx x2 y2 x vx x2 2vx x3 y x vx x2 2vx x3 2vx x3 6vx x4 então vx 2vx x 2vx x 6v x2 5vx x 10vx x2 4vx x2 0 v x vx x 0 wx vx wx wx x 0 wx 1 x dw w dx x dw dx w x w 1 x vx ωx 1 x vx ln x y2 x ln x x2 yx c1 1x2 c2 ln x x2 11 Usando redução de ordem y2x eax e2ax e2ax dx xeax yx c1 eax 12 Eq Carac λ2 10λ 24 0 λ1 6 λ2 4 yx c1 e6x c2 e4x 13 r2 16r 64 0 λ1 λ2 8 raizes repetidas yx c1 e8x c2 x e8x 14 y 2y 3 0 r2 2r 3 0 Δ 4 12 8 2 22i 2 1 2i yx c1 ex cos2 x c2 ex sin2 x 15 y 2y 5y 0 r2 2r 5 0 Δ 4 20 24 2 26 2 1 6 yx c1 e1 6 x c2 e1 6 x 16 y 43 y 12y 0 r1 r2 23 Δ 0 yx c1 e23 x c2 x e23 x 17 y 3y 2y 4x 6 solução da homogenea associada y 3y 2y 0 r1 1 r2 2 Coef a determinar para a soluçao particular ypx Ax B ypx A 0 3A 2Ax 2B 4x 6 ypx 0 A 2 3A 2B 6 B 6 yx c1 ex c2 e2x 2x 6 18 Eq y 10y 24y 48 x2 10 Eq homogenea associada y 10y 24y 0 r2 10r 24 0 r1 4 r2 6 soluçao particular ypx Ax2 Bx C ypx 2Ax B ypx 2A 2A 20Ax 10B 24Ax2 24Bx 24C 48x2 10 24A 48 A 2 20A 24B 0 B 4024 53 2A 10B 24C 10 c 1718 yx c1 e4x c2 e6x 2x2 53 x 1718 19 y 2y 3y 12 ex 3x Homogenea associada y 2y 3y 0 r1 1 2i Coef a determinar ypx Aex Bx C ypx Aex B ypx Aex 0 A ex 2Aex 3Aex 3Bx 3C 12 ex 3x A 2A 3A 12 A 2 3B 3 B 1 2B 3C 0 C 23 yx c1 ex cos2 x c2 ex sin2 x 2 ex x 23 20 y 10y 24y 4 e4x Homogenea associada y 10y 24y 0 r1 4 r2 6 Coef a determinar ypx A e4x ypx 4A e4x ypx 16A e4x 16A e4x 40A e4x 24A e4x 4 e4x A Método da variação de parametros w e4x e6x 4 e4x 6 e6x 2 e10x 23 y y 8cosx Homog associada W1 r1i r2i y1xcosx y2xsenx ypx cosx 8cosxsenx dx senx 8cos²x dx 8xnx x2 ¼ sen 2x 4cos³x yπ2 c2 2π 2 i c2 22π yx c1 senx c2 cosx 8 cosx senx2 senx 12 cos²x ln x yπ2 c1 4 1 i c1 3 Logo yx 3cosx 22πsenx 8 senx x2 ¼ sen 2x 4cos³x 24 y 5y 6y ex 1ex Homog Associada r12 r23 y1x e2x y2x e3x W e2x e3x e5x 2e2x 3e3x ypx e2x e3x ex 1ex dx e3x e2x ex 1ex dx e5x ypx e2x ex 1ex dx e3x e2x 1ex dx ex crossed out y c1 e2x c2 e3x ex ex crossed out yx c1 e2x c2 e3x e2x x e3x x ex 2 e2x lnex 1 e3x lnex 1 26 y 4y 4y e2x lnx Eq homogenea r1r22 y1xe2x y2x x e2x ypx e2x xe2x e2x lnx dx e4x x e2x e2x e2x lnx dx e4x ypx e2x x lnx dx x e2x lnx dx ypx e2x x x lnx x e2x 12 x2 lnx x24 34 e2x x2 12 e2x x2 lnx yp0 0 yp0 0 y0 2 c1 y0 2c1 c2 4 c2 8 yx 2 e2x 8x e2x 12 x2 e2x lnx 34 x2 e2x 25 y 2y y ex 1x Eq homogenia associada r1 r2 1 y1x ex y2x x ex ypx ex x ex ex 1x e2x x ex ex ex 1x e2x ex x lnx1 x ex ln1x yx c1 ex c2 x ex x1 ex lnx1 x ex 27 y y cos 2x Homog associada y1x cos x y2x sen x W 1 ypx cos x senx cos 2x dx senx cosx cos 2x yx c1 cos x c2 sen x ypx ypπ2 12 16 13 ypx cos x cos x 2 16 cos 3x x ln x cos x x2 16 ln 3x sen x cos x 2 36 cos 3x yp π2 0 yπ2 c2 13 0 c2 13 yπ2 c1 0 yx 13 x ln x cos x cos x 2 16 cos 3x x ln x x2 16 sen 3x