Modelagem de Sistemas Dinâmicos com Equações Diferenciais de Ordem Superior

5 MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 51 Equações lineares problemas de valor inicial 511 Sistemas massamola movimento livre não amortecido 512 Sistemas massamola movimento livre amortecido 513 Sistemas massamola movimento forçado 514 Circuito em série analógico 52 Equações lineares problemas de contorno 53 Modelos não lineares Revisão do Capítulo 5 51 EQUAÇÕES LINEARES PROBLEMAS DE VALOR INICIAL IMPORTANTE REVISAR Seções 41 43 e 44 Problemas 29 a 36 nos Exercícios 43 Problemas 27 a 36 nos Exercícios 44 INTRODUÇÃO Nesta seção vamos considerar vários sistemas dinâmicos lineares para os quais cada modelo matemático é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes juntamente com as condições iniciais especificadas em um determinado instante de tempo t 0 y0 y0 y0 y1 Lembrese de que a função g é a entrada função de condução ou função forçante função entrada do sistema Uma solução yt da equação diferencial em um intervalo I contendo t 0 que satisfaça as condições iniciais é denominada saída ou resposta do sistema 511 SISTEMAS MASSAMOLA MOVIMENTO LIVRE NÃO AMORTECIDO LEI DE HOOKE Suponha que uma mola flexível esteja suspensa verticalmente em um suporte rígido e que então uma massa m seja conectada à sua extremidade livre A distensão ou elongação da mola naturalmente dependerá da massa massas com pesos diferentes distenderão a mola diferentemente Pela lei de Hooke a mola exerce uma força restauradora F oposta à direção do alongamento e proporcional à distensão s Enunciado de forma mais simples F ks onde k é uma constante de proporcionalidade chamada constante da mola A mola é essencialmente caracterizada por k Por exemplo se uma massa de 10 libras alonga em 1 pé uma mola então 10 k1 implica que k 20 lbpés Então uma massa de digamos 8 lb necessariamente estácia a mesma mola somente s pés SEGUNDA LEI DE NEWTON Depois que uma massa m é conectada a uma mola provoca nesta uma distensão s e atinge sua posição de equilíbrio na qual seu peso W é igual à força restauradora k Lembrese de que o peso de massa é medido em slugs quilogramas ou gramas e g 32 pésseg2 98 ms2 ou 980 cms2 respectivamente Conforme indicado na Figura 511b a condição de equilíbrio é mg ks ou mg ks 0 Se a massa for deslocada por uma quantidade x de sua posição de equilíbrio a força restauradora da mola será então kx s Supondo que não haja forças de retardamento sobre o sistema e supondo que a massa vibre sem a ação de outras forças externas movimento livre podemos igualar F com a força resultante do peso e da força restauradora d2xdt2 ks x mg kx 1 O sinal negativo em 1 indica que a força restauradora da mola age no sentido oposto ao do movimento Além disso adotaremos a convenção de que deslocamentos medi os abaixo da posição de equilíbrio x 0 são positivos Veja a Figura 512 ED DO MOVIMENTO LIVRE NÃO AMORTECIDO Dividindo 1 pela massa m obtemos a equação diferencial de segunda ordem d²xdt² kmx 0 onde ω² km Dizemos que a Equação 2 descreve um movimento harmônico simples ou movimento livre não amortecido Duas condições iniciais óbvias associadas com 2 são x0 x0 e x0 x1 representando respectivamente o deslocamento e a velocidade iniciais da massa Por exemplo se x0 0 x1 0 a massa começa de um ponto abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial dirigida para cima Quando x1 0 dizemos que ela partiu do repouso Por exemplo se x0 0 x1 0 a massa partiu do repouso de um ponto x0 unidades acima da posição de equilíbrio SOLUÇÃO E EQUAÇÃO DO MOVIMENTO Para resolver a Equação 2 observamos que são soluções da equação auxiliar m² ω² 0 são números complexos m1 ωi m2 ωi Assim com base em 8 na Seção 43 determinamos a solução geral de 2 como xt c1 cos ωt c2 sen ωt O período do movimento descrito por 3 é T 2πω O número T representa o tempo medido em segundos que a massa leva para executar um ciclo de movimento Um ciclo é uma oscilação completa da massa m do ponto mais baixo abaixo da posição de equilíbrio para o ponto mais alto acima da posição de equilíbrio depois voltando ao ponto mais baixo Do ponto de vista gráfico T 2πω segundos é a duração do intervalo de tempo entre os sucessivos máximos ou mínimos de xt Lembrese de que o máximo de xt é um deslocamento positivo correspondente à distância máxima atingida pela massa abaixo da posição de equilíbrio enquanto o mínimo de xt é um deslocamento negativo correspondente à altura máxima atingida pela massa acima da posição de equilíbrio A frequência do movimento é f 1T ω2π e também o número de ciclos completos por segundo Por exemplo se xt 2 cos 3πt 4 sen 3πt o período é T 2π3 23 s e a frequência é f 32 cicloss Do ponto de vista gráfico xt repete a cada 2 segundo ou seja xt 23 xt e 1 12 ciclos do gráfico são completados a cada 2 segundos O número ω km medido em radianos por segundo é chamado frequência circular do sistema Dependendo da sua literatura de referência tanto f ω2π como ω são descritos como frequência natural do sistema Finalmente quando as condições iniciais forem usadas para determinar as constantes c1 e c2 em 3 diremos que a solução particular resultante ou a resposta é a equação do movimento O deslocamento e a velocidade iniciais são x0 23 x0 43 onde o sinal negativo na última condição é uma consequência do fato de que é dada à massa uma velocidade inicial na direção negativa ou para cima Como ω² 64 ou ω 8 a solução geral da equação diferencial é xt c1 cos 8t c2 sen 8t Aplicando as condições iniciais a xt e a xt obtemos c1 23 e c2 16 Assim a equação do movimento será xt 23 cos 8t 16 sen 8t Para verificar isso desenvolvemos 6 usando a fórmula da adição da função seno A sen ωt cos φ A cos ωt sen ωt 8 Em vista da discussão anterior podemos escrever a solução 5 na forma alternativa xt A sen8t φ O cálculo da amplitude é direto A 23² 16² 1736 069 pé FIGURA 514 Movimento harmônico simples O conceito de movimento harmônico livre é um tanto quanto irreal uma vez que é descrito pela Equação 1 sob a hipótese de que nenhuma força de retardamento age sobre a massa em movimento A não ser que a massa seja suspensa em um vácuo perfeito haverá pelo menos uma força contrária ao movimento em decorrência do meio ambiente Conforme mostra a Figura 515 a massa poderia estar suspensa em um meio viscoso ou conectada a um dispositivo de amortecimento CASO I λ² ω² 0 Nessa situação dizemos que o sistema é superamortecido pois o coeficiente de amortecimento β é grande quando comparado com a constante da mola k A solução correspondente de 11 é xt c₁eλt c₂eλ² ω²t Essa equação representa um movimento suave e não oscilatório A Figura 516 apresenta dois gráficos possíveis de xt CASO II λ² ω² 0 Dizemos então que o sistema é criticamente amortecido pois qualquer decréscimo na força de amortecimento resulta em um movimento oscilatório A solução geral de 11 é xt eλtc₁ c₂t CASO III λ² ω² 0 Nesse caso dizemos que o sistema é subamortecido pois o coeficiente de amortecimento é pequeno quando comparado com a constante da mola As raízes m₁ e m₂ agora são complexas m₁ λ ω² λ²i m₂ λ ω² λ²i Assim a solução geral da Equação 11 é xt eλtc₁ cosω²t c₂ senω²t Logo o gráfico em cinza representando o movimento da massa na Figura 514b é a imagem refletida da curva tracejada na Figura 514a A forma alternativa dada em 6 é muito útil uma vez que permite encontrar facilmente os valores do tempo para os quais o gráfico de xt cruza a parte positiva do eixo t a reta x 0 Observamos que senωt φ 0 quando ωt φ nπ onde n é um inteiro não negativo SISTEMAS COM CONSTANTES DE ELASTICIDADE VARIÁVEIS No modelo discutido anteriormente estamos supondo um mundo ideal no qual as características físicas da mola não mudam com o tempo Em um mundo não ideal porém é razoável esperar que quando um sistema massamola estiver em movimento por um longo período a mola enfraquecerá em outras palavras a constante de elasticidade da mola variará ou mais explicitamente decairá com o tempo EXEMPLO 3 Movimento superamortecido É fácil verificar que a solução do problema de valor inicial d²xdt² 5dxdt 4x 0 x0 1 x0 1 é xt 53 et 23 e4t O problema pode ser interpretado como representando um movimento superamortecido de uma massa em uma mola A massa é inicialmente liberada de uma posição uma unidade abaixo da posição de equilíbrio a uma velocidade de 1 péss para baixo Para esboçar o gráfico de xt encontramos o valor de t para o qual a função tem um extremo isto é o valor de t para o qual a derivada primeira velocidade é zero Diferenciando 16 obtemos xt 53 et 83 e4t logo xt 0 implica e3t 58 ou t 13 ln58 0157 Segue do teste da derivada primeira bem como da nossa intuição física que x0157 1069 pés é realmente um máximo Em outras palavras a massa atinge um deslocamento extremo de 1069 pés abaixo da posição de equilíbrio O gráfico de xt e alguns dados pertinentes são apresentados na Figura 519 EXEMPLO 4 Movimento criticamente amortecido Uma massa pesando 8 libras alonga uma mola em 2 pés Supondo que uma força amortecedora igual a duas vezes a velocidade instantânea aja sobre o sistema determine a equação de movimento se o peso for inicialmente solto de uma posição de equilíbrio a uma velocidade de 3 péss para cima SOLUÇÃO Com base na lei de Hooke vemos que 8 k2 nos dá k 4 lbpé e que W mg nos dá m 832 14 slug A equação diferencial do movimento é então 14 d²xdt² 4x 2dxdt ou d²xdt² 8dxdt 16x 0 A equação auxiliar de 17 é m² 8m 16 m 4² 0 de forma que m₁ m₂ 4 Portanto o sistema é criticamente amortecido e xt c₁e4t c₂te4t Aplicando as condições iniciais x0 0 e x0 3 obtemos c₁ 0 e c₂ 3 Logo a equação do movimento é xt 3te4t Para fazer o gráfico de xt procedemos como no Exemplo 3 De xt 3e4t14t vemos que xt 0 quando t 14 O deslocamento extremo correspondente será de x14 314e1 0276 pés Conforme mostrado na Figura 5110 interpretamos esse valor como aquele no qual o peso atinge uma altura máxima de 0276 pés acima da posição de equilíbrio EXEMPLO 5 Movimento subamortecido Uma massa pesando 16 libras é presa a uma mola de 5 pés de comprimento Na posição de equilíbrio o comprimento da mola é de 82 pés Se a massa for puxada para cima e solta do repouso de um ponto 2 pés acima da posição de equilíbrio qual será o deslocamento xt se for sabido ainda que o meio ambiente oferece uma resistência numericamente igual a velocidade instantânea SOLUÇÃO O alongamento da mola depois de presa à massa será de 82 5 32 pés logo segue da lei de Hooke que 16 k32 ou k 5 lbpé Além disso m 1632 12 slug Portanto a equação diferencial é dada por 12 d²xdt² 5x dxdt ou d²xdt² 2dxdt 10x 0 Proseguindo determinamos as raízes de m² 2m 10 0 m₁ 1 3i e m₂ 1 3i o que implica que o sistema é subamortecido e xt etc₁ cos 3t c₂ sen 3t Finalmente as condições iniciais x0 2 e x0 0 dão lugar a c₁ 2 e c₂ 23 logo a equação de movimento é xt et2 cos 3t 23 sen 3t FORMA ALTERNATIVA DE xt De forma idêntica àquela usada na página 206 podemos escrever qualquer solução xt etc₁ cos ω² λ²t c₂ sen ω² λ²t na forma alternativa xt Aeλt senω² λ²t φ Interprete e resolva o problema de valor inicial O sistema de equações resultante 513 SISTEMAS MASSAMOLA MOVIMENTO FORÇADO EXEMPLO 7 Soluções transientesestacionárias A solução do problema de valor inicial d2xdt2 2dxdt 2x 4 cos t 2 sen t x0 0 x0 x1 onde x1 é constante é dada por xt x1 2et sen t 2 sen t Curvas integrais para valores selecionados da velocidade inicial x1 estão na Figura 5113 Os gráficos mostram que a influência do termo transiente é desprezível para t 3π2 FIGURA 5112 Gráfico da solução dada em 28 no Exemplo 6 FIGURA 5113 Gráfico da solução no Exemplo 7 para várias velocidades iniciais x1 EXEMPLO 8 Movimento forçado não amortecido Resolve o problema de valor inicial d2xdt2 ω2x F0 sen γt x0 0 x0 0 onde F0 é uma constante e γ ω SOLUÇÃO A função complementar é xct c1 cos ωt c2 sen ωt Para obter uma solução particular vamos experimentar xpt A cos γt B sen γt de tal forma que xpt Aω2 γ2 cos γt Bω2 γ2 sen γt F0 sen γt Igualando os coeficientes obtemos imediatamente A 0 e B F0ω2 γ2 Logo xpt F0ω2 γ2 sen γt Aplicando as condições iniciais dadas à solução geral xt c1 cos ωt c2 sen ωt F0ω2 γ2 sen γt obtemos c1 0 e c2 γF0ωω2 γ2 Assim a solução será xt F0ω2 γ2γ sen ωt ω sen γt γ ω RESSONÂNCIA PURA Embora a Equação 30 não esteja definida para γ ω é interessante observar que seu valor limite quando γ ω pode ser obtido aplicando a regra de LHôpital O processo limite é análogo a sintonizar a frequência da força externa γ2π com a frequência da vibração livre ω2π Intuitivamente esperamos que após algum tempo possamos aumentar substancialmente a amplitude de vibração Para γ ω definimos a solução como xt lim γω F0 γ sen ωt ω sen γt ω2 λ2 Como suspeitávamos quando t os deslocamentos tornamse grandes de fato xtn quando tn nπω n 1 2 O fenômeno que acabamos de descrever é conhecido como ressonância pura O gráfico dado na Figura 5114 mostra um movimento típico nesse caso Para concluir deve ser observado que não há necessidade de usar um processo limite em 30 para obter a solução para γ ω Alternativamente a Equação 31 segue da resolução do problema de valor inicial d2xdt2 ω2x F0 sen ωt x0 0 x0 0 diretamente pelos métodos convencionais Se os deslocamentos de um sistema massamola fossem de fato descritos por uma função como 31 o sistema necessariamente falharia Grandes oscilações na massa em algum momento forçariam a mola além do limite de sua elasticidade Poderseia também argumentar que o modelo ressonante apresentado na Figura 5114 é completamente irreal pois ignora os efeitos de retardamento das forças de amortecimento sempre presentes Embora a ressonância pura nunca possa ocorrer quando mesmo um pequeno amortecimento é levado em consideração podem ocorrer grandes e igualmente destrutivas amplitudes de vibração embora limitadas quando t Veja o Problema 43 nos Exercícios 51 514 CIRCUITO EM SÉRIE ANÁLOGO CIRCUITO EM SÉRIE RLC Conforme mencionado na introdução deste capítulo sistemas físicos diferentes podem ser descritos por uma equação diferencial linear de segunda ordem semelhante àquela do movimento forçado com amortecimento m d²x dt² β dx dt kx ft Se it denotar a corrente no circuito elétrico em série RLC mostrado na Figura 5115 então a queda de voltagem no indutor resistor e capacitor será como a mostrada na Figura 134 Pela segunda lei de Kirchhoff a soma dessas voltagens é igual à voltagem Et impressa no circuito isto é L di dt Ri 1 C q Et Mas a carga qt no capacitor está relacionada com a corrente it por i dqdt e portanto 33 tornase a equação diferencial linear de segunda ordem L d²q dt² R dq dt 1 C q Et A nomenclatura usada na análise de circuitos é semelhante à usada para descrever sistemas massamola Se Et 0 as vibrações elétricas do circuito são consideradas livres Como a equação auxiliar de 34 é Lm² Rm 1C 0 haverá três formas de solução com R 0 dependendo do valor do discriminante R² 4LC Dizemos que o circuito é superamortecido se R² 4LC 0 criticamente amortecido se R² 4LC 0 e subamortecido se R² 4LC 0 Em cada um desses três casos a solução geral de 34 contém o fator eRt2L e portanto qt 0 quando t No caso subamortecido se q0 q₀ a carga sobre o capacitor oscilará à medida que decay em outras palavras o capacitor é carregado e descarregado quando t Quando Et 0 e R 0 dizemos que o circuito é não amortecido e as vibrações elétricas não têm a zero quando t cresce sem limitação a resposta do circuito é harmônica simples EXEMPLO 9 Circuito em série subamortecido Encontre a carga qt sobre o capacitor em um circuito em série RLC quando L 025 henry h R 10 ohms Ω C 0001 farad f Et 0 q0 q₀ coulombs C e i0 0 Resolvendo essa equação homogênea da maneira usual verificamos que o circuito é subamortecido e qt e20tc₁ cos 60t c₂ sen 60t Aplicando as condições iniciais obtemos c₁ q₀ e c₂ 13 q₀ Assim qt q₀ e20tcos 60t 13 sen 60t Usando 23 podemos escrever a solução anterior como qt q₀ 103 e20t sen60t 249 Quando há uma voltagem impressa Et no circuito as vibrações elétricas são chamadas de forçadas No caso em que R 0 a função complementar qₑt de 34 é chamada de solução transiente Se Et for periódica ou constante então a solução particular qₚt de 34 será uma solução estacionária EXEMPLO 10 Corrente estacionária Determine a solução estacionária qpt e a corrente estacionária em um circuito em série RLC quando a voltagem impressa for Et E0 sen γt SOLUÇÃO A solução estacionária qpt é uma solução particular da equação diferencial L d²qdt² R dqdt 1C q E0 sen γt Usando o método dos coeficientes a determinar vamos procurar uma solução particular da forma qpt A sen γt B cos γt Substituindo essa expressão na equação diferencial simplificando e igualando os coeficientes obtemos A E0 L γ 1C γ γ L² γ² 2LC 1C² γ² R² É conveniente expressar A e B em termos de alguns novos símbolos Se X Lγ 1Cγ então X² L² γ² 2LC 1C² γ² Se Z X² R² então Z² L² γ² 2LC 1C² γ² R² Portanto A E0X γ Z² e B E0R γ Z² de forma que a carga estacionária é qpt E0XγZ² sen γt E0RγZ² cos γt A carga estacionária é então dada por ipt qpt ipt E0Z RZ sen γt XZ cos γt As quantidades X Lγ 1Cγ e Z X² R² definidas no Exemplo 10 são chamadas respectivamente de reatância e impedância do circuito A reatância e a impedância são medidas em ohms 52 EQUAÇÕES LINEARES PROBLEMAS DE CONTORNO IMPORTANTE REVISAR Seção 41 página 126 Problemas 37 a 40 nos Exercícios 43 Problemas 37 a 40 nos Exercícios 44 INTRODUÇÃO A seção precedente foi dedicada a sistemas nos quais um modelo matemático de segunda ordem era acompanhado por condições iniciais prescritas isto é condições especificadas sobre a função desconhecida e sua derivada primeira em um único ponto Mas frequentemente a descrição matemática de um sistema físico exige a resolução de uma equação linear diferencial sujeita a condições de contorno isto é condições especificadas sobre a função desconhecida ou sobre uma de suas derivadas ou até mesmo sobre uma combinação linear da função desconhecida e uma de suas derivadas em dois ou mais pontos diferentes Deflexão de uma viga Muitas estruturas são construídas usando grandes suportes de aço ou vigas as quais defletem ou distorcem sob seu próprio peso ou em decorrência de alguma força externa Como veremos agora essa deflexão yx é governada por uma equação diferencial linear de quarta ordem relativamente simples Para começar vamos supor que uma viga de comprimento L seja homogênea e tenha seção transversal uniforme ao longo de seu comprimento Na ausência de qualquer carga sobre a viga incluindo o próprio peso a curva que liga os centroids de todas as suas secções transversais é uma reta chamada de eixo de simetria Veja a Figura 521a Se for aplicada uma carga à viga em um plano contendo o eixo de simetria conforme mostra a Figura 521b ela sofrerá uma distorção e a curva que liga os centroides de todas as seções transversais será chamada então de curva de deflexão ou curva elástica A curva de deflexão aproxima o formato da viga Suponha agora que o eixo x coincida com o eixo de simetria da viga e que a deflexão yx medida a partir desse eixo seja positiva se dirigida para baixo Na teoria da elasticidade mostrase que o momento fletor Mx em um ponto x ao longo da viga está relacionado com a carga por unidade de comprimento wx pela equação Mx é proporcional à curvatura κ da curva elástica Agora do cálculo a curvatura é dada por κ y1 y²32 Quando a deflexão yx for pequena a inclinação y 0 e portanto 1 y²32 1 Se fizermos κ y a Equação 2 vai se tornar M EI y A segunda derivada dessa última expressão Usando o resultado dado em 1 para substituir d²Mdx² em 3 vemos que a deflexão yx satisfaz a equação diferencial de quarta ordem As condições de contorno associadas à Equação 4 dependem de como as extremidades da viga estão apoiadas Uma viga em balanço é engastada ou presa em uma extremidade e livre na outra Trampolim braço estendido asa de avião e sacada são exemplos comuns de vigas mas até mesmo árvores mastros edifícios e o monumento de George Washington podem funcionar como vigas em balanço pois estão presos em uma extremidade e sujeitos à força fletores do vento Para uma viga em balanço a deflexão yx deve satisfazer às seguintes condições na extremidade engastada x 0 y0 0 uma vez que não há deflexão e y0 0 uma vez que a curva de deflexão é tangente ao eixo x em outras palavras a inclinação da curva de deflexão é zero nesse ponto Em x L as condições da extremidade livre são yL 0 uma vez que o momento fletor é zero e yL 0 uma vez que a força de cisalhamento é zero A função Fx dMdx EI d³ydx³ é chamada de força de cisalhamento Se a extremidade de uma viga estiver simplesmente apoiada ou articulada teremos necessariamente nessa extremidade y 0 e y 0 Veja a Figura 522 A Tabela 521 resume as condições de contorno que estão associadas a 4 EXEMPLO 1 Uma viga engastada Uma viga de comprimento L está engastada em ambas as extremidades Qual será a deflexão da viga se uma carga constante w₀ for uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento isto é wx w₀ 0 x L SOLUÇÃO Da discussão precedente vimos que a deflexão yx satisfaz EI d⁴ydx⁴ w₀ Como a viga está engastada tanto na extremidade esquerda x 0 como na direita x L não há deflexão vertical e a reta de deflexão é horizontal nesses pontos Assim as condições de contorno são y0 0 y0 0 e yL 0 AUTOVALORES E AUTOFUNÇÕES Muitos problemas aplicados exigem a resolução de um problema de valores de contorno PVC em dois pontos envolvendo uma equação diferencial linear que contém um parâmetro λ Procuramos os valores de λ para os quais o problema de contorno tenha soluções não triviais ou seja soluções diferentes de zero EXEMPLO 2 Soluções não triviais do problema de valores de contorno Resolva o problema de valores de contorno y λy 0 y0 0 yL 0 SOLUÇÃO Consideremos três casos λ 0 λ 0 e λ 0 CASO I Para λ 0 a solução de y 0 é y c₁x c₂ As condições y0 0 e yL 0 aplicadas a esta solução implicam sucessivamente que c₂ 0 e c₁ 0 Logo para λ 0 a única solução do problema de contorno é a solução trivial y 0 CASO II Para λ 0 é conveniente escrever λ α² onde α é positivo Com esta notação as raízes da equação auxiliar m² α² 0 são m₁ α e m₂ α Supondo que o intervalo em que trabalhamos seja finito escolhemos escrever a solução geral da equação y α²y 0 como y c₁ cosh αx c₂ sinh αx Logo y0 é dado por y0 c₁ cosh 0 c₂ sinh 0 c₁ 1 c₂ 0 c₁ Quando y0 0 temos c₁ 0 Então y c₂ sinh αx A segunda condição yL 0 impõe que c₂ sinh αL 0 Para α 0 sinh αL 0 consequentemente somos forçados a escolher c₂ 0 Novamente a única solução para a PVC é a solução trivial y 0 Podemos resolver a equação diferencial não homogênea da forma usual encontre yc observando que m 0 é uma raiz de multiplicidade 4 da equação auxiliar m⁴ 0 e depois encontre uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar ou podemos simplesmente integrar quatro vezes seguidas a equação d⁴ydx⁴ w₀EI De qualquer forma encontramos que a solução geral da equação y yc yp é yx c₁ c₂x² c₃x³ c₄x⁴ w₀24EIx⁴ As condições y0 0 y0 0 nos dão sucessivamente c₁ 0 e c₂ 0 enquanto as condições remanescentes yL 0 e yL 0 aplicadas a yx c₃x² c₄x³ w₀24EIx⁴ dão origem às equações c₃L² c₄L³ w₀24EI L⁴ 0 e 2c₃L 3c₄L² w₀6EI L³ 0 Resolvendo esse sistema obtemos c₃ w₀L²24EI e c₄ w₀L12EI Assim a deflexão é yx w₀L²24EIx⁴ ou yx w₀24EIx²x L² Os números λn n²π²L² n 123 para os quais o problema de solução não trivial são conhecidos como valores característicos ou mais comumente autovalores As soluções que dependem desses valores de n são c2 sennπxL ou simplesmente yn sennπxL são chamadas funções características ou autofunções Os gráficos das autofunções para n 12345 são mostrados na Figura 524 Notese que cada gráfico passa através de dois pontos 0 0 e 0 L EXEMPLO 3 Revisão do Exemplo 2 Segue do Exemplo 2 e da discussão anterior que o problema de valor de contorno y 5y 0 y0 0 yL 0 possui apenas solução trivial y 0 porque 5 não é um autovalor DEFORMAÇÃO DE UMA COLUNA FINA No século XVIII Leonhard Euler foi um dos primeiros matemáticos a estudar um problema de autovalor quando analisava como uma coluna elástica fina se deforma sob uma força axial compressiva Considere uma longa coluna vertical fina de seção transversal uniforme de comprimento L Seja yx a deflexão da coluna quando uma força compressiva vertical constante ou carga P for aplicada em seu topo conforme mostra a Figura 525 Comparando os momentos fletores em qualquer ponto ao longo da coluna obtemos EI d²y dx² Py ou EI d²y dx² Py 0 onde E é o módulo de elasticidade de Young e I é o momento de inércia de uma seção transversal em torno de uma reta vertical pelo seu centróide EXEMPLO 4 A carga de Euler Determine a deflexão de uma coluna vertical fina e homogênea de comprimento L sujeita a uma carga axial constante P se a coluna for simplesmente apoiada em ambas as extremidades SOLUÇÃO O problema de contorno a ser resolvido é EI d²ydx² Py 0 y0 0 yL 0 Observe primeiramente que y 0 é uma solução perfeitamente aceitável desse problema Essa solução tem uma interpretação intuitiva e simples se a carga P não for grande o suficiente não haverá deflexão A questão é esta para quais valores de P a coluna vai defletir Em termos matemáticos para quais valores de P o problema de contorno dado tem soluções não triviais Escrevendo λ PEI vemos que y λy 0 y0 0 yL 0 é idêntico ao problema dado no Exemplo 2 Com base no Caso III daquela discussão vemos que as curvas de deflexão ynx c2 sennπxL são correspondentes aos autovalores λn PnEI n²π²L² n 123 Fisicamente isso significa que a coluna vai deformarse ou defletir somente quando a força compressiva assumir um dos valores Pn n²π²EIL² n 123 Essas forças são chamadas cargas críticas A curva de deflexão correspondente à menor carga crítica P1 π²EIL² chamada de carga de Euler é y1x c2 senπxL e é conhecida como o primeiro modo de deformação As curvas de deflexão do Exemplo 4 correspondentes a n 1 n 2 e n 3 são apresentadas na Figura 526 Observe que se a coluna original tiver algum tipo de restrição física em x L2 então a menor carga crítica será P2 4π²EIL² e a curva de deflexão será aquela da Figura 526b Se a restrição for colocada na coluna em x L3 a coluna somente vai se deformar quando a carga crítica P3 9π²EIL² for aplicada Nesse caso a curva de deflexão será aquela da Figura 526c Veja o Problema 23 nos Exercícios 52 CORDAS GIRANDO A equação diferencial linear de segunda ordem y λy 0 ocorre muitas vezes como modelo matemático Na Seção 51 vimos 6 nas formas d²xdt² kmx 0 e d²qdt² 1LCq 0 como modelos para respectivamente um movimento harmônico simples de um sistema massamola e a resposta harmônica simples de um circuito em série É evidente que para deflexão de uma corda fina dado em 5 quando escrito como d²ydx² PEIy 0 é igual ao que foi dado em 6 Vamos encontrar a Equação 6 uma vez mais nesta seção como um modelo que define a curva de deflexão para corda girando A situação física é aquela de duas liquidificadoras segurando uma corda e fazendoa girar sincronicamente Suponha que uma corda de comprimento L e densidade linear constante ρ massa por unidade de comprimento seja esticada ao longo do eixo x fixada em x 0 e x L Suponha que a corda tenha uma velocidade angular constante ω Considere uma parte da corda sobre o intervalo x x Δx quando escrita como yx ao longo da corda a equação diferencial desejada que pode ser obtida não é a mesma que exatamente as diferentes da força líquida que Figura 527c que a força líquida vertical é F T sen θ2 T sen θ1 Se os ângulos θ1 e θ2 medidos em radianos forem pequenos teremos sen θ2 θ2 e sen θ1 θ1 Além disso se θ2 e θ1 são pois podemos também escrever tg θ yx e tg θ yx Δx Assim 7 vai se tornar F Tyx Δx yx Quando o deslocamento x for pequeno os valores de xⁿ são desprezíveis para n suficientemente grande Se truncarmos as séries de potências digamos tanto Fx c0 c1x c2x² c3x³ Para que a força em x 0 IMPORTANTE REVISAR Seção 410 Nesta seção vamos examinar alguns modelos matemáticos de equações lineares de ordem superior Será possível resolver alguns desses modelos utilizando o método de substituição levando à redução da ordem da ED introduzido na página 196 Em alguns casos onde o modelo não pode ser resolvido vamos mostrar como uma ED linear pode ser substituída por outra ED linear através de um processo chamado linearização O modelo matemático em 1 da Seção 51 tem a forma É chamada de mola não linear Além disso examinamos modelos matemáticos nos quais o amortecimento sofrido pelo movimento era proporcional à velocidade instantânea dxdt e a força restauradora de uma mola era dada pela função linear Fx kx Mas essas hipóteses eram muito simples em situações mais reais o amortecimento pode ser proporcional a alguma potência da velocidade instantânea dxdt A equação diferencial não linear m d²xdt² dxdt kx 0 ou m d²xdt² kx k1x³ 0 MOLAS RÍGIDAS E COMPRESSÍVEIS Observamos mais de perto a Equação 1 quando a força restauradora é dada por Fx kx k1x³ k 0 Dizemos que a mola é rígida quando k1 0 e compressível quando k1 0 Os gráficos dos três tipos de força restauradora estão ilustrados na Figura 531 O exemplo seguinte ilustra esses dois casos especiais da equação diferencial md²xdt² kx k1x³ 0 m 0 k 0 EXEMPLO 1 Comparação entre molas rígidas e compressíveis As equações diferenciais d²xdt² x x³ 0 PÊNDULO NÃO LINEAR Qualquer objeto que balance de um lado para outro é chamado de pêndulo físico O pêndulo simples é um caso especial do pêndulo físico e consiste em uma haste de comprimento l na extremidade da qual está presa uma massa m Ao descrever o movimento de um pêndulo em um plano vertical admitimos as hipóteses simplificadoras de que a massa da haste é desprezível e que nenhum amortecimento externo ou força impulsionadora age sobre o sistema Se usarmos a aproximação sen θ θ θ³6 a Equação 6 tornase d²θdt² gl θ g6l θ³ 0 Observe que essa última equação é igual a segunda equação não linear em 2 com m 1 k gl e k1 g6l Porém se supusermos que os deslocamentos θ são pequenos o suficiente para justificar a substituição de sen θ por θ então 6 tornase d²θdt² gl θ 0 7 Veja o Problema 25 nos Exercícios 53 Se fizermos ω² gl reconheceremos 7 como a equação diferencial 2 da Seção 51 que é um modelo para vibrações livres não amortecidas de um sistema massamola linear Em outras palavras 7 é novamente a equação linear básica y λy 0 discutida na página 224 da Seção 52 Consequentemente dizemos que a Equação 7 é uma linearização da Equação 6 Como a solução geral de 7 é θt c1 cos ωt c2 sen ωt essa linearização sugere que para as condições iniciais que resultem em pequenas oscilações o movimento do pêndulo descrito por 6 será periódico EXEMPLO 2 Dois problemas de valor inicial Os gráficos na Figura 534a foram obtidos com a ajuda de um solucionador numérico e representam a curva integral aproximada ou numérica da Equação 6 quando ω² 1 A curva em cinza claro representa a solução de 6 que satisfaz as condições iniciais θ0 12 θ0 12 enquanto a curva em cinza escuro é a solução de 6 que satisfaz θ0 12 θ0 2 A curva em cinza claro representa uma solução periódica o pêndulo oscila para um lado e para outro conforme mostra a Figura 534b com uma amplitude aparente A 1 A curva em cinza mostra que θ cresce sem limitação à medida que o tempo cresce a partir do mesmo deslocamento inicial é dada ao pêndulo uma velocidade inicial de grande o suficiente para que chegue ao topo em outras palavras o pêndulo está girando em torno do ponto central como mostra a Figura 534c Na ausência de amortecimento o movimento em cada caso continua indefinidamente FIOS TELEFÔNICOS A equação diferencial de primeira ordem dydx WT1 é a equação 16 da Seção 13 Essa equação diferencial criada com o auxílio da Figura 138 na página 26 serve como um modelo matemático para a forma de um cabo flexível suspenso entre dois suportes verticais quando está com uma carga vertical Na Seção 22 resolvemos essa ED simples sob o pressuposto de que a carga vertical realizada pelos cabos de uma ponte de suspensão foi o peso de um leito horizontal distribuído uniformemente ao longo do eixo x Com W ρx sendo ρ o peso por unidade de comprimento do leito a forma de cada cabo entre os suportes verticais acabou por ser parabólica Estamos agora prontos para determinar a forma de um cabo flexível uniforme pendurado apenas pelo seu próprio peso como um fio amarrado entre dois postes de telefone A carga vertical é agora o fio em si assim se ρ é a densidade linear do fio medida por exemplo em libras por pés e s é o comprimento do segmento P1P2 na Figura 138 então dydx ρsT1 Assim desde que o comprimento do arco entre os pontos P1 e P2 seja dado por s ₀ˣ 1 dydx² dx resulta do teorema fundamental do cálculo que a derivada de 9 é dsdx 1 dydx² Diferenciando 8 em relação a x e usando 10 chegamos à equação de segunda ordem d²ydx² ρT1 1 dydx² No exemplo a seguir vamos resolver 11 e mostrar que a curva assumida pelo cabo de suspensão é uma catenária Antes de prosseguir observe que a equação diferencial de segunda ordem 11 é uma das equações na forma Fx y y 0 discutida na Seção 410 Lembrese de que podemos resolver uma equação desse tipo reduzindo a ordem da equação por meio da substituição u y Com base na posição do eixo y na Figura 138 fica evidente que as condições iniciais associadas à segunda equação diferencial em 11 são y0 a e y0 0 Se substituirmos u y a última equação em 11 tornase dudx ρT₁ 1 u² Separando variáveis obtemos du1 u² ρT₁ dx o que dá senh¹u ρT₁ x c₁ Agora y0 0 é equivalente a u0 0 Como senh¹0 0 c₁ 0 e portanto u senhρxT₁ Finalmente integrando ambos os lados de dydx senhρT₁ x obtemos y T₁ρ coshρT₁ x c₂ Se usarmos y0 a cosh0 1 a última equação implica que c₂ a T₁ρ Portanto y T₁ρ coshρT₁ x a T₁ρ No Exemplo 3 se tivéssemos sido espertos o bastante para escolher de cara a T₁ρ a solução do problema teria sido simplesmente o cosseno hiperbólico y T₁ρ coshρxT₁ Suponha que um foguete seja lançado verticalmente para cima a partir do solo conforme mostra a Figura 535 Se o sentido positivo for para cima e a resistência do ar for desprezada a equação diferencial do movimento depois de queimado o combustível será md²ydt² kMmy² ou d²ydt² kMy² onde k é uma constante de proporcionalidade e é a distância do centro da Terra ao foguete M é a massa da Terra e m é a massa do foguete Para determinar a constante k usamos a constatação de que quando y R kMmR² mg ou k gR²M Assim a última equação em 12 tornase d²ydt² gRy² Veja o Problema 14 nos Exercícios 53 Uma corrente uniforme com 10 pés está descuidadamente enrolada no chão Uma extremidade da corrente é puxada verticalmente para cima por uma força constante de 5 lb A corrente pesa 1 lbpé Determine a altura xt da extremidade acima do solo no instante t Vamos supor que x xt seja a altura da extremidade da corrente no ar no instante t v dxdt e o sentido positivo seja para cima Para a parte da corrente no ar no instante t temos as seguintes quantidades variáveis peso W x pés1 lbpé x massa m Wg x32 força resultante F 5 W 5 x Assim de 14 temos ddtx32v 5 x ou xdvdt vdxdt 160 32x Como v dxdt a última equação tornase xd²xdt² dxdt² 32x 160 A equação diferencial não linear de segunda ordem 16 tem a forma Fx x x 0 que é a segunda dentre as duas formas consideradas na Seção 410 que possivelmente pode ser resolvida por redução de ordem Para resolver 16 voltamos a 15 e usamos v x com a Regra da Cadeia Como dvdt v dvdx a segunda equação em 15 pode ser reescrita da seguinte forma xv dvdx v² 160 32x À primeira vista 17 talvez pareça tão intratável quanto 16 pois não pode ser caracterizada como uma daquelas equações de primeira ordem que foram resolvidas no Capítulo 2 Porém reescrevendo 17 na forma diferencial Mx vdx Nx vdv 0 observamos que embora a equação v² 32x 160dx xvdv 0 não seja exata ela pode ser transformada em uma equação exata por meio de um fator integrante De Mv N₃N 1x e de 13 da Seção 24 vemos que um fator integrante eᵉdxx eˡⁿˣ x Quando 18 for multiplicada por μx x a equação resultante será exata verifique Identificando fx xv² 32x² 160x fv x²v e procedendo como na Seção 24 obtemos 12 x²v² 323 x³ 80x² c₁ Como supusemos inicialmente que a corrente toda estava inicialmente no chão temos que x0 0 Aplicando esta última condição à 19 obtemos que c₁ 0 Resolvendo a equação algébrica 12 x²v² 323 x³ 80x² 0 para v dxdt 0 obtemos uma outra equação diferencial de primeira ordem para dxdt 160 643 x A última equação pode ser resolvida por separação de variáveis Você deve verificar que 332160 643 x12 t c₂ Desta vez a condição inicial x0 0 implica c₂ 3108 Finalmente elevando ao quadrado ambos os lados de 20 e resolvendo obtemos o resultado desejado xt 152 1521 41015 t² O gráfico de 21 apresentado na Figura 537 não deve por motivos físicos ser tomado pelo valor de face Veja o Problema 15 nos Exercícios 53