Equações Diferenciais Ordinárias de Bernoulli: Método de Resolução

1 EDO de Bernoulli Dizemos que uma EDO de primeira ordem é uma equação de Bernoulli se puder ser escrita na forma y pxy qxyn onde n R Se n 0 ou n 1 já vimos como resolver essa equação De fato para n 0 a EDO é y pxy qx que é linear e se n 1 podemos escrever a equação como y qx pxy ou seja tratase de uma EDO separável Nosso objetivo será resolver o caso geral em que n 0 e n 1 Vamos começar dividindo a equação inteira por yn Note que isso faz com que y 0 seja uma candidata a solução de equilíbrio e devemos verificar se de fato isso ocorre A equação fica na forma Se trocarmos a variável para v y1n então v 1 nyny de modo que v 1 npxv 1 nqx ou seja na EDO linear y pxy qx Assim basta resolver essa EDO usando o método do fator integrante e retornar às variáveis originais para determinar a solução da equação Exemplo 11 Resolve a EDO y y exy2 Solução Dividindo a equação por y2 ficamos com y2y y1 ex Temos que fazer a substituição v y1 logo v y2y de modo que v v ex v v ex uma EDO linear cujo fator integrante é μx e1dx ex Multiplicando a equação inteira por μx obtemos exv exv 1 exv 1 Integrando ambos os lados desta última igualdade vemos que exv x C v x Cex Como v y1 temos 1y x Cex yx exx C que é a solução geral da EDO Além disso como dividimos por y2 no começo da resolução y 0 é uma solução de equilíbrio que não está contida na solução geral Exemplo 12 Resolve a equação x²y 2xy y³ 0 Por integração obtemos Agora temos que multiplicar a EDO por µx o que resulta hein Agora integramos os dois lados o que nos fornece Agora multiplique toda a equação por μ o que nos dá 2 Outras substituições Exemplo 22 Resolve a equação ey y xx ey 1 Solução Se v x ey então v 1 ey y lembrese que temos que derivar implicitamente com respeito a x Assim obtemos a nova EDO v 1 xv 1 v xv que é separável Daí dvv xdx ln v x²2 C v ex²2C ex²2eC K ex²2 x ey K ex²2 ey K ex²2 x yx lnK ex²2 x é a solução geral Além disso a divisão por v na EDO separável indica que v 0 é solução de equilíbrio mas então uma solução é dada implicitamente por x ey 0 Isolando y temos yx lnx que faz parte da solução geral acima no caso K 0 Exemplo 23 Resolve o PVI y sec2x² y 1 4x y0 π4 1 Solução Seja v 2x² y 1 Assim v 4x y logo v 4x sec v 4x v sec v 1cos v que é uma EDO separável Com isso cos v dv dx sen v x C é a solução geral implícita da equação Para o PVI faça x 0 e y π4 1 de modo que sen0 π4 1 1 0 C C senπ4 22 A solução do PVI é sen2x² y 1 x 22