Combinação Linear de Distribuições Normais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS Instituto de Computação Combinação Linear de Distribuições Normais TURMA CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO ENG DA COMPUTAÇÃO PROFESSOR PETRUCIO A MEDEIROS BARROS Combinação Linear de Distribuições Normais Teorema da combinação linear de distribuições normais Combinação Linear de Distribuições Normais Teorema da combinação linear de distribuições normais Cálculos dos parâmetros Considere as Variáveis Aleatórias X N δ Y N δ W a X b Y c onde a b e c são constantes E W a b c Var W a δ b δ Combinação Linear de Distribuições Normais Exemplo 1 Em uma empresa a montagem de certa peça é feita em duas etapas Os tempos para essas etapas são independentes e tem as seguintes distribuições X1 N 75 seg 1681 seg² X2 N 129 seg 10609 seg² Qual a probabilidade de se montar a peça em menos de 200 segundos T X1 X2 Calcular EX e VARX EX EX1 X2 75 129 204 VARX VARX1 X2 1681 10609 12290 T N 204 seg 12290 seg² μ 204 e σ 12290 1108 PT 200 Pz 2002041108 Pz 036 03594 3594 Combinação Linear de Distribuições Normais Exemplo 2 Uma máquina automática enche latas baseada em pesos brutos O peso bruto tem distribuição normal com μ 1000 g e σ 20 g As latas têm peso bruto distribuídos normalmente com μ 90 g e σ 10 g Qual a probabilidade de que uma lata tenha de peso líquido a Menos de 850 g b Mais de 870 g c Entre 860 e 920 g Seja X1 peso bruto X2 peso da lata X peso líquido Logo X X1 X2 Calcular EX e VARX EX EX1 X2 1000 90 910 VARX VARX1 X2 400 100 500 X N910 500 μ 910 e σ 2236 Combinação Linear de Distribuições Normais Exemplo 2 Uma máquina automática enche latas baseada em pesos brutos O peso bruto tem distribuição normal com μ 1000 g e σ 20 g As latas têm peso distribuídos normalmente com μ 90 g e σ 10 g Qual a probabilidade de que uma lata tenha de peso líquido a Menos de 850 g PX 850 Z 850 910 2236 268 PZ 268 00037 Exemplo 2 Uma máquina automática enche latas baseada em pesos brutos O peso bruto tem distribuição normal com μ 1000 g e σ 20 g Aa latas tem peso bruto distribuídos normalmente com μ 90 g e σ 10 g Qual a probabilidade de que uma lata tenha de peso líquido b Mais de 870 g P X 870 Z 8709102236 179 P Z 870 10 00367 09633 tabela completa Exemplo 2 Uma máquina automática enche latas baseada em pesos brutos O peso bruto tem distribuição normal com μ 1000 g e σ 20 g Aa latas tem peso bruto distribuídos normalmente com μ 90 g e σ 10 g Qual a probabilidade de que uma lata tenha de peso líquido c Entre 860 e 920 g P 860 X 920 Z1 8609102236 224 Z2 9209102236 045 P 860 X 920 06737 00125 06612 tabela completa Exemplo 3 Resistência do elevador Um elevador foi projetado com resistência ao peso dado por uma VA de média 300 kg e desvio padrão 10 kg Se a carga do elevador superar a resistência um freio é acionado e o elevador para Numa viagem 4 pessoas com média 70 Kg e desvio 13 Kg μy 70 Kg e δy 13 kg Qual a probabilidade de ser acionado o freio de emergência μw μy μy μy μy 70 70 70 70 280 δ2y δ2 Y Y Y Y δ2Y δ2Y δ2Y δ2Y 4 132 676 Kg2 σ W δ2Y 676 26 Kg T W X Exemplo 3 Resistência do elevador Qual a probabilidade de ser acionado o Freio de Emergência μX 300 σX 10 T W X PT 0 acionar freio de emergência μT μW X μW μX 280 300 20 kg σ²T σ²W X σ²W σ²X 676 100 776 Kg² σT σ²T 776 2786 Kg Z 0202786 072 PT 072 1 07642 02354 Exemplo 3 Resistência do elevador Qual a probabilidade de ser acionado o Freio de Emergência μX 300 σX 10 T X W PT 0 acionar freio de emergência μT μW X μW μX 300 280 20 kg σ²T σ²W X σ²W σ²X 676 100 776 Kg² σT σ²T 776 2786 Kg Z 0202786 072 PT 072 02354 Exemplo 4 Um criador possui 5000 cabeças de vaca leiteira Sabendose que cada vaca produz em média 3 litros de leite por dia obedecendo a uma distribuição normal com variância de 025 litros calcular a probabilidade de produzir diariamente a Mais de 15110 litros Px 15110 E x 5000 3 15000 Var x 5000 025 1250 Desvio padrão 1250 3536 Z x150003536 15110 150003536 113536 311 Px 15110 Px 311 1 P0 x 311 1 09991 00009 b Entre 14910 e 14960 litros Z 14910150003536 903536 255 Z 14960150003536 403536 113 P14910 x 14960 P255 z 113 P113 P255 01292 00054 01238 1238 Aproximação para Distribuição Normal Em algumas situações em que os cálculos de algumas distribuições ficam complexos ou trabalhosos estes podem ser aproximados por outras distribuições principalmente pela distribuições normal que tem seus cálculos simplificados em função da normal reduzida Exemplos Aproximação da Binomial para Normal Aproximação da Normal para Poisson Quando usase um computador e um software estatístico estas aproximações perdem importância visto que fica fácil calcular as probabilidades exatas com o auxílio do computador Aproximação para Distribuição Normal Exemplo 5 Estudo do Sindicato de Bancários indica que cerca de 30 dos funcionários de banco têm problemas de estresse provenientes das condições de trabalho Numa amostra de 200 bancários qual seria a probabilidade de pelo menos 50 com essa doença X Números de bancários com problema X B 200 03 Resultado com muitos cálculos 151 termos para somar Para p fixado a medida que n cresce os histogramas vão se tornando mais simétricos e com a forma da curva Normal Aproximação para Distribuição Normal Aproximação para Distribuição Normal Exemplo 5 Estudo do Sindicato de Bancários indica que cerca de 30 dos funcionários de banco têm problemas de estresse provenientes das condições de trabalho Numa amostra de 200 bancários qual seria a probabilidade de pelo menos 50 com essa doença X B 200 03 EX n p 200 03 60 Var X n p q 200 03 07 42 Y N 60 42 Aproximação para Distribuição Normal Exemplo 6 Considere que o número de partículas em uma superfície segue uma distribuição Poisson Suponha que esperamos observar 1000 partículas por m2 Analisamos um metro quadrado da superfície Qual a probabilidade de observarmos 950 ou menos partículas Aproximação para Distribuição Normal Exemplo 6 Distribuição Normal Padrão Acumulada Obrigado até a próxima aula