Inferência Estatística e Intervalo de Confiança

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS Instituto de Computação PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PARTE III INFERÊNCIA ESTATÍSTICA INTERVALO DE CONFIANÇA PROFESSOR PETRUCIO A MEDEIROS BARROS TURMA CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO ENG DA COMPUTAÇÃO 1 Inferência estatística Processo de extrair informações sobre uma população a partir de resultados observados em uma amostra As conclusões são sempre acompanhadas de um grau de incerteza ou risco 25052022 2 Inferência estatística Estimativa de parâmetros populacionais 25052022 3 Inferência estatística Distribuição Amostral são todas as amostras de tamanho n que podem ser extraídas de uma população Para cada uma das possíveis amostras calculase o valor do estimador Estimativa pontual Uma única estimativa um valor para um determinado parâmetro populacional Estimativa intervalar Uma estimativa de um intervalo de valores possíveis no qual se admite que esteja o parâmetro populacional 25052022 4 Inferência estatística Inferência estatística Distribuição Amostral são todas as amostras de tamanho n que podem ser extraídas de uma população Exemplo Seja uma população de 4 elementos N 1 3 5 7 Listar todas as amostras possíveis desta população de n 2 elementos e calcular a média de cada amostra O Teorema Central do Limite TCL afirma que a soma S de N variáveis aleatórias independentes X com qualquer distribuição e variâncias semelhantes é uma variável com distribuição que se aproxima da distribuição normal quando N aumenta O teorema central do limite mostra que a média das médias da amostra e os desvios padrão equivalem à média e desvio padrão da população o que é surpreendentemente valioso na previsão dos atributos da população 25052022 6 Inferência estatística Distribuição Amostral Teorema 1 A média das médias amostrais é igual a média populacional Teorema 2 Quando a população é normal ou a amostra é muito grande 25052022 7 Inferência estatística Estimativa Pontual A inferência estatística é quase sempre direcionada à obtenção de algum tipo de conclusão sobre um ou mais parâmetros características da população O processo requer que o pesquisador obtenha dados de amostras de cada população em estudo As conclusões baseiam se então nos valores calculados das várias quantidades da amostra Considere a amostra de observações no módulo de elasticidade GPa de espécimes da liga AZ91D de um processo de fundição X 442 439 447 442 440 438 446 431 Obter uma estimativa para média variância e desvio padrão da amostra 25052022 8 Na estimação pontual obtémse apenas um valor e poucas informações sobre a amostra e consequentemente sobre a população Já a estimação por intervalo define um intervalo de valores no qual se presume que esteja o parâmetro de interesse com certo grau de confiança Intervalo de Confiança Intervalo de Confiança da Média O intervalo de confiança baseiase na hipótese de que a distribuição das médias amostrais é normal Intervalo de confiança é usado para avaliar a estimativa do parâmetro populacional A linha preta horizontal representa o valor fixo da média desconhecida da população Os intervalos de confiança azuis verticais sobrepostos à linha horizontal contêm o valor da média da população O intervalo de confiança vermelho totalmente abaixo da linha horizontal não contém esse valor Um intervalo de confiança de 95 indica que 19 em 20 amostras 95 da mesma população produzem intervalos de confiança contendo o parâmetro da população 25052022 9 Intervalo de Confiança Intervalo de Confiança Intervalo de Confiança da Média A equação do intervalo de confiança para média 25052022 11 Para o nível de confiança de 95 consultar tabela z 095 α2 196 Intervalo de Confiança Intervalo de Confiança Média Variância Conhecida Variância Desconhecida Proporção Variância 25052022 12 Intervalo de Confiança Variância Conhecida Intervalo de Confiança da Média Erro padrão da estimativa da média 25052022 13 Intervalo de Confiança Variância Conhecida Distribuição Normal Padrão Acumulada Φz PZ z 12π eu²2 du Intervalo de Confiança Variância Conhecida Exemplo 01 Uma máquina produz rolamentos que apresentam desvio padrão de 0042 polegadas em seu diâmetro Desejandose conhecer o diâmetro médio dos rolamentos produzidos por esta máquina extraiuse uma amostra de 100 rolamentos observandose uma média igual a 0824 polegadas Obter o intervalo com 090 de confiança para o verdadeiro diâmetro médio dos rolamentos 1 α 90 α 10 α 2 5 005 Usando o Software R 25052022 16 Intervalo de Confiança Variância Conhecida Exemplo 02 Uma linha de montagem de veículos do século passado tinha variância igual a 16 dias Uma amostra de 64 veículos produzidos foi selecionado aleatoriamente e obtevese um tempo médio de produção de 5 dias Construir um intervalo com nível confiança de 95 Intervalo de Confiança Variância Conhecida Exemplo 02 Uma linha de montagem de veículos do século passado tinha variância igual a 16 dias Um amostra de 64 veículos produzidos foi selecionado aleatoriamente e obtevese um tempo médio de produção de 5 dias Construir um intervalo com nível confiança de 95 1 α 95 α 5 α 2 25 0025 Usando o Software R 25052022 18 Intervalo de Confiança Variância Conhecida Exemplo 03 A indústria Brasileira historicamente produz multimétros com desvio padrão igual a 30 μV Um lote de 18 multimétros para verificação de qualidade resultou em medição de 47 μV a Construir um intervalo com nível confiança de 98 Intervalo de Confiança Variância Conhecida Exemplo 03 A indústria Brasiliera historicamente produz multímetros com desvio padrão 30 µV Um lote de 18 multímetros para verificação de qualidade resultou em medição de 47 µV b Construir um intervalo com nível confiança de 90 1 α 90 α 10 α 2 5 005 Z α 2 090 005 095 164 obtido na tabela z e0 Zα2 σ n 164 3 18 116 P x e0 µ x e0 1 α P 47 116 µ 47 116 90 P 354 µ 586 90 Em 90 das vezes em que forem selecionadas amostras de 18 multímetros produzidos o tempo médio de produção se situará entre 354 e 586 dias Distribuição Normal Padrão Acumulada Φz PZ z 1 2π eu22 du Intervalo de Confiança Variância Conhecida Exemplo 03 A indústria Brasileira historicamente produz multímetros com desvio padrão 30 Um lote de 18 multímetros para verificação de qualidade resultou em medição de 47 Intervalo com nível confiança de 90 Intervalo com nível confiança de 98 25052022 22 Usando o Software R Intervalo de Confiança Variância Conhecida Exemplo 04 Para estimar a renda semanal média de garçons de restaurantes em uma grande cidade é colhida uma amostra da renda semanal de 75 garçons A média e o desvio padrão amostrais encontrados são R 22700 e R 1500 respectivamente Determine um intervalo de confiança com coeficiente de confiança de 90 para a renda média semanal 1 α 90 α 10 α 2 5 005 Zα 2 090 005 164 tabela z IC µ z S n IC 227 164 15 75 227 2849 IC 224151 229849 Intervalo de Confiança Variância Conhecida Exemplo 04 Para estimar a renda semanal média de garçons de restaurantes em uma grande cidade é colhida uma amostra da renda semanal de 75 garçons A média e o desvio padrão amostrais encontrados são R 22700 e R 1500 respectivamente Determine um intervalo de confiança com coeficiente de confiança de 90 para a renda média semanal 25052022 24 Intervalo de Confiança Variância Desconhecida Intervalo de Confiança da Média Quando a variância é desconhecida estimar com base na amostra S Utilizar a Distribuição t de Student Para n 30 podese utilizar a Distribuição Normal 25052022 25 Intervalo de Confiança Variância Desconhecida Intervalo de Confiança da Média Distribuição t de Student Quando n cresce a distribuição t de Student se aproxima da distribuição normal e assim deixase de usar a tabela t de Student e passase a usar a tabela de distribuição normal 25052022 26 Grau de Liberdade o número de determinações independentes menos o número de parâmetros estatísticos a serem avaliados na população Intervalo de Confiança Variância Desconhecida Exemplo 05 Em um processo para obtenção de compostos químicos de tintas obtevese os seguintes tempos 90 92 92 95 98 99 100 100 100 e 117 segundos a Construir um intervalo com nível confiança de 95 Calculo da média amostral 983 Calculo da variância amostral 5757 Calculo do desvio padrão 759 Graus de liberdade 10 1 9 α 5 Na tabela de t de Student com 𝟎𝟎𝟓 𝟗 22622 𝑺 𝒏 983 22622 𝟕𝟓𝟗 𝟏𝟎 543 IC 9287 seg 10373 seg Em 95 das vezes em que forem selecionadas amostras de 10 processos o tempo médio obtido se situará entre 9287 e 10373 segundos P 9287 1 95 Grau de Liberdade o número de determinações independentes dimensão da amostra menos o número de parâmetros estatísticos a serem avaliados na população 25052022 27 Distribuição t de Student 25052022 28 Intervalo de Confiança Variância Desconhecida Exemplo 05 Em um processo para obtenção de compostos químicos de tintas obtevese os seguintes tempos 90 92 92 95 98 99 100 100 100 e 117 segundos a Construir um intervalo com nível confiança de 95 25052022 29 Intervalo de Confiança Variância Desconhecida Exemplo 05 Em um processo para obtenção de compostos químicos de tintas obtevese os seguintes tempos 90 92 92 95 98 99 100 100 100 e 117 segundos a Construir um intervalo com nível confiança de 95 25052022 30 Exemplo 05 Em um processo para obtenção de compostos químicos de tintas obtevese os seguintes tempos 90 92 92 95 98 99 100 100 100 e 117 segundos b Calcular o número de elementos para estimar a média com 95 de confiança e erro amostral de 04 seg Calculo da média amostral 983 Calculo da variância amostral 5757 Calculo do desvio padrão 759 Graus de liberdade 10 1 9 α 5 Na tabela de t de Student com t0059 22622 e0 t sn 04 22622 759n n 1842 Para 95 de nível de confiança e erro amostral 04 segundos se faz necessário uma amostra de 1842 elementos Exemplo 06 Foram realizados testes glicêmicos em 25 pacientes após um jejum de 8 horas Os resultados são apresentados na tabela abaixo Encontrar um intervalo de confiança de nível de 95 para a média μ Cálculo da média e o desvio amostral IC μ t Sxn IC 9764 20639 178225 9764 734 IC 9028 10500 Em 95 das vezes em que forem selecionadas amostras de 25 pacientes o resultado glicêmico se situará entre 9028 e 105 mgdL Intervalo de Confiança Variância Desconhecida Exemplo 06 Foram realizados testes glicêmicos em 25 pacientes após um jejum de 8 horas Os resultados são apresentados na tabela abaixo Encontrar um intervalo de confiança de nível de 95 para a média µ 25052022 33 𝒆𝟎 𝒕 𝑺 𝒏 Distribuição t de Student 25052022 34 Exemplo 07 Como parte de um projeto maior para estudar o comportamento de painéis de revestimento tensionado componente estrutural que está sendo usado extensivamente nos Estados Unidos o artigo TimeDependent Bending Properties of Lumber relatou diversas propriedades mecânicas de espécies de madeira serrada de pinho da Escócia Considere as seguintes observações sobre o módulo de elasticidade MPa obtido 1 minuto depois da aplicação de carga de 1049 1662 1730 1548 1297 1726 1340 1390 1363 1326 1437 1170 1547 1784 1407 1476 Obter a média e a variância para variável resposta e um intervalo de 99 de confiança para média Grau de Liberdade 16 1 15 valor da tabela t de Student t00115 29467 IC μ t Sxn IC 145325 29467 42316 145325 15111 130174 160476 Intervalo de Confiança Variância Desconhecida Exemplo 07 Como parte de um projeto maior para estudar o comportamento de painéis de revestimento tencionado componente estrutural que está sendo usado extensivamente nos Estados Unidos o artigo TimeDependent Bending Properties of Lumber relatou diversas propriedades mecânicas de espécimes de madeira serrada de pinho da Escócia Considere as seguintes observações sobre o módulo de elasticidade MPa obtido 1 minuto depois da aplicação de carga de 1049 1662 1730 1548 1297 1726 1340 1390 1363 1326 1437 1170 1547 1784 1407 1476 Obter um intervalo de 99 de confiança para média 25052022 36 Intervalo de Confiança para Proporção Amostral Seja p a proporção de sucessos de uma população em que sucesso é ter uma propriedade específica Uma amostra aleatória será selecionada e X é o número de sucesso na amostra Se n tamanho da amostra é suficientemente grande pelo teorema central do limite a distribuição amostral das proporções segue uma distribuição normal padrão Z p p p1p n N 0 1 sendo p Xn fração de sucesso da amostra e σp p1p n o erropadrão da estimativa das proporções Média μ p p Variância p1p n Desvio Padrão p1p n Requisitos n p 5 e n 1 p 5 Intervalo de Confiança para Proporção Amostral Exemplo 08 Suponha que em n 400 provas obtemos k 80 sucessos Obter um intervalo de confiança com 90 nível de confiança p 80400 02 1 α 90 α 10 α 2 5 005 090 005 095 Na tabela z Zα 2 164 e0 Zα 2 p1p n 164 02102 400 00328 p02 00328 π 02 00328 90 Em 90 das vezes em que forem selecionadas amostras de 400 a proporção de sucessos se situará entre 01672 e 02328 Intervalo de Confiança para Proporção Amostral Exemplo 08 Suponha que em n 400 provas obtemos k 80 sucessos Obter um intervalo de confiança com 90 de nível de confiança e0 Zα 2 p1p n 164 02102 400 00328 p02 00328 π 02 00328 90 p01672 π 02328 90 Em 90 das vezes em que forem selecionadas amostras de 400 a proporção de sucessos se situará entre 0167 e 0237 Intervalo de Confiança para Proporção Amostral Exemplo 09 Considera testes de vazamentos identificados em dois municípios A e B No município A foram examinados 500 edifícios e em 100 apresentaram falhas No B foram examinados 1000 edifícios e em 300 apresentaram falhas a Construir um intervalo com nível confiança de 95 para o município A P A 100500 02 P B 3001000 03 1 α 95 α 5 α2 25 0025 095 0025 09750 Na tabela z Zα2 196 e0 Zα2p1pn 19602102500 0035 p 02 0035 π 02 0035 95 Em 95 das vezes em que forem selecionadas amostras de 500 edifícios a proporção de falhas se situará entre 0165 e 0235 Intervalo de Confiança para Proporção Amostral Exemplo 09 Considera testes de vazamentos identificados em dois municípios A e B No município A foram examinados 500 edifícios e em 100 apresentaram falhas No B foram examinados 1000 edifícios e em 300 apresentaram falhas b Construir um intervalo com nível confiança de 95 para o município B P A 100500 02 P B 3001000 03 1 α 95 α 5 α2 25 0025 095 0025 09750 Na tabela z Zα2 196 e0 Zα2p1pn 196031031000 0028 p 03 0028 π 03 0028 95 Em 95 das vezes em que forem selecionadas amostras de 1000 edifícios a proporção de falhas se situará entre 0272 e 0328 Intervalo de Confiança para Proporção Amostral Exemplo 09 Considere testes de vazamentos identificados em dois municípios A e B No município A foram examinados 500 edifícios e em 100 apresentaram falhas No B foram examinados 1000 edifícios e em 300 apresentaram falhas Construir um intervalo com nível confiança de 95 para o município B Município A Município B 25052022 42 Intervalo de Confiança para Proporção Amostral Exemplo 09 Considere testes de vazamentos identificados em dois municípios A e B No município A foram examinados 500 edifícios e em 100 apresentaram falhas No B foram examinados 1000 edifícios e em 300 apresentaram falhas Construir um intervalo com nível confiança de 95 para o município B Município A Município B 25052022 43 Utilizando o Software R Intervalo de Confiança para Proporção Amostral Exemplo 10 Um partido deseja estimar a proporção de eleitores favoráveis a um determinado candidato Uma mostra piloto de 2500 eleitores revelou 60 dos eleitores são favoráveis a este candidato a Elaborar um intervalo de confiança de 95 para intenção de voto nesse candidato p 06 1 α 95 α 5 α2 25 0025 095 0025 09750 Na tabela z Zα2 196 e0 Zα2p1pn 196061062500 002 p 06 002 π 06 002 95 Em 95 das vezes em que forem selecionadas amostras de 2500 eleitores a proporção de falhas se situará entre 058 e 062 Intervalo de Confiança para Proporção Amostral Exemplo 10 Um partido deseja estimar a proporção de eleitores favoráveis a um determinado candidato Uma mostra piloto de 2500 eleitores revelou 60 dos eleitores são favoráveis a este candidato a Elaborar um intervalo de confiança de 95 para intenção de voto nesse candidato 25052022 45 Exemplo 10 Um partido deseja estimar a proporção de eleitores favoráveis a um determinado candidato Uma mostra piloto de 2500 eleitores revelou 60 dos eleitores favoráveis a este candidato b Estimar o tamanho da amostra pinicial 05 Nível de confiança de 95 Na tabela z Zα2 196 Margem de erro de 2 para mais e para menos e0 Zα2 sqrtfracp1pn 002 196 cdot sqrtfrac05 105n herefore n 2401 Margem de erro de 1 para mais e para menos e0 Zα2 sqrtfracp1pn 001 196 cdot sqrtfrac05 105n herefore n 9604 Exemplo 11 Um empreendedor deseja lançar um novo produto e contrata uma empresa para realizar uma pesquisa de mercado com 500 clientes Entre os 500 clientes 157 manifestam interesse em comprar o produto Elaborar um intervalo de confiança de 92 para a probabilidade de uma pessoa comprar o produto p 157500 0314 1 α 92 α 8 α2 4 004 092 004 0960 Na tabela z Zα2 175 e0 Zα2 sqrtfracp1pn herefore e0 175 cdot sqrtfrac0314 10314500 00036 Px e0 μ x e0 1 α P0314 0036 μ 0314 00036 92 P0278 μ 0350 92 Em 92 das vezes em que forem selecionadas amostras de 500 pessoas interessadas em adquirir o produto se situará entre 0278 e 0350 Intervalo de Confiança para Proporção Amostral Exemplo 11 Um empreendedor deseja lançar um novo produto e contrata uma empresa para realizar uma pesquisa de mercado com 500 clientes Entre os 500 clientes 157 manifestam interesse em comprar o produto Elaborar um intervalo de confiança de 92 para a probabilidade de uma pessoas comprar o produto 25052022 48 Utilizando o Software R Exemplo 12 Um assistente social deseja saber o tamanho da amostra n necessário para determinar a proporção da população atendida por uma Unidade de Saúde que pertence ao município de Cariacica Não foi feito um levantamento prévio da proporção amostral e portanto seu valor é desconhecido Ela quer ter 90 de confiança que o erro máximo de estimativa E seja de 5 ou 005 Quantas pessoas necessitam ser entrevistadas p 05 Nível de confiança de 90 Na tabela z Zα2 164 e0 Zα2 sqrtfracp1pn herefore 005 164 cdot sqrtfrac05 cdot 05n n 164² cdot 05 cdot 05 005² 2706 271 pessoas Intervalo de Confiança para a Variância Consideremos uma amostra aleatória X₁ X₂ Xn de tamanho n de uma população com distribuição Normal com média μ e variância σ² Um estimator para σ² é a variância amostral s² Q n 1s²σ² χ²n1 Com Q obtidos da tabela de distribuição χ² Quiquadrada IC para a Variância IC σ² 1 α n 1s²Q1 α2 n 1s²Qα2 IC para o Desvio Padrão IC σ 1 α n 1s²Q1 α2 n 1s²Qα2 25052022 Intervalo de Confiança para Variância Exemplo 13 Foi observado pacientes de uma determinada clínica para tratamento de sobrepeso A variável aleatória peso do paciente supõe ter distribuição Normal Pretendese estudar a variabilidade do peso dos referidos pacientes Para isso uma amostra cujos valores em Kg são 98 97 102 100 98 101 102 105 95 102 100 Gerar o IC para a Variância com nível de confiança de 95 1 α 95 α2 25 S² 8 calculado Na tabela χ² Quiquadrada Q1 α2 3247 Qα2 20483 IC σ² 095 10 8 20483 10 8 3247 IC σ² 095 39057 246381 25052022 Distribuição Qui quadrado 25052022 52 Intervalo de Confiança para Variância Exemplo 13 Se uma amostra de tamanho 20 a média e o desvio padrão são X125 e S 025 Construir um intervalo de confiança para de 99 para σ² 1 α 99 α2 05 0005 O Intervalo de Confiança é n 1s²χ²n1α2 n 1s²χ²n11α2 Probabilidade do IC conter o valor da variância populacional 1 α 99 α 1 S desvio padrão amostral 025 s² 00625 χ²n1α2 χ²2005 38582 χ²n11α2 χ²19995 6844 IC 190062538582 19006256844 003 017 25052022 Intervalo de Confiança para Variância Exemplo 13 Se uma amostra de tamanho 20 a média e o desvio padrão são X 125 e s 025 Construir um intervalo de confiança para de 99 para σ² 1 α 99 α2 05 0005 n20 s2 025 2 alfa 1100 Q1 qchisq1 alfa2 n1 Q1 1 3858226 Q2 qchisqalfa2 n1 Q2 1 6843971 cat n1s2Q1 n1s2Q2 00307784 01735104 Distribuição t de Student 25052022 55 Distribuição Normal Padrão Acumulada Φz PZ z z 12π et²2 dt z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 32 00007 00006 00006 00006 00006 00006 00006 00006 00006 31 00008 00009 00008 00007 00007 00007 00007 00007 00007 30 00013 00013 00012 00011 00010 00010 00010 00010 00010 29 00019 00019 00018 00017 00016 00015 00015 00015 00015 28 00026 00025 00024 00022 00021 00021 00020 00020 00020 27 00030 00029 00028 00027 00026 00025 00025 00025 00025 26 00040 00038 00037 00036 00035 00035 00034 00034 00034 25 00062 00061 00060 00058 00057 00056 00055 00055 00054 24 00082 00080 00079 00077 00076 00075 00074 00073 00072 23 00107 00105 00103 00101 00099 00098 00097 00096 00095 22 00139 00137 00135 00133 00131 00129 00128 00127 00126 21 00179 00176 00174 00172 00170 00168 00167 00165 00164 20 00228 00225 00223 00221 00218 00216 00214 00212 00210 19 00287 00284 00281 00278 00275 00273 00270 00268 00265 18 00359 00357 00354 00351 00348 00345 00342 00339 00337 17 00482 00479 00475 00471 00468 00465 00462 00459 00457 16 00618 00615 00611 00608 00605 00602 00599 00596 00593 15 00781 00778 00774 00771 00767 00764 00761 00758 00755 14 00971 00968 00964 00960 00957 00954 00951 00947 00944 13 01180 01177 01173 01170 01166 01163 01159 01156 01152 12 01417 01414 01410 01407 01403 01400 01396 01393 01389 11 01685 01682 01678 01675 01671 01668 01664 01661 01657 10 01977 01974 01970 01966 01963 01959 01955 01952 01948 09 02290 02287 02283 02279 02275 02271 02267 02263 02259 08 02629 02626 02622 02618 02615 02611 02607 02604 02600 07 02985 02981 02978 02974 02970 02967 02963 02959 02956 06 03359 03355 03351 03348 03344 03340 03336 03332 03328 05 03745 03741 03737 03734 03730 03726 03722 03718 03714 04 04148 04145 04142 04139 04136 04132 04129 04126 04122 03 04562 04560 04557 04554 04551 04548 04545 04542 04539 02 04880 04878 04875 04872 04869 04866 04863 04860 04858 01 05199 05196 05194 05191 05188 05185 05182 05179 05176 00 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 01 05199 05196 05194 05191 05188 05185 05182 05179 05176 02 05398 05397 05396 05395 05394 05393 05392 05391 05390 03 05793 05792 05791 05790 05789 05788 05787 05786 05785 04 06159 06158 06157 06156 06155 06154 06153 06152 06151 05 06587 06586 06585 06584 06583 06582 06581 06580 06579 06 06900 06899 06898 06897 06896 06895 06894 06893 06892 07 07611 07610 07609 07608 07607 07606 07605 07604 07603 08 07881 07880 07879 07878 07877 07876 07875 07874 07873 09 08159 08158 08157 08156 08155 08154 08153 08152 08151 10 08413 08412 08411 08410 08409 08408 08407 08406 08405 11 08643 08642 08641 08640 08639 08638 08637 08636 08635 12 08869 08868 08867 08866 08865 08864 08863 08862 08861 13 09082 09081 09080 09079 09078 09077 09076 09075 09074 14 09207 09206 09205 09204 09203 09202 09201 09200 09199 15 09332 09331 09330 09329 09328 09327 09326 09325 09324 16 09452 09451 09450 09449 09448 09447 09446 09445 09444 17 09554 09553 09552 09551 09550 09549 09548 09547 09546 18 09641 09640 09639 09638 09637 09636 09635 09634 09633 19 09713 09712 09711 09710 09709 09708 09707 09706 09705 20 09772 09771 09770 09769 09768 09767 09766 09765 09764 21 09830 09829 09828 09827 09826 09825 09824 09823 09822 22 09878 09877 09876 09875 09874 09873 09872 09871 09870 23 09907 09906 09905 09904 09903 09902 09901 09900 09899 24 09932 09931 09930 09929 09928 09927 09926 09925 09924 25 09949 09948 09947 09946 09945 09944 09943 09942 09941 26 09963 09962 09961 09960 09959 09958 09957 09956 09955 27 09974 09973 09972 09971 09970 09969 09968 09967 09966 28 09981 09980 09979 09978 09977 09976 09975 09974 09973 29 09987 09986 09985 09984 09983 09982 09981 09980 09979 30 09989 09988 09987 09986 09985 09984 09983 09982 09981 31 09990 09989 09988 09987 09986 09985 09984 09983 09982 32 09993 09992 09991 09990 09989 09988 09987 09986 09985 33 09996 09995 09994 09993 09992 09991 09990 09989 09988 Distribuição Qui quadrado 25052022 57 Dúvidas Próxima aula Testes de Hipóteses 25052022 58