Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição Normal

11 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS Instituto de Computação Variáveis aleatórias contínuas Distribuição Normal TURMA CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO PROFESSOR PETRUCIO A MEDEIROS BARROS 22 Variáveis aleatórias contínuas Considere uma prova do ENEM e vamos fazer um levantamento do tempo de prova dos participantes Esses tempos irão constituir uma VA aleatória X 30 minutos e 4 horas Durante a prova entre os valores mínimo e máximo tivemos inúmeros outros valores podendo assumir qualquer valor no intervalo E assim caracteriza uma Variável Aleatória Contínua E se quiséssemos saber a probabilidade de um aluno sair com 1 hora e 22 minutos ou seja PX 12200 Esse horário é incerto pois depende da precisão utilizada Sempre que estivermos trabalhando com VA contínuas para cálculo de probabilidades vamos trabalhar com intervalos e não valores fixos P X 12000 X 12500 33 Variáveis aleatórias contínuas Para uma VA contínua X a função fx denominada de função de densidade de probabilidade é definida Com as seguintes propriedades A probabilidade é medida pela área sob a curva da função densidade fx em um determinado intervalo A área total sob a curva fx é igual a 1 Com as seguintes premissas A função fx é sempre positiva fx 0 A área sob a curva é igual a 1 A probabilidade da VA é sempre calculada dentro de um intervalo de valores a b dado por 44 Variáveis aleatórias contínuas Para uma VA contínua X com função densidade de probabilidade fx Valor esperado de X Variância de X Desvio Padrão de X 55 Distribuição Normal A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real Representada por uma curva em forma de sino simétrico em torno da média que recebe o nome de curva normal ou de Gauss A área total limitada pela curva e pelo eixo das abcissas é igual a 1 correspondendo a probabilidade da variável aleatória X A curva é assintótica em relação aos eixos das abcissas isto é aproximase indefinidamente do eixo sem alcançalo Por ser simétrica a probabilidade de ocorrer valor maior ou menor do que a média são iguais Distribuição Normal entre as distribuições teóricas de variável aleatórias continuas é a mais importante e a mais utilizada 66 Distribuição Normal Distribuição Normal Definida por apenas dois parâmetros média e desvio padrão Os valores estarão acima ou abaixo de um determinada valor da VA ou entre os valores definidos Para cada média e desvio padrão existe uma curva diferente para 77 Distribuição Normal Distribuição Normal Propriedades tende a zero quando x Curva simétrica em relação a média A área total sob a curva é igual a 1 um metade para cada lado simétrico A área entre a função e o eixo das abcissas corresponde a probabilidade A probabilidade é a área sob a curva no intervalo a b A probabilidade em um ponto é zero pois não existe área em um ponto 88 Distribuição Normal Se dissermos que a altura média do homem brasileiro adulto é de 170 m e desvio padrão é de 5 cm estaremos dizendo 99 Distribuição Normal Se dissermos que a altura média do homem brasileiro adulto é de 170 m e desvio padrão é de 5 cm estaremos dizendo 165 m e 175 m encontrase 68 da população masculina adulta 1010 Distribuição Normal Se dissermos que a altura média do homem brasileiro adulto é de 170 m e desvio padrão é de 5 cm estaremos dizendo 160 m e 180 m encontrase 95 da população masculina adulta 1111 Distribuição Normal Se dissermos que a altura média do homem brasileiro adulto é de 170 m e desvio padrão é de 5 cm estaremos dizendo 155 m e 185 m encontrase 997 da população masculina adulta 1212 Distribuição Normal Se dissermos que a altura média do homem brasileiro adulto é de 170 m e desvio padrão é de 5 cm estaremos dizendo 165 m e 175 m encontrase 68 da população masculina adulta 160 m e 180 m encontrase 95 da população masculina adulta 155 m e 185 m encontrase 997 da população masculina adulta 1313 Distribuição Normal Se dissermos que a altura média do homem brasileiro adulto é de 170 m e desvio padrão é de 5 cm estaremos dizendo 165 m e 175 m encontrase 68 da população masculina adulta 160 m e 180 m encontrase 95 da população masculina adulta 155 m e 185 m encontrase 997 da população masculina adulta 1414 Distribuição Normal Padronizada Distribuição Normal Para um valor de corresponde o valor z 0 na distribuição reduzida temse z 1 e assim por diante 1515 Distribuição Normal Padronizada Distribuição Normal O cálculo envolve solução de integrais não triviais A dificuldade foi contornada através do uso de uma nova variável definida por que transforma toda a distribuição normal em uma distribuição normal reduzida ou padronizada de média zero e desvio padrão 1 com valores de z tabelados Distribuição Normal Padrizada Distribuição Normal fx 1σ2π e xμ²2σ² pnorm175 mean170 sd5 pnorm165 mean170 sd5 06826895 pnorm180 mean170 sd5 pnorm160 mean170 sd5 09544997 pnorm185 mean170 sd5 pnorm155 mean170 sd5 09973002 Distribuição Normal Padrão Acumulada ΦzPZzz12πeu²2du z 0 00000 05000 050400 050800 051200 051600 051990 052390 052790 053190 053590 053980 054380 054776 055173 055575 055944 056328 056724 057116 057508 057899 058205 058516 058839 059163 059488 059809 060131 060460 060785 061107 061429 061749 062066 062381 062699 063013 063330 063646 063957 064268 064577 064882 065182 065488 065793 066114 066415 066715 067029 067321 067700 068050 068298 068573 068880 069193 069506 069818 070129 070439 070748 071055 071362 071668 071982 072289 072593 072896 073197 073504 073809 074112 074399 074690 074989 075288 075578 075867 076153 076431 076707 076981 077255 077527 077800 078073 078346 078619 078890 079162 079433 079704 079975 080212 080451 080685 080923 081158 081392 081673 081905 082132 082360 082585 082807 083020 083226 083428 083628 083827 084008 084225 084423 084600 084842 085058 085266 085445 085608 085784 085910 086108 086294 086485 086683 086866 087049 087236 087397 087569 087700 087884 088034 088254 088449 088631 088801 088964 089124 089266 089416 089564 089708 089849 089985 090127 090263 090393 090521 090654 090783 090914 091044 091161 091288 1818 Distribuição Normal Padrão Tabela z pela metade usual Área sob a curva normal padronizada reduzida compreendida entre os valores de zero a z 1919 Distribuição Normal Distribuição Normal Padronizada ou Reduzida Se dissermos que a altura média do homem brasileiro adulto é de 170 m e desvio padrão é de 5 cm estaremos dizendo 165 m e 175 m encontrase 68 da população masculina adulta 160 m e 180 m encontrase 95 da população masculina adulta 155 m e 185 m encontrase 997 da população masculina adulta 2020 Distribuição Normal Exemplo 1 Os resultados do experimento formam uma VA com distribuição normal com média 40 e desvio padrão 10 N4010 a Qual a probabilidade de um resultado ser menor ou igual a 50 P X 50 1 P z 1 08413 tabela 2121 Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 1 Os resultados do experimento formam uma VA com distribuição normal com média 40 e desvio padrão 10 N4010 a Qual a probabilidade de um resultado ser menor ou igual a 50 Distribuição Normal 2323 Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 1 Os resultados do experimento formam uma VA com distribuição normal com média 40 e desvio padrão 10 N4010 a Qual a probabilidade de um resultado ser menor ou igual a 50 Distribuição Normal fx frac1sigma sqrt2pi efracxmu22sigma2 b Qual a probabilidade de um resultado do experimento ser maior ou igual a 35 Z fracxmusigma frac35 4010 05 P X ge 35 P z ge 05 Rightarrow 1 03085 06915 pnorm35 mean 40 sd 10 lowertail FALSE 1 06914625 pnorm05 mean 0 sd 1 lowertail FALSE 1 06914625 1 pnorm35 mean 40 sd 10 1 06914625 Quando o intervalo procurado for maior ou igual a X outra parte da curva lowertail False 2525 Distribuição Normal Distribuição Normal b Qual a probabilidade de um resultado do experimento ser maior ou igual a 35 2626 Distribuição Normal Distribuição Normal b Qual a probabilidade de um resultado do experimento ser maior ou igual a 35 2727 Distribuição Normal Distribuição Normal c Qual a probabilidade de um resultado do experimento estar no intervalo 2560 tabela completa 2828 Distribuição Normal Distribuição Normal c Qual a probabilidade de um resultado do experimento estar no intervalo 2560 2929 Distribuição Normal Distribuição Normal c Qual a probabilidade de um resultado do experimento estar no intervalo 2560 3030 Distribuição Normal d Qual a probabilidade de um resultado do experimento ser maior ou igual que 55 ou menor ou igual do que 30 Exemplo 2 Considere uma situação em que se estudou a durabilidade de um certo tipo de pneu Verificouse que esta durabilidade seguia uma distribuição normal com duração média 60000 km e desviopadrão 10000 km Procurouse então responder os seguintes questionamentos a Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar mais de 75000 km X sim N60000 10000 e procurase calcular a PX 75000 z fracx musigma frac75000 6000010000 15 PX 75000 Pz 150 1 P0 z 150 09332 1 09332 00668 pnorm750006000010000 lower F 1 00668072 Distribuição Normal Distribuição Normal Distribuição Normal Distribuição Normal Exemplo 3 Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos D1 e D2 tenham distribuições N42 6² e N45 3² respectivamente Se os aparelhos são feitos para ser usados por um período de 45 horas responda a Qual aparelho deve ser escolhido A probabilidade do segundo aparelho durar mais que 45 horas é maior que a do primeiro e portanto ele D2 deve ser o escolhido b E se for por um período de 49 horas Para 49 horas a situação se inverte O primeiro D1 deve ser o escolhido Fonte Morettin Bussab Estatística Básica 5a edição pág 183 3737 Distribuição Normal Exemplo 4 O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição Normal com média 2508 cm e desvio padrão 005 cm Se as especificações para esse eixo são 2500 015 cm determine o percentual de unidades produzidas em conformidades com as especificações 3838 Distribuição Normal Exemplo 5 Em uma universidade as notas da disciplina de Estatística distribuemse normalmente com média 64 e desvio padrão de 08 Em uma turma com 80 alunos quantos terão a Nota inferior a 50 b Notas entre 50 e 75 c Nota maior que 75 3939 Distribuição Normal Exemplo 6 Suponha que a variável aleatória retornos do contrato futuro de soja na bolsa de Chicago 100 retornos possui distribuição normal com média 018 ao dia e desvio padrão igual a 117 ao dia a Qual a probabilidade de se obter retorno entre 018 e 2 ao dia b Qual a probabilidade de se obter retorno superior a 2 ao dia 00594 594 tabela completa 4040 Distribuição Normal Exemplo 7 Um pesquisador coletou os dados da estatura de jovens em idade de alistamento militar Sabese que a estatura de uma população segue a distribuição normal com média 170 cm e variância 36 cm2 a Qual a probabilidade de encontrar um jovem com mais de 179 m de altura z 15 P x 179 Pz 15 1 09332 00668 4141 Distribuição Normal Exemplo 7 Um pesquisador coletou os dados da estatura de jovens em idade de alistamento militar Sabese que a estatura de uma população segue a distribuição normal com média 170 cm e variância 36 cm2 a Qual a probabilidade de se encontrar um jovem com mais de 179 m de altura 4242 Distribuição Normal Exemplo 7 Um pesquisador coletou os dados da estatura de jovens em idade de alistamento militar Sabese que a estatura de uma população segue a distribuição normal com média 170 cm e variância 36 cm2 a Qual a probabilidade de se encontrar um jovem com mais de 179 m de altura 4343 Distribuição Normal b Qual a altura em que a probabilidade de encontrarmos valores menores que ela seja de 80 Distribuição Normal Padrão Acumulada Φz PZ z ᶦ₁ eˣ²² dᵤ Exemplo 7 Um pesquisador coletou os dados da estatura de jovens em idade de alistamento militar Sabese que a estatura de uma população segue a distribuição normal com média 170 cm e variância 36 cm² b Qual a altura em que a probabilidade de encontrarmos valores menores que ela seja de 80 Procurando z 08 na tabela normal completa z 084 z xμσ z x1706 084 x 170 6 084 x 170 504 17504 4646 Distribuição Normal Função Inversa temse a probabilidade para calcular o valor c Qual é altura que divide as alturas em 95 mais baixo dos 5 mais altos 4747 Distribuição Normal Exemplo 8 O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal com média 120 min e desvio pad 15 min a Sorteandose um aluno ao acaso qual a probabilidade dele terminar o exame antes de 100 minutos P 133 00918 tabela completa 4848 Distribuição Normal b Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95 dos vestibulandos terminem no prazo estipulado T tempo gasto no exame vestibular z é tal que Az 095 Pela tabela z 164 Exemplo 9 Seja uma VA X com distribuição normal com media 220 e variância 16 ou seja N220 16 Calcular as probabilidades abaixo a PX 225 pnormq 225 mean 220 sd 4 1 08943502 PX 225220 4 Pz 125 08944 pnormq 125 mean 0 sd 1 1 08943502 5050 Distribuição Normal b P210 X 228 P210 X 228 P 2 P 25 09772 00062 09710 tabela completa 5151 Distribuição Normal c Qual o valor de k tal que PX k 001 PX k Procurar z 09900 na tabela normal completa z 233 Da tabela temos que 5252 Distribuição Normal Exemplo 10 Em uma universidade as notas são normalmente distribuídas com média de 72 pontos e desvio padrão de 9 O professor atribuirá conceito A aos 8 dos melhores alunos Qual a menor nota que um aluno pode tirar de modo a garantir um conceito A procurar na tabela z acumulada por 092 5353 Distribuição Normal Exemplo 11 Considerando o script abaixo gerar uma distribuição normal utilizando o software R conforme o valor xx da sua matricula N 14693 5454 Distribuição Normal Exemplo 11 N 14693 5555 Distribuição Normal Considerando a distribuição normal anterior Elaborar um enunciado para a questão e faça três perguntas e responda Qual a probabilidade de P X 160 Qual a probabilidade de P X 140 180 Qual a probabilidade de P X 120 Faça uma pergunta que precise usar lowertail F ALSE na resposta Faça uma pergunta associado com a média o desvio ou ambos 5656 Distribuições de Probabilidade no R O R inclui funcionalidade para operações com distribuições de probabilidades Para cada distribuição há 4 operações básicas indicadas pelas letras d calcula a densidade de probabilidade fx no ponto p calcula a função de probabilidade acumulada Fx no ponto q calcula o quantil correspondente a uma dada probabilidade inversa da função distribuição acumulada r retira uma amostra aleatória da distribuição Para usar as distribuições devese combinar uma das letras acima com uma abreviatura do nome da distribuição Por exemplo para calcular probabilidades usamos pnorm para normal pexp para exponencial pbinom para binomial ppois para Poisson e assim por diante 5757 Distribuições de Probabilidade no R Para ver os argumentos e maiores detalhes da distribuição utilizar help nome função Distribuição Normal Padrão Acumulada Φz PZ z z 12π eu22 du 5959 Distribuição Normal Padrão Tabela z pela metade usual Área sob a curva normal padronizada reduzida compreendida entre os valores de zero a z 6060 Dúvidas Obrigado e até a próxima aula