Introdução à Probabilidade e seus Conceitos Básicos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS Instituto de Computação PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Parte II Probabilidade TURMA CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO ENG DA COMPUTAÇÃO PROFESSOR PETRUCIO A MEDEIROS BARROS 30072023 1 PROBABILIDADE Introdução Probabilidade é o estudo da aleatoriedade e da incerteza Probabilidade é a quantificação do conhecimento que temos sobre um particular evento As situações marcadas pela possibilidade de ocorrência de mais de um resultado possível costumam ser analisadas em Estatística com auxilio das probabilidades Os fenômenos estudados pela estatística são fenômenos cujo resultado mesmo em condições normais de experimentação varia de uma observação para outra dificultando a previsão de um resultado 30072023 2 PROBABILIDADE Na natureza dois tipos de fenômenos Determinístico os resultados são sempre os mesmos independente do números de ocorrências verificadas Exemplos Um sólido a uma determinada temperatura passará para o estado liquido Ao soltar uma pedra do alto de um edifício sabemos que esta pedra irá em direção ao chão Aleatório ou probabilístico são aqueles cujos resultados podem não ser os mesmos ainda que sejam repetidos sob as mesmas condições 30072023 3 PROBABILIDADE Experimento Aleatório procedimento que ao ser repetido sob as mesmas condições pode fornecer resultados diferentes Exemplos de experimentos aleatórios Resultado no lançamento de um dado Condições climáticas do próximo domingo Resposta de uma paciente a um determinado medicamento Determinação da vida útil de um equipamento eletrônico Retirada de uma carta de um baralho completo de 52 cartas O resultado obtido de cada experimento aleatório é chamado de evento aleatório 30072023 4 PROBABILIDADE Experimentos aleatórios Características Possibilidade de repetição sob as mesmas condições Resultados não determinados a priori Observação da existência de regularidade quando o número de repetições é grande Para a explicação dos fenômenos aleatórios adotase um modelo matemático probabilístico 30072023 5 PROBABILIDADE Espaço Amostral de um experimento aleatório É conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório Representado por ou S Exemplos Lançamento de um dado 1 2 3 4 5 6 Exame de sangue tipo sanguíneo A B AB O Hábito de fumar Fumante Não fumante Tempo de duração de uma lâmpada t t 0 30072023 6 PROBABILIDADE Evento aleatório é um subconjuntos do espaço amostral Notação A B C conjunto vazio evento impossível evento certo Exemplo Lançamento de um dado Espaço amostral 1 2 3 4 5 6 A sair face par A 2 4 6 B sair face maior que 3 B 4 5 6 C sair face 1 C 1 30072023 7 PROBABILIDADE Lançamse dois dados Espaço amostral Eventos A Duas faces iguais A 112233445566 B Faces soma igual a 10 B 465564 C Faces com soma menor que 2 C ɸ evento impossível D Faces com soma menor que 15 D evento certo E Faces onde uma face é o dobro da outra E 122124423663 30072023 8 PROBABILIDADE Classes de eventos aleatórios É o conjunto formado de todos os eventos subconjuntos do espaço amostral Considere como exemplo um espaço amostral finito Ω e1 e2 e3 e4 A classe de eventos aleatórios FΩ e1 e2 e3 e4 e1e2 e1e3 e1e4 e2e3 e2e4 e3e4 e1e2e3 e1e2e4 e1e3e4 e2e3e4 e1e2e3 e4 O número de eventos de um espaço amostral é FΩ 2n Usando esse espaço amostral temos que o número de eventos é 16 PROBABILIDADE Operações com eventos aleatórios Considere Ω e1 e2 en Sejam A e B dois eventos de FΩ Operações União A B ei Ω ei ϵ A OU ei ϵ B O evento formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos eventos B A A B 30072023 10 PROBABILIDADE Operações com eventos aleatórios Considere Ω e1 e2 en Sejam A e B dois eventos de FΩ Operações Interseção A B ei ei A E ei B O evento formado pelos elementos que pertencem simultaneamente aos dois eventos A B 30072023 11 PROBABILIDADE Operações com eventos aleatórios Considere Ω e1 e2 en Sejam A e B dois eventos de FΩ Operações Complementação A ei ei A 30072023 12 PROBABILIDADE Exemplos Lançamse duas moedas Sejam A saída de faces iguais e B saída de cara na primeira moeda Determine a A B b A B c d A B e A B f g h B A i A B cc cr rr rc A cc r r B cc cr 30072023 13 PROBABILIDADE Respostas a A B cc cr rr b A B cc cr rc rr rc A B rc cc cr rr rc A cc rr B cc cr 30072023 14 PROBABILIDADE Respostas A B cr rr rc cr rr rc rc h B A cr i A B rr cc cr rr rc A cc rr B cc cr 30072023 15 PROBABILIDADE Propriedades das operações a Idempotentes A A A A A A b Comutativas A B B A A B B A c Associativas A B C A B C A B C A B C d Distributivas A B C A B A C A B C A B A C 30072023 16 PROBABILIDADE Propriedades das operações e Absorções A A B A A A B A f Identidades A A A A A A g Complementares A h Leis de Morgan A B A B 30072023 17 PROBABILIDADE Propriedades das operações h Leis de Morgan A B A B 30072023 18 PROBABILIDADE Conceitos É um conceito matemático que permite a quantificação da incerteza É uma medida da informação ou crença sobre a ocorrência do evento Conceito Clássico Se uma experiência tem N resultados possíveis e igualmente prováveis equiprováveis e nA é o número de resultados de um evento A então a probabilidade de A é PA nA N PA Número de Casos Favoráveis nA Número Total de Casos N PROBABILIDADE Conceito Clássico Exemplos Lançamento de uma moeda Seja A o evento que registra coroa Lançamento de um dado Seja A o evento que registra a saída maior que 4 ou seja sair 5 ou 6 Considere um experimento de seleção de cartas de um baralho Cada carta tem a probabilidade 152 A a carta selecionada ser um AS PA 152 152 152 152 452 30072023 20 PROBABILIDADE Conceito Frequentista Considere que um experimento aleatório seja realizado n vezes e seja nA o número de vezes que o evento A ocorre A frequência relativa de A nesse caso é dada por fnA nA n frequência do evento A Total de realizações 0 fnA 1 Dessa forma pode ser mostrado que a probabilidade do evento A ocorrer é dada por PA lim n fnA Ou seja se n for grande fn se aproxima da probabilidade do evento A ocorrer PROBABILIDADE Conceito Frequentista 30072023 22 Para um grande número de experiências tendo cada uma um resultado aleatório a frequência relativa de cada um desses resultados tende a estabilizar convergindo para um certo número que constitui a probabilidade desse resultado Lançamentos de uma moeda PROBABILIDADE Conceito Frequentista 30072023 23 Considere a distribuição frequências relativa ao número de acidentes diários em uma rodovia de Alagoas durante o período de um mês Acidentes 0 1 2 3 4 Frequências 17 6 4 2 1 Probabilidades 1730 057 630 020 430 013 230 007 130 003 PROBABILIDADE Conceito Subjetivo Depende de avaliação pessoal Utilizada quando não se tem outra forma para cálculo da probabilidade Baseado em estimativas conceitos prévios e informação de cada pessoa 30072023 24 PROBABILIDADE Viagem tripulada à lua Trabalhar com informações de ocorrências de eventos elementares para a formação de eventos complexos Importância da probabilidade para a tomada de decisão 30072023 25 PROBABILIDADE Conceito Formal ou Axiomático Dado um experimento aleatório E e um evento A do espaço amostral A probabilidade de A PA é uma função que associa um evento um número real satisfazendo os seguintes axiomas 1 PA 0 A 2 P 1 3 Sendo A e B dois eventos mutuamente exclusivos ou seja A B temse que P AB PA PB Fornece toda uma teoria e propriedades para cálculo de probabilidade 30072023 26 PROBABILIDADE Principais Teoremas 1 Se é o conjunto vazio então P 0 Demonstração Seja A um evento qualquer Considerando que A temos que PA PA P Axioma 3 Como A A então PA PA P logo P 0 30072023 27 PROBABILIDADE Principais Teoremas 2 Se Ac é o complemento do evento A então PAc 1 PA Demonstração Considere que A Ac e que A Ac Então PA Ac PA PAc Assim P PA Ac PA PAc 1 PA PAc PAc 1 PA 30072023 28 PROBABILIDADE Principais Teoremas 3 Se A B então PA PB Demonstração Considere B A Ac B A e Ac B são mutuamente exclusivos Logo PB PA PAc B PAc B PB PA Como PB PA 0 por axioma 1 PA PB 30072023 29 PROBABILIDADE Principais Teoremas 4 Teorema da Soma ou da União Dados dois eventos A e B estamos interessados em conhecer a probabilidade de que o evento A ou evento B ocorra ou ambos ocorram PA B PA PB PA B Demonstração Escrevemos os eventos A B A B B PA B PA B PB 1 A A B A B PA PA B PA B PA B PA PA B 2 Substituindo 2 em 1 PA B PA PA B 2 PB PA B PA PB PA B PA B PA PB se PA B 0 Eventos Mutuamente Exclusivos 30072023 30 PROBABILIDADE Principais Teoremas 4 Teorema da Soma ou da União Para o caso de três eventos A B e C PA B C PA PB PC PA B PA C PB C P A B C 30072023 31 PROBABILIDADE Tipos de Eventos Evento Certo é aquele que ocorre em qualquer realização do experimento aleatório Se A então A é chamado de evento certo Evento Elementar é aquele formado por um único elemento do espaço amostral Se A está contido em e A é um conjunto unitário A é um evento elementar Evento Impossível é aquele que não ocorre em nenhuma realização de um experimento aleatório Se A A é um evento impossível 30072023 32 PROBABILIDADE Eventos equiprováveis Dado um experimento aleatório admitindo que todos os elementos tem a mesma chance equiprovável chamase probabilidade de um evento A o número real PA tal que Definição Clássica de Probabilidade de elementos de Ω nº P A nº de elementos de A 30072023 33 PROBABILIDADE Eventos equiprováveis Considerando o lançamento de um dado calcular a Obter um número par na face superior S 123456 N 6 A 246 nA 3 PA 36 ½ b Obter um número menor ou igual a 6 S 123456 N 6 B 123456 nB 6 PB 66 1 c Obter um número 4 na face superior S 123456 N 6 C 4 nC 1 PC 16 PROBABILIDADE Eventos não Equiprováveis Um dado viciado Uma moeda não honesta Um baralho modificado etc Dividese o espaço amostral em n eventos PA1 PA2 PA3 PAn 1 PROBABILIDADE Eventos não Equiprováveis Exemplo Considere a figura abaixo Qual a probabilidade de ser sorteados cada um dos números mostrados P 1 14 P 2 14 P 3 24 PROBABILIDADE Eventos complementares Considerando PA a probabilidade de ocorrer o evento A sucesso e PAc a probabilidade que ele não ocorre insucesso existe a relação PAc 1 PA a Obter um número 4 na face superior S 123456 N 6 A 4 nA 1 PA nAN 16 b Obter um número diferente de 4 PB 1 PA PB 1 16 56 PROBABILIDADE Para dois eventos A e B ocorrência simultânea A probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades dos dois eventos assim PA B PA PB Um dado e uma moeda são lançados simultaneamente Qual a probabilidade de obtenção de cara e o número seis PA B P12 P16 112 O resultado obtido pelo lançamento do dado não influencia no resultado a ser obtido no lançamento da moeda e viceversa 30072023 39 PROBABILIDADE Para dois eventos A e B ocorrência de um ou do outro ou de ambos PA B PA PB PA B Exemplo 1 Retirase uma carta de um baralho de 52 cartas Qual a probabilidade de sair um Rei ou uma carta de ouro A R0 Re Rc Rp PA 452 B A0 2o 3o R0 PB 1352 A B R0 PA B 152 P A B PA PB PA B PA B 452 1352 152 PA B 1652 PROBABILIDADE Exemplo 2 Lançase 4 vezes uma moeda honesta calcular as probabilidades a Sair um número par de caras P A 816 12 b Saírem exatamente três caras P B 416 14 c Saírem exatamente três caras ou um número par de caras P C P A B 𝟒 𝟏𝟔 𝟖 𝟏𝟔 𝟏𝟐 𝟏𝟔 𝟑 𝟒 d Saírem exatamente três caras e haver ao menos duas caras consecutivas P D 416 14 30072023 40 PROBABILIDADE Exemplo 2 Lançase 4 vezes uma moeda honesta calcular as probabilidades e Sair pelo menos duas caras consecutivas P E 816 12 f Não ocorrer o evento número par de caras e pelo menos duas caras consecutivas P F P A C PAPC 816816 14 P F P A C 1 ¼ 34 30072023 41 PROBABILIDADE Exemplo 2 Uma carta é retirada de um baralho comum de 52 cartas e sem saber qual é a carta é misturada com as cartas de um outro baralho idêntico ao primeiro Retirando em seguida uma carta do segundo baralho a probabilidade de se obter uma dama é D D0 De Dc Dp PA 452 ND 4852 PDD NDD PDD PNDD PDD NDD 452 553 4852 453 113 PROBABILIDADE Exemplo 3 Um sistema de segurança tem dois dispositivos que funcionam de modo independente e que tem probabilidades iguais a 02 e 03 de falharem Qual é a probabilidade de que pelo menos um dos dois componentes não falhe PA falha o primeiro PB falha o segundo PA B falhem os dois PA B 02 x 03 006 PF pelo menos um não falhe P F 1 PA B 1 02 x 03 094 94 30072023 43 PROBABILIDADE Exemplo 3 Um sistema de segurança tem dois dispositivos que funcionam de modo independente e que tem probabilidades iguais a 02 e 03 de falharem Qual é a probabilidade de que pelo menos um dos dois componentes não falhe PA pelo menos um não falhe P nF falhe PnNF Não falhe P1F 02 P1NF 08 P2F 03 P 2NF 07 P A P1F 2NF P1NF 2F P1NF 2NF P A 02 07 08 03 08 07 014 024 056 094 ou P A 1 P1F 2F 1 02 x 03 094 94 30072023 44 PROBABILIDADE Exemplos 4 Um grupo de pessoas está numa sala 5 rapazes com mais de 21 anos 4 rapazes com menos de 21 anos 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com menos de 21 anos Uma pessoa é escolhida ao acaso entre as 18 Os seguintes eventos são definidos A a pessoa tem mais de 21 anos B a pessoa tem menos de 21 anos C a pessoa é um rapaz D a pessoa é uma moça Ω 5R 4r 6M 3m p 1 18 A 5R 6M PA 11 18 B 4r 3m PB 7 18 C 5R 4r PC 9 18 D 6M 3m PD 9 18 30072023 PROBABILIDADE Exemplos 4 Calcular a PB D PB PD PB D PB D 3 18 PB D 7 18 9 18 3 18 13 18 b PA C A 4r 3m B C 6M 3m D A C B D 3m PA C 3 18 30072023 PROBABILIDADE Condicional A probabilidade condicional trata da probabilidade de ocorrer um evento A tendo ocorrido um evento B ambos do espaço amostral Ω Calculada sobre o evento já ocorrido no caso B e não em função o espaço amostral Ω A probabilidade de ocorrência de um evento A em relação a um evento ocorrido B é expressa como PAB nA B nB se PB 0 PAB PA B PB se PB 0 PBA PA B PA se PA 0 30072023 Exemplo 5 Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25 Uma bola é escolhida e percebese que o número marcado é maior que 11 Qual é a probabilidade desse número ser múltiplo de 5 Exemplo Ao lançar um dado observouse um resultado maior do que 1 evento A ocorreu Qual é a probabilidade de esse número ser ímpar evento B A probabilidade condicional trata da probabilidade de ocorrer um evento A tendo ocorrido um evento B ambos do espaço amostral Ω PROBABILIDADE Exemplo 6 Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores registrou que 650 deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard que 550 trabalham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras Qual a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA ser também um dos consumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard P Mastercard Visa 𝐔𝐭𝐢𝐥𝐢𝐳𝐚𝐦 𝐕𝐢𝐬𝐚 𝐞 𝐌𝐚𝐬𝐭𝐞𝐫𝐜𝐚𝐫𝐝 𝐔𝐭𝐢𝐥𝐳𝐚𝐦 𝐕𝐢𝐬𝐚 P M V P V M 𝟐𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟓𝟓𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟒 𝟏𝟏 P M V P V M 𝟐𝟎𝟎 𝟓𝟓𝟎 𝟒 𝟏𝟏 P A B 𝑷 𝑨 𝑩 𝑷 𝑩 30072023 51 PROBABILIDADE Exemplo 7 Dois dados são lançados Considera os eventos A x1x2 x1 x2 10 B x1x2 x1 x2 Onde x1 é o resultado do dado um e x2 é o resultado do dado dois Calcular PA PB PAB e PBA a P A 336 112 b P B 1536 512 c PAB 1361536 115 d PBA 136336 13 A 465564 B 213141516132425262435363546465 PROBABILIDADE Exemplo 8 Num estudo sobre a ocorrência de problemas cardíacos em pessoas acima de 40 anos de determinado município um pesquisador coletou dados de peso corporal e pressão arterial de uma amostra aleatória de 1660 pessoas dessa população Pressão Arterial Excessivo Normal Baixo Total A B C Elevada E 166 132 35 333 Normal N 249 747 331 1327 Total 415 879 366 1660 Peso Pressão Arterial Excessivo Normal Baixo Total A B C Elevada E 166 132 35 333 Normal N 249 747 331 1327 Total 415 879 366 1660 Peso P A B 𝑷 𝑨 𝑩 𝑷 𝑩 30072023 53 PROBABILIDADE Exemplo 9 Considere o experimento aleatório Selecionar aleatoriamente uma pessoa da população amostrada e observar sua pressão arterial e seu peso corporal de acordo com a classificação adotada pelo pesquisador para as variáveis peso e pressão arterial Qual é a probabilidade de a pessoa selecionada ter pressão arterial elevada PE 3331660 02006 Qual é a probabilidade de a pessoa selecionada ter peso normal PB 8791660 05295 PROBABILIDADE Exemplo 10 Qual é a probabilidade de a pessoa selecionada ter pressão arterial elevada dado que tem peso excessivo Probabilidade condicional de E dado que A ocorre P EA P EA 166415 04000 Qual é a probabilidade de a pessoa selecionada ter peso normal dado que tem pressão arterial normal P BN P B 7471327 05629 Pressão Arterial Excessivo Normal Baixo Total A B C Elevada E 166 132 35 333 Normal N 249 747 331 1327 Total 415 879 366 1660 Peso Pressão Arterial Excessivo Normal Baixo Total A B C Elevada E 166 132 35 333 Normal N 249 747 331 1327 Total 415 879 366 1660 Peso P A B 𝑷 𝑨 𝑩 𝑷 𝑩 30072023 55 PROBABILIDADE Teorema do Produto PAB P B PBA P A Para três eventos PAB 𝑷 𝑨 𝑩 𝑷 𝑩 PBA 𝑷 𝑨 𝑩 𝑷 𝑨 Probabilidade Condicional 30072023 56 PROBABILIDADE Exemplo Uma urna contem 10 bolas idênticas das quais 5 são pretas 3 são vermelhas e 2 são brancas Quatro bolas são retiradas uma a uma e sem reposição Encontre a probabilidade da primeira bola ser preta da segunda ser vermelha da terceira ser branca e da quarta ser preta também PA1 A2 A3 A4 PA4A1 A2 A3PA3A2 A1PA2A1PA1 30072023 57 PA1 A2 A3 A4 510392847 142 PA1 510 PA2A1 39 PA3A2 A1 28 PA4A1 A2 A3 47 A1 a primeira bola retirada é preta A2 a segunda bola retirada é vermelha A3 a terceira bola retirada é branca A4 a quarta bola retirada é preta PROBABILIDADE Teorema do Produto Eventos Independentes Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a probabilidade de A é igual à probabilidade condicional de A dado B P A B P A Assim Teremos P A P B Generalizando o Teorema P A B 𝑷 𝑨 𝑩 𝑷 𝑩 30072023 58 PROBABILIDADE Teorema do Produto Eventos Independentes Exemplo 11 Em um jogo de bingo são sorteadas sem reposição bolas numeradas de 1 a 75 e um participante concorre com a cartela reproduzida abaixo Qual é a probabilidade de que os três primeiros números sorteados estejam nessa cartela 1º sorteio 2475 2º sorteio 2374 3º sorteio 2273 Calculamos a chance realizando o produto entre os eventos PX 2475 2374 2273 12144405150 003 A chance dos três primeiros números sorteados serem da cartela mostrada é de 3 Em uma urna há 5 bolas 2 brancas e 3 vermelhas Duas bolas são sorteadas sucessivamente sem reposição Considere agora que as extrações são feitas com reposição ou seja a 1ª bola sorteada é reposta na urna antes da 2ª extração Nesta situação temos PROBABILIDADE PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM PFC É uma técnica para calcularmos de quantas maneiras decisões podem combinarse 30072023 62 Res 322 12 maneiras Cidade C Cidade B Cidade A Da cidade A à cidade B A B B C 3 2 6 Da cidade A à cidade B e retornar A B B C B C B A 3 2 2 3 36 Da cidade A à cidade B retornando por caminhos diferentes da ida A B B C B C B A 3 2 1 2 12 PROBABILIDADE PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM PFC Se um acontecimento é composto por duas etapas sucessivas independentes uma da outra e 30072023 63 Árvore de possibilidades a etapa 1 pode ocorrer de n modos a etapa 2 pode ocorrer de m modos Então o número de possibilidades de ocorrência do acontecimento é n m Para n etapas será o produto entre o número de alternativas de cada etapa Uma pessoa tem 3 camisas 2 calças e 2 cintos diferentes De quantas maneiras essa pessoa pode se vestir Res 322 12 maneiras PROBABILIDADE PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM PFC O princípio fundamental da contagem é o principal conceito utilizado para as fórmulas de fatorial combinação arranjo permutação utilizadas no cálculo da probabilidade de um evento se faz necessário contar o números de casos favoráveis e o total de casos Arranjo quando a ordem for relevante Análise combinatória quando não se faz necessário considerar a ordem dos elementos no conjunto 30072023 64 PROBABILIDADE Análise Combinatória O número de combinações de elementos combinados a sendo é calculado por Exemplo 01 Quantas comissões de três pessoas podem ser formadas em um grupo de 10 pessoas 120 30072023 65 PROBABILIDADE Análise Combinatória Exemplo 02 calcular o número combinações possíveis formadas com 7 elementos tomados três a três 30072023 66 PROBABILIDADE Análise Combinatória Exemplo 03 Em um congresso cientifico existem 15 matemáticos e 12 estatísticos Qual a probabilidade de se formar uma comissão com 5 membros na qual figurem 3 matemáticos e 2 estatísticos A comissão de 3 matemáticos e 2 estatísticos número de combinações possíveis com 5 elementos P A 0372 372 30072023 67 PROBABILIDADE Análise Combinatória Exemplo 04 Num lote de 12 peças 4 são defeituosas duas peças são retiradas aleatoriamente Calcule a A probabilidade de ambas serem defeituosas 30072023 68 PROBABILIDADE Análise Combinatória Exemplo 04 Num lote de 12 peças 4 são defeituosas duas peças são retiradas aleatoriamente Calcule b A probabilidade de ambas não serem defeituosas 30072023 69 Exemplo 04 Num lote de 12 peças 4 são defeituosas duas peças são retiradas aleatoriamente Calcule PX 40 15 55 maneiras de escolher 4 crianças sendo no mínimo uma menina PROBABILIDADE Análise Combinatória Exemplo 06 Calcular a probabilidade de se obter exatamente 3 caras e 2 coroas em 5 lances de uma moeda A saída de 3 caras e 2 coroas S 𝟓 32 número de possibilidades em 5 moedas espaço amostral 10 P A 10 32 30072023 72 PROBABILIDADE Análise Combinatória Exemplo 07 Vamos jogar na MegaSena Qual a chance de ganhar a sena P G 30072023 73 P Q fracC65 cdot C541C606 frac6 cdot 54565 cdot 1541 frac6 cdot 5460 frac6 cdot 5450063860 frac1154518 P FH frac13 cdot C42 cdot 12 cdot C43C525 000144 rightarrow 0144 PROBABILIDADE Análise Combinatória Exemplo 10 Dada que temos 30 pessoas em uma sala qual a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia e mês P 2 NFA 𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟔𝟒 𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟔𝟒 𝟑𝟔𝟓𝟐 P 3 NFA 𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟔𝟒 𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟔𝟒 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟔𝟓𝟑 P 30 NFA 𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟔𝟒 𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟑𝟔 𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟔𝟓 𝟑𝟔𝟒 𝟑𝟔𝟑 𝟑𝟑𝟔 𝟑𝟔𝟓𝟑𝟎 02937 P 30 FA 1 02937 07063 30072023 76 PROBABILIDADE Arranjo O número de arranjos de elementos combinados a sendo é calculado por Exemplo 11 Quantas chapas diferentes podemos ter para uma eleição de presidente tesoureiro e secretario em um grupo de 10 pessoas 720 30072023 77 PROBABILIDADE Arranjo Exemplo 13 No meio da invasão tecnológica que toma conta de nossas vidas dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque Ela lembra que a senha é formada por quatro algarismos distintos sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque Considerando que o primeiro dígito é o número 5 e o número 6 estará em algum dos outros 3 dígitos teremos 1º Caso 6 no segundo dígito 5 6 XX 8 possibilidades x 7 possibilidades A82 882 56 2º Caso 6 no terceiro dígito 5 X 6 X 8 possibilidades x 7 possibilidades A82 882 56 3º Caso 6 no quarto dígito 5 X X 6 8 possibilidades x 7 possibilidades A82 882 56 A82 3882 3 766 168 possibilidades para a senha factorial8factorial82 3 1 168 PROBABILIDADE Arranjo Exemplo 12 Quantos números de 3 dígitos podem ser formados pelos números 1 2 3 4 5 e 6 A63 6 3 663 63 65433 120 Quantos números pares podem ser formados dos números acima ainda com 3 dígitos Temos 2 4 e 6 3 A52 60 A52 5 2 552 53 5433 20 PROBABILIDADE Exemplo 14 Quantas maneiras diferentes existem para pintar as bolas na figura sendo que cada uma delas deve ser colorida com uma das três cores disponíveis e nenhuma cor pode ser usada em bolas consecutivas Pelo princípio Fundamental da Contagem Nc 3 x 2 x 2 x 2 x 2 48 maneiras diferentes de pintar as bolas 30072023 80 PROBABILIDADE Permutação É um caso particular de arranjo simples n elementos distintos arranjados n a n É o tipo de agrupamentos ordenado onde entram todos os elementos n Exemplo 15 Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1 2 3 5 e 8 5 x 4 x 3 x 2 x 1 120 30072023 81 PROBABILIDADE Permutação com Repetição É a permutação onde aparecem elementos repetidos Se trocarmos a ordem destes não aparecerá mudanças na posição Exemplo 16 Os anagramas da palavra MATEMATICA Ao mudar letras de lugar MA e o T não altera o resultado assim 𝑷𝒏 𝑷𝟏 𝑷𝟐 𝑷𝟑 𝟏𝟎 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟎 𝟗 𝟖 𝟕 𝟔 𝟓 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 151200 30072023 82 Dúvidas Obrigado e até a próxima aula