Variáveis Aleatórias em Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Variáveis aleatórias TURMA CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO ENG DA COMPUTAÇÃO 20231 PROFESSOR PETRUCIO A MEDEIROS BARROS UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS Instituto de Computação 1 Variáveis aleatórias Na Estatística na maioria da vezes é necessário atribuir descrição numérica ao resultados dos experimentos Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa cujo resultado depende de fatores aleatórios Exemplos volume de água perdido por dia num sistema de abastecimento número de pessoas que visitam um site num certo período de tempo tempo de resposta de um sistema computacional Uma variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais 2 Como X é uma função devemos lembrar que Cada elemento s de S corresponderá a exatamente um valor Diferentes valores s S podem levar a um mesmo valor de X Nenhum elemento s S poderá ficar sem valor de X Variáveis aleatórias Uma variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais X número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas 3 Variáveis aleatórias Uma variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais 4 A função de probabilidade associa cada valor que a variável aleatória pode assumir à sua probabilidade de assumir esse valor Variáveis aleatórias Uma variável aleatória pode ser Função de probabilidade Função densidade de probabilidade 5 Variáveis aleatórias Dependendo dos valores numéricos a variável aleatória poderá ser discreta ou contínua Se os valores numéricos da VA se referem a contagens então a VA será uma variável aleatória discreta Exemplos Número de peças rejeitadas por lote numa linha de produção Número de formigas em um formigueiro Se os valores numéricos da VA pertencem ao conjunto dos números reais então a VA será uma variável aleatória contínua Valores dentro de intervalo Mensuração em escala continua 6 Variáveis aleatórias discretas Função de probabilidade fp É a função que atribui a cada valor xi da VA discreta X sua probabilidade de ocorrência e pode ser apresentada pela tabela Uma função de probabilidade deve satisfazer b Probabilidade concentrada em alguns pontos possíveis 7 Variáveis aleatórias discretas Exemplo Ao analisar uma caixa com 3 resistores os quais serão testados podemos estar interessados no número de resistores defeituosos Essa quantidade pode ser chamada de variável aleatória S BBB BBD BDB DBB DDB DBD BDD DDD 1 Definir a VA X Números de resistores defeituosos 2 Função de Probabilidade de X 8 X Evento Probabilidade 0 1 2 3 A0 BBB A1 BBDBDBDBB A2 DDBDBDBDD A3 DDD 18 38 38 18 0 1 2 3 P X 18 38 38 18 Uma VA discreta assume somente um número enumerável de valores Variáveis aleatórias Função Probabilidade Exemplo 1 Um dado é lançado duas vezes de forma independente Qual é a probabilidade da soma dos pontos ser menor do que 6 P X PX5PX4PX3PX2 9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Variáveis aleatórias discretas Exemplo 2 Considere uma agencia bancaria com 5 caixas de autoatendimento Considere 040 a probabilidade do caixa está ocupado Qual a função que descreve a probabilidade de utilização dos diferentes caixas Seja X número de caixas ocupados 0 1 2 3 4 5 10 Função de Probabilidade Variáveis aleatórias discretas Exemplo 3 Considere 04 bolas brancas 02 bolas pretas Função de Probabilidade VA X obter duas bolas pretas 11 Variáveis aleatórias discretas Exemplo 4 O Departamento de Estatística é formado por 35 professores sendo 21 homens e 14 mulheres Uma comissão de 3 professores será constituída sorteando ao acaso três membros do departamento Qual é a probabilidade da comissão ser formada por pelo menos duas mulheres Variável Aleatória X nº de mulheres na comissão 12 Variáveis aleatórias discretas Exemplo 4 O Departamento de Estatística é formado por 35 professores sendo 21 homens e 14 mulheres Uma comissão de 3 professores será constituída sorteando ao acaso três membros do departamento Qual é a probabilidade da comissão ser formada por pelo menos duas mulheres Função de probabilidade Função distribuição acumulada 0 1 2 3 0203 0450 0291 0056 14 0 1 2 3 F 0203 0653 0944 1000 Variáveis aleatórias continuas Função distribuição acumulada Dada uma variável aleatória discreta X definimos Fx a função de distribuição acumulada ou simplesmente função de distribuição fd de X dada por 15 Função de Probabilidade Função distribuição acumulada Variáveis aleatórias continuas Função densidade de probabilidade fdp No caso de VAs contínuas a função de probabilidade dá lugar à função densidade de probabilidade fdp Seja X uma VAC A função de densidade de probabilidade fx é uma função que satisfaz as seguintes propriedades a fx 0 16 Variáveis aleatórias continuas Revisão de Regras de integração Integral de função potência Regra da multiplicação por constante Regra da soma ou subtração 17 httpsnotaspedrokcombrnotasCalculoIcapintsecregrasbasichtml Variáveis aleatórias continuas Função densidade de probabilidade fdp O tempo gasto em minutos para que um recipiente de 2 litros seja enchido por uma mangueira de Razão Q é uma VA contínua com a seguinte função Verificar se fx é uma função densidade de probabilidade 1 fx 0 ok 18 Variáveis aleatórias continuas Função densidade de probabilidade fdp O tempo gasto em minutos para que um recipiente de 2 litros seja enchido por uma mangueira de razão Q é uma VA contínua com a seguinte função 3 Calcular P 2 x 3 19 Variáveis aleatórias continuas Função densidade de probabilidade fdp Um fabricante tem um de seus produtos com variação de peso que obedece a seguinte função 3 Determinar a probabilidade do peso ser inferior a 24 gramas 21 Variáveis aleatórias A função distribuição acumulada de uma variável aleatória X associa a cada valor possível de X a probabilidade de ocorrência de um valor menor ou igual a x Fa P X a Discretas F a Contínuas F a 22 Variáveis aleatórias Exemplo 5 Suponha que a fdp da grandeza X de uma carga dinâmica em um ponte em newtons seja dado por Calcular a A função distribuição F F b P 1 x 15 c P x 1 1 F 1 1 1 23 Variáveis aleatórias Função de Distribuição Acumulada Propriedades F x 0 F 0 F 1 F x é sempre não decrescente F b Fa P a X b b a Utilizadas para variáveis aleatórias discretas e contínuas 24 Variáveis aleatórias Valor esperado esperança ou média Dada a VA X assumindo os valores x1 x2 xn chamamos valor esperado ou esperança ou de valor médio ou de X o valor PX PX PX 25 Discreta p Contínua Variáveis aleatórias discretas Exemplo Qual é o valor esperado médio da soma dos pontos no lançamento de dois dados PX PX PX Os valores que a variável aleatória ou função assume usase como pesos para ponderação das probabilidades correspondentes a cada valor A Esperança ou valor esperado é a média ponderada dos valores EX 2 3 11 12 7 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 Variáveis aleatórias discretas Exemplo Em uma rede de computadores em 60 dos dias ocorre alguma falha Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X número de dias com falha na rede considerando o período de observação de 3 dias Suponha que os eventos são independentes Qual o valor esperado média de falhas Probabilidade de Falha 060 B rede boa F Falha na rede 27 E x 0 0064 1 0288 2 0432 3 0216 18 Variáveis aleatórias contínuas Exemplo O tempo em anos adequado de troca de uma peça de certa marca de computador é uma va com a função densidade Calcule o tempo médio de troca de uma peça de certa marca de computador 28 Variáveis aleatórias Propriedades do valor esperado média E k k se k é constante E X K k E X E X Y E X E Y E X Y E X E Y E X Y E X E Y se X e Y independentes 29 Variáveis aleatórias Variância A variância de uma variával aleatória é uma medida da sua dispersão estatistica indicando quão longe os seus valores se encontram do valor esperado É a medida que fornece o grau de dispersão ou de concentração de probabilidade em torno da média 30 Se X é uma VA discreta Se X é uma VA contínua Variáveis aleatórias discretas Exemplo Considerando a soma dos pontos de lançamento de dois dados Calcular a Variância 𝟐 𝟏 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟏 𝟑𝟔 𝟐𝟏𝟎 𝟑𝟔 Alternativamente poderíamos calcular 𝟐 𝟏 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟏 𝟑𝟔 𝟐 𝟏𝟗𝟕𝟒 𝟑𝟔 31 Variáveis aleatórias discretas Exemplo 6 Uma livraria mantém os registros das vendas diárias dos livros Com os dados para determinado livro construiuse a seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória X número de livros vendidos por semana a Calcule a probabilidade de vender mais que 2 livros por semana PX 2 PX 3 PX 4 PX 5 02 008 0 1 038 b Calcule a probabilidade de vender no máximo um livro PX 1 PX 0 PX 1 005 015 02 32 Variáveis aleatórias discretas Exemplo 61 Uma empresa de aluguel de carros tem em sua frota 4 carros de luxo e ela aluga esses carros por dia segundo a seguinte função de distribuição de probabilidade a A média de carros de luxo alugados por dia e a variância 34 Variáveis aleatórias discretas Exemplo 61 Uma empresa de aluguel de carros tem em sua frota 4 carros de luxo e ela aluga esses carros por dia segundo a função de distribuição de probabilidade O valor do aluguel é de R200000 por dia a despesa total manutenção diária é de R50000 quando alugado e de R20000 quando o carro não é alugado Calcule b A média e o desvio padrão do lucro diário com o aluguel dos carros de luxo 35 193083 reais Variáveis aleatórias Propriedades da Variância k 0 se k é constante X K X X Y X Y se X e Y independentes X Y X Y se X e Y independentes 38 Variáveis aleatórias Desvio Padrão O desvio padrão é a medida mais comum da dispersão estatística E definido como a raiz quadrada positiva da Variância Uma medida da dispersão que É sempre um número nãonegativo Tem a mesma unidade de medida dos dados fornecidos inicialmente 39 Variáveis aleatórias Principais Distribuições Discretas Uniforme Bernoulli Binomial Poisson 40 Variáveis aleatórias Principais Distribuições Continuas Normal Exponencial 41