Variáveis Aleatórias e Distribuições Discretas em Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Variáveis aleatórias Principais Distribuições Discretas TURMA CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO ENG DA COMPUTAÇÃO 20231 PROFESSOR PETRUCIO A MEDEIROS BARROS UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS Instituto de Computação 1 Variáveis aleatórias Uma distribuição discreta de probabilidade enumera cada valor possível da variável aleatória bem como sua probabilidade Principais Distribuições Discretas Uniforme Bernoulli Binomial Poisson 2 Distribuições Discretas Distribuição Uniforme Os valores possíveis ocorrem com a mesma probabilidade 3 Distribuições Discretas Distribuição Uniforme Exemplo Uma máquina pode apresentar 5 tipos diferentes de defeitos que ocorrem aproximadamente na mesma frequência Dependendo do tipo de defeito o técnico leva 1 2 3 4 ou 5 horas para consertar a máquina a Descreva o modelo probabilístico apropriado para representar a duração do tempo de reparo da máquina b Qual é o tempo médio de reparo desta máquina E o desvio padrão deste tempo de reparo 4 Distribuições Discretas Distribuição Uniforme Exemplo Uma máquina pode apresentar 5 tipos diferentes de defeitos que ocorrem aproximadamente na mesma frequência Dependendo do tipo de defeito o técnico leva 1 2 3 4 ou 5 horas para consertar a máquina c São 15 horas e acaba de ser entregue uma máquina para reparo A jornada normal de trabalho do técnico termina às 17 horas Qual é a probabilidade de que o técnico não precise fazer hora extra para terminar o conserto desta máquina Seja E o evento técnico vai ter que fazer hora extra 5 A probabilidade de ter que fazer hora extra é 04 Distribuições Discretas Distribuição Bernoulli 6 Muitos experimentos admitem apenas dois resultados Exemplos Uma peça é classificada como boa ou defeituosa O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativa Chutar um questão na prova acertar ou não No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma variável aleatória com Distribuição de Bernoulli Distribuições Discretas Distribuição Bernoulli Experimentos que tem apenas dois resultados possíveis podem ser resumidos como 7 É o que se considera no estudo S 1 É o resto F 0 Distribuições Discretas Distribuição Bernoulli Considere um questão objetiva com 5 alternativas qual a probabilidade no chute de acertar e de errar a questão X Chutar a questão 8 PS PX1 15 PF PX0 45 Probabilidade de sucesso p 15 Probabilidade de fracasso 1 p q 45 Distribuições Discretas Distribuição Bernoulli 9 Notação X Bernoulli p Distribuições Discretas Distribuição Bernoulli Generalização da distribuição Bernoulli Distribuição Binomial 10 Distribuições Discretas Distribuição Bernoulli Exemplo 1 Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes Retirase uma bola dessa urna Seja X o número de bolas verdes calcular a P X p 2050 25 q 3050 35 P X x b E X p 25 c VAR X p q 11 Distribuição Binomial Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao Modelo Binomial Premissas de um experimento binomial P pppp qqq P Onde 12 Distribuição Binomial Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao Modelo Binomial Premissas de um experimento binomial O experimento é repetido n vezes e os n resultados do experimento são independentes O experimento tem apenas dois possíveis resultados sucesso ou fracasso A probabilidade de sucesso do experimento é p e se mantém constante durante as n repetições A probabilidade de fracasso do experimento é 1 p 13 Distribuição Binomial Utilizada quando o enfoque é a determinação da probabilidade de se obter k sucessos em n tentativas Existem apenas dois resultados possíveis sucesso e fracasso Sendo p a probabilidade de sucesso q a probabilidade de fracasso q 1 p n número total de tentativas independentes K número de vezes que ocorreu sucesso Notação X Binomial n p 14 Distribuições Discretas Distribuição Binomial Exemplo Considere uma questão objetiva com 5 alternativas na qual a probabilidade no chute de acertar 3 das 4 questões dadas X número total de acertos n 4 k 3 p 15 02 q 45 08 P X 3 P X 3 00256 15 Px k binom7k cdot pk cdot qnk binom77 cdot 067 cdot 0477 00280 Distribuição Binomial Exemplo 2 Um gerente de uma loja estima que de dez vendas realizadas três são microcomputadores e sete equipamentos eletrônicos Qual a probabilidade de que uma das próximas quatro vendas seja um microcomputador a PM1 P EEEM P EEME P EMEE P MEEE 07 07 07 03 07 07 03 07 07 03 07 07 03 07 07 07 04116 07 07 07 03 4 04116 4 x 04116 c 17 Distribuição Binomial Exemplo 3 Considere uma prova com 10 questões e com quatro opções de resposta Calcular a probabilidade de alguém no chute acertar 4 questões X número de acertos de questões p ¼ 025 q ¾ 075 n 10 210 00039 01780 18 Px 4 binom60 cdot left frac13 right0 cdot left frac23 right6 frac60 cdot 6 cdot 1 cdot frac64729 00878 Px 4 binom64 cdot left frac13 right4 cdot left frac23 right2 frac6 cdot 5 cdot 42 cdot 4 cdot frac181 cdot frac49 frac20243 00823 Exemplo 4 Vasco e Botafogo jogam entre si 6 vezes c Probabilidade do Vasco ganhar no máximo duas partidas n 6 p13 q23 k 0 1 e 2 número de sucessos P X 0 P X1 PX2 6130236 6131235 6232134 00878 02634 03292 06804 Distribuição Binomial Exemplo 4 Vasco e Botafogo jogam entre si 6 vezes Mostrar todos os resultados considerando como sucesso o Vasco ganhar Usando R 23 X P x P x 0 00878 00878 1 02634 03512 2 03292 06804 3 02195 08999 4 00823 09822 5 00165 09986 6 00014 10000 X P x P x 0 00878 00878 1 02634 03512 2 03292 06804 3 02195 08999 4 00823 09822 5 00165 09986 6 00014 10000 Exemplo 4 Vasco e Botafogo jogam entre si 6 vezes d Probabilidade do Vasco ganhar pelo menos três partidas n 6 p13 q23 k 3 4 5 6 número de sucessos P X 3 P X4 PX5 PX6 6133233 6134232 6135231 6136230 02195 00823 00165 00014 03197 Distribuição Binomial Exemplo 4 Vasco e Botafogo jogam entre si 6 vezes Mostrar todos os resultados considerando como sucesso o Vasco ganhar Usando R 24 Exemplo 5 Uma moeda é lançada 6 vezes encontre a probabilidade de a Ocurrer 4 coroas b Ocurrer pelo menos 2 coroas c Ocurrer no máximo 3 coroas Temse n 6 p 12 q 12 e k número de coroas sucessos a P x 4 6124122 1564 0234375 b P x 2 Px2Px3Px4Px5Px6 P x 2 6122124 6123123 6124122 6125121 6126120 5764 0890625 c P x 3 Px0Px1Px2Px3 P x 3 6120126 6121125 6122124 6123123 6123 4264 065625 Distribuição Binomial Média variância e desvio padrão Média n p Var n p q n p q 27 Distribuição Poisson A distribuição de Poisson é utilizada para descrever a probabilidade do número de ocorrências em um intervalo contínuo de tempo área ou espaço Busca encontrar a probabilidade de um número designado de sucessos por unidade de intervalo tempo comprimento etc e não o número de sucessos em n tentativas como ocorre com a distribuição binomial Usada com frequência na solução de problemas administrativos Exemplos Número de acidentes de carros por dia em uma determinada cidade Números de chamadas telefônicas por hora Números de defeitos em um rolo de arame de 500 metros Mortes por ataque de coração por ano 28 Distribuição Poisson A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta de uma variável aleatória X que satisfaz às seguintes condições Consiste em calcular o número de vezes que um evento ocorre em um dado intervalo taxa média O intervalo pode ser de tempo área volume etc A probabilidade de o evento acontecer é a mesma para cada intervalo O número de ocorrências em um intervalo é independente do número de ocorrências em outro intervalo Sendo 0 Notação X Poisson 29 Distribuição Poisson Distribuição Poisson Exemplo 3 A média de alunos aprovados em uma disciplina é 23 alunos X Números de alunos aprovados b Qual a probabilidade de aprovar 25 alunos 33 Exemplo 2 Chegam caminhões a um depósito à razão de 28 caminhõeshora segundo uma distribuição de Poisson Determine a probabilidade de chegarem dois ou mais caminhões a em um período de 05 horas λ 14 b em um período de 1 hora λ 28 c em um período de 2 horas λ 56 Px 2 1 Px 0 Px 1 1 ppois1 lambda taxa 05 1 04081673 1 ppois1 lambda taxa 1 1 07689218 1 ppois1 lambda taxa 2 1 09755941 Distribuição Poisson Exemplo 3 A média de alunos aprovados em uma disciplina é 23 alunos X Números de alunos aprovados d Qual a probabilidade de mais de 19 alunos serem aprovados e Qual a quantidade de aprovados se a probabilidade acumulada for de 80 34 Distribuição Poisson Distribuição Poisson Exemplo 4 O número de mortes por afogamento em fins de semana numa cidade praiana é de 2 para cada 50000 habitantes Qual a probabilidade de que em b 112500 habitantes ocorreram pelo menos 3 afogamentos Px 3 1 Px 3 1Px 0 Px 1 Px 2 1 0011109 0049990 0112479 1 01735780 0826422 taxa 250000 112500 1 dpois0 taxa dpois1 taxa dpois2 taxa 1 08264219 1 sumdpois02 2 50000 112500 1 08264219 ppois2 taxa lowertail FALSE 1 08264219 Distribuição Poisson Px eλ λˣ x Exemplo 5 Suponha que 150 erros de impressão são distribuídos aleatoriamente em um livro de 200 páginas Encontre a probabilidade de que em 2 páginas contenham a nenhum erro de impressão b três erros de impressão c um ou mais erros de impressão Distribuição Poisson Px eλ λˣ x Exemplo 6 Experiências passadas indicam que o número de ligações recebidas no período noturno em uma central telefônica segue uma distribuição de Poisson As probabilidades de receber chamadas por hora estão apresentadas na tabela a seguir Calcule a probabilidade da central receber 3 ou mais chamadas em uma hora P X3 PX3 PX4 PX5 que é uma soma infinita P X3 1PX3 1 PX0 PX1 PX2 P X3 1PX3 1 00111 00500 01125 08264 ou 8264 Distribuição Poisson Média variância e desvio padrão Média Var DP 39 Comparação entre Binomial e Poisson 40 Distribuição Binomial Distribuição de Poisson Funções de distribuição em R Toda distribuição possui quatro funções associadas cujo prefixo indica o tipo de função e o sufixo indica a distribuição As quatro funções de distribuição são d xxxx função de densidade de probabilidade da distribuição p xxxx função de probabilidade acumulada da distribuição Fx no ponto q xxxx função quantil da distribuição correspondente a uma dada probabilidade r xxxx retira uma amostragem aleatória da distribuição 41 Funções de distribuição Binomial 42 Funções de distribuição de Poisson 43 Dúvidas Obrigado e até a próxima aula