Cálculo Diferencial Multivariável

Assinatura Instruções Coloque seu nome e sua matrícula legíveis e assine Toda a prova deve estar legível inteligível e com nome Identifique claramente as resoluções e as respostas das questões As respostas devem estar devidamente justificadas não resolvidas com erros ou frações Caso haja números com casas decimais escrevaos com 4 casas decimais mas se o total de algarismos for mais que 4 adote encontrose em notação científica com 6 casas decimais Os demais avisos serão dados no início da prova 1 Sejam as funções f R² R fxy cosx² siny² sinx² cosy² senx² y² Calcule 11 f0 gradiente fxy 12 derivada direcional na direção do vetor 34 2 Use a regra da cadeia para desenvolver as seguintes derivadas 21 ddt F xt yt 22 F x Xv w Yw Zv 3 Seja a função f R² R fxy 12 y⁴ x² y y 31 pwa Apresente o sistema de equações de onde se obtém os candidatos a pontos de máximo eou mínimo 32 pwa Apresente os pontos xy candidatos a máximo eou mínimo 33 pwa Apresente a matriz Hessiana sem substituir quaisquer valor dos pontos 34 pwa Classifique os pontos em máximos ou mínimos RESPOSTAS 11 11 Dada a função fxy seny² cosx² senx² cosy² sen x² y² as suas derivadas parciais são fx xy 2x cos x² y² fy xy 2y cos x² y² logo o gradiente é fxy fx xy fy xy 2x cosx² y² 2y cosx² y² 12 Seja o vetor u 34 podemos calcular a derivada direcional fu xy através da relação fu xy fxy u 2x cosx² y² 2y cosx² y² 34 6x cos x² y² 8 y cos x² y² 6x 8y cos x² y² 21 Basta utilizar a relação ddt F γt Fγt γt em nosso caso γt xt t yt γt xt 1 yt logo ddt Fxt t yt F xt t yt xt 1 yt Fx xt t yt xt Fy xt t yt 1 Fz xt t yt yt 22 De maneira semelhante ao anterior aqui temos γv v Xvw Yw Zv 1 γv 1 Xv vw 1 0 Zv logo Fv v Xvw Yw Zv F v Xvw Yw Zv 1 Xv vw 0 Zv não depende de v Fx γv 1 Fy γv Xv vw Fz γv 0 2Fw γv Zv escrito em 1 31 Para determinar o sistema de equações onde se tem os máximos e os mínimos basta utilizar que f xy 00 2 calculando as derivadas parciais de f fx xy 0 2x y 0 2xy fy xy 36y² x² 1 assim f xy x y 36 y² x² 1 logo o sistema por 2 é x y 0 36 y² x² 1 0 32 Da 1º equação do sistema x 0 ou y 0 Se x0 então na 2º equação 36 y² 1 0 y 16 Se y 0 então na 2º equação x² 1 0 x 1 logo os pontos candidatos a maxmin são P₁ 0 16 P₂ 0 16 P₃ 10 e P₄ 10 Calculando as derivadas parciais segundas ²x² fxy 2y ²y² fxy 72y e ²xy fxy 2x Logo a matriz Hessiana é Hxy ²fx² ²fxy ²xy ²fy² 2 y 2 x 2 x 72 y substituindo os pontos na Hessiana temos HP₁ H0 16 216 0 0 7216 13 0 0 12 det HP₁ 1213 4 0 e ²fx² P₁ 13 0 portanto P₁ é um mínimo local HP₂ H0 16 13 0 0 12 det HP₂ 4 0 e ²fx² P₂ 13 0 portanto P₂ é um máximo local HP₃ H10 20 21 21 720 0 2 2 0 det HP₃ 4 0 P₃ é um ponto de sela HP₄ H010 0 2 2 0 det HP₄ 4 0 P₄ é um ponto de sela