Função de 2º grau: Definições e Gráficos

Definição Função de 2o grau ou função quadrática é a função dada por fx ax2 bx c ou y ax2 bx c com a b c IR sendo a 0 Exemplos a fx x2 3x 4 onde a 1 b 3 c 4 b 2 2 4 5 y x x onde a 2 b 5 c 4 c 2 1 2 3 3 f x x x onde a 3 b 2 c 13 d fx 3 4x2 onde a 4 b 0 c 3 e 1 2 2 5 y x x onde a 15 b 2 c 0 Representação gráfica O gráfico de uma função de segundo grau é sempre uma parábola Exemplos 8 6 4 2 0 2 4 6 8 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x y a y b c 0 2 4 6 8 10 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x y 0 2 4 6 8 10 12 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x y 8 6 4 2 0 2 4 6 8 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x y d e f 10 8 6 4 2 0 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x y 12 10 8 6 4 2 0 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x y Concavidade da função de segundo grau Se a 0 a concavidade da parábola é voltada para cima Veja os exemplos a b e c Se a 0 a concavidade da parábola é voltada para baixo Veja os exemplos d e e f Interceptos a Com eixo y Para determinar o intercepto da função de segundo grau com o eixo y eixo vertical calculase o valor da função para x 0 Ou seja c f0 c 0b 0a f0 c bx ax fx 2 2 ou c y c b a y c bx ax y 0 0 2 2 Portanto o intercepto da função de segundo grau com o eixo y é sempre o ponto 0 c Exemplo fx x2 3x 4 f0 02 30 4 f0 4 ponto 04 b Com eixo x ou mais conhecidos como raízes da função quadrática As raízes da função quadrática são os pontos que interceptam o eixo x eixo horizontal Para determinálas devese fazer fx 0 ou y 0 ou seja calcular os valores de x tais que ax2 bx c 0 Essa equação é resolvida através da fórmula de Bhaskara dada por a 2 4ac b b x 2 O termo b2 4ac define o número de raízes da função quadrática Para 0 a função possui duas raízes encosta duas vezes no eixox veja gráficos a e d 0 a função possui uma única raiz encosta uma única vez no eixox veja gráficos b e e 0 a função não possui raízes reais não encosta no eixox veja gráficos c e f Exemplo fx x2 3x 4 32 414 25 duas raízes raízes 3 25 1 4 2 2 1 b x x e x a pontos 1 0 e 4 0 Vértice da função quadrática O vértice da função quadrática é o ponto xv yv 2 4 b a a Se a concavidade da função quadrática é voltada para cima ou seja se a 0 o vértice define o ponto de mínimo absoluto da função Se a concavidade da função quadrática é voltada para baixo ou seja se a 0 o vértice define o ponto de máximo absoluto da função Exemplo fx x2 3x 4 Para essa função obtevese 25 Portanto vértice 3 25 3 25 2 4 2 1 4 1 2 4 15 625 b a a Construção de gráfico Para desenhar o gráfico de uma função quadrática podese seguir o roteiro abaixo Passo 1 Determinar a concavidade da função a 0 concavidade para cima a 0 concavidade para baixo Passo 2 Determinar o intercepto com o eixo y ponto 0 c Passo 3 Determinar as raízes da função isto é os interceptos com o eixo x 0 duas raízes x 0 e x 0 0 uma raiz x 0 0 não possui raízes reais Passo 4 Determinar o vértice da função ponto 2 4 b a a Passo 5 Localizar graficamente os pontos obtidos em 2 3 e 4 e desenhar a parábola Para o Exemplo temos o seguinte gráfico seguindo o roteiro Note que o vértice da função do Exemplo é ponto de mínimo da função Teremos o vértice como ponto de máximo de uma função se ela for virada para baixo 8 6 4 2 0 2 4 6 8 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x y Exercício 1 Para as funções abaixo i determine a concavidade ii determine os interceptos com o eixo x e com o eixo y iii determine o vértice iv trace o gráfico use as informações já obtidas em i ii iii a y x2 6x 9 b y x2 x 3