Geometria Euclidiana e Hiperbólica - Axiomas e Teoremas Essenciais

geometria euclidiana geometria neutra Axioma do Paralelismo de Euclides APE Axioma de Paralelismo de Euclides APE Qualquer que seja a reta π e qualquer que seja o ponto p fora de π Então a reta paralela a π passando por P é única 1º APE é independente dos axiomas anteriores axioma da geometria neutra considerando o modelo de Klein Vale os axiomas da geometria neutra ss e t são duas retas no modelo de Klein que passam por P Além disso s s e μ são paralelas a M Teoremas clássicos da geometria Euclidiana 1 Lema da transversal m n e s são retas paralelas e t uma reta que corta s então t corta m Dami Seja P s onde t corta s Suponhamos que t não corta π Logo t é paralela a π e PET Por hipótese t é paralela a π e P s ABSURDO Pois Contradiz APE 2º Recíproca do Teorema dos ângulos alternos internos se duas retas paralelas m e n são cortadas por uma transversal t então os ângulos alternos internos tem a mesma medida Dem Dam Seja AP t V Gt r n agentes A e s A e B em lados opostos em relação a t Queremos provar que PÂQ A P Q Suponha que A P Q P Q B Seja s a reta que passa por P tal que A P Q P Q B A s está no mesmo lado de B em relação a reta t Pelo teorema dos ângulos alternosinternos 4 Teorema do ângulo externo da geometria Euclidiana Um ângulo externo em um triângulo é a soma dos ângulos internos não adjacentes Dem seja DABC e denote  α B β ân guttos internos e θ é ângulo externo no vértice C  α β 180 180θ α β 180 α β θ Definição Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos Exercício Usando geometria neutra construa um paralelogramo A Δ1 Δ2 Δ3 A ab2 ab2 cc2 a b² 2ab c² a² 2ab b² 2ab c² c² a² b² geometria Hiperbólica geometria do universo geometria neutra Axioma de Paral modele Lobatchev APL qualquer que seja a reta r e qualquer que seja o ponto P fora de r existem pelo menos duas retas para P delas a r passando por P Modelo P geometria Hiperbólica Modelo de Klein Ponto xy tais que x² y² 1 reta Cordas da circunferencia x² y² 1 s1 e s2 possuem por P e são Paralelas a r Proposição Seja P um ponto fora de r Para APL existem s1 e s2 retas paralelas a r em P s1 e s2 não concorrentes em P onde forma dois pares de ângulos opostos pela retita Seja o par de ângulos opostos que não é oposto a r Dado por α esse ângulo Seja I2 um ponto no interior de α Por I2 temos uma reta t2 denom usada por P2 P3 Por I2 t1 intercepta s1 e s2 somente uma Portanto t2 é outra reta passando por P paral La α Como no interior dos ângulos α contém infinitos pontos estes opostos ao ângulo interior Tais infinitos retos passando por P paralelos a r Lema Existe Paralelogramo na geometria euclidiana 1 Seja A B pontos I3 2 seja n a reta determinada por A B I2 3 Seja C um ponto fora de n I1 4 seja s a reta determinada por C e A I2 5 Seja t a única reta paralela a n passando C APE 6 seja μ a única reta paralela a s passando por B APE 7 seja D μ t Lema da Transversal prov W m D π 4 a A B Teorema 1 Qualquer Triângulo tem soma dos ângulos internos 180 Notação dizer soma dos ângulos internos menor que 180 S 180 Proposição 1 Existe um triângulo tal que S 180 Prova Seja r uma reta e tome P r Seja A r pé da perpendicular a r baixada de P Seja s a reta perpendicular a PPa em P Note que s e r não paralelos Seja t outra reta paralela a r em P APL seja β MÂN onde M s N t estão do mesmo lado em relação a reta AP Lema 1 Existe B r tal que ĤÂP α β seja γ ĀP B Logo γ β 90 Pelo Lema 1 α γ 90 β γ 90 90 90 180 Prova do Lema 1 β 0 fixado Δ 0001 αm β Seja A r pé da perpendicular baixada de P Seja P0 r tal que AP0 AP logo ĀP B ĀP P0 α0 d0 45 Seja P1 r tal que P0P1 P1P0 logo P1 P0 P P0 P P1 α1 α0 2 α1 Tuo ang internos α1 α0 α1 12 45 Repetindo esse argumento obtemos Pn r tal α2 P1P2P α3 Pn Pn P por um arbitrário temos existe Pm r tal que αm 1 2ⁿ 45 Tomo se suficientemente grande tal que αn α β Construimos um quadrilátero ABCD cujos lados opostos são paralelos Portanto ABCD é um paralelogramo Retângulo É um paralelogramo cujos 4 ângulos internos são retos Exercício Prove que não existe retângulos na geometria neutra Teorema 2 Existe retângulo na geometria Euclidiana Prova 1º Seja a reta r I3 e I2 2º Seja A r I1 antigo 3º Seja t a reta perpendicular a r em A Teorema da reta perpendicular 4º Seja B t distinto de A I1 I2 e I3 5º seja s a reta perpendicular a t em B Teorema da reta perpendicular 6º Seja C r distinto de B I1 I2 I3 7º Seja M a única reta paralela a t passando por C APE 8º s e r não paralelas Alternosinternos 9º Seja D μ r Lema da transversal 10º s é perpendicular a si em C Recíproca dos alternosinternos Iesamma 1 Não exite retas equidistantes Prova suponha que existe duas retas r e S equidistantes Sejam A B C π tome A B C 𝔻 respectivamente os pés das perpendiculares baixados Logo ĀA BB CC Temos 1 ABBA quadrilátero de Saccheri os ângulas do tipo são iguais α β₁ 1 2 BCC B quadrilátero de Saccheri γ β₂ 2 3 ACC A γ α 3 Como β₁ β₂ 180 por 1 2 3 β₁ β₂ β₁ β₂ ρ₁ β₂ 30 α 1 Logo ABBA é um retângulo Pos não existe retângulos Exercício no modelo de klein determina o lugar geométrico dos pontos Xxy y0 cuja distância do klein à reta r de equação y 0 Solução x² y² L P x 1 x² Q x1 x² 1 12 ln𝑋𝑃X𝑄 ln 1 x²y 1 x² 2 d 1 x² 0 f 1 x² 0 ln y 1 x²y 1 y 1 x² y 1 x² 2 l dₖX r dₖX A 12 ln XP XQ HO AP Note que AP FQ XP y 1 x² Y0 1 x² Como y 0 y y y 1 x² y 1 x² lny1 x² lny 1 x² lny1 x² lny 1 x² 0 ln y1 x²y 1 x² 0 ln y 1 x²y 1 x² 2 y 1 x²y 1 x² e² y 1 x² e²y 1 x² y1 e²² 1 x²²1 e²² 1 e²² y² 1 e²² x² 1 e²² y²1 e²² x² 1 elipse y²b² x²a² 1 b e² 1e² 1 1 11º μ é perpendicular a r em D Recíproca dos alternos internos construímos o quadrilátero ABCD cujos 4 ângulos internos são retos Portanto um retângulo teorema de pitágoras a c h b teorema de pitágoras 1 c² a² b² Retas paralelas com perpendicular comum Geometria neutra garante a existência de uma perpendicular com a duas retas paralelas Tome B t A e considera a reta s perpendicular a t em B Axioma de transfudor Pelo Teo dos ângulos alterno internos r e s são paralelas Tome então r e s retas paralelas AB perpendicular comum Siga r como reta e considera A r Seja t a reta paraperpendicular a r em A Axioma dos transfudor Questão Como construir uma segunda reta paralela a r passando por B Resposta seja C s B e tome C r op da perpendicular baixada por C Logo em ACB temos B 90 C i agudo AB CC Tome P CC talque PC AB Portanto ACPB de Saccheri como a reta que contém o topo é paralela a reta que contém a base segue que a reta s₂ determinada por B e P é paralela a r passando por B distinta de s Teorema 2 Quando existe um segmento AB perpendicular comum a duas retas paralelas r e s temse 1 AB é único 2 é o menor segmento que liga pontos de r a pontos de s 3 Para cada C s seja C r talque CB CB então C e s não são equidistantes a r 4 A distância de cada pontos de s a r a medida que o ponto se afasta de B I por ambos os lados Prova 1 OK pois se existir duas temse um retângulo 2 3 Seja C s qualquer e tome C r op da perpendicular baixada por C Logo BCC agudo CC AB d C r d C r sejam P e Q r respectivamente os pés das perpendiculares baixadas de C e C Por LAL Δ BCA e Δ BCA não congruentes Logo AC AC e CÂB C B como AB é perpendicular a π então PÂC 𝜃 C Por LAL Δ PAC e Δ QAC são comgruentes CP CQ