Teorema de Ponsoda e Geometria Hiperbólica: Análise de Retas Paralelas e Perpendiculares

teorema aula Ponsoda hipotes r e s retas paralelas AB perpendiculares comuns Teor a AB unico b AB e segmento que liga pontos de r a pontos de s de r a pontos de s C AB A1B1 A2B2 vamos checar a b e c no modelo de Klein y x 1 23 n y0 1 s y 23 seja X x 23 em n e Ax0 0 em a o pi de perpendicular baixando da de X dk X n dk X A 12 ln PXGX 14 ln PXGX Xx0 23 x2 y2 1 xy sqrt1x2 P0 x0 sqrt1x02 Q0 x0 sqrt1x02 PX sqrt 1 x02 2 GX 23 sqrt1x02 GX PX ent ln GX ln PX dkx n 12 ln PX ln GX 14 ln GX ln PX 12 ln GXPX dkX n 12 ln PX ln GX 12 ln GXPX dkX n 12 ln PX ln GX 12 ln GXPX N x 23 x2 322 1 ax N sqrt59 23 N1 sqrt59 23 Xc x0 23 tendo a AH sqrt59 23 xc sqrt 59 lim d1x n lim 12 ln 3sqrt1x2 2 3sqrt1x2 2 x N x N 12 ln lim 3sqrt1x2 2 3sqrt1x2 2 oo 0 e 1 a lim 3sqrt1x2 2 oo 0 BG e CI AB CD observação Quadrilátero de Saccheri r reta que contém a base e a reta que contém o topo não paralelas Solução seja n a reta que contém AD e seja s a reta que contém BC queremos mostrar que pi e n são paralelas supor que n e s não são paralelas Existe P n n s ABSURDO Pij no ADC P temos soma dos ângulos internos menor que 180 0 lim 3 sqrt 1x2 2 3 sqrt 1x2 2 0 lim 3 sqrt1x2 2 3 sqrt1x2 2 0 dado e razão t o atomo O é imortal por a existência da curva segunda propriedade natural implica na existencia de retangulo 0 que nao existe Def unique seja K um subconjunto de IR Então 1 b é uma cota superior se b x para todo x e K 2 K é limitado superiormente se possui menor cota superior 3 o supremo de K sup K é o menor dos cotas superiores Isto é a sup K se 1 a é uma cota superior 2 todo x e K existe b e K tal que bx e b a seja n uma reta e A e n Hz H1 Na soma plana H2 determinado por AB seja B e n o pi da perpendicular a r baixada por A seja S0 a soma reta consumorgem sem A que intercepta a reta r formam do um ângulo e com semireto Dfinição seja K e se centra K s x map K e o ângulo é do paralelismo A s uma reta Sa e chamada sem a reta paralela limite OBS A difunção é boa a existe de feito K é limitado superiormente pois qualquer q é K é 90 logo K tem cota superior ii Suponha que Sa intercepta a em P e s Seja Q e R tal que B x Px Q B a e B e K ABSURDO pq a e para todo e e K OBS Na reta normal plano H1 temos a mesma fato é ângulo do paralelismo Sx é semireta paralela limite H a ã Ângulo de Paralelismo sejam a uma reta r A ϵ r H2 H1 S0 γ θ ϴ S0 semireta com origem em P ângulo θ com SAB seja o menor dos cotas superiores inteiros a sup K supremo de k a Suponha que α α1 como Sx é concorrente ponto limite então existe c ϵ r tal que Sx corta r Seja c ϵ r tal que Ec Bc Logo por LAL ABC ABc Então BÂC α1 ABSURDO Então Sx não intersepta r Podem dizer supendo α α1 como a mesma supremacia obtemos uma absurdo Portanto α α1 b Como convergência α α1 suponha α α1 logo existe uma semireta com origem em P SA tal que α âSA SAB Como SA está meinterseção de α e Sr é paralelamente então existe c ϵ r tal que c SP r seja c ϵ r c x BAc tal que cB cB Em LAL ABC ABc BÂC α ABSURDO Então α αSAB SAc e SAC interseção interseção de α Põe estes sobre SA α α então repudial o argumento anterior temos uma absurdo Portanto α α1 Exemplo do paralelalimite no modelo de Klein P x0 1 x02 Q x0 1 x02 M 0 23 A reta s que passa por M é reta paralelalimite associada a reta r e o ponto M Seja X xa y0 y0 0 na reta s Seja H xa 0 o pé da perpendicular baixada de X limXM dXr zero limXN dkXr infinito tetel dual tetel dual Teorema O ângulo do paralelismo associado a reta r e a A ϵ n deixam de somentar da dAr Sito é seja r outra reta e A ϵ nx α o ângulo do paralelismo associado a r e A M dAr dAr então α α Prova Sejam B ϵ r e B ϵ r respectivamente os pés das perpendiculares a r e r raiz de dA q α α1 Questões de geometria Euclidiana As medianas dos catetos de qualquer triângulo retângulo se interceptam Será é verdade uma geometria hiperbólica Não Considere o modelo de Klein Objetivo construir um triângulo retângulo ABC gerado nos colos A 1 A 00 o vértice do ângulo reto 2 Catetos lados oriúcos x e y 3 B x0 0 e C 0 y0 X x02 0 ponto médio AB y 0 y02 ponto médio AC y x mistura y 23 perpendicular AC x 23 perpendiculares a AB Nota que 34 34 ϵ disco centrado em 00 raio 1 pois d10 34 34 916 916 342 1 Como X x0 é ponto médio do AB dkXA dkXB isto é dkAB 2dkXR AP 1 AQ 1 BQ 1 x e BP 1 x