Lista de Figuras - Fundamentos da Geometria UFG 2021

Fundamentos de Geometria Prof Genésio Lima dos Reis Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás 28 de maio de 2021 2 Lista de Figuras 11 Existem pelo menos três pontos 17 12 Não existe necessáriamente 4 pontos 17 13 Existem pelo menos três retas 18 21 Existem retas que interceptam 25 22 Uma reta possui pelo menos dois pontos 27 23 Lema da Transversal 28 24 Modelo com 4 pontos e 6 retas 28 25 Existem 4 pontos t r u s 29 26 Todas as retas possuem o mesmo número de pontos 30 27 Modelo em que cada reta possui exatamente 3 pontos 32 28 Em cada ponto passa o mesmo número de retas 32 29 Axioma I1 versão nova 33 210 Qualquer ponto tem pelo menos três retas passando por ela 39 211 Lema da Transversal 41 212 Usando o Lema da transversal para provar o Teorema 21 43 213 Existe 4 pontos e 6 retas 44 214 Proposição m k 1 45 215 Proposição n mk 1 1 45 216 Proposição Existem mk n k retas 46 41 Aplicação distância na reta inclinada 58 42 Axioma da Régua 59 43 Axioma da Régua no modelo Cartesiano 60 44 Função distância no Modelo de Taxista 61 45 Circumferência no Modelo de Taxista 63 46 X está entre A e B 64 47 Existe ponto entre A e B 65 48 X entre A e B se e somente se x entre a e b 66 49 A X B se e somente se a x b 67 410 As regiões do modelo de taxista do Item 422 68 3 4 LISTA DE FIGURAS 411 Mediatriz do modelo de taxista do Item 422 69 412 Modelo de taxista do exercício 414 77 413 Modelo de taxista do exercício 418 79 414 Modelo de taxista do exercício 419 81 51 Bijecção do modelo bizarro 84 52 C A B pois fC fA fB 85 53 Segmento BC parte destacada da reta r O ponto A está no interior de BC porque fA está entre fC e fB 87 54 Segmento AB parte destacada da reta r 87 55 Segmento AC parte destacada da reta r O ponto B está no interior de AC porque fB está entre fA e fC 88 56 Triângulo no modelo bizarro 88 57 Separação do plano 89 58 P e Q em lados opostos da reta r 90 59 Separação do plano no modelo cartesiano reta vertical 90 510 Separação do plano no modelo cartesiano reta inclinada 91 511 Separação do plano no modelo bizarrro 92 512 No modelo bizarro as retas não separam o plano 92 513 Retas cortando um triângulo 93 514 Reta cortando um triângulo no modelo bizarro 94 515 Reta cortando o interior de um triângulo 94 516 Interior de um triângulo no modelo bizarro 95 517 Circunferência no modelo bizarro 98 518 Separação do plano no modelo de taxista 102 519 Diâmetro no modelo bizarro 105 520 Triângulo no modelo bizarro com um lado maior que a soma dos outros dois 106 521 Pode uma reta cortar os três lados d um triângulo 108 61 Segmento e semirreta no modelo bizarro 112 62 Imagem inversao da semireta numérica 113 63 Ângulo BAC com vértice em A 113 64 Ângulo ABC com vértice em B 114 65 Ângulo com dada medida 115 66 M está no interior de BAC e mBAM mCAC mBAC 116 67 A reta de Moulton passando por A 11 e B 11 117 68 Triângulo no modelo de Moulton 118 69 A O M estão em r N O B estão em s 119 610 Separação do plano no modelo de Moulton 121 611 Vértices fora do eixo Oy e vértice V Oy 122 LISTA DE FIGURAS 5 612 Ângulo de Moulton com vértice V no eixo Oy 123 613 Existência e unicidade de perpendicular da reta r por ponto P 124 614 Perpendiculares de reta de Moulton r passando por ponto P 125 615 Ponto N com duas perpendiculares 126 616 Retas de Moulton equidistantes 127 71 Teorema do Pasch 130 72 Teorema da Semirreta do Interior de um Ângulo 131 73 Recíproca do Teorema da Semirreta do Interior de um Ângulo 131 74 Teorema de Pasch e Lema da Semireta do Interior de um Ângulo 132 75 Figuras Ilustrativas no Modelo Bizarro 132 76 Teorema do Ângulo Raso 133 77 Teorema dos Ângulos Opostos pelo Vértice 133 78 Proposição B 134 79 Proposição C 134 710 Lema do Z 135 711 Proposição D 135 712 Proposição E 136 713 Teorema da Semireta do Interior de um Ângulo 137 714 Recíproca do Teorema da Semireta do Interior de um Ângulo 138 715 Proposição F 138 716 Proposição G 139 717 Proposição G 139 718 Teorema do Ângulo Raso 140 719 Prova do Teorema do Ângulo Raso 140 720 Teorema do Ângulo Raso 141 721 Ângulos Opostos pelo Vértice 142 722 Exercício 78 147 723 Exercício 712 148 724 Exercício 713 148 725 Exercício 714 149 726 Exercício 716 150 727 Exercício 717 150 728 Exercício 718 151 729 Exercício 719 151 730 Exercício 720 152 81 Congruência de Triângulos Euclidianos 153 82 Triângulos de Moulton não Congruentes 154 83 Medida de Ângulo no Modelo de Moulton 155 84 Elementos Independentes de Triângulos Cartesianos 156 6 LISTA DE FIGURAS 85 Congruência de Triângulos no Modelo de Moulton 157 86 Contraexemplo de Congruência de Triângulos no Modelo do Ta xista 158 87 Casos de Congruência Contraexemplos ALL esquerda e AAA direita 159 88 Teorema dos Ângulos Correspondentes 159 89 Teorema da Perpendicular por Ponto Fora da Reta 160 810 Duas Perpendiculares por P absurdo 161 811 Existência de Paralela por um Ponto 161 812 Retas no Modelo de Klein 162 813 Funções de Coordenadas no Modelo de Klein 163 814 Sistema de Coordenadas no Modelo de Klein 164 815 Modelo de Klein 164 816 Paralelas por um Ponto 166 817 Teorema de Desargues na Geometria Euclidana e no Modelo de Moulton 167 818 Nomenclatura de ângulos 170 819 Ponto N com duas perpendiculares 171 91 Teorema de Ângulo Externo 178 92 Teorema da Soma dos Ângulos de um Triângulo 178 93 Nova Teorema do Ângulo Externo 180 Sumário 1 Incidência 9 11 Resumo 19 12 Lista de Exercícios n 1 20 13 Soluções da Lista de Exercícios n 1 21 2 Paralelismo 25 21 Resumo 35 22 Lista de Exercícios n 2 36 23 Soluções da Lista de Exercícios n 2 38 3 Cardinalidade 47 31 Resumo 53 32 Lista de Exercícios Exercícios n 3 54 4 Axioma da Régua 57 41 Resumo 70 42 Lista de Exercícios n 4 71 43 Soluções da Lista de Exercícios 4 73 5 Axioma de Separação do Plano 83 51 Resumo 99 52 Lista de Exercícios n 5 101 53 Soluções da Lista de Exercícios n 5 102 6 Medida de ângulo 111 7 Conseqüências dos axiomas de separação do plano e do transferidor 129 71 Resumo 143 72 Lista de Exercícios n 7 145 73 Soluções da Lista de Exercícios n 7 147 7 8 SUMÁRIO 8 Congruência de triângulos 153 81 Resumo 168 82 Lista de Exercícios n 8 169 83 Soluções da Lista de Exercícios n 8 170 9 Geometria Neutro a força do axioma de congruência de triângulo 173 10 Geometria Euclidiana 187 11 Os substitutos do Axioma de paralelismo de Euclides 193 111 Resumo 204 112 Lista de Exercícios n 11 206 113 Soluções da Lista de Exercícios n 11 208 12 Geometria Hiperbólica Tópicos básicos 211 13 Geometria Hiperbólica Retas paralelas 217 131 Lista de Exercícios n 13 237 132 Soluções da Lista de Exercícios n 13 239 14 Todos 241 Roteiro 1 Incidência roteiro1 Conteúdo O que é teoria O que é definição de objeto matemático O que é axioma O que é teorema O que é demonstração de teorema O que é sistema axiomático Termos primitivos da geometria plana ponto e reta Relação de incidência Axiomas de incidência Quantos pontos uma reta possui Quantos pontos o plano possui Modelo para um sistema axiomático Item 11 Contextualização histórica De Tales a Euclides Os Elementos ex item11 posta oralmente Contextualização dentro do curso exposta oralmente Item 12 O que é teoria Consulta no Dicionário Aurélio Do grego theoría item12 ação de contemplar examinar a Conhecimento especulativo meramente racional b Conjunto de princípios fundamentais duma arte ou duma ciência c Doutrina ou sistema fundado nesses princípios d Filosofia Teoria é Conjunto de conhecimentos não ingênuos que apre sentam graus diversos de sistematização e credibilidade e que se propõem explicar elucidar interpretar ou unificar um dado domínio de fenômenos ou de acontecimentos que se oferecem à atividade prática e Lógica Teoria é Do ponto de vista estritamente formal o sistema de pro posições em que não se encontram proposições contraditórias nem nos axio mas nem nos teoremas que deles se deduzem f Teoria das idéias Filosofia Doutrina fundamental do platonismo que con siste em conceber entidades eternas e imutáveis que seriam objeto de conheci mento verdadeiro e de que as coisas do mundo sensível constituiriam pálidos reflexos 9 10 ROTEIRO 1 INCIDÊNCIA Item 13 Uma teoria é constituída de objetos e afirmações a respeito dos item13 objetos Exemplo de teoria geometria euclidiana os seus objetos são ponto reta ângulo triângulo etc exemplos de afirmações por dois pontos passa uma e uma só reta as diagonais de um retângulo são iguais Item 14 O enunciado de uma afirmação consiste de uma hipótese e de uma item14 tese A hipótese é aquilo que se admite como sendo dado A tese é aquilo que está assegurado na presença da hipótese Item 15 O que é demonstração de uma afirmação O que é axioma O que é item15 teorema Uma prova ou demonstração de uma afirmação é uma seqüência de afirmações acompanhadas de suas justificativas que conduzem à tese A justificativa de cada afirmação que aparece numa demonstração é feita através de afirmações estabele cidas anteriormente Assim provar ou demonstrar uma afirmação é mostrar como ela decorre logicamente de outras afirmações já estabelecidas anteriormente Para que a cadeia de demonsirações de afirmações não se estenda para trás indefinida mente é inevitável que se concorde em aceitar algumas afirmações sem demons tração As afirmações aceitas sem demonstração são chamadas de axiomas ou postulados As afirmações que são demonstradas são denominadas de teoremas proposições corolários ou lemas Item 16 O que é definição de um objeto O que é objeto primitivo E objeto item16 definido A definição de um objeto é o enunciado das propriedades caracterizadoras do ob jeto As propriedades caracterizadoras servem para distinguir o objeto definido dos outros objetos Objetos termos e conceitos são sinônimos Exemplo de defi nição retângulo é um paralelogramo que tem os quatro ângulos retos Portanto um objeto é retângulo se for paralelogramo e se seus ângulos forem retos Uma condição que deve cumprir uma definição é a de que os termos que aparecem no seu enunciado deverão ter sido estabelecidos anteriormente Assim os termos paralelogramo e ângulo reto que aparecem na definição de retângulo terão que ser definidos anteriormente Para que a cadeia de definições de objetos não se estenda para trás indefinidaménte é inevitável que se concorde em adotar alguns objetos sem definição Os objetos aceitos sem definição são chamados de obje tos ou termos primitivos ou nãodefinidos Os outros são objetos derivados ou definidos 11 Item 17 De que é constituído um sistema axiomático item17 Um sistema axiomático é constituído de objetos nãodefinidos objetos definidos relações entre objetos axiomas e teoremas Item 18 Começando a construir uma geometria plana item18 Objetos primitivos ponto e reta Relação primitiva ponto pertence à reta relação de incidência Neste curso estudamos apenas a geometria plana sendo assim plano é definido como o conjunto de todos os pontos Quando se estuda a geometria espacial plano é um conceito primitivo Como não sabemos o que é ponto reta e nem o que é a relação pertence à como é que vamos trabalhar com eles Resposta os axiomas é que nos dão as pri meiras propriedades desses objetos e que nos instrumentalizam para manipulálos Nada podemos afirmar sobre esses objetos que não seja decorrente dos axiomas Começamos a enunciálos Item 19 Primeiro axioma I1 item19 axI1 Axioma 1 I1 Qualquer que seja a reta existe ponto que pertence a ela e existe ponto que não pertence a ela Primeiramente uma questão de linguagem Usamos a expressão existe ponto com o mesmo sentido de existe pelos menos um ponto Não significa nem que existe exatamente um ponto nem que existe mais de um ponto Toda afirmação ma temática pode ser escrita na forma Se hipótese então tese Numa dada situação em que a hipótese está presente vale também a tese Dizemos que a hi pótese implica a tese ou que a tese é conseqüência da hipótese Na forma se então o Axioma I1 pode ser escrito Se r é uma reta qualquer então existe um ponto P pertencente a r e existe um ponto Q não pertencente a r Assim a hipótese e a tese deste axioma são Hipótese r é uma reta Tese a existe um ponto P pertencente a r b existe um ponto Q não pertencente a r A parte a da tese nos diz que reta é um conjunto não vazio isto é toda reta possui pelo menos um ponto enquanto a parte b diz que uma reta não contém todos os pontos do plano Item 110 Segundo axioma I2 item110 axI2 Axioma 2 I2 Dois pontos determinam uma reta 12 ROTEIRO 1 INCIDÊNCIA Em outras palavras dados dois pontos distintos quaisquer existe uma e uma só reta que os contém Para este axioma temos Hipótese A e B são dois pontos Tese a existe uma reta r que contém A e B b r é única isto é se s é uma reta que contém A e B então s r Na prática o uso do fato de que r é única é como explicado no item b quando se tem duas retas r e s que contém os pontos A e B então s r Isto significa que todo ponto de s é ponto de r e viceversa Item 111 Quantos pontos uma reta possui item111 A pergunta assim colocada é ambígua O que perguntamos é o seguinte Podendo utilizar apenas os axiomas I1 e I2 quantos pontos podemos garantir que uma reta possui Resposta tentativa pelo menos dois Com esta resposta enunciamos a se guinte afirmação que deve ser provada Afirmação Qualquer reta possui pelo menos 2 pontos Enunciado na forma Se então Se r é uma reta então existem dois pontos em r Hipótese r é uma reta qualquer Tese existem dois pontos em r Tentativa de demonstração dada por um aluno em classe Afirmações Justificativas 1 Seja r uma reta qualquer 1 hipótese 2 Seja A um ponto de r e seja B um ponto fora de r 2 axioma I1 3 Seja s a reta determinada por A e B A reta s tem dois pontos como queríamos pro var erro 3 axioma I2 Onde está o erro da tentativa de demonstração acima Resposta o que foi provado aqui é que a reta s determinada pelos pontos A e B possui dois pontos Acontece que a reta s é uma reta particular a reta determinada pelos pontos A e B O que se quer provar é que uma reta qualquer r possui dois pontos o que não foi provado acima Depois de algumas discussões em sala chegouse a pensar que Parece que usando apenas os dois axiomas é impossível provar que uma reta qualquer pos sui dois pontos Mas como provar isto ou seja que é impossível provar que 13 uma reta possui pelo menos dois pontos Para se provar que uma afirmação é falsa constróise um contraexemplo isto é um exemplo particular que contraria a afirmação No caso de geometria um exemplo concreto é o que é denominado modelo para a geometria Item 112 O que é modelo para uma geometria item112 Um modelo para uma geometria definida por um conjunto de axiomas é dado por uma representação dos seus termos e relações primitivos por outros objetos e relações que satisfaçam os axiomas Modelos desempenharão papel fundamental neste curso tanto no aspecto pedagógico quanto no lógico Os modelos servem para se dar exemplos e contraexemplos para algumas afirmações Item 113 Exemplo de modelo com três pontos que satisfaz os dois axiomas de item113 incidência Neste exemplo os pontos são letras A B e as retas são conjuntos de letras A A B A relação de incidência ponto pertence à reta é interpretada por letra pertence a conjunto Tentemos construir um modelo com dois pontos A e B Para satisfazer o Axioma I1 o conjunto A B terá que ser uma reta Mas o Axioma I2 exige a existência de um terceiro ponto C não pertencente à reta A B Logo não existe modelo com dois pontos satisfazendo os dois axiomas Tentemos pois um modelo com três pontos A B e C Como para cada dois pontos distintos deve existir uma reta que os contém Axioma I2 deveremos ter pelo menos três retas A B A C e B C já que não se pode ter a reta A B C porque isto obrigaria a se ter um quarto ponto fora desta reta Para que se tenha de fato um modelo resta mostrar que os axiomas I1 e I2 estão satis feitos a Verificação de que o Axioma I1 está satisfeito Devemos exibir para cada reta um ponto pertencente a ela e um ponto não pertencente a ela O quadro abaixo mostra isto Reta a Ponto pertencente à reta b Ponto não pertencente à reta A B A C A C A B B C B A b Verificação de que o Axioma I2 está satisfeito Para cada dois pontos distintos devemos mostrar que existe uma e uma só reta que os contém O quadro abaixo mostra para cada par de pontos B A a única reta que os contém 14 ROTEIRO 1 INCIDÊNCIA Dois pontos Única reta que os contém A e B A B A e C A C B e C B C Portanto a representação de ponto reta e da relação de incidência da maneira como foi feita satisfaz os axiomas de incidência Construímos assim um modelo com três pontos A B e C e três retas A B A C e B C Item 114 Outro exemplo de modelo que satisfaz os axiomas I1 e I2 item114 Os pontos são as letras A B e C As retas são os conjuntos de letras A B A C B C e A Agora o quadro que se usa para mostrar que o Axioma I1 está satisfeito é o seguinte Reta a Ponto pertencente à reta b Ponto não pertencente à reta A B A C A C A B B C B A A A B Para o restante nada muda Você está surpreso com a reta A que é constituída só de um ponto O fato é que ela também satisfaz o Axioma I1 como as outras Quanto ao Axioma I2 na sua hipótese não aparece reta logo a reta A não tem que ser testada neste axioma Item 115 Propriedade fundamental dos modelos Qualquer teorema que item115 se pode provar com os axiomas de incidência é válido em qualquer modelo que satisfaça os axiomas de incidência Isto acontece porque como o teorema decorre dos axiomas e os axiomas são válidos no modelo segue que o teorema também é válido no modelo Item 116 Como se prova que é impossível provar estando valendo apenas os item116 dois axiomas de incidência que cada reta possui pelo menos dois pontos Resposta dando um contraexemplo isto é exibindo um modelo que satisfaz os dois axiomas de incidência tendo uma de suas retas apenas 1 ponto Um modelo assim foi construído no item 14 De fato queremos provar que a afirmação Cada reta possui pelo menos 2 pon tos é falsa Para isto basta dar um contraexemplo para ela O modelo consti tuído dos pontos A B C e das retas A B A C B C A é um contra exemplo para a afirmação pois possui uma reta com 1 só ponto Pela propriedade 15 fundamental dos modelos se a afirmação fosse verdadeira isto é fosse um te orema decorrente dos dois axiomas ela deveria ser válida em qualquer modelo satisfazendo os dois axiomas Item 117 Quantos pontos existem Melhor Utilizando apenas os axiomas I1 e item117 I2 quantos pontos podemos provar que existem Não pense que o axioma I2 garante a existência de dois pontos Tente provar que existe pelo menos um ponto Se conseguir mostre o seu argumento para um co lega provavelmente ele vai descobrir um erro Item 118 Quantas retas existem Melhor Utilizando apenas os axiomas I1 e item118 I2 quantas retas podemos afirmar que existem Se você conseguir provar que existe pelo menos uma reta desconfie da sua de monstração Item 119 Depois de algumas tentativas chegase à conclusão de que parece que item119 não dá para provar que existem pontos e que existem retas Uma interpretação equivocada de vários alunos é a de que a hipótese do axioma I2 A e B são dois pontos garante que existem dois pontos Não é assim O que qualquer enunciado garante é que se as condições enunciadas na hipótese estiverem presentes então a tese está garantida Só se pode aplicar o Axioma I2 se outros argumentos conduzirem à presença de dois pontos Por exemplo na afirmação se chover amanhã então não irei ao clube não está assegurado que vai chover amanhã a hipótese O que está assegurado é que não irei ao clube tese se as condições da hipótese estiverem presentes se chover amanhã Item 120 Resumindo o axioma I1 não afirma que existe reta o que ele afirma é item120 que se nos for dada uma reta então podemos tomar um ponto nela e um ponto fora dela O Axioma I2 não afirma que existem dois pontos Ele afirma que toda vez que tivermos dois pontos haverá uma reta e uma só que passa por eles Tente provar que é impossível provar 1 que existe ponto e 2 que existe reta Esta é uma questão difícil para principiantes porque usa argumentos inéditos para alunos Um modelo de geometria sem pontos e sem reta satisfaz os axiomas I1 e I2 por vacuidade como não há elementos que satisfaçam as hipóteses as teses não são contrariadas Veja a lista de exercícios n 1 Item 121 Como os dois axiomas dados não garantem que pontos e retas existem item121 para garantir a sua existência precisamos de um axioma que garanta a existência de ponto e de reta 16 ROTEIRO 1 INCIDÊNCIA Item 122 Tentativas para o enunciado do terceiro axioma item122 Enunciado 1 Existe pelo menos um ponto Enunciado 2 Existe pelo menos uma reta Enunciado 3 Existem pelo menos dois pontos É bom que o enunciado a ser proposto garanta a existência de ponto e de reta Como o leitor pode verificar o enunciado 1 não garante a existência de reta O leitor também pode verificar que qualquer um dos outros dois enunciados são bons Adotaremos o enunciado 3 como o terceiro axioma Item 123 Terceiro axioma I3 item123 Axioma 3 I3 Existem pelo menos dois pontos Item 124 Teorema item124 teoexistsline Teorema 11 Existe reta Demonstração O Axioma I3 garante que existem dois pontos A e B Agora o Axioma I2 pode ser aplicado e existe uma reta que contém A e B Item 125 Voltamos às perguntas em 11 17 e 18 agora acrescentando o axioma item125 I3 Quantos pontos uma reta possui Resposta pelo menos 1 Prova Quantos pontos existem Resposta pelo menos 3 Prova Quantas retas existem Resposta pelo menos 3 Prova Item 126 Admitindo apenas os três axiomas como se prova que é impossível item126 provar que cada reta possui mais de um ponto Basta exibir um modelo que satisfaz os três axiomas de incidência mas em que uma de suas retas possui apenas 1 ponto O modelo construído no item 14 satisfaz também o Axioma I3 e tem uma reta com 1 ponto Este modelo é um contra exemplo para a afirmação de que existe mais de um ponto em qualquer reta Item 127 Quantos pontos existem Mais precisamente admitidos apenas os item127 três axiomas I1 I2 e I3 quantos pontos podemos garantir que existem teoexists3points Teorema 12 Existem pelo menos três pontos Demonstração i Sejam A e B dois pontos distintos Axioma I3 17 ii Seja r a reta determinada por A e B Axioma I2 iii Seja C um ponto fora de r Axioma I1 iv O ponto C é distinto de A e de B por estar fora da reta r e A e B estarem na reta r A figura abaixo que utiliza representações intuitivas de ponto e reta ilustra os passos da demonstração Fig0127 A B Axioma I3 A B r Axioma I2 A B r C Axioma I1 Figura 11 Existem pelo menos três pontos Item 128 Tentativa frustrada de demonstração de que existem pelo menos 4 item128 pontos Um aluno apresentou a seguinte demonstração de que existem pelo menos 4 pontos Os três passos iniciais são os mesmos da demonstração do Teorema 12 Agora pelo Axioma I2 existe uma reta t que passa por B e C Pelo Axioma I1 aplicado à reta t existe um ponto D fora de r Portanto existem 4 pontos A B C D erro Onde está o erro Resposta O Axioma I1 só garante a existência de 1 ponto fora de t Copio A já está fora de t o axioma não garante a existência de um novo ponto D fora de t Fig0128 A B Ax I3 A B r Ax I2 A B r C Ax I1 aplicado a r A B r C Ax I2 t A B r t C Ax I1 aplicado a t D Figura 12 Não existe necessáriamente 4 pontos 18 ROTEIRO 1 INCIDÊNCIA Item 129 Como se prova que é impossível provar que existem mais de três item129 pontos Se fosse possível provar que existem mais de três pontos então qualquer modelo que satisfaz os três axiomas teria que ter mais de três pontos Portando basta exibir um modelo que satisfaz os três axiomas de incidência mas com apenas três pontos Um modelo assim foi exibido no item 13 Item 130 Quantas retas existem admitindo apenas os três axiomas de incidên item130 cia teoexists3lines Teorema 13 Existem pelo menos três retas Demonstração Os três primeiros passos são como na demonstração do Teorema B Sejam agora s a reta determinada por A e C e t a reta determinada por B e C Precisamos mostrar que as retas r s e t são distintas a r é diferente de s porque C está em s mas não está em r b r é diferente de t porque C está em t mas não está em r c s é diferente de t porque B está em t mas não está em s Aqui o que precisa ser justificado é porque B não está em s isto não é fácil veja o argumento a seguir De fato se B estivesse em s teríamos dois pontos comuns a r e s a saber os pontos A e B Pelo Axioma I2 as retas r e s seriam coincidentes Isto acarretaria que o ponto C também estaria na reta r o que contraria o fato de que C está fora de r Logo B não pode estar em s Isto conclui a demonstração de que existem três retas Fig0130 A B Axioma I3 A B r Axioma I2 A B r C Axioma I1 A B C r t s Axioma I2 Figura 13 Existem pelo menos três retas Item 131 Como se prova que é impossível provar que existem mais de três item131 retas Basta exibir um modelo que satisfaz os três axiomas de incidência mas com ape nas 3 retas Um modelo assim foi construído no item 13 11 RESUMO 19 11 Resumo Objetos primitivos ponto e reta Relação primitiva ponto pertence a reta relação de incidência Axioma I1 Qualquer que seja a reta existe pelo menos um ponto que pertence a ela e existe pelo menos um ponto que não pertence a ela Axioma I2 Dois pontos determinam uma reta Em outras palavras dados dois pontos distintos quaisquer existe uma e uma só reta que os contém Axioma I3 Existem pelo menos dois pontos Geometria de incidência é constituída dos conceitos nãodefinidos ponto e reta da relação nãodefinida pertence a dos axiomas de incidência I1 I2 I3 e de todos os teoremas que se podem demonstrar a partir destes axiomas Modelo para uma geometria Para construir um modelo para uma geometria de incidência dáse uma interpretação concreta para os termos e relação não definidos e mostrase que os três axiomas são válidos Propriedade fundamental dos modelos Qualquer teorema que se pode provar com os axiomas de incidência é válido em qualquer modelo que satisfaça os axi omas de incidência Teorema 11 Existe reta Teorema 12 Existem pelo menos três pontos Teorema 13 Existem pelo menos três retas 20 ROTEIRO 1 INCIDÊNCIA 12 Lista de Exercícios n 1 11 Os três axiomas garantem a existência de quantos pontos 12 Os três axiomas garantem a existência de quantas retas 13 Os três axiomas impedem a existência de mais de três pontos 14 Os três axiomas impedem a existência de mais de três retas 15 Qual é o menor modelo que se pode construir satisfazendo os três axiomas 16 Qual é a menor quantidade de retas que um modelo pode ter 17 Pode um modelo que satisfaz os três axiomas com exatamente três pontos possuir três retas E quatro E cinco E seis 18 Existe modelo com quatro pontos 19 Existem retas sem pontos E com um só ponto E com dois E com três 110 Todas as retas têm a mesma quantidade de pontos 111 Como se prova que é impossível provar que existem mais de três pontos 112 Admitindo apenas os axiomas I1 e I2 como se prova que é impossível provar que existe pelo menos um ponto 113 Admitindo apenas os axiomas I1 e I2 como se prova que é impossível provar que existe pelo menos uma reta 114 Admitidos os axiomas I1 e I2 e se for adotado o axioma I3 enunciado abaixo em lugar do axioma I3 os teoremas que se podem provar com I1 I2 e I3 são os mesmos que se podem provar com I1 I2 e I3 Axioma I3 Existe pelo menos uma reta 115 Como se prova que não se pode provar I1 a partir de I2 e I3 116 Como se prova que não se pode provar I2 a partir de I1 e I3 117 Como se prova que não se pode provar I3 a partir de I1 e I2 13 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS N 1 21 13 Soluções da Lista de Exercícios n 1 11 Os três axiomas garantem a existência de quantos pontos Resposta Veja os itens 27 28 e 29 do Roteiro 1 12 Os três axiomas garantem a existência de quantas retas Resposta Veja os itens 30 e 31 do Roteiro 1 13 Os três axiomas impedem a existência de mais de três pontos Resposta Não Para provar isto basta construir um modelo com 4 pontos Pontos A B C D Retas A B A C A D B C B D e C D Verifique você que os Axiomas I1 e I2 estão satisfeitos construindo as tabelas semelhantes às do item 13 do Roteiro 1 É claro que o Axioma I3 também está satisfeito 14 Os três axiomas impedem a existência de mais de três retas Resposta Não Para isto basta exibir um modelo com mais de três retas O modelo com 4 letras e 6 retas do Exercício 3 resolve a questão 15 Qual é o menor modelo que se pode construir satisfazendo os três axiomas Resposta Vamos mostrar que é o modelo com 3 pontos e 3 retas a O Axioma I3 garante que existem 2 pontos digamos A e B b O Axioma I2 obriga a existência de uma reta contendo A e B A B c O Axioma I1 obriga a existência de um ponto fora de A B digamos C d O Axioma I2 obriga a existência das retas A C e B C Fomos obrigados a criar 3 pontos e 3 retas Como vimos este é um modelo que satisfaz os 3 axiomas 16 Qual é a menor quantidade de retas que um modelo pode ter Resposta Pelo que vimos no Exercício 5 são 3 retas 22 ROTEIRO 1 INCIDÊNCIA 17 Pode um modelo que satisfaz os três axiomas com exatamente três pontos possuir três retas E quatro E cinco E seis Resposta Sim O modelo do Exercício 5 tem 3 retas Basta acrescentar uma duas e três dentre as retas A B e C para se obter modelos com 4 5 e 6 retas 18 Existe modelo com quatro pontos Resposta Sim 0 modelo do Exercício 3 é um deles Pergunta Você acha que sendo os pontos A B C e D e as retas A B C A D B D e C D temse um modelo que satisfaz os 3 axiomas A resposta é sim Prove construindo as tabelas semelhantes às do item 13 do Roteiro 1 19 Existem retas sem pontos E com um só ponto E com dois E com três Resposta Não existe reta sem pontos pois o Axioma I1 garante que cada reta possua pelo menos 1 ponto Os modelos criados nos exercícios anteriores exibem retas com 1 com 2 e com 3 pontos 110 Todas as retas têm a mesma quantidade de pontos Resposta Em um mesmo modelo podemse ter retas com diferentes quantidades de pontos como mostram alguns dos modelos citados em exercícios anteriores 111 Como se prova que é impossível provar que existem mais de três pontos Resposta Exibindo um modelo com exatamente 3 pontos como o construído no item 13 do Roteiro 1 O argumento é o seguinte se fosse possível provar que existem mais de 3 pontos não poderia existir um modelo com exatamente 3 pontos 112 Admitindo apenas os axiomas I1 e I2 como se prova que é impossível provar que existe pelo menos um ponto Resposta Construindo um modelo sem pontos Aqui está Pontos nenhum Retas nenhuma Este modelo satisfaz os axiomas por vacuidade Isto significa que não estando as hipóteses presentes as teses não podem ser contrariadas 113 Admitindo apenas os axiomas I1 e I2 como se prova que é impossível provar que existe pelo menos uma reta 13 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS N 1 23 Resposta Exibindo um modelo que satisfaz I1 e I2 mas que não possua reta mesmo mo delo do exercício 12 do Roteiro 1 resolve a questão Aqui está outro modelo Pontos a letra A Retas nenhuma Este modelo satisfaz os axiomas por vacui dade Isto significa que não estando as hipóteses presentes as teses não podem ser contrariadas 114 Admitidos os axiomas I1 e I2 e se for adotado o axioma I3 enunciado abaixo em lugar do axioma I3 os teoremas que se podem provar com I1 I2 e I3 são os mesmos que se podem provar com I1 I2 e I3 Axioma I3 Existe pelo menos uma reta Resposta Sim I3 e I3 são equivalentes e por esta razão como veremos mais na frente os teoremas que se podem provar com um deles são os mesmos que se podem provar com o outro Definição Dois axiomas são equivalentes quando admitido um deles como ver dadeiro o outro pode ser provado Vamos mostrar que os dois axiomas são equivalentes a Supondo válido o axioma I3 vamos provar I3 Sejam A e B dois pontos hi pótese do I3 Por I2 existe uma reta que contém A e B Isto prova I3 b Supondo válido o axioma I3 vamos provar I3 Seja r uma reta hipótese do I3 Por I1 existe um ponto A em r e um ponto B fora de r Logo existem dois pontos provando I3 Agora suponhamos que para provar certo teorema T foi utilizado em algum passo da demonstração o I3 Ora se for adotado o I3 o I3 pode ser provado antes e assim ele pode ser aplicado naquele passo da demonstração do teorema T Assim sendo um teorema que se pode provar com o I3 pode também ser provado com o I3 115 Como se prova que não se pode provar I1 a partir de I2 e I3 Resposta Exibindo um modelo que satisfaz I2 e I3 mas não satisfaz I1 Aqui está o modelo Pontos A e B Retas A B uma só Este modelo não satisfaz I1 pois não existe ponto fora da reta A B É claro que satisfaz I2 e I3 116 Como se prova que não se pode provar I2 a partir de I1 e I3 Resposta Exibindo um modelo que satisfaz I1 e I3 mas não satisfaz I2 Aqui está o modelo Pontos A e B Retas A uma só É claro que satisfaz I1 e I3 Este modelo não satisfaz I2 pois não existe reta que contém os dois pontos A B 24 ROTEIRO 1 INCIDÊNCIA 117 Como se prova que não se pode provar I3 a partir de I1 e I2 Resposta Basta construir um modelo que satisfaz I1 e I2 mas não satisfaz I3 ou seja um modelo com menos de 2 pontos É o que faremos a seguir Pontos do modelo A só um ponto Retas nenhuma Este é um modelo com um só ponto e nenhuma reta Por que satisfaz I1 Se r é uma reta então existem um ponto nela e um ponto fora dela Porque não existe nenhuma reta e assim a sua tese não é contrariada O axioma I1 não estaria satisfeito se a sua hipótese estivesse presente tivéssemos uma reta e a tese fosse contrariada não existisse ponto nela ou fora dela Quando isto acontece dizemos que o axioma I1 está satisfeito por vacuidade Da mesma maneira o axioma I2 se A e B são dois pontos então existe uma única reta que os contém também está satisfeito por vacuidade pois a sua tese não é contrariada já que não existem dois pontos para exigir a existência de uma reta que os contenha Isto conclui a demonstração Pergunta ao leitor Um modelo sem ponto e sem reta também serviria Roteiro 2 Paralelismo roteiro2 Conteúdo Retas paralelas Retas que se interceptam Retas que se interceptam existem Retas paralelas existem Axiomas de existência e unicidade de paralela Lema da transversal Novo enunciado para o Axioma I1 Item 21 Por que retas paralelas são interessantes item21 Item 22 Como se definem retas paralelas item22 defparallel Definição 21 Duas retas são paralelas se não têm ponto em comum Duas retas se interceptam se não são paralelas isto é se têm ponto em comum Item 23 Retas que se interceptam existem admitidos apenas os três axiomas de item23 incidência Sim Para provar isto vamos construir duas retas que se interceptam utilizando os axiomas dados até agora Fig0203 r r A B r A B s Figura 21 Existem retas que interceptam Começamos com uma reta r cuja existência está garantida pelo Teorema 11 do Roteiro 1 i Seja A um ponto em r e seja B ponto fora de r Axioma I1 ii Seja s a reta determinada por A e B Axioma I2 iii As retas r e s são retas que se interceptam pois têm o ponto A em comum 25 26 ROTEIRO 2 PARALELISMO Qualquer que seja o ponto A existem pelo menos duas retas que passam por ele Você é capaz de provar a afirmação É possível provar que existem três retas passando por A Item 24 Admitidos apenas os três axiomas de incidência é possível provar que item24 retas paralelas existem Tente construir duas retas paralelas Façamos algumas especulações Afirmação 1 Retas paralelas existem É impossível provála Basta dar um contraexemplo modelo em que os pontos são as letras A B e C e as retas são os conjuntos A B A C e B C Neste modelo não existem retas paralelas Se fosse possível provar a afirmação 1 em qualquer modelo teria que haver retas paralelas Afirmação 2 Retas paralelas não existem Esta é a negação da afirmação 1 e também é impossível provála Contraexemplo modelo em que os pontos são as letras A B e C e as retas são os conjuntos A B A C e B C A As retas B C e A são paralelas Se fosse possível provar a afirmação 2 em nenhum modelo existiriam retas paralelas Conclusão Nem é possível provar que existem nem é possível provar que não existem estando presentes apenas os três axiomas de incidência Dizemos que Retas paralelos existemé uma afirmação indecidível isto é não é possível pro var que ela é verdadeira nem que ela é falsa Outra coisa uma definição por si só não garante a existência do objeto definido Item 25 Já que é impossível provar que existem retas paralelas se quisermos que item25 elas existam teremos que declarar isto através de um axioma Mas a experiência aconselhanos a tomar um e declarar que retas paralelas existem É melhor tratar da possibilidade de existência e de unicidade de reta paralela a uma reta dada por um ponto fora da reta Enunciaremos a existência e a unicidade em axiomas separados axP1 Axioma 4 P1 Qualquer que seja a reta r e qualquer que seja o ponto P fora de r existe pelo menos uma paralela a r por P Existência axP2 Axioma 5 P2 Qualquer que seja a reta r e qualquer que seja o ponto P fora de r existe no máximo uma paralela a r por P Unicidade Item 26 No Roteiro 1 quando havia apenas os três axiomas de incidência vimos item26 que não é possível provar que qualquer reta possui mais de um ponto veja os itens 11 e 26 do Roteiro 1 Agora acrescentados os dois axiomas de paralelismo podemos provar que cada reta possui pelo menos dois pontos Resposta sim 27 teo1line2points Teorema 21 Qualquer reta possui pelo menos dois pontos Hipótese r é uma reta qualquer Tese existem dois pontos em r Demonstração a Seja r uma reta qualquer hipótese b Seja P um ponto em r e seja A um ponto fora de r axioma I1 c Seja s a reta determinada por P e A axioma I2 d Seja B um ponto fora de s axioma I1 aplicado à reta s e Se B está em r a afirmação fica provada f Se B não está em r seja t uma reta paralela a s por B axioma P1 Agora vem a parte delicada da demonstração afirmo que a reta t corta a reta r num ponto que chamarei de Q concluindo a demonstração de que t tem pelo menos dois pontos P e Q Por que t corta a reta r Prova por absurdo se t não cortasse r então r seria paralela a t e teríamos duas retas paralelas a t passando pelo ponto P a saber as retas r e s isto contraria P2 Logo t tem que cortar r Com isto fica provado que a reta r tem dois pontos distintos P e Q O símbolo indica o fim da demonstração Fig0206 r r A P r A P s r A P s B t r A P s B t Q Figura 22 Uma reta possui pelo menos dois pontos Item 27 Observação O ponto delicado da demonstração do item anterior requer item27 perceber e demonstrar um fato que por si mesmo tem um interesse especial Quando isto acontece ao longo de uma demonstração costumase isolar o fato e enunciálo na forma de lema Com um lema isolamos um ponto delicado de uma demonstração a fim de tornar mais compreensível um argumento que de outra maneira ficaria mais complexo e assim mais difícil de ser acompanhado pelo leitor O seu enunciado está no item seguinte Item 28 item28 28 ROTEIRO 2 PARALELISMO lemmatransversal Lema 22 Lema da transversal Sejam r e s retas paralelas Se uma reta t corta r então t corta também s A reta t é chamada de transversal Demonstração Faça você mesmo veja o último parágrafo da demonstração do item 6 Fig0208 r s t Figura 23 Lema da Transversal Item 29 É impossível provar que qualquer reta possui três pontos Basta exibir item29 um modelo em que cada reta possui dois pontos satisfazendo os cinco axiomas Aqui está os pontos são A B C e D e as retas A B A C A D B C B D C D A figura abaixo é uma representação esquemática deste modelo Cada segmento entre duas letras indica a reta constituída pelas duas letras Embora os segmentos que representam as retas A C e B D parecem se interceptar essas retas são paralelas por que não têm ponto em comum Fig0209 A B C D Figura 24 Modelo com 4 pontos e 6 retas Aproveito o ensejo para tocar numa questão metodológica Os livros textos mate máticos costumam organizar a matéria numa hierarquia tal que todos os teoremas necessários para a demonstração de um novo teorema aparecem antes deste Se fosse seguir esta orientação o Lema que aparece na demonstração acima deveria vir antes dela Fiz desta maneira para mostrar que é possível e às vezes acon selhado do ponto de vista pedagógico abordar uma questão antes que todos os 29 prérequisitos estejam prontos Além disto em consonância com o objetivo geral da disciplina procuro estar dando uma idéia de que a construção não se dá de maneira linear mas num processo de idas e vindas Item 210 Antes admitidos I1 I2 e I3 tínhamos existem pelo menos 3 pontos e item210 3 retas Agora admitidos também P1 e P2 temos existem pelos menos 4 pontos e 6 retas Certo Sim teo4points6lines Teorema 23 Existem pelo menos 4 pontos e 6 retas Demonstração Comecemos com três pontos abstratos A B C garantidos pelo Teorema 12 do Roteiro 1 a Consideremos as retas r e s determinadas por A e B e A e C respectiva mente b Seja t uma paralela a r por C c Seja u uma paralela a s por B Faça uma figura d Afirmo que u intercepta t em D por que O lema da transversal se aplica aqui e Os quatro pontos são distintos por que f Também as seis retas determinadas pelos quatro pontos tomados dois a dois são distintas por que Fig0210 A B C A B C r s A B C r s t u A B C r s t u D t u D Figura 25 Existem 4 pontos t r u s Item 211 Duas retas distintas podem ter dois pontos em comum Não Por item211 que Item 212 Cada reta possui o mesmo número de pontos Certo Sim item212 30 ROTEIRO 2 PARALELISMO teolinekpoints Teorema 24 Se uma reta r possui k pontos então qualquer reta s também possui k pontos Demonstração Com relação às posições relativas de r e s temos dois casos a considerar s intercepta r e s é paralela a r 1o caso r intercepta s a Sejam A1 A2 Ak os pontos de r sendo que A pertence também a s b Seja B2 outro ponto de s Teorema 21 c Seja t2 a reta determinada por A2 e B2 d Sejam agora t3 tk retas paralelas a t2 passando pelos pontos A3 Ak respectivamente axioma P1 Por que essas retas são paralelas entre si O axioma P2 serve para provar isto e Essas retas cortam s em pontos B3 Bk respectivamente por que cortam O lema da transversal se aplica Fig0212 r s A1 A2 A3 Ak B2 B3 Bk t2 t3 tk Figura 26 Todas as retas possuem o mesmo número de pontos Um ponto delicado é provar que os pontos B são distintos prove por absurdo Em suma até agora exibimos k pontos distintos em s Isto prova o que queremos Ainda não Resta provar que além desses k pontos não existem outros pontos em s Como Segue uma demonstração por absurdo Suponhamos que existe um outro ponto C em s distinto dos B a Seja t uma reta paralela a t2 passando por C axioma P1 b Então t corta r por que num ponto D c O ponto D é distinto dos pontos A1 por que 31 d Isto contraria o fato de que r põssui apenas os pontos A Logo s não pode possuir um ponto C distinto dos B1 concluindo a demonstração deste caso Demonstração 2o caso r é paralela a s a Seja B1 um ponto de s axioma I1 b Seja t1 a reta determinada por A1 e B1 c Seja agora t2 a reta que passa por A2 d Agora a demonstração continua como no 1o caso Item 213 Construindo um modelo em que cada reta possui exatamente 3 item213 pontos Pontos para começar as letras A B e C Reta r1 A B C Ponto fora de r1 a letra D Precisamos de reta paralela a r1 pelo ponto D Isto obriga que se tenha uma reta r2 D E F Precisamos de reta que contém A e D Isto obriga criar mais uma reta r3 A D G Precisamos de reta paralela à r1 e à r2 passando por G Isto obriga r4 G H I Até agora temos 9 pontos A B C D E F G H I O esquema abaixo sugere 12 retas A B C D E F G H I A D G B E H C F I A E I G E C B F G C D H D B I A H F O leitor pode se reportar à figura abaixo para se convencer de que os 5 axiomas estão satisfeitos Neste modelo observe o seguinte 1 a quantidade de pontos de cada reta é k 3 2 a quantidade de retas que passam por um dado ponto é m 4 3 a quantidade de pontos é n 9 4 a quantidade de retas é r 12 Será coincidência que n k2 e r mk 32 ROTEIRO 2 PARALELISMO Fig0213 A B C D E F G H I Figura 27 Modelo em que cada reta possui exatamente 3 pontos Item 214 item214 teopointmlines Teorema 25 Se por um ponto dado A passam m retas então por outro ponto B qualquer também passam m retas Demonstração Sejam r1 r2 rm as retas que passam por A Suponhamos que r1 é a reta que também passa por B Sejam s2 sm as retas paralelas a r2 rm respectivamente por B Fig0214 A B r1 r2 rm s2 sm Figura 28 Em cada ponto passa o mesmo número de retas Afirmamos que as retas si são distintas duas a duas De fato se duas delas coinci dissem digamos si sj então pelo ponto A teríamos duas retas ri e rj paralelas a uma reta si contrariando o Axioma P2 Logo as retas si são distintas duas a duas Portanto pelo ponto B passam pelo menos m retas distintas veja a figura abaixo Mas a demonstração ainda não terminou Pode passar por B mais uma reta digamos s distintas das anteriores Não Porque se fosse assim tomaríamos por A uma reta t paralela a s que não poderia coincidir com nenhuma das ante riores ti se coincidisse P2 seria contrariado e desta maneira teríamos mais uma reta passando por A contrariando a hipótese de que por A passam m retas 33 Item 215 Novo enunciado para o Axioma I1 item215 Uma característica que um axioma deve ter é a de que ele não pode ser provado a partir dos demais axiomas Em outras palavras cada axioma é independente dos demais Nesta unidade foram introduzidos mais dois axiomas os axiomas de paralelismo Vamos reexaminar o Axioma I1 Faço a seguinte afirmação Com os axiomas I2 I3 P1 e P2 e com a parte b da tese do Axioma I1 é possível provar que cada reta possui pelo menos um ponto que é a parte a da tese do Axioma I1 A figura abaixo ilustra os cinco passos da demonstração Em 1 tomamos uma reta qualquer r hipótese Em 2 aplicamos a parte b da tese do Axioma I1 para tomar o ponto A fora de r Em 3 aplicamos o Axioma P1 para traçar a reta s paralela a r pelo ponto A Em 4 aplicamos a parte b de I1 para tomar o ponto B fora de s e já aplicamos o Axioma I2 para traçar a reta t que contém os pontos A e B Finalmente em 5 aplicamos o Lema da transversal para garantir que a transver sal t corta a reta r no ponto C concluindo a demonstração Com isto o enunciado do Axioma I1 passa a ser mais simples Fig0215 r 1 r A 2 r A s 3 r A s t B 4 r A s t B C 5 Figura 29 Axioma I1 versão nova Axioma 6 Axioma I1 novo Qualquer que seja a reta existe pelo menos um ponto fora dela Conclusão Com a inclusão dos axiomas de paralelismo a parte a da tese do Axioma I1 que afirma a existência de ponto na reta pode ser retirada do seu enun ciado já que agora esta parte pode ser provada Na lista de exercícios número 2 convidamos o leitor para mostrar que cada um dos cinco axiomas sendo agora o axioma I1 no novo enunciado é independente dos demais Para mostrar que um axioma A é independente dos demais constróise um modelo que satisfaz todos os axiomas exceto o axioma A argumento por trás desta estratégia é o seguinte se o axioma A pudesse ser provado a partir dos demais axiomas o axioma A se ria um teorema e assim seria válido em qualquer modelo que satisfizesse esses axiomas de acordo com a propriedade fundamental dos modelos 34 ROTEIRO 2 PARALELISMO Item 216 Comentários item216 De acordo com a nossa intuição a existência e a unicidade de reta paralela a uma reta dada por um ponto dado nada tem a ver com a quantidade de pontos de uma reta Não é assim como vimos neste roteiro Aqui está o que ganhamos com o acréscimo dos axiomas de paralelismo à lista de axiomas a Cada reta possui pelos menos dois pontos Sem os axiomas de paralelismo é impossível provar isto Roteiro 1 item 16 b Existem pelos menos 4 pontos e 6 retas Compare com os itens itens 29 e 31 do Roteiro 1 c Num mesmo modelo todas as retas possuem o mesmo número de pontos Compare com o modelo do item 14 do Roteiro 1 no qual há retas com um ponto e com dois pontos d Num mesmo modelo por qualquer ponto passa o mesmo número de retas Isto não acontece no modelo do item 14 do Roteiro 1 Pelo ponto A passam três retas A B A C e A Pelo ponto B passam duas retas A B e B C e Agora o mais surpreendente a quantidade de pontos de qualquer modelo finito é um número quadrado perfeito 4 9 16 Não é possível construir um modelo com 5 e 6 pontos por exemplo Curioso Veja a lista de exercícios n 2 21 RESUMO 35 21 Resumo Objetos primitivos ponto e reta Relação primitiva ponto pertence a reta relação de incidência Objetos definidos retas que se interceptam retas paralelas Axiomas Axioma I1 Qualquer que seja a reta existe pelo menos um ponto fora dela Este é o novo enunciado do axioma II que passará a ser usado doravante Axioma I2 Dois pontos determinam uma reta Em outras palavras dados dois pontos distintos quaisquer existe uma e uma só reta que os contém Axioma I3 Existem pelo menos dois pontos Axioma P1 Qualquer que seja a reta r e qualquer que seja o ponto P fora de r existe pelo menos uma paralela a r por P Existência Axioma P2 Qualquer que seja a reta r e qualquer que seja o ponto P fora de r existe no máximo uma paralela a r por P Unicidade Teoremas Propriedade de Paralelismo Se r é paralela a s e s é paralela a t então r é paralela a t Teorema 21 Qualquer reta possui pelo menos dois pontos Lema 22 Lema da Transversal Sejam r e s retas paralelas Se uma reta t corta r então t corta também s Teorema 23 Existem pelo menos 4 pontos e 6 retas Teorema 24 Se uma reta r possui k pontos então qualquer reta s também possui k pontos Teorema 25 Se por um ponto dado A passam m retas então por outro ponto B qualquer também passam m retas 36 ROTEIRO 2 PARALELISMO 22 Lista de Exercícios n 2 21 Qualquer que seja o ponto A existem pelo menos três retas que passam por ele Você é capaz de provar esta afirmação É possível provar que existem quatro retas passando por A 22 Um axioma é independente dos demais se não pode ser provado a partir deles Na verdade o que se pretende é confirmar que eles são axiomas de fato Prove que a O axioma I1 é independente de I2 I3 P1 e P2 b O axioma I2 é independente de I1 I3 P1 e P2 c O axioma I3 é independente de I1 I2 P1 e P2 d O axioma P1 é independente de I1 I2 I2 e P2 e O axioma P1 é independente de I1 I2 I2 e P2 23 Dado um ponto P considere todas as retas que passam por P Então qualquer ponto está em pelo menos uma dessas retas Prove Você precisa de P1 e P2 para provar esta afirmação 24 Lema da transversal Sejam r e s retas paralelas Se uma reta t corta r então t corta também s Prove Observe que você não usa P1 mas usa P2 na demonstra ção 25 Como você prova que o axioma P2 é indispensável para provar o Lema da trans versal 26 Propriedade transitiva de paralelismo Se r é paralela a s e s é paralela a t então r é paralela a t Prove 27 Prove que o axioma P2 é indispensável para provar a Propriedade transitiva de paralelismo mesmo com a presença do axioma P1 28 Use o Lema da transversal para provar o Teorema 21 29 Prove que o axioma P2 é indispensável para provar o Teorema 21 210 Prove o Teorema 23 É impossível provar que existem mais de 4 pontos e mais de 6 retas 211 Por que você é capaz de construir modelos satisfazendo os 5 axiomas com 4 9 e 16 pontos mas não é capaz de construir modelos com 5 6 14 ou 15 pontos Esta é uma questão difícil Os matemáticos gostam de desafios como este Mas eles vivem disto podem passar horas dias meses e até anos tentando resolver uma questão Leia por exemplo o livro O Último Teorema 22 LISTA DE EXERCÍCIOS N 2 37 de Fermat Simon Singh Editora Record Rio de Janeiro 1999 324p Você não deve gastar mais que alguns minutos nesta questão Se não conseguir passe para frente 212 Prove o Teorema 24 Se uma reta r possui k pontos então qualquer reta s também possui k pontos 213 Prove o Teorema 25 Sejam k é o número de pontos de uma reta m o número de retas que passam por um dado ponto e n o número total de pontos Você não acha surpreendente que os cinco axiomas impliquem as fórmulas dadas nas proposições seguintes Antes de tentar proválas testeas nos modelos que você conhece 214 Proposição m k 1 215 Proposição n mk 1 1 o que é o mesmo que n k2 Com esta fórmula em mente volte agora ao Exercício 11 216 Proposição O número total de retas é mk o que é o mesmo que n k 38 ROTEIRO 2 PARALELISMO 23 Soluções da Lista de Exercícios n 2 21 Qualquer que seja o ponto A existem pelo menos três retas que passam por ele Você é capaz de provar esta afirmação É possível provar que existem quatro retas passando por A Resposta Demonstração Seja A um ponto qualquer hipótese i Seja B um ponto distinto de A Axioma I3 ii Seja r a reta determinada por A e B Axioma I2 iii Seja C um ponto fora de r Axioma I1 iv Seja s a reta determinada por A e C v O ponto B está fora da reta s vi Seja t uma reta paralela a s por B Axioma P1 vii Seja D um ponto de t distinto de B Teorema 21 viii Seja u a reta determinada por A e D ix Resta mostrar que as retas r s e u que passam por A são distintas x As retas r e s são distintas porque C está em s mas não está em r xi As retas r e u são distintas porque D está em u mas não está em r xii As retas s e u são distintas porque D está em u mas não está em s Veja a figura abaixo Agora não é possível provar que passam mais de 3 retas por A porque existe um modelo satisfazendo os cinco axiomas em que passam apenas 3 retas por cada ponto a saber o modelo com 4 pontos e 6 retas exibido no item 9 do Roteiro 2 23 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS N 2 39 Fig02L0201 A B A B r A B r C A B r C s A B r C s B s A B r C s t A B r C s t D A B r C s t D u Figura 210 Qualquer ponto tem pelo menos três retas passando por ela 22 Um axioma é independente dos demais se não pode ser provado a partir deles Na verdade o que se pretende é confirmar que eles são axiomas de fato Prove que a O axioma I1 é independente de I2 I3 P1 e P2 b O axioma I2 é independente de I1 I3 P1 e P2 c O axioma I3 é independente de I1 I2 P1 e P2 d O axioma P1 é independente de I1 I2 I2 e P2 e O axioma P1 é independente de I1 I2 I2 e P2 Resposta a O axioma I1 é independente de I2 I3 P1 e P2 Basta exibir um modelo que satisfaz I2 I3 P1 e P2 mas não satisfaz I1 Por que Porque se I1 fosse um teorema provado a partir dos quatro axiomas então I1 seria válido em qualquer modelo que satisfizesse aqueles axiomas Os pontos são as letras A B C Só uma reta A B C Este modelo não satisfaz I1 pois não existe ponto fora da reta A B C E claro que satisfaz I2 e I3 Quanto a P1 e P2 eles são satisfeitos pois a hipótese não está presente por não existir ponto fora da reta e portanto a tese não pode ser contrariada Quando a hipótese não está presente dizemos que a afirmação está provada por vacuidade 40 ROTEIRO 2 PARALELISMO b O axioma I2 é independente de I1 I3 P1 e P2 Modelo que satisfaz I1 I3 P1 e P2 mas não satisfaz 12 Os pontos são as letras A B e C Retas A B C c O axioma I3 é independente de I1 I2 P1 e P2 Modelo que satisfaz I1 I2 P1 e P2 mas não satisfáz I3 Só um ponto a letra A Retas nenhuma Os quatro axiomas são satisfeitos por vacuidade Outro modelo nenhum ponto e nenhuma reta d O axioma P1 é independente de I1 I2 I2 e P2 Modelo que satisfaz I1 I2 I3 e P2 mas não satisfáz P1 Os pontos são as letras A B e C Retas A B A C B C É claro que os 3 primeiro axiomas estão satisfeitos P2 está satisfeito porque não existem paralelas 0 é menor que 1 que é o número máximo permitido de paralelas a uma reta por um ponto fora dela e O axioma P2 é independente de I1 I2 I3 e P1 item02L021e Modelo que satisfaz I1 I2 I3 e P1 mas não satisfáz P2 Os pontos são as letras A B e C Retas A B A C B C A B C Pelo ponto B que está fora da reta A passam duas paralelas a A as retas B C e B Portanto P2 não está satisfeito 23 Dado um ponto P considere todas as retas que passam por P Então qualquer ponto está em pelo menos uma dessas retas Prove Você precisa de P1 e P2 para provar esta afirmação Resposta Seja P um ponto hipótese Seja A outro ponto qualquer Pelo Axioma I2 existe uma reta que contém P e A Portanto A está numa reta que passa por P O único axioma utilizado foi I2 24 Lema da transversal Sejam r e s retas paralelas Se uma reta t corta r então t corta também s Prove Observe que você não usa P1 mas usa P2 na demonstra ção Resposta Veja a figura abaixo Seja P o ponto em que t corta r Se t não cortasse s ela seria paralela a s Neste caso teríamos duas retas paralelas a s passando pelo ponto 23 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS N 2 41 P t e r Mas isto contraria P2 Logo t tem que cortar s O Axioma P1 não foi utilizado Fig02L0204 r s t P Figura 211 Lema da Transversal 25 Como você prova que o axioma P2 é indispensável para provar o Lema da trans versal Resposta Basta mostrar que o P2 da transversal não é válido num modelo satisfazendo os outros axiomas mas que não satisfaz P2 Por que Porque se o lema da transver sal fosse um teorema provado a partir dos outros quatro axiomas então ele seria válido em qualquer modelo que satisfizesse aqueles axiomas No modelo dado no Exercício 2 e as retas A e B são paralelas a reta B C corta a reta B mas não corta a reta A Logo o Lema da transversal não vale neste modelo 26 Propriedade transitiva de paralelismo Se r é paralela a s e s é paralela a t então r é paralela a t Prove Resposta Hipótese r s s t Tese r t Demonstração Por absurdo Uma demonstração por absurdo consiste em negar a tese e mostrar que isto contraria ou a hipótese ou algum axioma ou teorema já provado Negação da tese r corta t num ponto P Então pelo ponto P teríamos duas retas r e t paralelas a s pela hipótese Mas isto contraria o Axioma P2 Como a negação da tese leva a uma contradição a tese tem que ser verdadeira Isto conclui a demonstração r s s r mas s r r s s r mas s r 42 ROTEIRO 2 PARALELISMO 27 Prove que o axioma P2 é indispensável para provar a Propriedade transitiva de paralelismo mesmo com a presença do axioma P1 Resposta Basta exibir um modélo em que P2 não é satisfeito no qual a propriedade transitiva de paralelismo não é válida O modelo do Exercício 2 e é bom para isto Nele temse B é paralela a A e A é paralela a B C mas B não é paralela a B C 28 Use o Lema da transversal para provar o Teorema 21 Resposta Hipótese r é uma reta qualquer Tese existem dois pontos em r Demonstração Seja r uma reta qualquer hipótese Faça uma figura i Seja A um ponto fora de r ii Seja s uma reta paralela a r por A P1 iii Seja B um ponto fora de s I1 aplicado a s iv Seja t a reta determinada por A e B I2 v Pelo Lema da transversal t a transversal corta r em um ponto C pois r s vi Seja D um ponto fora de t I1 aplicado a t vii Seja u uma reta paralela a t por D P1 viii Pelo Lema da transversal r a transversal corta u em um ponto E pois u t Logo r possui dois pontos C e E por que E é distinto de C 23 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS N 2 43 Fig02L0208 A r i I1 A r A r s ii P1 s r A s A r s B iii I1 B s A r s B t iv I2 t A B t A r s B t C v LT C r t A r s B t C D vi I1 D t A r s B t C D u vii P1 u t D t A r s B t C D u E viii LT E u r Figura 212 Usando o Lema da transversal para provar o Teorema 21 29 Prove que o axioma P2 é indispensável para provar o Teorema 21 Resposta Você deve ter observado que o Axioma P2 não foi utilizado diretamente na demons tração do Lema 22 Ex 8 mas o foi indiretamente pois o Lema da transversal depende de P2 Para provar que P2 é indispensável para o Teorema 21 basta exibir um modelo em que P2 não é satisfeito no qual o Teorema 21 não vale O modelo do Exercício 2 e serve a este propósito Nele temse reta com apenas um ponto por exemplo a reta B 210 Prove o Teorema 23 É impossível provar que existem mais de 4 pontos e mais de 6 retas Resposta A figura abaixo sugere uma demonstração do Teorema 23 diferente da que foi dada no Roteiro 2 Descreva e justifique cada passo da demonstração 44 ROTEIRO 2 PARALELISMO Fig02L0210 A B 1 A B 2 A B C 3 A B C 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 Figura 213 Existe 4 pontos e 6 retas 211 Por que você é capaz de construir modelos satisfazendo os 5 axiomas com 4 9 e 16 pontos mas não é capaz de construir modelos com 5 6 14 ou 15 pontos Esta é uma questão difícil Os matemáticos gostam de desafios como este Mas eles vivem disto podem passar horas dias meses e até anos tentando resolver uma questão Leia por exemplo o livro O Último Teorema de Fermat Simon Singh Editora Record Rio de Janeiro 1999 324p Você não deve gastar mais que alguns minutos nesta questão Se não conseguir passe para frente Resposta Modelos com 4 e com 9 pontos foram construídos no Roteiro 2 Se você quiser você consegue construir um modelo com 16 pontos Agora a Proposição do Exer cício 13 afirma que a totalidade dos pontos é um quadrado perfeito n k2 Logo não podem existir modelos com 5 6 etc pontos Nos exercícios seguintes k é o número de pontos de uma reta m é o número de retas que passam por um dado ponto e n é o número total de pontos Você não acha surpreendente que os cinco axiomas impliquem as fórmulas dadas nos exercícios Antes de tentar proválas testeas nos modelos que você conhece 212 Prove o Teorema 24 Se uma reta r possui k pontos então qualquer reta s também possui k pontos Resposta Se você não conseguir fazer a demonstração sozinho consulte o Roteiro 2 213 Prove o Teorema 25 Sejam k é o número de pontos de uma reta m o número de retas que passam por um dado ponto e n o número total de pontos Você não acha surpreendente que os cinco axiomas impliquem as fórmulas dadas nas proposições seguintes Antes de tentar proválas testeas nos modelos que você conhece Resposta Se você não conseguir fazer a delonstração sozinho consulte o Roteiro 2 214 Proposição m k 1 Resposta 23 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS N 2 45 Demonstração Já vimos que cada reta possui o mesmo número de pontos e que a quantidade de retas que passa por um ponto independe do ponto Seja P um ponto qualquer e seja r uma reta que não contém P existe Sejam A1 Ak os pontos de r Mostraremos que existem exatamente m 1 retas passando por P Fig02L0214 r P A1 A2 Ak r P A1 A2 Ak s1 s2 sm r P A1 A2 Ak s1 s2 sm s Figura 214 Proposição m k 1 Sejam s1 sk as retas que passam por P e por A1 Ak respectivamente Até aqui temos k retas passando por P Existe mais uma reta passando por P é a reta s paralela a r por P Isto totaliza k 1 retas passando por P Estas são as únicas retas que passam por P por que se passasse outra reta por P ela teria que cortar r e continue Isto prova que m k 1 215 Proposição n mk 1 1 o que é o mesmo que n k2 Com esta fórmula em mente volte agora ao Exercício 11 Resposta Seja A um ponto Por A passam m retas Sem contar com o ponto A cada uma dessas m retas possui k 1 pontos Sem contar com A a totalidade de pontos nessas retas é mk 1 Acrescentando o ponto A totalizamos mk 1 1 pontos Não existe ponto fora dessas m retas veja o exercício 3 Logo o total de pontos é n mr 1 1 Use agora a fórmula do exercício 14 para obter n k2 Fig02L0215 r1 A1 A2 Ak r2 rm Figura 215 Proposição n mk 1 1 216 Proposição O número total de retas é mk o que é o mesmo que n k 46 ROTEIRO 2 PARALELISMO Resposta Seja A1 um ponto Sejam r1 rm as m retas que passam por A1 Sejam A2 Ak os restantes pontos de ri Por cada ponto Ai i 2 passam m 1 retas paralelas às retas ri i 2 respectivamente sij i 2 k j 2 m Sem contar com a reta r1 temõs até agora m 1k retas Contando com a reta r1 dá um total de m 1k 1 retas Restam agora apenas as retas que são paralelas a r1 já que todas as retas que interceptam r1 já foram contadas Quantas são elas Vejamos Sejam B2 Bk os restantes pontos de r2 Sejam t2 tk retas paralelas a r1 passando por B2 Bk estas totalizam k 1 retas Agora juntamente com as retas já citadas temos um total de m1k1k1 ou seja mk retas Não há retas além destas por que Logo o total de retas é mk Como você obtém a outra expressão n k Fig02L0216 r1 A1 A2 Ak r2 rm t2 tk B2 Bk s22 s2m sk2 skm Figura 216 Proposição Existem mk n k retas Roteiro 3 Cardinalidade roteiro3 Card substi tuido por C Card substi tuido por C Partes substi tuido por Π Partes substi tuido por Π Conteúdo Conjuntos finito e infinito Correspondência biunívoca Conjuntos de mesma cardinalidade Conjuntos enumeráveis Conjuntos com a cardinalidade do continuum CA CA A lido como os partes de A Item 31 Por que é interessante estudar conjuntos infinitos item31 Item 32 Exemplos de conjuntos item32 Finito A a b c d e Infinito N 1 2 3 conjunto dos números naturais Pares 2 4 6 conjunto dos números pares Item 33 Que propriedade serve para distinguir conjunto infinito de finito item33 Observemos que não é possível construir uma correspondência biunívoca entre o conjunto finito A dado acima e uma parte própria de A subconjunto de A que não é todo o A por exemplo o conjunto B a b c d já que uma função de A em B terá que levar dois elementos de A num mesmo elemento de B Já a correspondência abaixo 1 2 3 4 n 2 4 6 8 2n é uma correspondência biunívoca entre N e o conjunto dos números pares que é um subconjunto próprio de N Item 34 O que é conjunto infinito item34 defdedekind Definição 31 Dedekind Um conjunto é infinito se existe uma correspondência biunívoca entre ele e um subconjunto próprio dele É finito se não for infinito 47 ROTEIRO 3 CARDINALIDADE Definição 32 Uma correspondência biunívoca ou bijecção entre dois conjuntos A e B é uma função f A B que é injetora e sobrejetora A função f é injetora se fx fy implica x y quaisquer que sejam x y em A É sobrejetora se dado z em B existe x em A tal que fx z Bijetora significa injetora e sobrejetora x y A fx fy x y z B x A z fx Item 35 A função f N Números Pares dada por fn 2n é uma bijecção Prova de que f é injetora Suponhamos que fn1 fn2 então 2n1 2n2 Daqui decorre que n1 n2 Prova de que f é sobrejetora Seja z um número par Devemos exibir um número natural x tal que fx z Basta tomar x z2 Como z é par z2 é um número natural e fx fz2 2 z2 z Item 36 Para conjuntos finitos é fácil dizer quando um conjunto tem mais elementos que outro E para conjuntos infinitos tem sentido isto Sim por incrível que pareça O matemático alemão Georg Cantor 18451918 inaugurou esta discussão criando uma teoria completamente nova para os conjuntos infinitos O conceito fundamental é o de cardinalidade Item 37 Que significa dizer que dois conjuntos infinitos são do mesmo tamanho ou melhor têm a mesma cardinalidade Definição 33 Dois conjuntos A e B têm a mesma cardinalidade se existe uma correspondência biunívoca entre eles Notação CA CB Item 38 N e Z têm a mesma cardinalidade Sim O esquema abaixo indica a correspondência 1 2 3 4 5 0 1 1 2 2 Aqui está a expressão para a bijeção f N Z é fn n 12 se n é ímpar e fn n2 se n é par A sua inversa é g Z N sendo gn 2n para n 0 gn 2n 1 para n 0 e g0 0 fn n12 n 2p1 2n n 2p 49 Item 39 O que é um conjunto enumerável item39 defenumerable Definição 34 Um conjunto é enumerável se tem a mesma cardinalidade de N Item 310 O conjunto Q dos números racionais é enumerável item310 O conjunto Q dos números racionais é enumerável Incrível mas sim Cantor conseguiu construir uma bijeção entre N e Q Primeiro organizamos todos os números racionais positivos num quadro como o seguinte 1 2 3 4 q 1 11 12 13 14 2 21 22 23 24 3 31 32 33 34 4 41 42 43 44 p pq Na primeira linha e na primeira coluna aparecem os números naturais o número racional pq figura no cruzamento da linha correspondente ao número natural p com a coluna encabeçada pelo número natural q Todos os números racionais positivos estão no quadro porque p e q assumem todos os números naturais Mas há repetições pois as frações não estão todas na forma irredutível Por exemplo onúmero 1 aparece nas formas 11 22 33 etc Agora escrevemos os números racionais numa seqüência percorrendo o quadro a partir do número 11 indo para 12 na mesma linha descendo em diagonal para 21 seguindo na mesma coluna para 31 subindo em diagonal para 22 e 13 e assim por diante numa estratégia denominada processo diagonal de Cantor tendo o cuidado de omitir os números racionais que se repetem Obtémse assim a seqüência os números entre parênteses que são as frações que podem ser simplificadas são retirados porque já aparecem antes na seqüência 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 11 12 21 31 22 13 14 23 32 41 51 fn Fazendo fn igual ao nésimo termo da seqüência obtemos uma correspondência biunívoca entre N e o conjunto dos números racionais positivos Há uma fórmula para fn mas não é necessário explicitála Como estender agora para os ra cionais negativos e o zero A partir da correspondência acima formamos outra correspondência salteando para incluir o 0 e os racionais negativos como indica o esquema abaixo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 11 11 12 12 21 21 31 31 13 50 ROTEIRO 3 CARDINALIDADE Se o leitor se interessar aqui está a expressão para esta correspondência g em termos de f Definimos g N Q por g1 O gn fn2 se n é par e gn fn 12 se n é ímpar n 1 Esta é uma correspondência biunívoca entre N e Q Item 311 O conjunto R dos números reais é enumerável item311 Não Cantor conseguiu provar que não existe correspondência biunívoca entre N e R A sua demonstração é uma das mais bonitas da matemática Antes de mais nada o que é um número real Os matemáticos trabalharam por sé culos sem uma definição precisa de núméro real A sua definição rigorosa foi feita pela primeira vez em 1872 pelo matemático alemão Richard Dedekind 1831 1916 Aqui representaremos um número real na forma decimal infinita Começamos mostrando que não pode existir uma correspondência biunívoca entre N e o conjunto I dos números reais compreendidos entre 0 e 1 Os números reais compreendidos entre 0 e 1 podem ser escritos na forma deci mal infinita como por exemplo 057203 As chamadas dízimas periódicas como 04232323 correspondem aos números racionais as outras representam os números irracionais Os números que têm uma parte periódica igual a 9 têm outra representação com parte periódica igual a 0 Para que cada número tenha uma única representação descartaremos as que têm 9 como parte periódica Por exemplo para o número racional 15 usaremos a representação decimal 02000 em vez de 019999 Usaremos a notação 0 a1a2a3 para indicar um número de I Nesta notação os dígitos an assumem os valores 0 1 9 Suponhamos pois por absurdo que existe uma correspondência biunívoca f entre N e I Então todos os números de I estão numa seqüência como indica a tabela abaixo f1 0 a1a2a3a4 f2 0 b1b2b3b4 f3 0 c1c2c3c4 Para obter a contradição vamos construir um número x pertencente a I diferente de qualquer fn O número x terá a representação decimal 0 x1x2x3 em que os seus dígitos xn são escolhidos da seguinte maneira x1 1 se a1 1 e x1 0 se a1 1 x2 1 se b2 1 e x2 0 se b2 1 x3 1 se c3 1 e x3 0 se c3 1 x1 a1 o primeiro de dígito de f1 x2 b2 o segundo dígito de f2 e assim por diante Deste modo o número x terá pelo menos um dígito diferente de cada 51 um dos números fn e assim será diferente de cada um deles qualquer que seja n porque o nésimo dígito do número x é diferente do nésimo dígito do número fn Portanto a seqüência dos fn não esgota todo o I contrariando o fato de que f é sobrejetora Concluímos pois que não existe uma bijeção entre N e I Mostraremos agora que não existe uma bijeção entre N e R A função dada por y ln x1 x é uma bijeção entre I e R A sua inversa h é uma bijeção entre R e I Se existisse uma bijeção g entre N e R a função composta hog seria uma bijeção entre N e I que já vimos não pode existir Portanto não existe uma bijeção entre N e R concluindo a demonstração de que R não é enumerável Item 312 item312 defcontinuum Definição 35 Para os conjuntos que têm a mesma cardinalidade de R diremos que têm a cardinalidade de continuum Item 313 item313 defcardinalityorder Definição 36 Dados dois conjuntos A e B diremos que a cardinalidade de A é menor que a cardinalidade de B notação CA CB se A e B não têm a mesma cardinalidade e se existe uma função injetora entre A e um subconjunto de B Desta última condição resulta que existe uma bijeção entre A e um subconjunto de B Exemplo CN CR Primeiro N e R não têm a mesma cardinalidade Se gundo A função fn n é correspondência biunívoca entre N e o subconjunto N de R Item 314 Pergunta Existe conjunto com cardinalidade maior que a de R item314 Sim Mas não pense que são os conjuntos C números complexos R2 R3 ou R4 Por incrível que pareça todos estes conjuntos têm a mesma cardinalidade de R veja Lista de Exercícios n 3 Cantor responde o conjunto de todas as partes ou subconjuntos de R tem cardinalidade maior que a de R Cantor provou que a cardinalidade de um conjunto A é menor que a cardinalidade do conjunto formado com as partes de A Antes de abordar o caso geral consideremos o caso em que A é finito digamos A a b Então A a b a b A é o conjunto constituído de todos os subconjuntos de A A função f A a b que leva a a e b b é uma bijeção entre A a b e o subconjunto a b de A Além disso não existe bijeção entre A e o conjunto A Portanto CA CA 52 ROTEIRO 3 CARDINALIDADE Pergunta O que é o conjunto C x A x não pertence a fx Resposta C Agora se g A A é a função a b b a b o que é o conjunto B xeA x não pertence a fx Resposta B a Estas perguntas foram feitas para preparar o aluno para o caso geral que é abordado no teorema seguinte teocardinalityparts Teorema 31 CA CA Não é fácil de entendêla A função x x é uma função injetora entre A e um subconjunto de A Uma parte da definição está cumprida Resta mostrar que A e A não têm a mesma cardinalidade Consideremos uma função f A A Aqui para cada x A fx é um subconjunto de A Vamos mostrar que f não pode ser sobrejetora e assim não pode ser bijetora Para isto vamos construir um subconjunto C de A para o qual não existe x A tal que fx C Com isto estaremos provando que f não é sobrejetora O conjunto C é caracterizado pela seguinte propriedade para cada elemento x de A poremos x em C se e somente se x não pertencer a fx De outra maneira C x A x não pertence a fx Afirmamos que dado qualquer x A o conjunto C é diferente de fx De fato o próprio x não pode estar em C e fx ao mesmo tempo veja o exemplo concreto acima Pois x C se e somente x não está em fx Isto conclui a demonstração Item 315 Aplicando o teorema anterior ao conjunto R teremos CRCR item315 Item 316 Pergunta Existe um conjunto com cardinalidade maior que a do item316 conjunto R Sim O conjunto R Na verdade temse teocardinalitypartsparts Teorema 32 CR CR CR CR Item 317 Conclusão Não tem limite para tamanho de conjuntos infinitos item317 qualquer que seja o conjunto A existe um conjunto B tal que CA CB por exemplo B A 31 RESUMO 53 31 Resumo Definição 31 Dedekind Um conjunto é infinito se existe uma correspondência biunívoca entre ele e um subconjunto próprio dele É finito se não for infinito Definição 32 Uma correspondência biunívoca ou bijeção entre dois conjuntos A e B é uma função f A B que é injetora e sobrejetora A função f é injetora se fx fy implica x y quaisquer que sejam x y em A É sobrejetora se dado z em B existe x em A tal que fx z Bijetora significa injetora e sobrejetora Definição 33 Dois conjuntos A e B têm a mesma cardinalidade se existe uma correspondência biunívoca entre eles Definição 34 Um conjunto é enumerável se tem a mesma cardinalidade de N Definição 35 Para os conjuntos que têm a mesma cardinalidade de R diremos que têm a cardinalidade de continuum Definição 36 Dados dois conjuntos A e B diremos que a cardinalidade de A é menor que a cardinalidade de B notação CA CB se A e B não têm a mesma cardinalidade e se existe uma função injetora entre A e um subconjunto de B Teorema 31 CA CA Teorema 32 CR CR CR CR 54 ROTEIRO 3 CARDINALIDADE 32 Lista de Exercícios Exercícios n 3 31 Mostre que o conjunto dos números naturais ímpares é enumerável A aplicação fn 2n 1 é uma bijeção de N nos números ímpares 32 Seja a um número real positivo Sejam I o intervalo aberto 0 a e R o conjunto dos números reais positivos Para mostrar que 0 a tem a mesma cardinalidade de R mostre que a a função g I R dada por gx xa x é uma bijeção i x1 x2 R fx1 fx2 x1 x2 x1 a x1 x2 a x2 x1a x2 x2a x1 ax1 ax2 x1 x2 ii y R x I y fx y gx 0 1 y x a x ya x x ay xy 1 x a y y 1 b a função f I R dada por fx ln xa x é uma bijeção ln significa logaritmo neperiano y hx ln x é uma bijeção de R R Uma composição de bijeções é novamente uma bijeção 33 Mostre que o conjunto dos números reais maiores que 0 tem a cardinalidade do continuum A aplicação fx ln x é uma bijeção de R R 34 Mostre que os intervalos de números reais 0 1 0 1 0 1 e 0 1 têm a mesma cardinalidade de R A aplicação fx x 1 x é uma bijeção de 0 1 no R C0 1 CR CR 32 LISTA DE EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS N 3 55 A aplicação fx 1 x é uma bijeção de 0 1 no 0 1 C0 1 C0 1 CR A aplicação fx 1 1x é uma bijeção de 0 1 no 0 R C0 1 CR CR 35 Mostre que R e R2 têm a mesma cardinalidade x 0 x1x2 xn y 0 y1y2 yn x y R2 fx y 0 x1y1x2y2 xnyn Roteiro 4 Axioma da Régua roteiro4 Conteúdo Axioma da régua Distância entre dois pontos Sistema de coordenadas para uma reta Modelo cartesiano Modelo do taxista Circunferência Ponto entre dois pontos Segmento Triângulo Mediatriz de um segmento Item 41 Por que é importante estudar retas infinitas item41 Item 42 A partir dos axiomas I1 I2 I3 P1 e P2 é possível provar que uma reta item42 tem infinitos pontos Não O modelo com 4 pontos e 6 retas satisfaz os cinco axiomas mas cada reta é um conjunto com dois pontos Item 43 Então se queremos que cada reta tenha infinitos pontos devemos decla item43 rar isto na forma de axioma Vimos que existem conjuntos infinitos de diferentes cardinalidades Qual delas adotar O tradicional é adotar para a reta a mesma cardinalidade dos números reais Como fazemos isto Exigindo que exista uma bijeção fr r R entre cada reta r e o conjunto dos números reais R Item 44 Algumas características de R como distância entre dois números são item44 interessantes para a geometria e podem ser transportadas para uma reta r pela bi jeção fr r R para definir a distância entre dois pontos de uma reta Como Dados dois pontos A e B em r frA a e frB b são números reais A distância entre esses números é dada por a b Podemos se quiser declarar que a distância entre os pontos A e B é a mesma que a distância entre os números a e b dA B a b frA frB E é o que faremos 57 58 ROTEIRO 4 AXIOMA DA RÉGUA Fig0404 f r R R r A B a b f Figura 41 Aplicação distância na reta inclinada Item 45 Como seria o enunciado do axioma de modo a incorporar os dois item45 objetos reta infinita e distância entre dois pontos Axioma 7 Axioma da régua Existe uma função d P P R e para cada reta r existe uma função bijetora fr r R associada com d por dA B frA frB quaisquer que sejam os pontos A e B de r Aqui P representa o conjunto de todos os pontos Item 46 Os novos objetos introduzidos têm nomes item46 Definições A função d é denominada função distância e o número real dA B é a distância entre os pontos A e B a função fr é um sistema de coordenadas para a reta r e o número frA é a coordenada do ponto A dada pelo sistema de coordenadas fr Dizemos que fr é um sistema de coordenadas de r associado à função distância d Item 47 Está na hora de construir um modelo que satisfaça os cinco axiomas item47 anteriores e o novo axioma da régua o modelo cartesiano Ponto par de números reais x y Reta conjunto de pontos x y que satisfaz uma equação do primeiro grau em x e y ax by c 0 Em geometria analítica esta é a equação geral da reta Outra forma de equação da reta x k reta vertical ou y mx k reta inclinada ou horizontal quando m 0 Neste modelo a relação de incidência é definida assim um ponto pertence à reta se as suas coordenadas satisfazem à equação da reta Com muito trabalho podese verificar que os axiomas de incidência e de paralelismo estão satisfeitos Vejamos a verificação do axioma da régua Para a função distância tomamos a fórmula da distância cartesiana dcAB x₂ x₁² y₂ y₁² sendo A x₁ y₁ e B x₂ y₂ Usamos dc para indicar que se trata da distância cartesiana Agora construir um sistema de coordenadas fr para cada reta r que se ajuste à distância cartesiana não é fácil Demanda uma boa inspiração A inspiração vem dos cálculos que fazemos abaixo Caso a A reta r é uma reta vertical de equação x a Para cada ponto a y de r definimos fray y É claro que fr r ℝ é bijetora Também satisfaz a igualdade que aparece no Axioma da régua pois frA frB fray₂ fray₁ y₂ y₁ dcAB Fig04041 y r ℝ y 0y ay a0 x Figura 42 Axioma da Régua Caso b A reta r é uma reta nãovertical de equação y mx b veja a figura abaixo Este inclui o caso em que a reta r é horizontal quando m 0 Para A x₁ mx₁ b e B x₂ mx₂ b em r deveremos ter dCAB x₂ x₁² mx₂ b mx₁ b² x₂ x₁² mx₂ x₁² x₂ x₁ 1 m² x₂ 1 m² x₁ 1 m² 60 ROTEIRO 4 AXIOMA DA RÉGUA Para satisfazer a igualdade que aparece no Axioma da Régua esta última expres são deverá ser igual a frA frB Isto sugere definir frx y x 1 m2 para um ponto qualquer x y da reta y mxb Assim sendo dc e fr satisfazem a igualdade que aparece no Axioma da Régua Resta mostrar que fr é bijetora 1 Prova de que fr é injetora Suponhamos que frx1 y1 frx2 y2 Então x1 1 m2 x2 1 m2 donde x1 x2 e y1 mx1 b mx2 b y2 Portanto x1 y1 x2 y2 e fr é injetora 2 Prova de que fr é sobrejetora Dado um número real z queremos determinar um ponto x y em r tal que frx y x 1 m2 z Basta fazer x z 1 m2 e y mz 1 m2 b Fig04042 x y R 0 x x y x y r y mx b 0 b Figura 43 Axioma da Régua no modelo Cartesiano 61 Item 48 Outro modelo Modelo do taxista item48 No modelo do taxista ponto e reta são representados como no modelo cartesiano A função distância porém é diferente A distância do taxista drA B entre os pontos A x1 y1 e B x2 y2 é dada por drA B x2 x1 y2 y1 Na figura abaixo além de uma representação intuitiva dos pontos A e B apa rece também o triângulo ABC cujos lados horizontal AC e vertical BC medem x2 x1 e y2 y1 respectivamente Se imaginarmos as ruas de uma cidade paralelas ao eixo Ox e as avenidas paralelas ao eixo Oy para ir do ponto A ao ponto B o taxista percorre o trecho AC numa rua e o trecho CB numa avenida já que ele não tem acesso ao itinerário direto AB Esta é apenas uma metáfora para ilustrar o fato de que em abstrato a distância de A a B é a soma de AC com BC Com esta interpretação dá para perceber que a distância do taxista entre A e B é maior que a distância cartesiana entre os mesmos pontos Elas coincidem quando os dois pontos estão numa mesma horizontal ou numa mesma vertical Fig0408 x y A B C x1 x2 y1 y2 x2 x1 y2 y1 Figura 44 Função distância no Modelo de Taxista Para mostrar que o modelo do taxista satisfaz o Axioma da Régua precisamos definir para cada reta r um sistema de coordenadas fr que satisfaça a igualdade que aparece no enunciado do axioma O leitor não terá dificuldade em verificar que as funções abaixo são sistemas de coordenadas associados à função distância dr a Quando r é uma reta vertical de equação x a fra y y b Quando r é uma reta nãovertical de equação y mx b 62 ROTEIRO 4 AXIOMA DA RÉGUA frx y x1 m Item 49 Qual objeto é mais complexo circunferência ou triângulo item49 Mais complexo em que sentido Neste momento já temos condições de definir circunferência mas não temos condições de definir triângulo pois para este pre cisaremos antes da definição de segmento como veremos Para a definição de circunferência basta o objeto já introduzido distância para definir triângulo pre cisamos do objeto segmento que por sua vez precisa da relação ponto entre dois pontos Compare as hierarquias dos conceitos nos itens 10 e 15 Item 410 O que é circunferência Interior de circunferência Exterior item410 Definição 41 Circunferência de centro C e raio r 0 é o conjunto dos pontos P tais que dP C r O ponto P está no interior se dP C r está no exterior se dP C r Notação CircC r P dP C r A hierarquia dos objetos envolvidos com o objeto circunferência é ilustrada abaixo Dia0410 Ponto Distância entre Pontos Circumferência Item 411 Circunferência de centro C 0 0 e raio 1 no modelo do taxista item411 Sendo P x y a distância do taxista de P a C é dTP C x 0 y 0 x y Portanto a equação da circunferência pedida é x y 1 Como se sabe x x se x 0 e x x se x 0 Sendo assim para se desvencilhar dos módulos que aparecem na equação temos que decompor o plano xOy em 4 regiões I x 0 y 0 II x 0 y 0 III x 0 y 0 IV x 0 y 0 63 Região I Nesta região temos x x x e y y e a equação tornase x y 1 que é a equação de uma reta só que restrita à região I que é o primeiro quadrante Região II Nesta região temos x x e y y e a equação tornase xy 1 que é a equação de uma reta só que restrita à região II que é o segundo qua drante Trabalhando com as outras regiões você concluirá que a circunferência no modelo do taxista é o quadrado desenhado na figura abaixo Fig0411 x y 1 A 1 B C Q 1 1 P x y y x Figura 45 Circumferência no Modelo de Taxista Pergunta O ponto P indicado na figura pertence à circunferência Qual é a dis tância de P ao centro C Como se calcula esta distância Resposta Temos dTP C x 0 y 0 x y Como P pertence à circunferência as suas coordenadas satisfazem a sua equação x y 1 Logo drP C 1 Pergunta Qual é o perímetro da circunferência Resposta Basta calcular os comprimentos no modelo do taxista dos lados do quadrado Por exemplo dTA B 1 1 2 Os outros lados são iguais a este O perímetro é pois 4 2 8 Outra maneira de calcular dTA B é utilizando um sistema de coordenadas fr para a reta r determinada por A e B A sua equação é y x 1 sendo pois m 1 Logo a expressão de fr é frx y x1 m 2x Logo frA fr1 0 2 e frB fr0 1 0 Portanto frAfrB 2 0 2 que é a distância do taxista de A a B Item 412 O que é triângulo item412 64 ROTEIRO 4 AXIOMA DA RÉGUA Definição 42 Dados três pontos não colineares A B C isto é não pertencentes a uma mesma reta triângulo ABC é o conjunto formado pelos pontos que estão nos segmentos AB AC e BC ABC segAB segAC segBC Para definir triângulo precisamos da definição de segmento Item 413 O que é segmento item413 Definição 43 Dados dois pontos A e B segmento AB é o conjunto dos pontos entre A e B mais os pontos A e B segAB A B X Xestá entre A e B Para definir segmento precisamos da definição de ponto entre dois pontos Item 414 Como se define a relação de ordem ponto está entre dois pontos item414 Definição 44 Dizemos que o ponto X está entre os pontos A e B X distinto de A e B se 1 A B e X são colineares 2 dA X dX B dA B Usamos a notação A X B para indicar que X está entre A e B Fig0414 A B X r Figura 46 X está entre A e B Item 415 Uma definição é o enunciado das propriedades caracterizadoras do item415 objeto definido No enunciado só podem aparecer termos já definidos anterior mente A definição de triângulo requer segmento que por sua vez requer a relação ponto entre dois pontos relação de ordem Esta última utiliza pontos colineares e 65 distância entre dois pontos já introduzidos anteriormente encerrando a hierarquia de conceitos Esta hierarquia está esquematizada na figura abaixo Dia0415 Ponto Reta Pertence a Distância entre Pontos Pontos Colineares Está Entre Segmento Triângulo Item 416 Já dissemos que uma definição por si só não garante a existência do item416 objeto definido Pergunta Dados dois pontos A e B existe um ponto X entre A e B Sim A figura abaixo indica os passos da construção de um ponto X entre A e B Começamos com os dois pontos A e B no passo 1 No passo 2 tomamos a reta r que passa por A e B e em R tomamos os números a e b que são as coordenadas dos pontos A e B em relação a um sistema de coordenadas fr de r No passo 3 tomamos um número x entre os números a e b esta é uma propriedade dos números reais x pode ser a b2 Finalmente no passo 4 tomamos o ponto X da reta r que é o ponto que é levado em x por fr A questão que se coloca é o ponto X está entre A e B Sim isto fica provado depois do Teorema A que será dado no item 17 Assim fica provada a seguinte proposição propexistspoint Proposição 41 Dados dois pontos A e B existe um ponto X entre A e B Fig0416 r R A B a b 1 r R A B a b 2 r R A B a b X x 3 r R A B a b X x 4 Figura 47 Existe ponto entre A e B Item 417 Dissemos antes que distância entre pontos de uma reta corresponde à item417 distância entre números reais Esta correspondência é feita pela bijeção entre reta e o conjunto dos números reais Como se relacionam os conceitos ponto entre dois pontos e número entre dois números A resposta está no teorema seguinte 66 ROTEIRO 4 AXIOMA DA RÉGUA teobetween Teorema 42 Teorema A Seja r a reta que contém os pontos A B e X e seja fr uma bijeção entre r e R associada à distância d Sejam x frX a frA e b frB Então X está entre A e B se e somente se x está entre a e b Fig0417 r R A B a b X x Figura 48 X entre A e B se e somente se x entre a e b Demonstração Primeiramente esclarecemos que para os números reais x a e b a relação x está entre a e b significa a x b ou b x a conforme seja a b ou b a Observamos também que x está entre a e b se e somente se a x x b a b Esta é uma propriedade dos números reais cuja demonstração é longa porque pre cisa considerar as diversas combinações possíveis para os módulos que aparecem na igualdade Não a faremos aqui O se e somente sedo enunciado do teorema significa que estamos diante de dois teoremas cujas hipóteses e teses são a hipótese X está entre A e B tese x está entre a e b b hipótese x está entre a e b tese X está entre A e B Demonstração de a Antes de começar observamos que pelo Axioma da Régua estando A B e X na reta r temos dA X a x dX B x b e dA B a b Agora partimos da hipótese de que X está entre A e B Então dA X dX B dA B pela definição da relação está entre Logo a x x b a b Desta igualdade decorre que x está entre a e b Demonstração de b Da hipótese x está entre a e b decorre a igualdade acima e desta última resulta que dA XdX B dA B Logo X está entre A e B 67 Item 418 O Teorema A permite verificar se um ponto está entre dois outros item418 sem a necessidade de utilizar distância entre dois pontos como requer a definição do Item 414 Para verificar se o ponto X da reta AB está entre A e B basta verificar se o número x está entre os números reais a e b sendo estes os números correspondentes aos pontos X A e B por um sistema de coordenadas fr Ele também pode ser utilizado com vantagens para tratar de questões como as dos exercícios 10 e 11 da lista de exercícios n 4 Item 419 Exemplo no modelo cartesiano Consideremos os pontos A a y1 item419 e B b y2 da reta r de equação y mx k A bijeção fr r R é dada por frx y x 1 m2 Se X x y é um ponto qualquer de r então A X B frA frX frB a 1 m2 x 1 m2 b 1 m2 a x b Conclusão No modelo cartesiano o ponto X da reta AB está entre A e B se e somente se a abscissa de X está entre as abscissas de A e B Disto decorre que o segmento cartesiano AB tem a representação que se costuma fazer em geometria analítica Fig0419 x y r y mx k R Aa y1 Bb y2 a b Xx y x a b x Figura 49 A X B se e somente se a x b A X B se e somente se a x b 68 ROTEIRO 4 AXIOMA DA RÉGUA Item 420 No modelo do taxista um segmento também tem a mesma represen item420 tação que a do modelo cartesiano Item 421 É possível definir mediatriz de um segmento usando os conceitos item421 introduzidos até agora Definição 45 Mediatriz do segmento AB é o conjunto dos pontos P tais que dP A dP B Item 422 No modelo do taxista sendo A 2 0 e B 0 1 represente item422 numa figura a mediatriz do segmento AB Procuramos os pontos P x y tais que dTP A dTP B ou seja tais que x 2 y x y 1 Para representar o gráfico desta equação temos que considerar separadamente as 9 regiões indicadas na figura As regiões são delimitadas pelas retas x 2 0 y 0 x 0 e y 1 0 ou seja x 0 x 2 y 0 e y 1 que são sugeridas pelas expressões que aparecem dentro dos módulos na equação acima Fig0422 x y A B 0 x 2 0 y 1 x 0 0 y 1 x 2 0 y 1 0 x 2 y 1 0 x 2 y 0 x 0 y 1 x 0 y 0 x 2 y 1 x 2 y 0 Figura 410 As regiões do modelo de taxista do Item 422 Vejamos o que acontece em algumas dessas regiões Região x 2 y 1 Nesta região temos x 2 x 2 y y x x y 1 y 1 Portanto a equação acima tornase x 2 y x y 1 ou 0x 0y 1 69 que não tem solução Região 0 x 22 y 1 Nesta região temos x 2 x 2 y y x x y 1 y 1 Portanto a equação acima tornase x 2 y x y 1 ou 2x 0y 3 cuja solução é x 32 y qualquer Esta é a equação de uma reta vertical restrita à região considerada Região 0 x 22 0 y 1 Temos x 2 x 2 y y x x y y 1 Portanto a equação acima tornase x 2 y x y 1 ou 2x 2y 1 Esta é a equação de uma reta vertical restrita à região considerada que passa pelos pontos 32 1 e 12 0 O leitor pode verificar que na região 0 x 2 y 0 a solução da equação é a reta vertical x 12 e que nas outras regiões a equação não tem solução O gráfico da mediatriz está representado na figura seguinte Fig04222 x y A B Mediatriz taxista do SAB Figura 411 Mediatriz do modelo de taxista do Item 422 70 ROTEIRO 4 AXIOMA DA RÉGUA 41 Resumo Objetos primitivos ponto e reta Relação primitiva ponto pertence a reta relação de incidência Relação definida ponto está entre dois pontos relação de ordem Objetos definidos retas que se interceptam retas paralelas circunferência triân gulo mediatriz de um segmento Axioma da régua Existe uma função d P P R e para cada reta r existe uma função bijetora fr r R associada com d por dA B frA frB quaisquer que sejam os pontos A e B de r Aqui P representa o conjunto de todos os pontos d é chamada função distância dA B é a distância entre A e B e fr é um sis tema de coordenadas para a reta r associado a d Dizer que fr e d são associados é dizer que vale a igualdade que aparece no axioma Teorema A Seja r a reta que contém os pontos A B e X e seja fr uma bijeção entre r e R associada à distância d Sejam x frX a frA e b frB Então X está entre A e B se e somente se x está entre a e b 42 LISTA DE EXERCÍCIOS N 4 71 42 Lista de Exercícios n 4 A não ser que esteja explícito em contrário no enunciado do exercício consideram se em vigor todos os seis axiomas 41 O axioma da régua é independente dos cinco primeiros axiomas 42 Como você prova que a reta é um conjunto infinito E ilimitado O que é conjunto ilimitado 43 Perguntas a dA B 0 b dA B dB A c A BimplicadA B 0 d dA B 0 implica A B 44 Seja r uma reta e seja fr uma sistema de coordenadas para r associado a d Se gr é definida por grX frX k sendo k uma constante então gr é também um sistema de coordenadas para r associado à mesma distância d E grX kfrX A constante k pode ser negativa Pode ser 0 45 Quais são as fórmulas para a distância e para as bijeções no modelo cartesi ano 46 Quais são as fórmulas para a distância e para as bijeções no modelo do ta xista 47 O que é circunferência 48 Faça uma figura representando a circunferência de centro O O e raio 1 a no modelo cartesiano b no modelo do taxista 49 Como é definida a relação entre 410 Dados dois pontos A e B existe um ponto X entre A e B Existe um ponto Y tal que B está entre A e Y 411 Se X está entre A e B então X está entre B e A Se X está entre A e B então A está entre B e X 412 O que é segmento Como você definiria comprimento de segmento 72 ROTEIRO 4 AXIOMA DA RÉGUA 413 O que é triângulo 414 Questão no modelo do taxista Considere os pontos A 0 0 B 3 0 e C 3 3 Sejam r s e t as retas AC BC e AB respectivamente e sejam fr fs e f os seus sistemas de coordenadas Os números frC e fsC são iguais Teriam que ser iguais Tem sentido calcular frB Calcule os comprimentos dos lados do triângulo ABC de duas maneiras pela fórmula da distância e pela diferença das coordenadas 415 Em um triângulo qualquer lado é menor que a soma dos outros dois Não Surpreendente 416 Na definição da relação de ordem X está entre A e B foram colocadas duas condições 1 A B e X são colineares 2 dA X dX B dA B Pergunta na presença da condição 2 a condição 1 fica sendo supérflua e por tanto pode ser dispensada 417 Como você definiria mediatriz de um segmento usando os conceitos introduzidos até agora 418 Sendo P 1 0 e Q 0 2 represente numa figura a mediatriz do segmento PQ a no modelo cartesiano b no modelo do taxista 419 Modelo do taxista Imagine o mapa de uma cidade em que as ruas são paralelas ao eixo Ox e as avenidas são paralelas ao eixo Oy Suponha que existam dois pontos de táxi situados nos pontos A 1 0 e B 0 1 respectivamente Admitindo que os táxis utilizem os itinerários mais curtos demarque no mapa as localidades em que é indiferente ser atendido por um táxi a partir do ponto A ou do ponto B 43 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4 73 43 Soluções da Lista de Exercícios 4 41 O axioma da régua é independente dos cinco primeiros axiomas Resposta Sim Para provar isto basta exibir um modelo que satisfaz os cinco axiomas mas não satisfaz o axioma da régua Ora no modelo com 4 pontos e 6 retas do item 9 do Roteiro 2 cada reta possui 2 pontos logo não satisfaz o axioma da régua pois este exige que cada reta tenha infinitos pontos 42 Como você prova que a reta é um conjunto infinito E ilimitado O que é conjunto ilimitado Resposta Uma reta é um conjunto infinito porque tem a mesma cardinalidade de R pelo axioma da régua Isto é existe bijeção entre uma reta e R Infinitoe ilimitadosão dois conceitos distintos Por exemplo o intervalo de números reais entre O e 1 é um conjunto infinito mas é limitado Um subconjunto C de R é limitado se existe um número k O tal que x k qualquer que seja x em C É ilimitado se não for limitado A propriedade definidora de conjunto limitado é k 0 tal que x k x C A sua negação abaixo é a propriedade definidora de conjunto ilimitado k 0 x C tal que x k O conjunto R é infinito e ilimitado Por que R é ilimitado Ora dado k O qualquer basta tomar x k 1 que se tem x k Agora examinemos a reta r Fixemos um ponto A na reta r Por definição dizer que r é um conjunto ilimitado é dizer que qualquer que seja o número real positivo k existe um ponto X em r tal que dX A k Como encontrar um ponto X em r tal que isto aconteça Resposta apelando para a bijeção fr r R Sejaa fA Tomemos um número real x tal que x k por exemplo x a k 1 Seja X um ponto de r tal que x frX Então dX A x a k provando que r é um conjunto ilimitado Aqui usamos a igualdade que associa d e fr do axioma da régua 43 Perguntas 74 ROTEIRO 4 AXIOMA DA RÉGUA a dA B 0 b dA B dB A c A BimplicadA B 0 d dA B 0 implica A B Resposta Sim Estas perguntas se referem à distância entre dois pontos introduzida no Axi oma da Régua que satisfaz a relação dA B a b em que a e b são as coordenadas de A e B conforme descritas no Roteiro 4 Da fórmula decorre imediatamente as 4 propriedades listadas nas perguntas 44 Seja r uma reta e seja fr uma sistema de coordenadas para r associado a d Se gr é definida por grX frX k sendo k uma constante então gr é também um sistema de coordenadas para r associado à mesma distância d E grX kfrX A constante k pode ser negativa Pode ser 0 Resposta Para mostrar que grX frXk é injetora sejam X1 e X2 tais que grX1 grX2 Então frX1 k frX2 k donde frX1 frX2 Como fr é injetora temse X1 X2 Logo gr é injetora Quanto à sobrejetividade seja z um número real Consideremos o número real z k Como fr é sobrejetora existe Z em r tal que frZ zk Temos grZ frZk z k k z Logo gr é sobrejetora Portanto gr é bijetora por ser injetora e sobrejetora Resta mostrar que dA B grA grB Isto é um fato pois grA grB frA kfrB k frA frB dA B Observemos que esta demonstração não depende do valor da constante k E a função grX kfrX Se for k O teremos grX O para todo X e gr não será bijetora Se for k O podese provar que gr é bijetora Mas veja o que acontece com a igualdade que aparece no Axioma da Régua grA grB kfrA kfrB kfrA frB kdA B Sendo assim para que gr seja associada à mesma distância d deveremos ter k 1 donde k 1 ou k 1 Estes são pois os valores de k possíveis No caso k 1 temos gr fr e no caso k 1 temos gr fr 43 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4 75 45 Quais são as fórmulas para a distância e para as bijeções no modelo cartesiano Resposta Veja o Roteiro 4 46 Quais são as fórmulas para a distância e para as bijeções no modelo do taxista Resposta Veja o Roteiro 4 47 O que é circunferência Resposta Veja o Roteiro 4 48 Faça uma figura representando a circunferência de centro O O e raio 1 a no modelo cartesiano b no modelo do taxista Resposta Veja o Roteiro 4 49 Como é definida a relação entre Resposta Veja o Roteiro 4 410 Dados dois pontos A e B existe um ponto X entre A e B Existe um ponto Y tal que B está entre A e Y Resposta Sim Seja r a reta AB e seja fr r R um sistema de coordenadas para r Sejam a frA b frB Dados os números a e b existe um número x entre a e b Seja X um ponto da reta r tal que x frX Como x está entre a e b temse que X está entre A e B pela Proposição 42 do item Item 416 Analogamente existe um número y tal que tal que b está entre a e y Tomamos Y na reta r tal que y frY Provamos a seguinte proposição Proposição 43 Dados dois pontos A e B sempre existe um ponto X entre A e B e um ponto Y tal que B está entre A e Y Observe que esta proposição é precisamente o Axioma II2 do livro Geometria Euclidiana Plana de João Lucas Marques Barbosa Pode uma afirmação que pode ser provada ser adotada como axioma Observe também que o Axioma II1 do mesmo livro também pode ser provada Como explicar isto Como se compara a maneira de introduzir a relação de ordem do livro do João Lucas com a do Roteiro 4 76 ROTEIRO 4 AXIOMA DA RÉGUA 411 Se X está entre A e B então X está entre B e A Se X está entre A e B então A está entre B e X Resposta Seja r a reta AB e seja fr r R um sistema de coordenadas para r Sejam a frA x frX b frB Já sabemos que X está entre A e B se e somente se x está entre a e b Para os números reais por definição x está entre a e b se e somente se a x b ou b x a Com esta definição fica claro que x está entre a e b se e somente se x está entre b e a Logo X está entre A e B se e somente se X está entre B e A Para os números reais se a x b ou b x a não se pode ter b a x ou x a b Logo se X está entre A e B não se pode ter A entre B e X 412 O que é segmento Como você definiria comprimento de segmento Resposta Veja o Roteiro 4 413 O que é triângulo Resposta Veja o Roteiro 4 414 Questão no modelo do taxista Considere os pontos A 0 0 B 3 0 e C 3 3 Sejam r s e t as retas AC BC e AB respectivamente e sejam fr fs e f os seus sistemas de coordenadas Os números frC e fsC são iguais Teriam que ser iguais Tem sentido calcular frB Calcule os comprimentos dos lados do triângulo ABC de duas maneiras pela fórmula da distância e pela diferença das coordenadas Resposta 43 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4 Figura 412 Modelo de taxista do exercício 414 Usando as fórmulas para os sistemas de coordenadas no sistema cartesiano dadas no Roteiro 4 obtémse as seguintes expressões frxy x2 fs3y y e ftx0 x Usando essas expressões obtemos frC fr33 32 e fsC fs33 3 Portanto frC é diferente de fsC Estes valores não teriam que ser iguais Os sistemas de coordenadas para retas distintas têm fórmulas distintas logo a coordenada de C como ponto de r não tem que ser igual à coordenada de C quando considerado como ponto de s Não tem sentido calcular frB porque B não é um ponto de r Usando a fórmula da distância cartesiana obtémse dAC 18 dAB 3 e dBC 3 Agora vamos calcular as mesmas distâncias usando as diferenças de coordenadas Para calcular dAC usamos fr para obter frA fr00 0 e frC 32 Daí dAC frA frC 0 3x2 32 Para calcular dAB usamos ft para obter ftA ft00 0 e ftB 3 Daí dAB ftA ftB 0 3 3 78 ROTEIRO 4 AXIOMA DA RÉGUA Para calcular d B C usamos fs para obter fsB fs3 0 O e fs3 3 3 Daí dB C fsB fsC 0 3 3 415 Em um triângulo qualquer lado é menor que a soma dos outros dois Não Surpreendente Resposta Não No modelo do taxista esta propriedade não é verdadeira No triângulo de senhado no Item 48 do Roteiro 4 o lado AB é igual à soma dos outros dois AB AC BC 416 Na definição da relação de ordem X está entre A e B foram colocadas duas condições 1 A B e X são colineares 2 dA X dX B dA B Pergunta na presença da condição 2 a condição 1 fica sendo supérflua e por tanto pode ser dispensada Resposta A condição 1 náo pode ser dispensada Podese ter AB AC CB sem que se tenha C entre A e B como mostra a figura do Item 48 do Roteiro 4 417 Como você definiria mediatriz de um segmento usando os conceitos introduzidos até agora Resposta As propriedades conhecidas de mediatriz são a perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio b conjunto dos pontos eqüidistantes dos extremos do segmento Adotamos esta última como propriedade definidora de mediatriz por ser mais geral e usar apenas o conceito de distância que já temos Para o conceito de perpendi cular precisaremos de medida de ângulo 418 Sendo P 1 0 e Q 0 2 represente numa figura a mediatriz do segmento PQ a no modelo cartesiano b no modelo do taxista Resposta Solução no modelo do taxista Procuramos os pontos X x y tais que drX P dT X Q Ou seja as coordenadas dos pontos X satisfazem a equação x 1 y 0 x 0 y 2 ou x 1 y x y 2 43 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4 79 Para se desvencilhar dos módulos o que se faz com a definição de módulo de um número teremos que decompor o plano em regiões delimitadas pelas retas x 1 0 y 0 x 0 e y 2 0 A figura abaixo mostra essas regiões Fig0418 x y P 1 Q 2 O x 0 y 0 0 x 1 y 0 x 1 y 0 x 0 y 2 0 x 1 y 2 x 1 y 2 x 0 0 y 2 0 x 1 0 y 2 x 1 0 y 2 y 1 2 y 3 2 Figura 413 Modelo de taxista do exercício 418 1 Na região x 1 y 2 temos x 1 x 1 y y x x y 2 y 2 A equação tornase x 1 y x y 2 ou 0x 0y 1 e não existe solução já que qualquer que sejam x e y o primeiro membro é igual a 0 2 Na região x 1 0 y 2 a equação tomase x 1 y x y 2 ou 0x 2y 3 y 32 que é a equação de uma reta horizontal restrita apenas à região em questão 3 Na região 0 x 1 0 y 2 a equação tomase x 1 y x y 2 ou y x 12 que também é a equação de uma reta restrita à região em questão 80 ROTEIRO 4 AXIOMA DA RÉGUA 4 Você não terá dificuldade em verificar que na região x 0 0 y 2 temse a reta y 12 e que nas outras regiões não há soluções A figura mostra a mediatriz do segmento PQ Se isto não parece com a mediatriz que você conhece não se preocupe veremos coisas mais estranhas no futuro 419 Modelo do taxista Imagine o mapa de uma cidade em que as ruas são paralelas ao eixo Ox e as avenidas são paralelas ao eixo Oy Suponha que existam dois pontos de táxi situados nos pontos A 1 0 e B 0 1 respectivamente Admitindo que os táxis utilizem os itinerários mais curtos demarque no mapa as localidades em que é indiferente ser atendido por um táxi a partir do ponto A ou do ponto B Resposta Procuramos o lugar dos pontos P x y do plano do taxista tais que dTP A P B ou seja a mediatriz do segmento AB Veremos que esta mediatriz não é uma reta Antes de começar a fazer as contas observe que os pontos P que estão na região indicada na figura são eqüidistantes de A e B Isto significa que todos os pontos da região satisfazem a condição colocada no problema A equação procurada é dada por x 1 y 0 x 0 y 1 Agora para descrever o gráfico desta equação decomponha o plano em 9 regiões delimitadas pelas retas x 1 0 y 0 x O e y 1 0 Você concluirá que o gráfico é o indicado na figura as duas regiões hachuradas e o segmento que liga a origem ao ponto 1 1 A conclusão é que qualquer ponto da região indicada é eqüidistaite dos pontos de táxi A e B Portanto a mediatriz do segmento AB é formada pelos pontos que estão no seg mento que liga O O a 1 1 mais os pontos que estão nas duas regiões hachura das 43 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4 81 Fig04L0419 x y A 1 0 B 0 1 P x y Figura 414 Modelo de taxista do exercício 419 84 ROTEIRO 5 AXIOMA DE SEPARAÇÃO DO PLANO A figura abaixo ilustra esta função Fig0501 x y R r 0 1 2 3 4 1 k 1 k 2 k 3 k 0 k Figura 51 Bijeção do modelo bizarro As bijeções deste modelo diferem das do modelo cartesiano apenas para as retas horizontais Vamos provar que as funções fr são de fato bijeções no caso das retas horizontais 1o fr é injetora Se frx1 k frx2 k então temos os seguintes casos a con siderar a frx1 k e frx2 k são inteiros então x1 e x2 são inteiros e temse x1 2 x2 2 donde x1 x2 e x1 k x2 k b frx1 k e frx2 k não são inteiros então x1 e x2 não são inteiros e tem se x1 x2 donde x1 k x2 k 2o fr é sobrejetora Seja z um número real Se z é inteiro tomamos o ponto z 2 k Temos frz 2 k z 2 2 z Agora se z não é inteiro tomamos o ponto z k Temos frz k z Sendo pois fr injetora e sobrejetora é bijetora Não vamos deduzir aqui a fórmula específica para a distância bizarra dB Coloca remos simplesmente que dBA B frA frB para os pontos A x1 k e B x2 k da reta r Convido os leitores para deduzir a expressão de dB em função de x1 e x2 Verifique se as fórmulas seguintes estão certas dBA B x1 x2 x1 x2 Z ou x1 x2 Z x1 x2 2 x1 Z e x2 Z x1 x2 2 x1 Z e x2 Z Roteiro 5 Axioma de Separação do Plano Conteúdo Modelo bizarro Semiplanos Axioma de separação do plano Interior de triângulo Item 51 Modelo bizarro Já vimos dois modelos que satisfazem os 6 axiomas dados Aqui está mais um modelo o modelo bizarro O que torna este modelo estranho é a maneira como está definida a bijeção para cada reta Ele satisfaz os axiomas anteriores mas como veremos não satisfaz o axioma de separação do plano que será dado nesta Unidade Como você verá neste modelo um triângulo não se parece com um triângulo Ponto como no modelo cartesiano Reta como no modelo cartesiano Logo os cinco primeiros axiomas estão satisfeitos Para o Axioma da Régua devemos dizer como é a distância e a bijeção para cada reta No modelo cartesiano e no do taxista primeiro demos as fórmulas das distâncias e depois procuramos as fórmulas paras as bijeções que se ajustavam às distâncias Aqui começamos com as bijeções a para reta vertical r de equação x k fazemos frky y como no modelo cartesiano b para reta inclinada r nãohorizontal de equação y mx k fazemos frxy x1 m² como no modelo cartesiano c para reta horizontal r de equação y k frxk x 2 x Z x x Z Item 52 Exemplo de segmentos no modelo bizarro No caso das retas verticais e inclinadas as bijeções no modelo bizarro são como no modelo cartesiano Portanto os segmentos nessas retas são como no modelo cartesiano Para as retas horizontais as bijeções são diferentes Logo se há diferenças entre os segmentos nos dois modelos isto só pode acontecer com os segmentos horizontais Consideremos os pontos A 1k B 2k e C 52 k na reta horizontal y k Exemplo de ponto entre dois pontos É inacreditável mas o ponto A está entre B e C Como se mostra isto 1ª maneira usando sistema de coordenadas O sistema de coordenadas para a reta y k é frxk x 2 x Z x x Z Dispensaremos o índice r que aparece em fr para tornar a notação mais simples Pelo sistema de coordenadas f as coordenadas dos pontos A B e C são fA 3 fB 4 e fC 52 Portanto fC fA fB Logo pelo Teorema do item Item 417 do Roteiro 4 A está entre B e C Surpreendente Sim pois não parece ser isto o que a figura abaixo está mostrando Figura 52 C A B pois fC fA fB 2ª maneira usando distância entre dois pontos De acordo com a propriedade definidora de ponto entre dois pontos dada no Item 414 do Roteiro 4 devemos mostrar que dBBA dBAC dBBC Isto é o que acontece pois dBCB fC fB 4 52 32 dBAB fA fB1 4 3 1 dBCA fC fA 3 52 12 Portanto A está entre B e C Você não acha difícil acreditar que dBCB dBCA Exemplo de segmentos 1 Segmento BC Temos por definição segBC B C X B X C Quais são os pontos X da reta BC tais que B XC Resposta Pelo Teorema do Item 417 do Roteiro 4 B X C fB fA fC Isto equivale a se ter fC fX fB ou 52 fX 4 Agora não tem escapatória temos que separar em dois casos a Para x inteiro temos fX x 2 donde 52 fX 4 52 x 2 4 52 2 x 4 2 12 x 2 x 1 Logo 1 k ou seja o ponto A é o único ponto em que a abscissa é um número inteiro que está entre B e C b Para x nãointeiro temos fX x 2 donde 52 fX 4 52 x 4 Juntando tudo obtemos o segmento BC segBC B C X x 12 52 x 4 x nãointeiro A 88 ROTEIRO 5 AXIOMA DE SEPARAÇÃO DO PLANO Fig05024 x y 10 20 25 r A B C R fA fB fC 25 30 Figura 55 Segmento AC parte destacada da reta r O ponto B está no interior de AC porque fB está entre fA e fC Quais são os comprimentos desses segmentos Por exemplo o comprimento do segmento AC é dBC A fC fA 3 5 2 1 2 Você acredita que o segmento BC é maior que o segmento AC Item 53 Triângulo no modelo bizarro item53 Sejam A 1 1 2 B 2 1 2 e P 1 1 Como estes pontos não são colineares eles são vértices de um triângulo ABP representado na figura abaixo Os lados AP e BP são como no modelo cartesiano mas o lado AB que está numa reta horizontal é diferente do segmento cartesiano Fig0503 x y 1 2 3 4 A B P Figura 56 Triângulo no modelo bizarro Item 54 Separação do plano por uma reta item54 Definição 51 Dizemos que uma reta r separa o plano P se existem dois subcon juntos disjuntos H1 e H2 tais que i H1 H2 P r que está destacado na figura abaixo Note que ós pontos 3 k e 4 k não estão no segmento BC Mas os pontos da reta r de abscissas nãointeiras entre 52 e 4 estão no segmento BC O ponto A é um ponto do interior do segmento BC Os pontos B e C são os extremos do segmento Figura 53 Segmento BC parte destacada da reta r O ponto A está no interior de BC porque fA está entre fC e fB 2 Segmento AB De maneira análoga obtemos segAB A B X x 12 3 x 4 exibido na figura abaixo Figura 54 Segmento AB parte destacada da reta r 3 Segmento AC segAC A C X x 12 52 x 3 89 ii H1 e H2 são convexos H1 convexo significa P e Q em H1 implica que segPQ está contido em H1 iii A H1 e B H2 se somente se segAB intercepta r Fig0504 A B P Q r H1 H2 Figura 57 Separação do plano Os conjuntos H1 e H2 são denominados semiplanos determinados pela reta r A reta r não está contida nos semiplanos Se dois pontos estão no mesmo semiplano dizemos que estão do mesmo lado da reta r Se estão em semiplanos distintos dizemos que estão em lados opostos de r Item 55 item55 Teorema 51 Teorema Fundamental Seja r uma reta que separa o plano Sejam A e B pontos que estão em lados opostos de r Então a se P e A estão do mesmo lado de r então P e B estão em lados opostos de r b se Q e A estão em lados opostos de r então Q e B estão do mesmo lado de r Demonstração Digamos que A está em H1 então B está em H2 pois é isto o que significa dizer que A e B estão em lados opostos Se P e A estão do mesmo lado de r então P está em H1 logo P e B estão em lados opostos de r Isto prova a Agora a hipótese em b implica que Q está em H2 portanto Q e B estão do mesmo lado de r provando b 90 ROTEIRO 5 AXIOMA DE SEPARAÇÃO DO PLANO Fig0505 A B P Q r H1 H2 Figura 58 P e Q em lados opostos da reta r Item 56 É possível provar que toda reta separa o plano item56 Não Vamos examinar a questão nos modelos conhecidos Item 57 No modelo cartesiano reta separa o plano item57 Consideremos primeiro uma reta vertical r de equação x k Devemos mostrar que existem dois subconjuntos H1 e H2 com as propriedades enunciadas no Item 53 Definimos H1 e H2 como sendo o conjunto dos pontos à direita e a esquerda de r respectivamente H1 x y x k e H2 x y x k Assim sendo H1 H2 R2 r Fig05071 x y H2 H1 r Figura 59 Separação do plano no modelo cartesiano reta vertical Sejam P x1 y1 e Q x2 y2 pontos de H1 Se for x1 x2 então PQ é o segmento vertical constituído dos pontos x1 y sendo y1 y y2 Logo está contido em H1 Digamos que x1 x2 Então além de P e Q o segmento PQ é constituído dos pontos X x y da reta PQ tais que x1 x x2 portanto está contido em H1 O mesmo vale para H2 Suponhamos agora que P x1 y1 H1 e Q x2 y2 H2 Então x1 k e x2 k ou x2 k x1 Como os pontos X x y da reta PQ tais que x2 x x1 estão no segmento PQ então o ponto k y desta reta está no segmento PQ Logo este segmento corta r Consideremos agora a reta r de equação y mx k Definimos H1 x1 y1 y1 mx1 k e H2 x2 y2 y2 mx2 k Figura 510 Separação do plano no modelo cartesiano reta inclinada Usando geometria analítica provase com certo trabalho que H1 e H2 satisfazem as propriedades de separação do plano Item 58 No modelo bizarro nem toda reta separa o plano O que é surpreendente nisto é que reta no modelo bizarro é a mesma coisa que no modelo cartesiano Acontece que o conceito de separação do plano por uma reta depende também do conceito de segmento que pode ser diferente no modelo bizarro Consideremos a reta vertical r de equação x 72 A figura abaixo é enganadora Poderíamos pensar como indica a figura abaixo que H1 e H2 seriam os dois conjuntos exigidos na definição do Item 53 H1 x y x 72 e H2 x y x 72 92 ROTEIRO 5 AXIOMA DE SEPARAÇÃO DO PLANO Fig05081 x y 1 2 3 4 A B r H1 H2 x 7 2 Figura 511 Separação do plano no modelo bizarrro Uma propriedade que H2 precisa ter é a de ser um conjunto convexo Mas não é pois os pontos A 1 1 2 e B 2 1 2 estão em H2 por terem as suas abscissas menores que 7 2 mas o segmento AB não está contido em H2 pois corta r no ponto de abscissa 7 2 Portanto H2 não é convexo Isto significa que a reta r não separa o plano Não Significa apenas que os conjuntos H1 e H2 escolhidos não são adequados Mas poderia haver outros conjuntos H1 e H2 que satisfizessem as propriedades de separação do plano Para provar que r não separa o plano temos de mostrar que não existem conjuntos H1 e H2 com as propriedades requeridas na definição do Item 53 Por absurdo suponhamos que existem Não sabemos como H1 e H2 são mas com certeza não são aqueles indicados na figura acima Como o segmento AB corta r então A e B estão em lados opostos digamos A em H1 e B em H2 Seja agora P 1 1 veja a figura abaixo Como o segmento PA não corta r P e A estão em H1 Então P e B estão em lados opostos e o segmento PB deveria cortar a reta r Mas como se vê não corta uma contradição Portanto não existem H1 e H2 que satisfaçam as propriedades de separação do plano Fig05082 x y 1 2 3 4 A B r x 7 2 P Figura 512 No modelo bizarro as retas não separam o plano 93 Item 59 Conclusão da discussão anterior os axiomas anteriores não garan item59 tem que qualquer reta separa o plano Portanto se queremos que isto aconteça devemos declarar via axioma Item 510 item510 axiomsep axiomaseparacao Axioma 8 Separação do plano Toda reta separa o plano Item 511 O Axioma de separação do plano é independente dos demais item511 Sim o modelo bizarro satisfaz todos os axiomas anteriores mas não satisfaz o Axioma de separação do plano como vimos no item 8 Item 512 De que maneiras uma reta pode cortar um triângulo item512 Na figura abaixo no triângulo à esquerda a reta corta os três lados do triângulo já que o vértice pertence aos dois lados Pode uma reta cortar os três lados de um triângulo sem passar pelos vértices como no triângulo do centro Pode uma reta cortar um lado de um triângulo sem ser pelos vértices e não cortar nenhum dos outros dois lados como sugere o triângulo da direita Fig05121 Figura 513 Retas cortando um triângulo A figura abaixo que mostra o triângulo APB desenhado no modelo bizarro exibe as retas s e r que respondem afirmativamente impressionante às duas pergun tas Só que o modelo bizarro não satisfaz o Axioma de separação do plano Se este axioma estiver presente isto pode acontecer Não A demonstração deve ser feita em abstrato e com certeza usa o Axioma de separação do plano Se este fosse dispensável os exemplos do modelo bizarro não existiriam 94 ROTEIRO 5 AXIOMA DE SEPARAÇÃO DO PLANO Fig05122 x y 1 2 3 4 A B P r H1 H2 x 7 2 s Figura 514 Reta cortando um triângulo no modelo bizarro Item 513 item513 teo05A Proposição 52 Teorema A Se uma reta corta o interior de um lado de um tri ângulo sem passar pelos vértices então ela terá que cortar um dos outros dois lados Aqui está uma proposição que parece tão óbvia que dificilmente se dá o devido valor à sua demonstração A figura do Item 512 desenhada no modelo bizarro exibe um triângulo ABP e uma reta r que corta o lado AB mas não corta nenhum dos outros dois lados Este exemplo mostra que o Axioma de Separação do Plano é indispensável para a demonstração desta proposição Fig0513 r A B C Figura 515 Reta cortando o interior de um triângulo Demonstração Por hipótese r é uma reta que corta o lado AC do triângulo ABC sem passar por A e nem por C Queremos provar que r corta um dos outros dois lados do triângulo Suponhamos que r não corta AB Mostremos que r corta BC para provar a tese 95 Como o segmento AC corta r sem passar por A ou C A e C estão em lados opostos de r Como AB não corta r A e B estão do mesmo lado de r Resulta então do teorema do Item 55 que B e C estão em lados opostos de r Isto implica que r corta o segmento BC concluindo a demonstração da proposição Item 514 A proposição que trata da possibilidade de uma reta cortar os três item514 lados de um triângulo sem passar pelos vértices como a reta s da figura do Item 512 é a seguinte cuja demonstração é deixada para a lista de exercícios 05 teo05B Proposição 53 Teorema B Uma reta não pode cortar os três lados de um triângulo sem passar pelos vértices Item 515 Interior de triângulo Como vimos o objeto triângulo pode ser item515 definido sem o axioma de separação do plano mas interior de triângulo não pode Definição 52 Seja ABC um triângulo Sejam HC AB o semiplano determinado pela reta AB e que contém o ponto C HB AC o semiplano determinado pela reta AC e que contém o ponto B e HA BC o semiplano determinado pela reta BC e que contém o ponto A O interior do triângulo ABC é a interseção destes três semiplanos HC AB HB AC HA BC Item 516 Tem sentido o conceito de interior de triângulo no modelo bizarro item516 Não Porque o interior de triângulo é definido como a interseção de certos semi planos e nem sempre existe semiplano no modelo bizarro A figura abaixo exibe um triângulo no modelo bizarro o que seria o interior deste triângulo Fig0516 x y 1 2 3 4 A B C Figura 516 Interior de um triângulo no modelo bizarro 96 ROTEIRO 5 AXIOMA DE SEPARAÇÃO DO PLANO Item 517 O que é interior de circunferência O objeto interior de circunferência item517 não necessita do axioma de separação do plano Definição 53 O interior de uma circunferência de centro C e raio r é o conjunto dos pontos cuja distância ao centro é menor que o raio O exterior é o conjunto dos pontos cuja distância ao centro é maior que o raio Item 518 Tem sentido o conceito de interior de circunferência no modelo item518 bizarro Sim O conceito de interior de circunferência só depende de distância diferente mente do conceito de interior de triângulo Item 519 Circunferência e interior de circunferência no modelo bizarro Uma item519 circunferência no modelo bizarro não separa o interior do exterior um segmento pode ligar um ponto do interior a um ponto do exterior sem cortar a circunferên cia Vamos desenhar a circunferência de centro O 0 0 e raio 3 2 No modelo bi zarro a distância entre pontos que estão em retas que não sejam horizontais é a mesma que no modelo cartesiano Então os pontos das semicircunferências carte sianas que estão acima e abaixo do eixo Ox também fazem parte da circunferência bizarra Resta determinar os pontos do eixo Ox que estão nessa circunferência Estes são os pontos da forma X x 0 cuja distância ao centro O 0 0 é 15 dBX 0 fX f0 fx 0 f0 0 fx 0 2 3 2 Aqui f é a bijeção do eixo Ox em R o modelo bizarro Para determinar x separamos em dois casos Caso 1 x é inteiro Então fx 0 x 2 e fx 0 2 x 2 2 x Logo x 3 2 x 3 2 Como x deve ser inteiro não há solução Caso 2 x é nãointeiro Então fx 0 x e fx 0 2 x 2 Logo x 2 3 2 x 2 3 2 x 7 2 e x 1 2 Portanto são dois os pontos do eixo Ox que estão na circunferência bizarra A 1 2 0 e B 7 2 0 Conclusão a circunferência bizarra é constituída das 97 duas semicircunferências cartesianas situadas acima e abaixo do eixo Ox mais os pontos A 1 2 0 e B 7 2 0 A circunferência está destacada na figura abaixo à esquerda Vamos determinar o interior da mesma circunferência Como a distância entre pontos que estão em retas que não sejam horizontais é a mesma que no modelo cartesiano os pontos do interior da circunferência cartesi ana que não estão no eixo Ox também estão no interior da circunferência bizarra Para determinar os pontos X x 0 do eixo Ox cuja distância a O 0 0 é menor que 3 2 devemos resolver a inequação fx 0 2 3 2 Separamos em dois casos Caso 3 x é inteiro Então fx 0 x 2 e fx 0 2 x 2 x Logo x 3 2 3 2 x 3 2 Como x deve ser inteiro as soluções são x 1 0 1 Caso 4 x é nãointeiro Então fx 0 x e fx 0 2 x 2 Logo x 2 3 2 3 2 x 2 3 2 3 2 2 x 2 2 3 2 2 1 2 x 7 2 A solução desta última inequação é constituída de todos os números reais entre 1 2 e 7 2 exceto os inteiros 1 2 e 3 Portanto os pontos do interior da circunferência bizarra que estão no eixo Ox têm as abscissas x encontradas nos casos 3 e 4 O interior está destacado na figura abaixo à direita Exemplos de ponto no inte rior da circunferência 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 0 5 20 Exemplos de ponto no exterior da circunferência 3 2 0 1 2 0 2 0 2 1 2 7 2 1 7 2 1 Exemplos de ponto na circunferência 1 2 0 7 2 0 0 3 2 Encontre a um segmento que liga um ponto do interior a um ponto do exterior sem cortar a circunferência b um segmento que liga dois pontos do interior e que corta a circunferência c um segmento que liga dois pontos no exterior e que corta a circunferência Pergunta adotando a definição de tangente a uma circunferência como sendo uma reta que corta a circunferência em apenas um ponto você pode dizer que a reta que passa pelos pontos 0 3 2 e 3 2 0 é tangente à circunferência Pode uma tangente passar pelo interior da circunferência 98 ROTEIRO 5 AXIOMA DE SEPARAÇÃO DO PLANO Fig0519 x y 1 2 7 2 3 2 A B x y 1 2 7 2 3 2 1 0 1 Figura 517 Circumferência no modelo bizarro 51 RESUMO 99 51 Resumo Objetos primitivos ponto e reta Relação primitiva ponto pertence a reta relação de incidência Relação definida ponto está entre dois pontos relação de ordem Objetos definidos retas que se interceptam retas paralelas circunferência tri ângulo mediatriz de um segmento Definition Dizemos que uma reta r separa o plano P se existem dois subconjun tos disjuntos H1 e H2 tais que i H1 H2 P r ii H1 e H2 são convexos H1 convexo significa P e Q em H1 implica que segPQ está contido em H1 iii A H1 e B H2 se somente se segAB intercepta r Os conjuntos H1 e H2 são denominados semiplanos determinados pela reta r Se A e B estão em um mesmo semiplano dizemos que estão de um mesmo lado da reta r se A está em H1 e B está em H2 dizemos que estão em lados opostos de r Axioma de separação do plano Toda reta separa o plano Teorema 54 Teorema Fundamental Seja r uma reta que separa o plano Sejam A e B pontos que estão em lados opostos de r Então a se P e A estão do mesmo lado de r então P e B estão em lados opostos de r b se Q e A estão em lados opostos de r então Q e B estão do mesmo lado de r Teorema 55 Teorema A Se uma reta corta um lado de um triângulo sem passar pelos vértices então ela terá que cortar um dos outros dois lados Teorema 56 Teorema B Uma reta não pode cortar os três lados de um triângulo sem passar pelos vértices 100 ROTEIRO 5 AXIOMA DE SEPARAÇÃO DO PLANO Definição Seja ABC um triângulo Sejam HC AB o semiplano determinado pela reta AB e que contém o ponto C HB AC o semiplano determinado pela reta AC e que contém o ponto B e HA BC o semiplano determinado pela reta BC e que contém o ponto A O interior do triângulo ABC é a interseção destes três semi planos HC AB HB AC HA BC Um ponto está no exterior se não está no triângulo ou no seu interior 52 Lista de Exercícios n 5 A não ser que esteja explícito em contrário no enunciado do exercício consideramse em vigor todos os sete axiomas 51 O axiomá de separação do plano é independente dos seis primeiros axiomas 52 Descreva o modelo bizarro O modelo bizarro satisfaz o axioma de separação do plano 53 Os modelos cartesiano e do taxista satisfazem o axioma de separação do plano 54 No modelo bizarro desenhe a circunferência de centro na origem e raio 1 Desenhe os seus diâmetros horizontal e vertical O centro está no interior da circunferência Os pontos 12 0 e 32 0 estão no interior da circunferência Pode um segmento ligar um ponto do interior a um ponto do exterior sem cortar a circunferência 55 Questões no modelo bizarro Desenhe um triângulo tendo um lado maior que a soma dos outros dois Pode um lado ser menor que a soma dos outros dois Pode um lado ser igual à soma dos outros dois 56 No modelo bizarro pode uma reta cortar só um lado de um triângulo 57 Estando valendo todos os axiomas pode uma reta cortar só um lado de um triângulo 58 No modelo bizarro pode uma reta cortar os três lados de um triângulo sem passar pelos vértices 59 Estando valendo todos os axiomas pode uma reta cortar os três lados de um triângulo sem passar pelos vértices 510 Defina interior de triângulo E exterior 511 Tem sentido a definição de interior de triângulo no modelo bizarro 512 Qual é a hierarquia dos conceitos usados na definição de interior de circunferência E de interior de triângulo 513 Demonstre o teorema fundamental 102 ROTEIRO 5 AXIOMA DE SEPARAÇÃO DO PLANO 53 Soluções da Lista de Exercícios n 5 51 O axiomá de separação do plano é independente dos seis primeiros axiomas Resposta Sim O modelo bizarro satisfaz os seis primeiros axiomas mas não satisfaz o axioma de separação do plano Repetimos o argumento se fosse possível provar o axioma de separação do plano a partir dos seis axiomas ele seria válido em qualquer modelo que satisfaz aqueles axiomas 52 Descreva o modelo bizarro O modelo bizarro satisfaz o axioma de separação do plano Resposta Este modelo está descrito no Roteiro 5 No Item 58 do Roteiro 5 mostrase que o modelo bizarro não satisfaz o axioma de separação do plano 53 Os modelos cartesiano e do taxista satisfazem o axioma de separação do plano Resposta Sim O argumento é o mesmo nos dois modelos Seja r x y ax by c 0 uma reta usamos a equação geral da reta para evitar separar em dois casos Definimos os dois subconjuntos H1 e H2 do plano do seguinte modo H1 x y ax by c 0 H2 x y ax by c 0 Precisamos provar que H1 e H2 satisfazem as três propriedades de separação do plano Para a propriedade i pode se vê facilmente que H1 H2 P ou seja a reunião de H1 e H2 dá o plano todo menos a reta r Prova de que H1 é convexo isto é se A e B estão em H1 então segAB está todo contido em H1 propriedade ii Fig05L053 x y A B X H1 H2 r Figura 518 Separação do plano no modelo de taxista 53 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS N 5 103 Para provar esta propriedade representaremos o segAB na forma paramétrica Para escrever a equação da reta determinada pelos pontos A x1 y1 e B x2 y2 na forma paramétrica observamos que um ponto X x y está na reta AB se e somente se AX t AB X A tB A que usando coordenadas se escreve x x1 tx2 x1 y y1 ty2 y1 onde t é um número real o parâmetro Observamos que X A quando t O e X B quando t 1 e que A X B 0 t 1 A B X t 1 X A B t 0 Então segAB X X A tB A sendo 0 t 1 Passemos agora à prova de que H1 é convexo Suponhamos que A e B estão em H1 Então ax1 b1 c 0 e ax2 by2 c 0 51 eq51 eq51 Seja X x y um ponto da reta AB Então x x1 tx2 x1 e y y1 ty2 y1 Temos ax by c ax1 tx2 x1 by1 ty2 y1 c ax1 atx2 atx1 by1 bty2 bty1 c 1 tax1 by1 c tax2 by2 c c1 tc tc 1 tax1 by1 c tax2 by2 c 52 eq52 eq52 Admitindose agora que X está no segAB temse 1 t 0 t 0 e como na última igualdade os trinômios entre parênteses são 0 por 51 resulta que O diâmetro horizontal é o segmento cujos extremos são X1 1 0 e X2 1 0 Sendo frX1 3 e frX2 1 temse que para P x 0 X1 P X2 se somente se 3 frP 1 ou 1 frx 0 3 Temos frx 0 x 2 ou frx 0 x conforme seja x inteiro ou nãointeiro respectivamente Temse então 1 x 2 3 1 x 1 x 0 quando x é inteiro e 1 x 3 quando x não é inteiro Concluise que o diâmetro X1X2 é o segmento bizarro contido no eixo Ox ressaltado na figura abaixo Figura 519 Diâmetro no modelo bizarro Pontos no interior e no exterior O centro de uma circunferência sempre está no seu interior pois a distância dele ao centro é 0 que é menor que o raio A distância do ponto 12 0 ao centro 0 0 é fr12 0 0 0 12 2 32 1 Logo o ponto 12 0 está no exterior da circunferência Já o ponto 32 0 está no interior pois a sua distância ao centro é 12 Segmento que liga um ponto do interior a um ponto do exterior sem cortar a circunferência A figura mostra um segmento vertical ligando o ponto 12 0 que está no exterior ao ponto 12 12 que está no interior mas que não corta a circunferência Decorre disto que a circunferência não separa o interior do exterior ax by c 0 e o ponto X está em H1 provando que segAB está contido em H1 Para provar a propriedade iii se A está em H1 e B está em H2 então segAB intercepta r devese provar que existe t entre 0 e 1 tal que a equação 52 acima se torna igual a zero Igualando pois a equação 52 a zero obtémse para o valor de t uma fração com numerador ax1 by1 c e denominador ax1 by1 c ax2 by2 c fração esta que é positiva e menor que 1 A este valor de t corresponde um ponto X do segAB que também está na reta r pois terseá ax by c 0 pela equação 52 54 No modelo bizarro desenhe a circunferência de centro na origem e raio 1 Desenhe os seus diâmetros horizontal e vertical O centro está no interior da circunferência Os pontos 12 0 e 32 0 estão no interior da circunferência Pode um segmento ligar um ponto do interior a um ponto do exterior sem cortar a circunferência Resposta Circunferência Os pontos da circunferência cartesiana de mesmo centro e mesmo raio que estão fora do eixo Ox pertencem á circunferência bizarra porque para pontos em retas inclinadas ou verticais a distância bizarra coincide com a distância cartesiana No eixo Ox no qual se encontra o centro as distâncias bizarras são calculadas de maneira diferente da cartesiana Para este eixo a bijecção é dada po frx0 x se x não é inteiro e frx0 x 2 se x é inteiro Temos fr0 fr00 2 Então um ponto X x 0 está na circunferência se e somente se dBXO frX fr0 frX 2 1 a Se x não é inteiro a última igualdade se escreve x 2 1 o que dá x 3 e x 3 que não são soluções por serem inteiros b Se x é inteiro a última igualdade se escreve x 2 2 1 o que dá x 1 e x 1 que são soluções da equação Logo os pontos X são dois X1 1 0 e X2 1 0 Isto nos leva á conclusão que a circunferência bizarra é a mesma que a circunferência cartesiana Diâmetros O diâmetro vertical é o mesmo que o cartesiano 55 Questões no modelo bizarro Desenhe um triângulo tendo um lado maior que a soma dos outros dois Pode um lado ser menor que a soma dos outros dois Pode um lado ser igual à soma dos outros dois Resposta A idéia é tomar um lado numa reta horizontal cujo comprimento no modelo bizarro é maior que no modelo cartesiano Seja A 0 0 e B 12 0 Estes pontos estão no eixo Ox No sistema de coordenadas f para esta reta temse fA 2 e fB 05 O comprimento do segmento AB no modelo bizarro é dBAB 32 Este segmento não está desenhado na figura desenheo Tomase um ponto C 0 y com y 0 a determinar de modo a satisfazer as condições pedidas na questão Figura 520 Triângulo no modelo bizarro com um lado maior que a soma dos outros dois Um lado igual à soma dos outros dois Temse dBAC dBAC y dBBC dBBC sqrt14 y2 Agora se quisermos que dBAC dBBC dBAB basta resolver a equação y sqrt14 y2 32 Obtémse sqrt14 y2 32 y 53 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS N 5 107 1 4 y2 9 4 3y y2 y 2 3 Um lado maior que a soma dos outros dois Agora se quisermos dBA C dBB dBA B basta tomar y 2 3 por exemplo y 1 2 Um lado menor que a soma dos outros dois Finalmente nos triângulos encontrados é fácil encontrar um lado menor que a soma dos outros dois 56 No modelo bizarro pode uma reta cortar só um lado de um triângulo Resposta 57 Estando valendo todos os axiomas pode uma reta cortar só um lado de um triân gulo Resposta Não Se passar por um vértice corta pelo menos os dois lados que contêm este vértice Se não passa pelo vértice veja Teorema 52 Teorema A do Roteiro 5 para a demonstração 58 No modelo bizarro pode uma reta cortar os três lados de um triângulo sem passar pelos vértices Resposta Sim Veja o Roteiro 5 Item 512 para um exemplo 59 Estando valendo todos os axiomas pode uma reta cortar os três lados de um tri ângulo sem passar pelos vértices Resposta Não A hipótese e a tese do teorema a ser provado são Hipótese ABC é um triângulo Tese uma reta r não pode cortar os três lados do ABC sem passar pelos vértices Demonstração Por absurdo suponhamos que r corta os três lados do ABC sem passar pelos vértices Temos 108 ROTEIRO 5 AXIOMA DE SEPARAÇÃO DO PLANO a r corta o interior do segmento AB implica que A e B estão em lados opostos de r b r corta o interior do segmento AC implica que A e C estão em lados opostos de r c r corta o interior do segmento BC implica que B e C estão em lados opostos de r De a e b decorre que B e C estão de um mesmo lado de r pelo teorema funda menta Mas isto contraria c A negação da tese leva a uma contradição logo a tese é verdadeira Fig05L059 A B C r Figura 521 Pode uma reta cortar os três lados d um triângulo 510 Defina interior de triângulo E exterior Resposta 511 Tem sentido a definição de interior de triângulo no modelo bizarro Resposta 512 Qual é a hierarquia dos conceitos usados na definição de interior de circunferên cia E de interior de triângulo Resposta Observemos que como indicam os diagramas para definir interior de triângulo é preciso o conceito de reta que separa o plano 53 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS N 5 109 Dia05L12 Circumferência Interior de Circumferência Triângulo Reta que Separa o Plano Interior de Triângulo 513 Demonstre o teorema fundamental Resposta Veja Item 55 110 ROTEIRO 5 AXIOMA DE SEPARAÇÃO DO PLANO Roteiro 6 Medida de ângulo Conteúdo semirreta ângulo interior de ângulo medida de ângulo axioma do transferidor modelo de Moulton retas perpendiculares perpendicular a uma reta dada por um ponto da reta e por um ponto fora da reta distância de um ponto a uma reta retas eqüidistantes Retas paralelas são eqüidistantes Item 61 O que é ângulo Definição 61 Ângulo é o conjunto formado pelos pontos que estão em duas semiretas de mesma origem sendo A B e C não colineares BÂC SAB SAC O ponto A é o vértice do ângulo as semiretas SAB e SAC são os lados do ângulo Para a definição de ângulo precisamos antes da definição de semireta Definição 62 A semireta de origem A que passa por B é o conjunto SAB segAB X ABX Item 62 Para a definição de ângulo é necessário o axioma de separação do plano Não Na definição de ângulo usase o conceito de semireta cuja existência depende do Axioma da régua mas não do axioma de separação do plano Abaixo está a hierarquia dos conceitos utilizados no conceito de ângulo Ponto e Reta Distância Semirreta Ângulo Pertence Pontos Colineares Ponto entre dois Pontos Pontos não Colinares Item 63 Exemplo de ângulo no modelo bizarro Antes representaremos graficamente a semireta de origem A 12 1 que passa pelo ponto B 01 Estes pontos estão na reta horizontal r de equação y 1 para a qual uma bijeção é dada por ƒrx1 x se x não é inteiro e ƒrx1 x 2 se x é inteiro Temos ƒrA ƒr12 1 12 e ƒrB ƒr01 2 Os pontos X x1 tais que AXB devem satisfazer a condição 12 ƒrx1 2 a No caso em que x não é inteiro deveremos ter 12 x 2 o que inclui todos os números entre 12 e 2 exceto o inteiro 1 b No caso em que x é inteiro deveremos ter 12 x 2 2 ou 12 x 0 o que dá x 1 Os pontos X x1 são os pontos de r cujas abscissas são estas Juntando a estes pontos os pontos A e B temos o segmento AB destacado na figura abaixo à esquerda que é parte da semireta S Resta agora para completar a semireta representar o conjunto X ABX Deveremos ter 12 2 ƒrx1 cuja solução exige a análise de dois casos Para x não inteiro temos 12 2 x o que dá todos os números não inteiros maiores que 2 Para x inteiro temos 12 2 x 2 o que dá todos os números inteiros maiores que 0 Os pontos X de r correspondentes estão representados no gráfico do meio na figura abaixo A semireta completa que reúne os dois conjuntos está representada à direita Figura 61 Segmento e semirreta no modelo bizarro Outra maneira de desenhar a semireta desenhe a semireta numérica ab e represente a imagem inversa desta semireta numérica na reta AB pela bijeção fr Figura 62 Imagem inversao da semireta numérica Agora tomamos o ponto C 0 2 A figura abaixo representa o ângulo BÂC O lado AB deste ângulo é a semireta já representada acima O lado AC é o mesmo que a semireta cartesiana SAC pois AC não é horizontal Figura 63 Ângulo BÂC com vértice em A Como outro exemplo de ângulo representamos na figura abaixo o ângulo ABC O seu lado horizontal é a semirreta SBA Esta tem em comum com a semirreta SBA desenhada acima o segmento bizarro AB Figura 64 Ângulo ABC com vértice em B Item 64 O que é interior de ângulo Definição 63 O interior do ângulo BÂC é a interseção dos semiplanos HCA B e HBAC Com a notação HCA B entendemos o semiplano determinado pela reta AB e o ponto C Hierarquia dos conceitos envolvidos no conceito de interior de ângulo Item 65 Tem sentido o conceito de interior de ângulo no modelo bizarro Observemos que o conceito de interior de ângulo depende do conceito de semiplano que depende do axioma de separação do plano Logo não tem sentido interior de ângulo no modelo bizarro pois o axioma de separação do plano não vale neste modelo Item 66 O que é medida de ângulo Definição 64 Uma medida de ângulo em graus é uma função m que a cada ângulo a faz corresponder um número ma com as seguintes propriedades i 0 ma 180 ii dada uma semireta SAB seja H um dos semiplanos determinados pela reta AB então dado um número a entre 0 e 180 existe exatamente uma semireta SAC sendo C H tal que mBÂC a iii se M está no interior do ângulo BÂC então mBÂM mMÂC mBÂC Hierarquia dos conceitos utilizados para o conceito de medida de ângulo A propriedade ii é útil para mostrar que é possível construir sobre uma semireta SAB um ângulo com uma dada medida a Tomase um dos semiplanos H determinados pela reta AB e tomase SAC tal que mBÂC a garantida por aquela propriedade figura abaixo Figura 65 Ângulo com dada medida A figura seguinte ilustra a propriedade iii Figura 66 M está no interior de BÂC e mBÂM mCÂC mBÂC Item 67 Para a definição de medida de ângulo é necessário o axioma de separação do plano Sim Observe o uso de semiplano e de interior de ângulo na definição de medida de ângulo conceitos que dependem do axioma de separação do plano Item 68 Axioma 9 Axioma do transferidor Existe medida de ângulo Item 69 Como se mede ângulo no modelo cartesiano Resposta da maneira como se faz em geometria analítica Sejam A x0 y0 B x1y1 e C x2y2 A medida do ângulo BÂC é obtida usando o produto escalar de dois vetores no plano O produto escalar dos vetores AB x1 x0 y1 y0 e AC x2 x0 y2 y0 é o número AB cdot AC x1 x0 cdot x2 x0 y1 y0 cdot y2 y0 Por definição no modelo cartesiano a medida do BAC é o número 0 entre 0 e 180 cujo cosseno satisfaz a relação AB cdot AC AB AC cos heta sendo AB o comprimento do vetor AB Esta maneira de medir ângulo satisfaz as três condições requeridas na definição de medida de ângulo Item 610 Como se mede ângulos no modelo do taxista Por definição a medida de ângulo no modelo do taxista é como no modelo cartesiano Item 611 Tem sentido medida de ângulo no modelo bizarro Não pois para a definição de medida de ângulo é preciso estar valendo o axionia de separação do plano o que não acontece no modelo bizarro Item 612 Um novo modelo o modelo de Moulton No modelo de Moulton um ponto é como no modelo cartesiano retas verticais x constante retas horizontais e inclinadas com declividade negativa y mx k com m 0 também são como no modelo cartesiano Já as retas de declividade positiva são substituídas por retas quebradas ou seja quando m 0 uma reta é dada por uma equação da form y 12 mx k se x 0 mx k se x 0 Item 613 Exemplo de reta de Moulton Determinemos a reta de Moulton que passa pelos pontos A 11 e B 11 Neste caso a declividade m é positiva Para determinar m e k substituímos as coordenadas de A e B nas equações y mx k e y 12 mx k respectivamente por ser a abcissa de A negativa e a de B positiva Obtemos 1 m k e 1 12 m k A solução deste sistema é m 43 e k 13 A equação da reta de Moulton que passa por A e B é portanto y 43 x 13 se x 0 e y 23 x 13 se x 0 Figura 67 A reta de Moulton passando por A 1 1 e B 11 Item 614 Pergunta no modelo de Moulton você está vendo um triângulo na figura abaixo Os pontos A 1 1 B 11 e C 0 13 são os mesmos da figura anterior Figura 68 Triângulo no modelo de Moulton Você está vendo mas talvez não seja o que você está pensando Os vértices do triângulo são A O e B Você não está pensando que A C e B são vértices de um triângulo de Moulton não Claro que não pois eles são colineares Já os pontos A O e B não são colineares O ponto O não pertence à reta de Moulton ACB Ou de outra forma o ponto B não está na reta AO Não se esqueça que esta reta se quebra reduzindo a sua declividade à metade da parte que está à esquerda do eixo Oy A reta AO passa pelo ponto M 112 A reta que passa por A e O é a reta r que está tracejada na figura abaixo A reta BO passa pelo ponto N 12 1 A equação da reta de Moulton AO é y x se x 0 12 x se x 0 119 Fig06142 x y A B 1 1 1 1 O s r M N Figura 69 A O M estão em r N O B estão em s Item 615 O modelo de Moulton satisfaz os axiomas anteriores item615 Sim Axiomas de incidência O leitor não terá dificuldades em mostrar que o modelo de Moulton satisfaz os axiomas de incidência A parte mais trabalhosa é provar que dois pontos A e B determinam uma reta de Moulton No caso em que a reta cartesiana determinada por A e B tem declividade negativa ou zero ou é vertical ela coincicre com a reta de Moulton e não há nada mais o que fazer Quando a declividade da reta cartesiana é positiva para provar que existe e é única a reta de Moulton que passa por A e B é preciso considerar separadamente os três casos a os dois pontos estão à esquerda do eixo Oy b os dois pontos estão à direita do eixo Oy c um ponto está à esquerda e o outro está à direita do eixo Oy Detalhemos o caso em que P x1 y1 está à esquerda e Q x2 y2 está à direita do eixo Oy respectivamente ou seja x1 0 x2 e y1 y2 A equação da reta PQ é da forma y mx k se x 0 1 y 1 2mx k se x 0 2 sendo que as coordenadas de P satisfazem a equação 1 e as de Q satisfazem a equação 2 Precisamos determinar m e k em termos de x1 y1 x2 e y2 que são dados Para ísto resolvemos o sistema cujas incógnitas são m e k y1 mx1 k y2 1 2mx2 k Obtemos m 2 y2 y1 x2 2x1 e k x2 y1 2x1 y2 x2 2x1 e a reta fica conhecida Axiomas de paralelismo Não há dificuldades Faça algumas figuras para perceber Axioma da régua Para provar que o modelo de Moulton satisfaz o Axioma da régua introduzimos agora uma função distância dM e um sistema de coordenadas fr para cada reta de Moulton r A função distância dM é definida de maneira muito natural a partir da distância cartesiana d Por exemplo para determinar a distância dMAB entre os pontos A e B dados no item 10 acima somamos o comprimento cartesiano do segmento que vai de A ao ponto C em que a reta corta o eixo Oy com o comprimento cartesiano do segmento que vai deste ponto ao ponto B Definimos pois a distância dM da seguinte maneira Para pontos que estão em retas verticais ou de declividade negativa ou zero a distância dM coincide com a distância cartesiana dc Os sistemas de coordenadas de Moulton para essas retas são os mesmos que os cartesianos Agora para pontos A e B em retas de Moulton com declividade positiva seja C o ponto onde a reta corta o eixo Oy Definimos dMAB dcAB se A e B estão do mesmo lado de Oy dcAC dcCB se A e B estão em lados opostos de Oy sendo C o ponto onde ela corta este eixo Para essas retas definimos um sistema de coordenadas f em duas partes gerido em cada uma delas como no modelo cartesiano fxy x1m² x 0 x1 14 m² x 0 É fácil verificar que dm efsatisfazem as condições do Axioma da régua Axioma de separação do plano Resta mostrar que o modelo de Moulton satisfaz o axioma de separação do plano que para cada reta r existem dois conjuntos H1 e H2 satisfazendo as condições da separação do plano por uma reta No caso em que r é também uma reta cartesiana os conjuntos H1 e H2 são como no modelo cartesiano e não há dificuldades ROTEIRO 6 MEDIDA DE ÂNGULO Obtemos m 2 y2 y1 x2 2x1 e k x2 y1 2x1 y2 x2 2x1 e a reta fica conhecida Axiomas de paralelismo Não há dificuldades Faça algumas figuras para perceber Axioma da régua Para provar que o modelo de Moulton satisfaz o Axioma da régua introduzimos agora uma função distância dM e um sistema de coordenadas fr para cada reta de Moulton r A função distância dM é definida de maneira muito natural a partir da distância cartesiana d Por exemplo para determinar a distância dMA B entre os pontos A e B dados no item 10 acima somamos o comprimento cartesiano do segmento que vai de A ao ponto C em que a reta corta o eixo Oy com o comprimento cartesiano do segmento que vai deste ponto ao ponto B Definimos pois a distância dM da seguinte maneira Para pontos que estão em retas verticais ou de declividade negativa ou zero a distância dM coincide com a distância cartesiana dc Os sistemas de coordenadas de Moulton para essas retas são os mesmos que os cartesianos Agora para pontos A e B em retas de Moulton com declividade positiva seja C o ponto onde a reta corta o eixo Oy Definimos dMA B dcA B se A e B estão do mesmo lado de Oy dcA C dcC B se A e B estão em lados opostos de Oy sendo C o ponto onde ela corta este eixo Para essas retas definimos um sistema de coordenadas f em duas partes gerido em cada uma delas como no modelo cartesiano fx y x1 m² x 0 x1 14 m² x 0 É fácil verificar que dm efsatisfazem as condições do Axioma da régua Axioma de separação do plano Resta mostrar que o modelo de Moulton satisfaz o axioma de separação do plano que para cada reta r existem dois conjuntos H1 e H2 satisfazendo as condições da separação do plano por uma reta No caso em que r é também uma reta cartesiana os conjuntos H1 e H2 são como no modelo cartesiano e não há dificuldades Concentramos pois a atenção no caso de uma reta r de declividade m positiva de equação y mx k se x 0 e y12 mx k se x Sejam A C e B pontos de r sendo C a sua interseção com o eixo Oy A à esquerda e B à direita de Oy Definimos H1 e H2 como sendo as partes acima e abaixo da reta respectivamente veja a figura mais precisamente H1 é a reunião de dois conjuntos A1 e B1 sendo A1 xy x 0 e y mx k B1 xy x 0 e y 12 mx k enquanto H2 é a reunião de A2 e B2 sendo A2 xy x 0 e y mx k B2 xy x 0 e y 12 mx k É fácil ver que a condição i da definição de separação do plano está satisfeita Já não é tão simples mostrar que H1 é convexo Provemos isto Devemos provar que quaisquer que sejam os pontos P x1 y1 e Q x2 Y2 em H1 o segPQ está contido em H1 A situação mais delicada acontece quando os pontos P e Q estão em lados opostos do eixo Oy digamos x1 0 x2 Vamos detalhar o caso em que P e Q estão acima da reta r ou seja y1 mx1 k e y2 12 mx2 k Fig0615 Figura 610 Separação do plano no modelo de Moulton Seja y m1 x k1 x 0 y 12 m1 x k1 x 0 a equação da reta PQ Basta mostrar que o ponto 0 k1 em que a reta PQ corta o eixo Oy está acima do ponto 0 k em que a reta r corta aquele eixo ou seja que k1 k Fig a direita está em correspondência com o texto Caso 2 O vértice V do ângulo ÂV B está no eixo Oy a Quando um lado do ângulo digamos SVA está à esquerda do eixo Oy tomase A em SVA independentemente da sua declividade b Quando o lado do ângulo digamos SVA está do lado direito do eixo Oy temos duas situações a considerar Se ele for horizontal ou tiver declividade negativa tomase A em SVA Se ele tiver declividade positiva tomase A no prolongamento cartesiano para a direita do eixo Oy da parte da reta AV que está do lado esquerdo do eixo Oy Exemplo Na figura abaixo está representado o ângulo de Moulton AV B sendo V 0 0 A 1 1 e B 1 1 Queremos determinar a sua medida mMAV B Figura 612 Ângulo de Moulton com vértice V no eixo Oy O lado SVA está à esquerda de Oy tomamos A A O lado SVB está à direita de Oy e tem declividade positiva A parte da reta de Moulton V B que está a esquerda do eixo Oy é SVN tomamos B no prolongamento cartesiano de SVN para a direita do eixo Oy Na figura tomamos B 1 2 Basta agora medir o ângulo cartesiano AV B Temse mcAV B 459026 5 161 5 aproximadamente pois 26 5é uma medida aproximada do ângulo a indicado na figura A tangente deste ângulo a é A razão do cateto oposto para o cateto 124 ROTEIRO 6 MEDIDA DE ÂNGULO adjacente de um triângulo retângulo que o leitor pode identificar facilmente na figura Portanto mMAV B mcAV B 161 5aproximadamente Item 617 Agora que sabemos medir ângulo podemos falar em retas perpendi item617 culares Definição 65 Duas retas r e s são perpendiculares se a união de r e s contém um ângulo reto Observe que não dissemos que as retas formam um ângulo reto pois ângulo é formado por semiretas Na verdade são formados quatro ângulos retos Item 618 Perpendicular a uma reta r por um ponto P da reta item618 teo6A Teorema 61 Teorema A Se P é uni ponto de uma reta dada r então existe uma e uma só perpendicular à reta r passando por P Demonstração Aplicaremos a propriedade ii da definição de medida de ân gulo Seja SPA sendo A um ponto de r uma semireta Seja C um ponto de um dos semiplanos H determinados por r axioma de separação do plano tal que mCPA 90 Isto é possível porque o número 90 está entre 0 e 180 Como o ângulo CPA é reto a reta t determinada por C e P é perpendicular à reta r Isto prova a existência de perpendicular Para provar a unicidade seja s uma reta perpendicular a r passando por P Seja D um ponto de s situado em H Então o ângulo ADP é reto Logo a semireta SPD coincide com a semireta SPC pela unicidade de semireta enunciada na propriedade ii da definição de medida de ângulo Fig0618 r t A C P H r t A C P H s D Figura 613 Existência e unicidade de perpendicular da reta r por ponto P Item 619 Perpendicular a uma reta r por um ponto P fora da reta r Agora é item619 diferente não vale nem a existência nem a unicidade 125 Com os axiomas atuais não se pode garantir existência nem unicidade Daremos exemplos e contraexemplos Como reta r consideremos a reta quebrada ACB dada no item 13 A 1 1 C 0 1 3 B 1 1 e para ponto tomamos P 1 13 12 O ponto P está na V substituido por C V substituido por C reta cartesiana y 3 4x 1 3 que é perpendicular à reta cartesiana y 4 3x 1 3 no ponto C esta equação é a equação da reta de Moulton r para x 0 Temos mMACP mcACP 90 pois os lados do ângulo estão à esquerda do eixo Oy Portanto a reta PC é perpendicular à reta r tanto segundo Moulton quanto no modelo cartesiano Este é um exemplo de um ponto P pelo qual passa uma e uma só perpendicular a r Fig06191 x y A B C 1 3 1 1 P x y A B C Q R S r B Figura 614 Perpendiculares de reta de Moulton r passando por ponto P Agora exibiremos um ponto Q pelo qual não passa perpendicular a r Tomemos a reta QC perpendicular cartesianamente à reta y 2 3x 1 3 esta é a equação da reta de Moulton r para x 0 A equação de QC é y 3 2x 1 3 sendo Q o ponto desta reta de abscissa 1 Q 1 11 6 Portanto o ângulo cartesiano BCQ é reto O ângulo de Moulton BCQ é reto Resposta Não Para medir este ângulo devemos substituir o lado CB pela semireta CB que é o prolongamento à direita do eixo Oy de AC a parte de r que está à esquerda de Oy Tomamos B 1 5 3 Então mMBCQ mcBCQ Como se vê claramente este último ângulo é agudo menor que 90 Portanto QC não é perpendicular a r segundo Moulton Pergunta Pelo ponto Q existe uma reta perpendicular a r Resposta Não Como acabamos de ver QC não é perpendicular a r segundo Moulton como vimos QC é perpendicular a CB cartesianamente falando Agora se ligarmos Q a um ponto R de r á direita de C como mostra a figura QR não é perpendicular a CB cartesianamente porque só existe uma perpendicular cartesiana a CB e esta 126 ROTEIRO 6 MEDIDA DE ÂNGULO é QC A medida de Moulton do ângulo BRQ é a mesma medida cartesiana deste ângulo logo não é reto Conseguese mostrar também que se ligarmos Q a um ponto S de r à esquerda de C QS não é perpendicular a r Conclusão não existe perpendicular a r pelo ponto Q Este é um fato surpreendente E quanto à unicidade Por um ponto fora de r pode passar mais de uma perpen dicular a r Resposta Sim Vamos exibir um ponto N pelo qual passam duas perpendiculares a r Tomamos N um ponto do quarto quadrante que está na reta PC que como vimos é perpendicular a r Por N traçamos urna perpendicular cartesiana MN à reta r sendo M um ponto à direita de C Esta reta MN é perpendicular a r segundo Moulton também Portanto no modelo de Moulton existem duas perpendiculares a r por N NC e NM Outro fato surpreendente Fig06192 x y A B C 1 3 1 1 P N r M Figura 615 Ponto N com duas perpendiculares Conclusão Os axiomas dados até agora não são suficientes para garantir a exis tência e a unicidade de reta perpendicular a uma reta dada por um ponto dado fora da reta Ao contrário no caso de ponto na reta existência e unicidade de perpen dicular estão garantidas como mostra o Teorema 61 Teorema A do Item 18 Que axioma está faltando para garantir existência e unicidade de perpendicular a uma reta por um ponto fora Veremos isto no futuro Item 620 Como se define distância de um ponto a uma reta item620 Como se sabe na geometria euclidiana determinase a distância de um ponto a uma reta baixandose uma perpendicular do ponto à reta e calculandose a distân cia do ponto ao pé da perpendicular Acontece que na presença dos axiomas atu ais nem sempre a perpendicular existe como vimos no exemplo do item anterior Por esta razão definimos distância de um ponto a uma reta de outra maneira Definição 66 Seja r uma reta e seja P um ponto fora de r A distância de P 127 a r indicada por dP r é a menor das distâncias de P aos pontos de r Em símbolos dP r mindP X X r Item 621 Que são retas eqüidistantes item621 Definição 67 A reta r é eqüidistante da reta s se dados dois pontos quaisquer A e B de r temse dA s dB s Item 622 Retas paralelas são eqüidistantes item622 Nem sempre No modelo de Moulton existem retas paralelas que não são eqüidis tantes Exemplo Na figura abaixo as retas r e s são retas de Moulton paralelas Tomamos em r o ponto A de modo que o pé A da perpendicular de A a r é o ponto de olho interseção de s com Oy O ponto B é a interseção de r com o eixo Oy B é o pé da perpendicular baixada de B a s O segmento AC está no prolongamento cartesiano da air semireta que está à esquerda de Ou O segmento BC é paralelo a AA e portanto tem comprimento igual a AA A hipotenusa do triângulo retângulo BCD é parte do segmento BB Disto decorre que BB BD BC AA Logo BB AA Portanto a reta r não é eqüidistante de s por ter dois pontos A e B cujas distâncias a s são diferentes Fig0622 r s A A B B C D Figura 616 Retas de Moulton equidistantes Roteiro 7 Conseqüências dos axiomas de separação do plano e do transferidor Os teoremas que decorrem do axioma de separação do plano são de fácil aceitação e de difícil demonstração O matemático Moritz Pasch 18431930 foi um dos primeiros matemáticos a perceber que eles precisavam de demonstração e para demonstrálos aos axiomas de Euclides ele percebeu que era necessário acrescentar um novo axioma o de separação do plano Neste Roteiro enunciamos e provamos alguns deles Nenhum dos teoremas depende dos axiomas de paralelismo Todos os teoremas dependem do axioma de separação do plano exceto a Proposição B que depende apenas do axioma da régua e dos axiomas de incidência Os teoremas tratam com interiores de figuras cujas definições relembramos abaixo Definições O interior de um segmento AB é constituído dos pontos do segmento diferentes dos extremos intsegAB X A X B O interior de uma semireta SAB é constituído dos pontos da semireta diferentes da sua origem intSAB B X A X B X A B X O interior de um ângulo BÂC é a interseção dos semiplanos HABC e HACB intBÂC HABC HACB O interior de um triângulo ABC é a interseção dos semiplanos HABC HACB e HBCA intABC HABC HACB HBCA Deste Roteiro é importante que o aluno compreenda bem os teoremas destacados nos itens 1 e 2 Teorema de Pasch Teorema da semireta do interior de um ângulo Recíproca do teorema da semireta do interior de um ângulo Teorema do Angulo Raso e o Teorema dos Ângulos Opostos pelo Vértice As suas demonstrações que demandam as outras proposições do roteiro podem ser dispensadas neste momento Item 71 Teoremas que dependem do axioma de separação do plano sem envolver medida de ângulos Teorema 71 Teorema de Pasch Moritz Pasch 18431930 Se uma reta corta o interior de um lado de um triângulo então ela terá que cortar um dos outros dois lados Observação O Teorema de Pasch foi demonstrado no Roteiro 5 Ele é o Teorema A daquele roteiro Podese provar que o Teorema de Pasch é equivalente ao Axioma de Separação do Plano ASP Sendo assim ele pode ser adotado como axioma no lugar do ASP como aliás fez Pasch Para provar a equivalência dos dois basta provar que adotado o Teorema de Pasch como axioma podese provar o ASP pois já provamos o Teorema de Pasch a partir do ASP Não o faremos aqui Teorema 72 Teorema da semireta do interior de um ângulo Se o ponto P está no interior do ângulo BAC então a semireta SAP corta o segmento BC Teorema 73 Recíproca do teorema da semireta do interior de um ângulo Se a semireta SAP corta o interior do segmento BC então P está no interior do ângulo BAC Observação O Teorema de Pasch e o Teorema da semireta do interior de um ângulo descrevem o que acontece com uma reta que se adentra num triângulo o primeiro pelo interior de um lado e o segundo por um vértice Em ambos os casos ao sair do triângulo ela terá que cortar o triângulo novamente Veja a figura abaixo Estes fatos são tão óbvios que talvez ninguém antes de Pasch tenha pensado que eles precisam de demonstração Foi Pasch que percebeu a necessidade de um axioma que não estava entre os axiomas de Euclides para poder demonstrálos No modelo bizarro em que não vale o axioma de separação do plano o Teorema de Pasch não vale Uma das figuras acima mostra uma reta r que corta apenas o lado AB do triângulo ABC O Teorema da semireta do interior de um ângulo garante que a semireta SAP corta qualquer segmento que liga pontos dos lados do ângulo O seu enunciado nem tem sentido no modelo bizarro pois não existe interior de ângulo neste modelo Uma das figuras acima mostra uma semireta no modelo bizarro que corta o segmento MN mas não corta o segmento BC Item 72 Teoremas que envolvem medida de ângulos Teorema 74 Teorema do Ângulo Raso Sejam A V e B três pontos tais que A V B e seja P um ponto fora da reta AB Então mAVP mPVB 180 Reciprocamente se A e B são pontos que estão em lados opostos da reta VP e mAVP mPBV 180 então A V B 133 Fig07021 A V B P x y Figura 76 Teorema do Ângulo Raso teoremaangulosopostos Teorema 75 Teorema dos Ângulos Opostos pelo Vértice Ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida Fig07022 α β γ Figura 77 Teorema dos Ângulos Opostos pelo Vértice Item 73 Demonstrações do Teorema da semireta do interior de um triângulo e item73 da sua recíproca As demonstrações dos dois teoremas é muito longa Elas dependem de vários teoremas que desenvolveremos em seguida Proposição 76 Proposição A Segmento semireta interior de segmento e inte rior de semireta são conjuntos convexos Um conjunto K é convexo se P Q K segPQ está contido em K Demonstração Faremos a demonstração apenas para o caso de uma semireta SAB A BuX A X B X A B X Sejam P Q S Queremos mostrar que segPQ está contido em S Para isto devemos mostrar que se X está entre P e Q P X Q então X S Temos vários casos a considerar conforme a posição de P e Q em relação a A e B Vamos tratar do caso em que A P B A Q B Todos os outros casos são tratados de maneira semelhante Seja f retaAB R um sistema de coordenadas para a reta AB Sejam a fA b fB p fP q fQ x fX Sem perda de generalidade podemos supor que a b e p q Temos que A P B a p b A Q B a q b Donde a p q b Temos também P X Q p x q a x b AX B X SAB Isto concluí a prova de que segPQ está contido em S 134ROTEIRO 7 CONSEQÜÊNCIAS DOS AXIOMAS DE SEPARAÇÃO DO PLANO E DO TRANSFERIDOR Proposição 77 Proposição B Seja K um segmento uma semireta ou o interior deles Se K não corta uma reta r então K está contido em um dos semiplanos determinados por r Fig07031 K K Figura 78 Proposição B Demonstração Sejam H1 e H2 os semiplanos determinados por r Seja A um ponto de K que está em H1 Suponhamos por absurdo que existe um ponto B de K que está em H2 Então pelo Axioma de Separação do Plano o segmento AB corta r Isto implica que K também corta r já que o segmento AB está contido em K Proposição A Isto contraria a hipótese de que K não corta r Proposição 78 Proposição C Se A B C e a reta AC corta uma reta r em B então a os interiores de segBA e de SBA estão do mesmo lado de r b os interiores de SBA e SBC estão em lados opostos de r Fig07032 B A C r Figura 79 Proposição C Demonstração Acompanhe a demonstração com a figura acima Parte a Seja X intsegAB Então AXB que juntamente com A B C implica em X B C Isto implica que segXC corta a reta r donde X e C éstão em lados opostos de r Como A e C também estão em lados opostos de r resulta que A e X estão do mesmo lado de r Isto implica que os pontos de intsegAB estão todos do mesmo lado de r De maneira semelhante provamos que os pontos de intSBA estão do mesmo lado de r 135 Parte b X intSBA X A ou A X B ou B A X Y intSBC Y C ou B Y C ou B C Y Em qualquer caso temos X e Y em lados opostos de r Isto implica que intSBA e intSBC estão em lados opostos de r Lema 79 Lema do Z Se P e Q estão em lados opostos da reta AB então SBP e SAQ não têm ponto em comum Fig07033 A B P Q Figura 710 Lema do Z A figura acima parece uma letra z por isso este lema é denominado Lema do Z Demonstração Digamos que P está no semiplano H1 e Q está no semiplano H2 Pela Proposição C intSBP está contido em H1 e intSAQ está contido em H2 logo intSBP e intSAQ não têm ponto em comum Como A e B são distintos segue que SBP e SAQ não têm ponto em comum Proposição 710 Proposição D P intBAC B e P estão do mesmo lado de AC e C e P estão do mesmo lado de AB Fig07034 A B C P Figura 711 Proposição D Demonstração Por definição intBÂCHCABHBAC Então PintBÂCPHCAB e PHBAC Temos PHCAB segPC está contido em HCAB propriedade ii da definição de reta separa o plano donde C e P estão do mesmo lado de AB P HBAC segPB está contido em HBAC propriedade ii da definição de reta separa o plano donde B e P estão do mesmo lado de AC Isto prova um sentido da proposição Provemos o outro sentido Temos B e P do mesmo lado de AC P HBAC C e P do mesmo lado de AB P HCAB Destas duas condições resulta que P HCAB HBAC provando o outro sentido Proposição 711 Proposição E Seja BÂC um ângulo Então intCB está contido em intBÂC Figura 712 Proposição E Demonstração Temos 1 intsegCB está contido em HBCA Proposição C 2 intsegCB está contido em HCBA Proposição C De 1 e 2 resulta que intsegCB está contido em HBCAHCBA intBAC Observação Na ausência do Axioma de unicidade de paralelas a recíproca desta proposição é falsa isto é nem todo ponto do interior de um ângulo está num segmento que liga dois pontos dos lados do ângulo É preciso um exemplo concreto para nos convencer disto já que este fato vai contra a nossa intuição O contraexemplo para a recíproca será dado no modelo de Klein num capítulo posterior Teorema 712 Teorema da semireta do interior de um ângulo Se o pontó P está no interior do ângulo BÂC então a semireta SAP corta o segmento BC 137 Fig07036 A B C P A B C P Q D E Figura 713 Teorema da Semireta do Interior de um Ângulo Demonstração Queremos mostrar que a semireta SAP da primeira figura corta o segmento BC A idéia da demonstração é construir um novo triângulo BCD e aplicar a ele o Teorema de Pasch para concluir que a reta AP que corta o lado BD terá que cortar o lado BC num ponto Q e depois que Q está na semireta SAP Para construir o novo triângulo basta tomar um ponto D tal que D A B como mostra a segunda figura acima Primeiramente mostremos que a reta AP corta o lado BC Para isto aplicaremos o Teorema de Pasch ao ABCD mostrando que a reta AP não corta o lado CD Temos P intBAC B e P estão do mesmo lado de AC Proposição D D A B B e D estão em lados opostos de AC Logo P e D estão em lados opostos de AC Pelo Lema do Z aplicado à reta AC intCD e intSAp não se interceptam Portanto SAp não corta segCD Seja agora SAE a semireta oposta a SAp Então E e C estão em lados opostos de AB O Lema do Z aplicado à reta AB garante que SAE não corta o segCD Logo a reta AP SAPv SAE não corta segCD Pelo Teorema de Pasch a reta AP corta o lado BC num ponto Q O ponto Q está na reta AP por que está na semireta SAP Resposta porque P e Q estão do mesmo lado de AB Isto conclui a demonstração Teorema 713 Recíproca do teorema da semireta do interior de um ângulo Se a semireta SAp corta o interior do segmento BC então P está no interior do ângulo BAC Figura 714 Recíproca do Teorema da Semireta do Interior de um Ângulo Demonstração 1 Q e C estão do mesmo lado de AB Proposição C 2 Q e P estão do mesmo lado de AB Proposição C 3 Logo P e C estão do mesmo lado de AB P HBAC Da maneira análoga P e B estão do mesmo lado de AC P HBAC Portanto P está no interior do ângulo BÂC Item 74 Demonstrações do Teorema do Ângulo Raso e do Teorema dos Ângulos Opostos pelo Vértice Proposição 714 Proposição F Se B A D então P intBk se e somente se C intPÂD Figura 715 Proposição F Demonstração No sentido P intBÂC P e B estão do mesmo lado de AC Proposição BAD D e B estão em lados opostos de AC Logo D e P estão em lados opostos de AC segDP corta AC C intPÂD Recíproca do teorema da semireta do interior de um ângulo Para o outro sentido a demonstração é análoga Proposição 715 Proposição G Se M e C estão do mesmo lado da reta AB e mBÂM mBÂC então M está no interior de BAC Figura 716 Proposição G Demonstração Queremos mostrar que nas hipóteses da proposição a situação é a ilustrada na figura acima M está no intBÂC Isto é M HCAB HBAC pela definição de interior de ângulo Como por hipótese M HCAB resta mostrar que M HBAC Procedendo por absurdo a negação desta última afirmação M HBAC significa M AC ou M e B estão em lados opostos de AC figuras abaixo Suponhamos que MEAC Então BÂM BÂC contrariando a hipótese Suponhamos que M e B estão em lados opostos de AC Então segMB corta AC e como M e C estão do mesmo lado de AB segMB corta SAc Portanto C está no intBÂM pela recíproca do teorema da semireta do interior de um ângulo Daí mBÂC mCÂM mBÂM pela propriedade iii da definição de reta separa o plano Logo mBÂM mBÂC contrariando a hipótese Como a negação de M HBAC leva a uma contradição então esta afirmação é verdadeira completando a demonstração Figura 717 Proposição G Teorema 716 Teorema do Ângulo Raso Se P está fora da reta AB então mAV P mPV B 180 Reciprocamante se A e B são pontos que estão em lados opostos da reta V P e mAV D mPV B 180 então A V B Figura 718 Teorema do Ângulo Raso Demonstração Façamos mAV P xemPV B y Mostraremos que as possibilidades x y 180 e x y 180 levam a contradição restando pois a que se quer provar na primeira parte do teorema x y 180 Suponhamos que x y 180 P1sso 1 Existe exatamente uma semireta SVP sendo D do mesmo lado de AV que P tal que mAP D x y Propriedade ii de medida de ângulo Figura abaixo à esquerda P2sso 2 Como x x y então o ponto P está no interior de AV D Proposição G Passo 3 mAV P mPV D mAV D Propriedade iii de medida de ângulo Passo 4 x mPV D x y donde mPV D y Passo 5 Como D intPV B por que temos mPV D InDV B mPV B Passo 6 y mDV B y donde mDV B 0 uma contradição Logo não pode ser x y 180 Figura 719 Prova do Teorema do Ângulo Raso Suponhamos agora que x y 180 Figura acima à direita Passo 7 x y 360 pois x 180 e y 180 Passo 8 O x y 180 180 Passo 9 Existe exatamente uma semireta SvE sendo E do mesmo lado de AV que P tal que mAV E x y 180 Passo 10 O ponto E está em intAV E porque x y 180 x Proposição G Passo 11 mAV E mEV P mAV P Passo 12 x y 180 mEV P x donde mEV P 180 y Passo 13 Como P intEV B Proposição F temos mEV P mPV B mEV B Passo 14 180 y y mEV B donde mEV B 180 Contradição Portanto x y 180 também é falso Logo resta x y 180 Demonstração da recíproca Seja M um ponto tal que A V M figura abaixo Pela parte já demonstrada temos mAV P mPV M 180 Por hipótese temos mAV P mPV B 180 Logo mPV M mPV B Como M e B estão do mesmo lado da reta V P e as semiretas SVB e SV M fazem com a semireta SVP ângulos com a mesma medida então SVB SVM pela propriedade ii da definição de medida de ângulo Isto conclui a demonstração do teorema Figura 720 Teorema do Ângulo Raso 142ROTEIRO 7 CONSEQÜÊNCIAS DOS AXIOMAS DE SEPARAÇÃO DO PLANO E DO TRANSFERIDOR Definição 71 Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as semiretas opostas dos lados do outro Teorema 717 Teorema dos Ângulos Opostos pelo Vértice Ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida Fig07047 α β γ Figura 721 Ângulos Opostos pelo Vértice Demonstração Temos a y 180 e 3 7 180 Logo α β Título muito comprido no cabeçalho das páginas Título muito comprido no cabeçalho das páginas 71 Resumo Objetos primitivos ponto e reta Relação primitiva ponto pertence a reta relação de incidência Relação definida ponto entre dois pontos relação de ordem Objetos definidos retas que se interceptam retas paralelas circunferência interior e exterior de circunferência segmento triângulo distância entre dois pontos sistema de coordenadas para cada reta reta separa plano semiplano interior e exterior de triângulo semireta ângulo interior de ângulo medida de ângulo perpendiculares distância de ponto a reta retas eqüidistantes ângulos opostos pelo vértice Axiomas anteriores 3 de incidência 2 de paralelismo axioma da régua axioma de separação do plano Modelos aniquilados pelos axiomas anteriores modelos finitos modelo bizarro Modelos que ainda continuam modelo cartesiano modelo do taxista modelo de Moulton Definição A semireta de origem A que passa por B é o conjunto SAB segAB X A B X Definição Ângulo é o conjunto formado pelos pontos que estão em duas semiretas de mesma origem sendo A B e C não colineares BÂC SAB SAC O ponto A é o vértice do ângulo as semiretas SAB e SAC são os lados do ângulo Definição O interior do ângulo BÂC é a interseção dos semiplanos HABC e HACB Com a notação HABC entendemos o semiplano determinado pela reta AB e o ponto C Definição Uma medida de ângulo em graus é uma função m que a cada ângulo a faz corresponder um número ma com as seguintes propriedades i O ma 180 ii dada uma semireta SAB seja H um dos semiplanos determinados pela reta AB então dado um número a entre 0 e 180 existe exatamente uma semireta SAC sendo C H tal que mBÂC a iii se M está no interior do ângulo BÂC então mBÂM mMÂC mBÂC Axioma do transferidor Existe medida de ângulo Definição Duas retas r e s são perpendiculares se a união de r e s contém um ângulo reto Teorema A Se P é um ponto de uma reta dada r então existe uma e uma só perpendicular à reta r passando por P Definição Seja r uma reta e seja P um ponto fora de r A distância de P a r indicada por dP r é a menor das distâncias de P aos pontos de r Em símbolos dP r mindP X X r Definição A reta r é eqüidistante da reta s se dados dois pontos quaisquer A e B de r temse dA s dB s Definição Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as semiretas opostas dos lados do outro Teorema do Ângulo Raso Sejam A V e B três pontos tais que A V B Se P está fora da reta AB então mÂV P mPV B 180 Reciprocamente se A e B são pontos que estão em lados opostos da reta V P e mÂV P mPV B 180 então A V B Teorema de Pasch Se uma reta corta o interior de um lado de um triângulo então ela terá que cortar um dos outros dois lados Teorema da semireta do interior de um ângulo Se o ponto P está no interior do ângulo BÂC então a semireta SAP corta o segmento BC Teorema dos Ângulos Opostos pelo Vértice Ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida 72 LISTA DE EXERCÍCIOS N 7 145 72 Lista de Exercícios n 7 A não ser que esteja explicito em contrário no enunciado do exercício consideram se em vigor todos os oito axiomas 3 de incidência 2 de paralelismo da régua e separação do plano e do transferidor 71 Como é a medida de ângulo no modelo cartesiano E no modelo do taxista 72 Tem sentido o conceito de ângulo no modelo bizarro 73 Tem sentido o conceito de medida de ângulo no modelo bizarro 74 Como é a medida de ângulo no modelo de Moulton 75 Defina ângulos agudo reto e obtuso 76 Defina retas perpendiculares 77 Prove o Teorema A 78 Represente a perpendicular à reta de Moulton y x pela origem e pelos pontos 1 1 e 1 1 79 Por um ponto fora de uma reta dada existe uma reta perpendicular à reta dada É única 710 Construa um triângulo com dois ângulos retos 711 Defina distância de um ponto a uma reta 712 Considere a reta de Moulton r dada por y x se x 0 e y x2 se x 0 Delimite numa figura a a região dos pontos em que não existe perpendicular a r e b a região dos pontos em que existem duas perpendiculares a r 713 Qual é a distância do ponto P 13 23 à reta r do exercício 12 Observe que não existe perpendicular a r por P 714 Considere a reta de Moulton r do exercício 12 e o ponto Q 1 1 Qual é a distância de Q a r Observe que existem duas perpendiculares a r por Q 715 No modelo cartesiano a distância de um ponto P a uma reta r é o comprimento do segmento perpendicular baixado de P a r Prove 716 No modelo de Moulton considere a reta r do exercício 12 e a reta s paralela a r pelo ponto A 0 1 As retas paralelas r e s são eqüidistantes 717 As retas de Moulton r de equação y x e s de equação y x 1 são retas paralelas de declividade negativa São eqüidistantes Cuidado Não se iluda com a figura 718 Como você definiria paralelogramo Num paralelogramo os lados opostos são iguais E os ângulos opostos 719 No modelo de Moulton considere os pontos O 0 0 A 1 ½ B 0 ½ e C 1 1 O que representa a figura OABC Que relação há entre os comprimentos dos seus lados 720 Para os triângulos ABC e EFG temse AB EF AC EG e Â Ê Podemos afirmar que BC FG 73 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS N 7 147 73 Soluções da Lista de Exercícios n 7 78 Represente a perpendicular à reta de Moulton y x pela origem e pelos pontos 1 1 e 1 1 Resposta A reta é y xse x 0 e y 12x se x 0 Fig07L0708 x y y x y 1 2 x y x Figura 722 Exercício 78 79 Por um ponto fora de uma reta dada existe uma reta perpendicular à reta dada É única Resposta Os axiomas atuais não garantem que existe e quando existe pode não ser única Contraexemplos no modelo de Moulton veja o Roteiro Roteiro 6 item 19 Veja também o exercício 12 710 Construa um triângulo com dois ângulos retos Resposta Veja o triângulo QOP do exercício 714 712 Considere a reta de Moulton r dada por y x se x 0 e y x2 se x 0 Delimite numa figura a a região dos pontos em que não existe perpendicular a r e b a região dos pontos em que existem duas perpendiculares a r Resposta Na figura abaixo não existe perpendicular a r pelos pontos que estão na região destacada no segundo quadrante No quarto quadrante na região destacada estão os pontos pelos quais passam duas perpendiculares a r Argumente 148ROTEIRO 7 CONSEQÜÊNCIAS DOS AXIOMAS DE SEPARAÇÃO DO PLANO E DO TRANSFERIDOR Fig07L0712 x y y x y 1 2 x y x y 2x Figura 723 Exercício 712 713 Qual é a distância do ponto P 13 23 à reta r do exercício 12 Observe que não existe perpendicular a r por P Resposta Seja A um ponto da reta r no primeiro quadrante e seja B um ponto de r no terceiro quadrante O ponto P está na reta y 2x que é perpendicular cartesiá namente à reta OA não é perpendicular segundo Moulton Fig07L0713 x y O A B C M P Q R r y 1 2x y 2x Figura 724 Exercício 713 Quando Q está em r no primeiro quadrante PQ é obliqua à reta r Portanto PO PQ para todo Q na semireta OA Quando R está em r no quarto quadrante PR corta a reta cartesiana OA no ponto M Como PM é obliqua à reta cartesiana OA temos PO PM PR para todo R na semireta OB Logo PO é o menor dos segmentos que ligam P a um ponto de r Consequen temente a distância de P a r é o comprimento do segmento PO Por definição temos dP r mínimo PX X r Temos dP r PO 13² 23² 53 714 Considere a reta de Moulton r do exercício 12 e o ponto Q 1 1 Qual é a distância de Q a r Observe que existem duas perpendiculares a r por Q Resposta Pelo ponto Q passam duas perpendiculares a r segundo Moulton QO e QP A primeira QO é cartesianamente perpendicular a OY enquanto que QP é cartesianamente perpendicular a OX Qualquer que seja X de r no primeiro quadrante temse QP QX Da mesma maneira qualquer que seja Y em r no terceiro quadrante QO QY Portanto a distância de Q ar é a menor das distâncias entre QO e QP Temos QO 2 Agora para calcular QP observamos que a equação da reta QP é dada por y 1 2x 1 O ponto P é a interseção desta reta com a reta y x2 Obtémse P 25 15 Agora calcule a distância cartesiana de QP e compare com QO para escolher a menor delas 716 No modelo de Moulton considere a reta r do exercício 12 e a reta s paralela a r pelo ponto A 0 1 As retas paralelas r e s são eqüidistantes Resposta Não são eqüidistantes Basta exibir dois pontos de s cujas distâncias a r são diferentes por exemplo os pontos A e B da figura abaixo Faça as contas 150ROTEIRO 7 CONSEQÜÊNCIAS DOS AXIOMAS DE SEPARAÇÃO DO PLANO E DO TRANSFERIDOR Fig07L0716 x y r s A B O D Figura 726 Exercício 716 717 As retas de Moulton r de equação y x e s de equação y x 1 são retas paralelas de declividade negativa São eqüidistantes Cuidado Não se iluda com a figura Resposta Não são eqüidistantes Na figura abaixo os pontos A 1 2 1 2 e B 1 4 3 4 estão na reta s e não são eqüidistantes da reta r A distância de A a r é o compri mento do segmento AO Na figura estão também representados alguns segmentos de Moulton ligando B a pontos de r O leitor não terá dificuldade para concluir que os comprimentos de Moulton dos segmentos que ligam B a pontos de r são todos maiores que AO Concluise que os pontos A e B não são eqüidistantes de r Fig07L0717 x y r s O A B x y Figura 727 Exercício 717 718 Como você definiria paralelogramo Num paralelogramo os lados opostos são iguais E os ângulos opostos Resposta Observe o paralelogramo ABCD da figura abaixo no modelo de Moulton Como se pode perceber o lado AD é diferente de BC e o ângulo A é diferente do ângulo B Figura 728 Exercício 718 719 No modelo de Moulton considere os pontos O 0 0 A 1 12 B 0 12 e C 1 1 O que representa a figura OABC Que relação há entre os comprimentos dos seus lados Resposta O ponto O está na reta de Moulton AC a declividade de CO é 1 e a de OA é 12 Os pontos A B e C não são colineares Logo a figura é um triângulo de vértices A B e C No modelo cartesiano a figura é um paralelogramo Portanto OA BC e CO BA Disto resulta que no modelo de Moulton o lado AB do triângulo ABC é igual á soma dos outros dois lados CB e BA Figura 729 Exercício 719 720 Para os triângulos ABC e EFG temse AB EF AC EG e Â Ê Podemos afirmar que BC FG Resposta Não Veja a figura abaixo no modelo de Moulton 152ROTEIRO 7 CONSEQÜÊNCIAS DOS AXIOMAS DE SEPARAÇÃO DO PLANO E DO TRANSFERIDOR Fig07L0720 x y A B C E F G Figura 730 Exercício 720 Roteiro 8 Congruência de triângulos Conteúdo Congruência de triângulos Axioma de congruência de triângulos Casos de congruência de triângulos Teorema dos ângulos correspondentes Existência e unicidade de perpendicular a uma reta dada por um ponto fora da reta Revisão dos axiomas de existência e de unicidade de paralela P1 e P2 Modelo de Klein Item 81 Congruência de triângulos em Euclides Os Elementos de Euclides foi escrito há cerca de 2300 anos atrás O livro começa enunciando a definição de alguns objetos geométricos em seguida enuncia os cinco postulados e cinco noções comunspostulados que se aplicam a objetos mais gerais Em seguida Euclides passa para as proposições acompanhadas das suas demonstrações Nos 13 Livros que constituem Os Elementossão provadas 468 proposições A Proposição 4 do Livro 1 é o que denominamos hoje de primeiro caso de congruência de triângulos A hipótese desta proposição é a seguinte ABC e EFG são dois triângulos AB EF Â Ê AC EG A tese é ABC é congruente a EFG Figura 81 Congruência de Triângulos Euclidianos Euclides usa a seguinte estratégia para a demonstração veja Os Elementos Euclides São Paulo Editora Unesp 2009 e Heath Thomas L 1956 The Thirteen Books of Eudids Elements New York Dover Deslocase o ABC sobre o EFG de modo que o ponto A coincida com o ponto E e a semireta AB com a semireta EF Como o ângulo  é igual ao ângulo Ê a semireta AC coincide com a semireta EG Como AB EF e AC EG o ponto B coincide com Fe o ponto C com G Logo BC FG e os ângulos B e C são iguais a F e G respectivamente Com isto fita provado que os dois triângulos são congruentes porque têm os três lados e os três ângulos respectivamente congruentes Acontece que esta demonstração padece de um defeito o conceito de movimento não é introduzido antes por Euclides e também não há nada que garanta que ao movimentarse o triângulo não se deforma Na verdade o que se verificou é que é impossível provar esta proposição só com os axiomas de Euclides Nesta unidade estudaremos congruência de triângulos mostrando que a solução encontrada para sanar o defeito apontado foi adotar este caso de congruência como axioma Item 82 Examinando triângulos no modelo de Moulton No modelo de Moulton na figura abaixo você está vendo dois triângulos congruentes A figura que parece um quadrado é um quadrado mesmo Figura 82 Triângulos de Moulton não Congruentes Vejamos Ambos são triângulos retângulos cujos catetos medem 1 e hipotenusa 2 Os três lados de um são iguais aos três lados do outro Isto basta para concluir que os triângulos são congruentes Não Então calculemos os seus ângulos São evidentes os ângulos de 90 e os dois de 45 que têm vértice em 1 1 um em cada triângulo Mas os ângulos que têm vértice em 0 0 têm medidas de Moulton diferentes A medida de Moulton do ângulo a é a medida cartesiana do ângulo α sendo tg α 2 α 634 aproximadamente enquanto que a medida de Moulton de β é 90a 266aproximadamente Veja a figura abaixo Você diria que os dois triângulos são iguais Não você exigiria que os seis elementos fundamentais 3 lados e 3 ângulos dos triângulos fossem iguais Figura 83 Medida de Ângulo no Modelo de Moulton Item 83 Examinando triângulos na geometria euclidiana Você acabou de ver no modelo de Moulton dois triângulos que têm 5 elementos fundamentais 3 lados e dois ângulos de um iguais a 5 elementos fundamentais do outro mas os triângulos não são congruentes Você acha que isto pode acontecer no modelo cartesiano dois triângulos tendo 5 elementos fundamentais de um iguais a 5 elementos fundamentais outro mas os triângulos sendo diferentes E com 4 elementos fundamentais iguais E com 3 Com 3 é fácil considere dois triângulos eqüiláteros um de lado 1 e o outro de lado 2 Os três ângulos de um são iguais aos três ângulos do outro 60º mas os dois triângulos não são iguais Com 4 Dois exemplos Observe na figura abaixo à esquerda na figura do centro os triângulos estão separados os dois triângulos têm os três ângulos respectivamente iguais A E 90º e os outros 45º e um lado comum BC EF mas os triângulos não são iguais Com certeza você já ouviu falar em casos de congruência de triângulos em que basta a igualdade de 3 elementos para garantir a congruência dos triângulos O que está acontecendo aqui Para que um caso de congruência de triângulos funcione é preciso respeitar a posição relativa dos elementos que são iguais É preciso que haja uma correspondência entre os vértices dos triângulos de modo que lados e ângulos correspondentes sejam iguais Para os triângulos ABC e EFG da figura abaixo devese ter A E porque Â Ê 90º a seta indica correspondente Se escolhermos a correspondência B F e C G teremos AB EF e AC EG e deveríamos ter AB EF o que não acontece A outra possibilidade B G e C F também não dá Em suma não existe correspondência entre os vértices dos dois triângulos de modo que elementos correspondentes sejam iguais Veja o outro exemplo da figura abaixo à direita Figura 84 Elementos Independentes de Triângulos Cartesianos E com 5 elementos Existe Se você não conseguir um exemplo olhe para o triângulo de lados 8 12 e 18 e o outro triângulo de lados 12 18 e 27 Como os seus lados são proporcionais os três ângulos de um são iguais aos três ângulos do outro Item 84 Definição de congruência de triângulos Os exemplos anteriores mostram que se podem ter até cinco elementos fundamentais de um triângulo iguais a cinco elementos fundamentais de outro sem que os dois triângulos sejam congruentes Portanto a definição de congruência de triângulos deve demandar a igualdade dos seus seis elementos fundamentais A definição enfatiza também a posição relativa dos seus elementos fundamentais introduzindo os conceitos de lados e ângulos correspondentes Definição 81 Dois triângulos ABC e ABC são congruentes se existe uma correspondência entre os vértices do primeiro e os vértices do segundo de modo que os ângulos correspondentes e os lados correspondentes são iguais Se a correspondência entre os vértices for A A B B C C o lado correspondente a AB é o lado AB e o correspondente ao ângulo  é o ângulo A Notação ABC ABC Item 85 Com os axiomas atuais é possível provar a afirmação Se AB AB AC AC e ângulo A ângulo A então ABC ABC Este é o chamado 1ºcaso de congruência de triângulos Não Para contra exemplo veja a figura abaixo no modelo de Moulton São dois triângulos retângulos com catetos respectivamente iguais porém as hipotenusas são diferentes Figura 85 Congruência de Triângulos no Modelo de Moulton Por que a prova dada por Euclides descrita no item 1 falha aqui A demonstração de Euclides usa o deslocamento de um triângulo sobre o outro admitindo implicitamente que o triângulo não se deforma durante o deslocamento de modo que os correspondentes elementos dos triângulos coincidem Mas isto é falso no modelo de Moulton Imagine na figura acima o triângulo da direita sendo transladado para a esquerda Logo que o cateto horizontal cruza o eixo Oy a hipotenusa do triângulo passa a ter comprimento diferente de quando o triângulo estava na posição inicial Já que é impossível provar o 1ºcaso de congruência de triângulos se quisermos que isto aconteça temos que adotar um axioma que permita proválo A experiência sugere adotar ele próprio como axioma Item 86 Axioma 10 Axioma de congruência de triângulos Se AB AB AC AC e   então triângulo ABC é congruente ao triângulo ABC Item 87 O modelo de Moulton satisfaz o axioma de congruência de triângulos Não Contraexemplo dado no item 5 Item 88 O modelo do taxista satisfaz o axioma de congruência de triângulos Não Na figura abaixo está um contraexemplo No modelo do taxista ângulos são medidos como no modelo cartesiano Os triângulos AOB e POQ têm um ângulo reto dois ângulos de 45º e os catetos iguais a 1 Porém as hipotenusas são diferentes AB 2 e QP 1 Figura 86 Contraexemplo de Congruência de Triângulos no Modelo do Taxista Item 89 O modelo cartesiano satisfaz o axioma de congruência de triângulos Sim Item 810 O que é um caso de congruência de triângulos É uma afirmação verdadeira axioma ou teorema em que na hipótese aparece a igualdade entre três elementos lados ou ângulos de um triângulo e três elementos de outro triângulo e cuja tese é os dois triângulos são congruentes Item 811 Para que servem os casos de congruência de triângulos Para reduzir à metade o trabalho de provar que dois triângulos são congruentes Item 812 São 6 combinações possíveis de igualdades entre os 3 lados L e os três ângulos A LAL LLL ALA LAA ALL e AAA Nesta notação a ordem das letras indica a posição relativa dos lados e ângulos que são dados como iguais Quais delas são casos de congruência de triângulos As quatro primeiras são casos de congruência as duas últimas não são A segunda figura abaixo é contraexemplo para AAA A primeira é contraexemplo para ALL Os triângulos são ABC e ABC O ponto B é o centro da circunferência C e C estão na circunferência Temos A A AB AB e BC BC mas os triângulos não são congruentes 159 Fig0812 A B C C Figura 87 Casos de Congruência Contraexemplos ALL esquerda e AAA direita Item 813 O caso LAL foí adotado como axioma Os casos LLL ALA e LAA item813 são teoremas que podem ser provados a partir dos axiomas anteriores Sim mas aqui está uma coisa importante para a seqüência do nosso curso nas demonstrações dos casos de congruência de triângulos não se usam os axio mas de paralelismo Deixamos a demonstração dos casos de congruência para a unidade seguinte Item 814 Um teorema importante que não depende dos axiomas de paralelismo item814 Teorema 81 Teorema dos ângulos correspondentes Se duas retas são cortadas por outra reta fazendo ângulos correspondentes iguais então elas são paralelas Como veremos a demonstração deste lema não usa os axiomas de parale lismo Ela será dada na próxima unidade Os ângulos assinalados na figura são denominados ângulos correspondentes Fig0814 r s t Figura 88 Teorema dos Ângulos Correspondentes Item 815 Conseqüências do axioma de congruência de triângulos para a item815 existência e a unicidade de perpendicular a uma reta dada por um ponto fora da 160 ROTEIRO 8 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS reta O axioma de congruência de triângulos é o que estava faltando para garantir a existência e a unicidade de perpendicular a uma reta dada por um ponto fora da reta Como vimos no Roteiro 6 no modelo de Moulton a existência e a unicidade de perpendicular a uma reta dada por um ponto fora da reta não estão garantidas O modelo de Moulton só não satisfaz o axioma de congruência de triângulos Teorema 82 Teorema da perpendicular por um ponto fora de uma reta Por um ponto P fora de uma reta r existe uma e somente uma perpendicular à reta Fig08151 r V P r V P Q r V P Figura 89 Teorema da Perpendicular por Ponto Fora da Reta Demonstração da existência As três figuras acima ilustram as construções feitas para chegar a uma reta PQ perpendicular à r Começamos com uma reta r e um ponto P fora de r Por P traçamos uma reta que corta r num ponto V Se PV for perpendicular à r já temos a perpendicular Se não é traçamos a semireta SV Q de modo que faça com r um ângulo igual a que SV Q faz com r Aqui estamos usando a propriedade ii da definição de medida de ângulo Além disto o ponto Q pode ser tomado de modo que V P V Q Os dois triângulos da última figura são congruentes caso LAL Logo os dois ângulos com vértice na interseção de r com PQ são iguais e como a soma deles é 180 cada um mede 90 Portanto PQ é perpendicular a r Demonstração da unicidade Por absurdo suponhamos que existam duas per pendiculares por P a r como mostra a figura abaixo à esquerda Esta situação contraria o teorema dos ângulos correspondentes Portanto não podem existir duas perpendiculares a r por P 161 Fig08152 r P Figura 810 Duas Perpendiculares por P absurdo Item 816 Revisão do axioma de existência de paralela a uma reta dada por um item816 ponto fora da reta P1 Como construir uma paralela a uma reta r dada por um ponto P fora da reta Fig0816 r P t r P t s Figura 811 Existência de Paralela por um Ponto A figura ilustra os dois passos da demonstração 1 Existe uma reta t perpendicular a r por P teorema da perpendicular por um ponto fora da reta 2 Existe uma reta s perpendicular a t por P existência de perpendicular a urna reta por um ponto da reta Roteiro 6 Pelo teorema dos ângulos correspondentes s é paralela a r Com isto provamos o seguinte teorema Teorema 83 Teorema da existência de paralela Por um ponto fora de uma reta passa pelo menos uma paralela à reta Item 817 O axioma de existência de paralela a uma reta dada por um ponto fora item817 da reta P1 tornase um teorema O teorema acima não é exatamente o axioma de existência de paralela PI enunciado no Roteiro 2 162 ROTEIRO 8 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Sim Então acabamos de provar um axioma Exatamente O novo axioma tem força suficiente para provar o axioma P1 Temos duas alternativas para corrigir este defeito 1 escolher um novo axioma para substituir o axioma de congruên cia de triângulos que tenha força para proválo mas que não tenha força para provar o axioma P1 2 manter o axioma de congruência e retirar P1 da lista já que este pode serprovado A experiência sugere adotar esta última alterna tiva Item 818 Que conseqüência tem o axioma de congruência de triângulos para item818 a unicidade de paralela Resposta nenhuma O axioma P2 continua sendo um axioma Examinemos a demonstração do teorema da existência de paralela dada no item 16 Os mesmos teoremas aplicados lá garantem também a unicidade da reta t e depois da reta s Logo a paralela a r por P é única certo Errado O que é que está errado O raciocínio parece tão claro Tente achar a falha mas não gaste mais de 10 minutos com isto pois ela é sutil Veja a resposta mais na frente item 19 Item 819 Ao contrário do que aconteceu com a existência de paralela a item819 unicidade de paralela não pode ser provada Como se prova que é impossível provar a unicidade de paralela Resposta exibindo um modelo que satisfaz todos os axiomas exceto o da uni cidade de paralela Um modelo para isto é introduzido a seguir modelo de Klein Item 820 Um novo modelo Modelo de Klein item820 No modelo cartesiano tomemos a circunferência de centro na origem e raio 1 Um ponto do modelo de Klein é um ponto cartesiano do interior da circunferência Uma reta é uma corda da circunferência sem os extremos Em particular os diâmetros sem os extremos são retas deste modelo Fig08201 r s t P Figura 812 Retas no Modelo de Klein Figura 813 Funções de Coordenadas no Modelo de Klein Consideremos agora uma reta r no modelo de Klein ou seja uma corda PQ da circunferência sem os extremos O comprimento cartesiano desta corda será indicado por PQ Definimos um sistema de coordenadas fr r R para r assim frX 12 ln XPPQ XP 12 ln XPXQ para cada ponto X de r Esta fórmula deve ser comparada com a fórmula fx 12 ln xa x dada acima sendo a PQ e x XP para se concluir que ela é uma Figura 814 Sistema de Coordenadas no Modelo de Klein O ponto médio M do segmento cartesiano PQ é levado por fr no número 0 pois MPMQ 1 e ln 1 0 Observemos que a troca de posição entre os pontos P e Q acarreta uma troca de sinal de frX já que ln XQXP ln 1XP XQ ln 1 ln XPXQ ln XPXQ O fator 12 é introduzido na fórmula para se ajustar com a medida de ângulo que será definida depois de modo que o axioma de congruência de triângulos seja satisfeito Agora definimos a distância de Klein dKAB entre dois pontos A e B de r por dKAB frA frB 12 ln APAQ ln BPBQ 12 ln APAQBPBQ ou dKAB 12 ln APBQAQBP Figura 815 Modelo de Klein A troca de posição entre P e Q nesta fórmula só acarreta uma mudança de sinal na expressão entre as barras dos módulos e portanto não altera o seu valor Com a distância assim definida a reta de Klein r é ilimitada Basta observar que fixado o ponto A e fazendo B tender para P teremos BQ tendendo para PQ BP tendendo para zero e a fração APBQ AQBP tendendo para infinito Logo ln APBQ AQBP e conseqüentemente dKA B tenderá para infinito Como dissemos antes deixaremos a medida de ângulo e o axioma de congruência de triângulos para depois Item 821 A A medida de segmento e a medida de ângulo foram introduzidas sem nenhuma relação entre si O axioma de congruência de triângulos é que relaciona as duas medidas Como se dá esta relação Fixados os comprimentos de dois lados de um triângulo o ângulo por eles formado determina o comprimento do terceiro lado De fato isto acontece nos modelos que satisfazem o axioma de congruência como no modelo cartesiano mas não acontece no modelo de Moulton no qual não vale o axioma de congruência de triângulos em que o comprimento do terceiro lado depende também da posição do triângulo veja os triângulos da figura do item 5 B O axioma de congruência de triângulos é independente dos demais axiomas Contraexemplos são encontrados tanto no modelo de Moulton quanto no modelo do taxista C O axioma P1 da existência de paralela é retirado da lista de axiomas já que ele pode ser provado a partir dos outros axiomas D O axioma P2 da unicidade de paralela é independente dos demais axiomas O modelo de Klein é utilizado para provar este fato ele satisfaz todos os axiomas exceto P2 E Neste roteiro definimos distância de Klein entre dois pontos A medida de ângulo que será introduzida mais tarde neste curso é feita de modo que se ajuste à medida de comprimento para que o axioma de congruência de triângulos seja satisfeito A medida de ângulo será feita medindo outro ângulo cartesiano e para isto precisamos de certos fatos da geometria euclidiana de que ainda não dispomos Por esta razão é que adiamos a sua introdução F Aqui está a explicação do fato de que a argumentação dada no item 16 de uma pretensa demonstração da unicidade de paralela é falha O que aquela argumentação prova é que o processo de construção lá utilizado sempre que repetido leva de fato à mesma paralela pelo ponto dado Mas nada impede que outro tipo de construção de paralela leve à outra paralela Por exemplo 166 ROTEIRO 8 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS a construção ilustrada na figura abaixo leva à reta PC paralela à reta r pelo ponto P Como esta construção é diferente da construção do item 16 não está garantido que a reta PC coincide com a reta s daquela construção No modelo de Klein as duas construções podem levar a diferentes retas paralelas Uma tentativa de demonstração seria por absurdo mas não adianta tentar é impossível provar já que existe contraexemplo no modelo de Klein Fig08211 r A P r A P B r A P B C Figura 816 Paralelas por um Ponto G Os modelos de Moulton e do taxista satisfazem todos os axioma da geometria euclidiana exceto o de congruência de triângulos e portanto são bons para mostrar a falta que faz o axioma de congruência de triângulos para provar vários teoremas da geometria euclidiana Exemplos de alguns teoremas que não valem no Modelo de Moulton a os casos de congruência de triângulos b existência e unicidade de perpendicular a uma reta dada por um ponto fora da reta c qualquer triângulo tem que ter dois ângulos agudos e portanto só pode ter um ângulo reto d a soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a 180no modelo de Moulton existem triângulos com soma dos ângulos igual a 180 menor que 180e maior que 180 Isto chama a atenção para o fato de que este teorema não está ligado apenas ao axioma de paralelismo de Euclides uni cidade de paralela mas depende também do axioma de congruência de triângulos e qualquer lado de um triângulo é menor que a soma dos outros dois f os lados opostos e os ângulos opostos de um paralelogramo são iguais g o teorema de Desargues as três retas que passam pelos vértices corres pondentes de dois triângulos que têm lados paralelos se encontram num único ponto a não ser que sejam paralelas também é falso na ausên cia do axioma de congruência de triângulos Aliás a motivação para a construção do modelo de Moulton em 1902 foi exatamente a de mostrar que o axioma de congruência de triângulos é indispensável para a prova do teorema de Desargues uma questão abordada por Hilbert no seu livro Fundamentos de Geometria de 1899 Nas edições posteriores Hilbert substituiu o seu exemplo pelo de Moulton Figura 817 Teorema de Desargues na Geometria Euclidana e no Modelo de Moulton Interseção de duas retas cartesianas a1x b1 y a2x b2 y a1 1 a2 1 x y b1 b2 x y 1a1 1 a2 1 b1 1 a1 b1 b2 1 a2 b2 Interseção de duas retas de Moulton x 0 substituindo a1 12a1 e a2 12a2 x y 112a1 1 12a2 1 b1 1 12a1 b1 b2 1 12a2 b2 1a1 1 a2 1 2 b1 1 a1 b1 b2 1 a2 b2 2x y 82 LISTA DE EXERCÍCIOS N 8 169 82 Lista de Exercícios n 8 A não ser que esteja explícito em contrário no enunciado do exercício consideram se em vigor todos os sete axiomas 81 Prove que o axioma de congruência de triângulos é de fato um axioma ou seja é independente dos demais 82 Duas retas são cortadas por uma reta que se costuma denominar de transversal Mostre numa figura os ângulos correspondentes os ângulos alternosinternos os ângulos alternosexternos os ângulos colaterais internos os ângulos colaterais externos 83 Teorema 84 Teorema dos ângulos alternosinternos Se os ângulos alternos internos formados por uma transversal com duas retas r e s são iguais então r e s são paralelas Proveo 84 O axioma de congruência de triângulos é indispensável para a demonstração do Teorema dos ângulos alternosinternos 85 Seja P um ponto fora de uma reta r Existe perpendicular a r por P É única Qual é o papel do axioma de congruência de triângulos nestas questões 86 O axioma P1 da existência de paralela é independente dos demais 87 O axioma P2 da unicidade de paralela é independente dos demais 88 No momento qual é a utilidade do modelo de Klein 89 A relação de congruência de triângulos é transitiva 810 AAA e ALL são casos de congruência de triângulos 81 Resumo Objetos primitivos ponto e reta Relação primitiva ponto pertence a reta relação de incidência Relação definida ponto está entre dois pontos relação de ordem Objetos definidos retas que se interceptam retas paralelas circunferência interior e exterior de circunferência segmento triângulo distância entre dois pontos sistema de coordenadas para cada reta reta separa plano semiplano interior e exterior de triângulo semireta ângulo interior de ângulo medida de ângulo perpendiculares distância de ponto a reta retas eqüidistantes Modelos aniquilados com a introdução do axioma de congruência de triângulos modelos finitos modelo bizarro modelo do taxista modelo de Moulton Modelo persistente modelo cartesiano Axiomas atuais 3 de incidência unicidade de paralela axioma da régua axioma de separação do plano axioma de medida de ângulo axioma de congruência de triângulos Definição Dois triângulos são congruentes se os três lados e os três ângulos de um são iguais aos três lados e aos três ângulos do outro Axioma de congruência de triângulos Sejam ABC e ABC dois triângulos Se AB AB AC AC e   então BC BC B B Ĉ Ĉ e o triângulo ABC é congruente ao triângulo ABC Teorema dos ângulos correspondentes Se duas retas são cortadas por outra reta fazendo ângulos correspondentes iguais então elas são paralelas Teorema dos ângulos alternosinternos Se um par de ângulos alternosinternos formados por uma transversal com duas retas r e s são iguais então r e s são paralelas Teorema Teorema da perpendicular por um ponto fora de uma reta Por um ponto P fora de uma reta r existe uma e somente uma perpendicular à reta Teorema Teorema da existência de paralela Por um ponto fora de uma reta passa pelo menos uma paralela à reta 170 ROTEIRO 8 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS 83 Soluções da Lista de Exercícios n 8 81 Prove que o axioma de congruência de triângulos é de fato um axioma ou seja é independente dos demais Resposta Tome contraexemplo no modelo de Moulton ou do taxista como mostra o Roteiro 8 itens Item 85 e Item 88 82 Duas retas são cortadas por uma reta que se costuma denominar de transversal Mostre numa figura os ângulos correspondentes os ângulos alternosinternos os ângulos alternosexternos os ângulos colaterais internos os ângulos colaterais externos Resposta Correspondentes a f e k b g c h Alternosinternos e g c f Alternosexternos a h b k Colateraisinternos c g e f Colateraisexternos a k b h Fig08L082 a c b e f h g k Figura 818 Nomenclatura de ângulos 83 Teorema 85 Teorema dos ângulos alternosinternos Se os ângulos alternos internos formados por uma transversal com duas retas r e s são iguais então r e s são paralelas Proveo Resposta A demonstração é feita por absurdo e faz uso do Axioma de congruência de triân gulos Veja o Roteiro 8 83 SOLUÇÕES DA LISTA DE EXERCÍCIOS N 8 171 84 O axioma de congruência de triângulos é indispensável para a demonstração do Teorema dos ângulos alternosinternos Resposta Sim Basta construir um contraexemplo em que estão presentes todos os axio mas exceto o de congruência de triângulos no qual não vale o lema dos ângulos alternosinternos No modelo de Moulton tome duas perpendiculares a uma reta quebrada que não são paralelas As retas MN e PN fazem com a reta r ângulos alternosinternos iguais retos mas não são paralelas figura abaixo O modelo de Moulton satisfaz todos os axiomas exceto o de congruência de triângulos Se o Teorema dos ângulos alternosinternos dependesse apenas dos outros axiomas ele seria válido no modelo de Moulton Fig08L0804 x y A B C 1 3 1 1 P N r M Figura 819 Ponto N com duas perpendiculares 85 Seja P um ponto fora de uma reta r Existe perpendicular a r por P É única Qual é o papel do axioma de congruência de triângulos nestas questões Resposta Na presença do axioma de congruência de triângulos vale a existência e a unici dade Veja o item item 15 Roteiro 8 Sem esse axioma não vale a existência nem a unicidade Veja o item 19 Roteiro 6 86 O axioma P1 da existência de paralela é independente dos demais Resposta Não Veja a demonstração de P1 no item Item 814 do Roteiro 8 Sendo assim P1 muda de status passa a ser um teorema 87 O axioma P2 da unicidade de paralela é independente dos demais Resposta Sim Para provar que P2 é independente dos demais axiomas é preciso exibir um 172 ROTEIRO 8 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS modelo em que valem todos os axiomas exceto P2 O modelo de Klein tem essas características Veja o item Item 820 do Roteiro 8 onde se encontra uma reta de Klein e um ponto fora da reta pelo qual passam duas paralelas á reta 88 No momento qual é a utilidade do modelo de Klein Resposta No momento o modelo de Klein é utilizado apenas para mostrar que P2 é inde pendente dos demais axiomas 89 A relação de congruência de triângulos é transitiva Resposta Sim 810 AAA e ALL são casos de congruência de triângulos Resposta Veja o item Item 812 do Roteiro 8 Roteiro 9 Geometria Neutro a força do axioma de congruência de triângulo roteiro9 Item 91 O que é geometria neutra item91 É a geometria constituída de todos os teoremas que se pode provar utilizando os axiomas de incidência o axioma da régua o axioma de separação do plano o axioma do transferidor e o axioma de congruência de triângulos Excetuamse portanto os axiomas de paralelismo Item 92 Por que é interessante estudar a geometria neutra item92 Por duas razões A primeira é histórica O enunciado do quinto postulado um enunciado diferente mas equivalente ao de unicidade de paralela de Euclides que aparece na sua obra Os Elementos escrita aproximadamente em torno do ano 300 antes de Cristo é muito mais complicado do que os outros quatro axio mas Além disso Euclides adiou o seu uso até a Proposição de número 28 como se recusasse a utilizálo enquanto fosse possível Isto levou os matemáticos das gerações seguintes à tentativa de demonstrar o quinto postulado Este problema a demonstração do postulado das paralelas a partir dos outros axiomas foi o mais resistente da história da matemática Somente depois de mais de dois mil anos é que se chegou à conclusão de que é impossível proválo a partir dos outros axiomas A outra razão para destacar a geometria neutra é que o nosso curso estuda além da geometria euclidiana a geometria hiperbólica também O que faz a diferença da geometria hiperbólica para a geometria euclidiana é o axioma de paralelismo de cada uma delas Na geometria euclidiana adotase o axioma de unicidade de paralela a uma reta por um ponto fora da reta Na geometria hiperbólica adotase a negação daquele por um ponto fora de uma reta passam mais de uma paralela à reta Todos os outros axiomas são comuns às duas geometrias Estes são os 173 174ROTEIRO 9 GEOMETRIA NEUTRO A FORÇA DO AXIOMA DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULO axiomas da geometria neutra Item 93 O que é a geometria euclidiana item93 A geometria euclidiana é constituída de todos os teoremas da geometria neutra mais os teoremas que se podem provar ao acrescentar o axioma de paralelismo de Euclides uma única paralela a uma reta dada por um ponto fora da reta Item 94 O que é geometria hiperbólica ou geometria de Lobatchevsky item94 A geometria hiperbólica é constituída de todos os teoremas da geometria neutra mais os teoremas que se podem provar ao acrescenta o axioma de paralelismo de Lobatchevsky mais de uma paralela a uma reta dada por um ponto fora da reta Item 95 Como se relacionam as geometrias neutra euclidiana e hiperbólica item95 O diagrama seguinte ilustra a relação entre as três geometrias Dia0905 Geometria Neutra axiomas da geometria neutra Geometria Euclidiana axioma de paralelismo de Euclides Geometria Hiperbólica axioma de paralelismo de Lobachevsky A existência de pelo menos uma paralela a uma reta dada por um ponto fora da reta é um teorema da geometria neutra A questão da unicidade de paralela é indecidível na geometria neutra não se pode provar que a paralela é única nem que existe mais de uma Por isto há a possibilidade de duas geometrias distintas situadas no mesmo pé de igualdade do ponto de vista lógico uma delas adotando um axioma de paralelismo e a outra geometria adotando a sua negação Assim todos os teoremas da geometria neutra são também teoremas destas duas geometrias Já os teoremas que necessitam do axioma de paralelismo de Euclides são exclusivos da geometria euclidiana coisa análoga acontece com os teoremas da geometria de Lobatchevsky Nesta unidade estudaremos a geometria neutra Nas unidades seguintes estudaremos as geometrias euclidiana e hiperbólica Item 96 Neste roteiro quais são os teoremas da geometria neutra cujos enunci item96 ados são idênticos aos das geometrias euclidiana e hiperbólica São os seguintes a Os casos de congruência de triângulos b Teorema do triângulo isósceles Se dois lados de um triângulo são iguais então os seus dois ângulos opostos são iguais c Teorema do triângulo escaleno Se dois lados de um triângulo são diferentes ao maior lado opõese o maior ângulo e reciprocamente d Teorema da desigualdade triangular Qualquer lado de um triângulo é menor que a soma dos outros dois e Teorema da desigualdade de dois triângulos Sejam ABC e ABC dois triângulos Se AB AB AC AC e   então BC BC Item 97 Neste roteiro quais são os teoremas da geometria neutra cujos enunciados são diferentes dos correspondentes nas geometrias euclidiana e hiperbólica São os seguintes a Teorema do ângulo externo Um ângulo externo de um triângulo é maior que cada um dos ângulos internos não adjacentes b Teorema da soma de dois ângulos de um triângulo A soma de dois ângulos quaisquer de um triângulo é 180 c Teorema da soma dos três ângulos de um triângulo A soma dos ângulos de um triângulo é 180 d Novo teorema do ângulo externo Um ângulo externo é de um triângulo é maior que ou igual à soma dos ângulos internos nãoadjacentes α e β δ α β Embora estes teoremas sejam verdadeiros também nas geometrias euclidiana e hiperbólica os seus enunciados assumem formas mais informativas e específicas em cada uma delas Na geometria euclidiana os quatro teoremas se resumem a três Um ângulo externo é igual a soma dos ângulos internos nãoadjacentes A soma de dois ângulos quaisquer de um triângulo é 180e A soma dos ângulos de um triângulo é 180 Na geometria hiperbólica os teoremas são Um ângulo externo é maior que a soma dos ângulos internos nãoadjacentese A soma dos ângulos de um triângulo é 180 Item 98 Que teorema da geometria neutra tem recíproca indecidível na geometria neutra que é verdadeira na geometria euclidiana e falsa na geometria hiperbólica 176ROTEIRO 9 GEOMETRIA NEUTRO A FORÇA DO AXIOMA DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULO Aqui está um Teorema dos ângulos alternosinternos Se um par de ângulos alternosinternos formados por uma transversal com duas retas r e s são iguais então r e s são paralelas A recíproca deste teorema Se r e s são retas paralelas então os ângulos alternos internos formados por uma transversal com r e s são iguais é verdadeira na geometria euclidiana e falsa na geometria hiperbólica Item 99 As hierarquias dos teoremas deste roteiro item99 Dia0909A Novo Teorema de Ângulo Externo Teorema da Soma dos três Ângulos de um Triângulo Teorema da Soma de dois Ângulos de um Triângulo Teorema de Ângulo Externo Teorema dos Ângulos Alternosinternos Axioma de Congruência de Triângulos LAL O teorema do ângulo externo diz respeito a ângulos de triângulo Os teoremas decorrentes dele exprimem relações entre ângulos de um triângulo O diagrama abaixo mostra a hierarquia desses teoremas 177 Dia0909B Teorema de Desigualdade de dois Triângulos Teorema da Desigualdade Triangular Teorema da Triângulo Escaleno Teorema de Triângulo Isósceles Teorema do Ângulo Externo Teorema dos Ângulos Alternosinternos Axioma de Congruência de Triângulos LAL Todos os casos de congruência de triângulos ALA LLL e LAA dependem di retamente do axioma de congruência de triângulos Na demonstração dos casos LAA e LLL usase a transitividade da relação de congruência de triângulos Além transitividadecongruencia desta o caso LAA depende também do teorema dos ângulos alternosinternos Veja o diagrama abaixo Dia0909C ALA LAA LLL Axioma de Congruência de Triângulos LAL Teorema dos Ângu los Alternosinternos Transitividade de Con gruência de Triângulos No fim deste roteiro apresentamos um diagama completo mostrando a hierarquia de todos os teoremas e apontando alguns teoremas de unidades anteriores que participam de suas demonstrações Começamos com a seqüência de teoremas que tratam das relações entre os ângulos de um triângulo A lista começa com o teorema do ângulo externo e termina com uma versão mais informativa deste mesmo teorema que denominamos de novo teorema do ângulo externo O teorema mais destacado desta seqüência é o que trata da soma dos três ângulos de úm triângulo O teorema dos ângulos alternos internos foi demonstrado no Roteiro 8 Item 910 item910 teoremaanguloexterno 178ROTEIRO 9 GEOMETRIA NEUTRO A FORÇA DO AXIOMA DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULO Teorema 91 Teorema do ângulo externo Um ângulo externo de um triângulo é maior que cada um dos ângulos internos não adjacentes Demonstração Vamos mostrar que θ β veja a figura abaixo A demonstração de que θ α é feita de maneira análoga tomandose para ângulo externo o oposto a θ pelo vértice C Procedemos por absurdo a negação de θ β é θ β Fig0910 C A B α β θ α γ θ C A B Figura 91 Teorema de Ângulo Externo 1 Caso em que θ β Pelo Teorema dos ângulos alternosinternos AB deveria ser paralela a AC o que não acontece aqui Absurdo 2 Caso em que γ θ Construímos um ângulo O como mostra a segunda figura Como γ β a semireta tracejada está no interior do ângulo β Pro posição G Roteiro 7 Será que esta semirreta corta o lado AC como a figura indica Sim como garante o Teorema da semirreta do interior de um tri ângulo Sendo assim novamente o Teorema dos ângulos alternosinternos é contrariado Absurdo Item 911 item911 teoremasoma2angulos Teorema 92 Teorema da soma dos três ângulos de um triângulo A soma dos ângulos de um triângulo é 180 Demonstração Sejam α e β ângulos internos de um triângulo e seja θ um ângulo externo adjacente a α Então pelo Teoremado ângulo externo temse β θ donde α β α θ 180 figura abaixo Fig0911 α β θ Figura 92 Teorema da Soma dos Ângulos de um Triângulo Item 912 Teorema 93 Teorema da soma dos três ângulos de um triângulo A soma dos ângulos de um triângulo é 180 Demonstração É interessante observar que não se consegue provar na geometria neutra nem que a soma é 180 nem que é 180 Não se consegue provar que é 180 porque no modelo cartesiano a soma é 180 nem que é 180 porque no modelo de Klein a soma é 180 Ambos são modelos para a geometria neutra também tente entender isto A demonstração é pois por absurdo supomos que a soma é 180 ou seja 180 p sendo p 0 Sobre o lado AB do triângulo ABC construímos um triângulo ABE tomando o ponto médio D de BC e tomando DE no prolongamento de AD de modo que DE AD Assim procedendo obtemos dois triângulos iguais pelo caso LAL ADC BDE Daqui resulta que os dois ângulos restantes que se correspondem nos dois triângulos indicados pelos números 1 e 2 são iguais No ABE ressaltamos os ângulos 3 e 4 apenas para mostrar que a soma dos ângulos dos dois triângulos ABC e ABE são iguais 180ROTEIRO 9 GEOMETRIA NEUTRO A FORÇA DO AXIOMA DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULO o que contraria o teorema da soma de dois ângulos de um triângulo Absurdo Item 913 item913 teoremaanguloexternonovo Teorema 94 Novo teorema do ângulo externo Um ângulo externo θ de um triângulo é maior que ou igual à soma dos ângulos internos nãoadjacentes α e β θ α β Demonstração Decorre das expressões abaixo α β γ 180o Fig0913 α β θ γ Figura 93 Nova Teorema do Ângulo Externo Os teoremas seguintes tratam das relações entre lados e ângulos de um triângulo O mais simples deles é o teorema do triângulo isósceles O mais importante é o teorema da desigualdade triangular que dar uma relação entre os três lados de um triângulo Item 914 item914 teoremaisosceles Teorema 95 Teorema do triângulo isósceles Se dois lados de um triângulo são iguais então os seus dois ângulos opostos sãó iguais Demonstração Seja ABC um triângulo com AB AC A demonstração parece um malabarismo Consiste em comparar o ABC com o ACB que são os mesmos triângulos entendendo porém que a ordem das letras indica os vértices correspondentes e assim que ângulos e que lados são iguais C A B C A B Hipótese os lados são iguais Tese os ângulos são iguais Abaixo indicamos quais são os elementos de um triângulo que são iguais aos do outro ABC ACB AB AC   AC AB satisfazendo pois a hipótese do caso LAL Logo os dois triângulos são congruentes acarretando que os ângulos opostos aos lados iguais são iguais A recíproca do teorema do triângulo isósceles é verdadeira e fica como exercício Item 915 Como você prova que o axioma de congruência de triângulos é indispensável para provâr ó Teorema do triângulo isósceles Resposta Dando um contraexemplo no modelo de Moulton que satisfaz todos os axiomas exceto o de congruência de triângulos No item 2 do Roteiro 8 aparece um triângulo isósceles em que os ângulos opostos aos lados iguais são diferentes 45e 634 Item 916 Teorema 96 Teorema do triângulo escaleno Se dois lados de um triângulo são diferentes ao maior lado opõese o maior ângulo e reciprocamente Demonstração No triângulo ABC por hipótese temos AC BC Queremos mostrar que B A Tomamos P no lado AC de modo que CP CB Pelo Teorema do triângulo isósceles os dois ângulos indicados com a mesma letra a são iguais O Teorema do ângulo externo aplicado ao ABP mostra que α  Como o ponto P está no interior do ângulo B temos B α Logo B  Para a recíproca suponhamos que B  Queremos mostrar que AC BC Por absurdo neguemos esta tese se for a AC BC teremos B  pelo Teorema do triângulo isósceles b se for AC BC teremos pela primeira parte da demonstração B  Em qualquer caso obtemos uma contradição Teorema 97 Teorema da desigualdade triangular Qualquer lado de um triângulo é menor que a soma dos outros dois Demonstração Seja o triângulo ABC Para mostrar que por exemplo AC AB BC construímos AP AB BC o que se obtém tomando BP BC na ordem A B P e vamos aplicar aplicamos o Teorema do triângulo escaleno ao ACP Como B está no interior do ângulo AĈP temos AĈP β α α P Disto decorre que AC AP AB BC Como você prova que o axioma de congruência de triângulos é indispensável para este último teorema Contraexemplo no modelo de Moulton ABC sendo A 11 B 0 0 e C 1 1 Temse AC ABBC veja o item 14 do Roteiro 6 Item 918 Teorema 98 Teorema da desigualdade de dois triângulos Sejam ABC e ABC dois triângulos Se AB AB AC AC e  A então BC BP Demonstração São dados dois triângulos ABC e ABC sendo AB AB AC AC e  A A tese é BC BC A idéia é construir um triângulo igual ao triângulo ABC cujos vértices denotaremos pelas mesmas letras A B e C de modo que AB coincida com AB como mostram as figuras As figuras ilustram as três situações possíveis de acordo com as medidas de B e B B B B B e B B Em qualquer caso C está no interior de A pois A A No caso em que B B o ponto C está entre B e C logo BC BC No caso em que B B o ponto C está no interior do B e portanto a semireta SBC corta AC num ponto P pelo Lema da semireta do interior de um triângulo A idéia é mostrar que no BCC temos BĈC BCĈ para concluir que BC BC pelo Lema do triângulo escaleno Obtemos isto com a seqüência de implicações para BCC Inserido enumerador a PĈC teorema do ângulo externo no PCC b AĈC ACC é isósceles pela hipótese c PĈC P está no interior do AĈC d BCĈ teorema do ângulo externo no BCC Finalmente no caso em que B B o ponto C está no interior do ângulo B e a semireta SBC corta AC num ponto Q pelo Teorema da semireta do interior de um triângulo Como C está no interior do A então Q também está e daí Q está entre B e C Agora mostraremos que BCC BCĈ para concluir BC BC pelo Lema do triângulo escaleno Temos os seguintes fatos sobre BCC i AĈC Q está no interior do BCC ii AĈC ACC é isósceles iii BĈC Q está no interior do BCC Isto conclui a demonstração do teorema Caso B B Caso B B Caso B B Finalmente abordaremos os casos de congruência de triângulos que constituem um grupo de teoremas que não são utilizados para provar os outros teoremas deste roteiro Item 919 2º caso de congruência de triângulos ALA Hipótese Â Â Ê Ê AE AE Tese AEF AEF Demonstração Estratégia construir sobre o AEF um triângulo congruente ao AEF   AE AE Ê Ê AP AF Tomamos na semireta AF um ponto P de modo que AP AF A posição do ponto P pode ser uma das duas indicadas na figura acima mas a argumentação não precisa ser separada Pelo caso LAL temos AAEP AAEF Pela transitividade de congruência de triângulos a demonstração ficará concluída se provarmos que AAEP AEF É o que faremos em seguida Como os pontos P e F estão do mesmo lado de AE e y E E a semireta EP coincide com a semireta EF pela propriedade ii da definição de medida de ângulo Isto implica que F P Isto prova que AEP AEF concluindo a demonstração Item 920 3º caso de congruência de triângulos LLL Hipótese AB AB AC AC e BC BC Tese ABC ABC Demonstração No semiplano definido pela reta AB que não contém o ponto C construímos um triângulo ABD igual ao triângulo ABC que não aparece na figura acima Construímos a semireta AD de modo que CÂB DÂB tomamos AD AC e ligamos D a B Os dois ângulos com vértice em A são construídos iguais depois tomamos AD AC e ligamos D a B Que Caso text positions Inserido enumerador 186ROTEIRO 9 GEOMETRIA NEUTRO A FORÇA DO AXIOMA DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULO Item 922 Hierarquia dos teoremas do roteiro No diagrama abaixo aparecem item922 alguns teoremas de unidades anteriores que são usados nas demonstrações dos teoremas deste roteiro Dia0922 Axioma de Congruência de Triângulos LAL Axioma de Separação do Plano Teorema do Triângulo Isósceles Axioma do Transferidor Teorema da Semirreta do Interior de um Ângulo Teorema do Ângulo Raso Teorema dos Ângulos Alternosinternos Teorema do Ângulo Externo Teorema do Triângulo Escaleno Teorema da Desigualdade de um Triângulo Teorema da Soma de dois Ângulos de um Triângulo Teorema da Soma dos Ângulos de um Triângulo Novo Teorema de Ângulo Externo Teorema de Desigualdade de dois Triângulos Axioma do Transferidor Transitividade de Congruência de Triângulos Teorema dos Ângulos Alternosinternos ALA LLL LAA Roteiro 10 Geometria Euclidiana roteiro10 O diagrama seguinte ilustra a relação entre as geometrias que estaremos estudando no restante do curso A Geometria Neutra é constituída dos axiomas de incidên cia axioma da régua axioma de separação do plano axioma do transferidor do axioma de igualdade de triângulos e de todos os teoremas que se podem provar com esses axiomas Na Geometria Neutra provase que por um ponto fora de uma reta existe pelo menos uma paralela à reta A bifurcação nas geometrias euclidiana e hiperbólica ou de Lobatchevsky é devida à possibilidade de dois axiomas o axioma de paralelismo de Euclides a paralela é única e o axioma de paralelismo de Lobatchevsky mais de uma paralela que é a negação do axioma de Eucli des Assim todos os teoremas da Geometria Neutra são também teoremas destas duas geometrias Já os teoremas que necessitam do axioma de paralelismo de Euclides são exclusivos da geometria euclidiana e coisa análoga acontece com os teoremas da geometria de Lobatchevsky Nesta unidade estudaremos a geometria euclidiana Dia1000 Geometria Neutra axiomas da geometria neutra Geometria Euclidiana axioma de paralelismo de Euclides Geometria Hiperbólica axioma de paralelismo de Lobachevsky Geometria euclidiana Na geometria euclidiana são válidos todos os axiomas da geometria neutra acrescenta se o axioma de paralelismo de Euclides no enunciado adotado hoje em dia Na verdade este é o enunciado da Proposição 31 do Livro 1 de Os Elementos de Euclides O geólogo e matemático escocês John Playfair 17481819 foi quem 187 188 ROTEIRO 10 GEOMETRIA EUCLIDIANA contribuiu para que fosse adotado este enunciado como sendo o axioma de para lelismo ao invés do enunciado do quinto postulado de Euclides Como veremos na lista de exercícios 9 o axioma original de Euclides é equivalente ao adotado por Playfair Axioma 11 Axioma de paralelismo de Euclides APE Qualquer que seja a reta r e qualquer que seja o ponto P fora de r então a paralela a r que passa por P é única Item 101 O ME é independente dos demais axiomas item101 Sim O APE é independente dos axiomas da Geometria Neutra Como se prova isto Exibindo um contraexemplo no modelo de Klein introduzido no Roteiro 6 No modelo de Klein temse uma reta r e um ponto P fora de r pelo qual passam mais de uma paralela à r Veja a figura abaixo r s t P Duas retas s e t parale las a r pelo ponto P Item 102 item102 Lema 101 Lema da transversal Se r e s são retas paralelas e t corta s num ponto P então t corta r Demonstração Se não cortasse pelo ponto P existiriam duas paralelas s e t à reta r contrariando o APE Observe que esta afirmação foi provada na lista de exercícios n 2 quando estavam presentes apenas os axiomas de incidência e os de existência e unicidade de paralelas Item 103 item103 Teorema 102 Recíproca do teorema dos ângulos alternosinternos Se duas retas paralelas r e s são cortadas por uma transversal então ângulos alternos internos são iguais Hipótese r s t corta r e s Tese ângulos alternosinternos são iguais 189 Demonstração Seja s outra reta que passa pela interseção de s com t de modo que um par de ângulos alternosinternos que t faz com r e s sejam iguais Então pelo Teorema dos ângulos alternosinternos r e s são paralelas Pelo APE s s Disto decorre a tese s s r t Item 104 item104 Teorema 103 Teorema da soma dos ângulos de um triângulo na Geometria Euclidiana A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180 α β α γ β Demonstração Tracemos por um vértice do triângulo uma reta paralela ao lado oposto observemos que neste vértice aparecem três ângulos adjacentes formando um ângulo raso sendo pois a soma deles igual a 180 Um destes ângulos é um dos ângulos do triângulo os outros dois são iguais aos outros dois ângulos do triângulo pela Recíproca do Teorema dos ângulos alternosinternos Logo a soma dos três ângulos do triângulo é 180 Observação Se admitirmos este teorema como axioma podemos provar o APE Isto será feito no Roteiro 10 A conclusão é a de que este teorema é equivalente ao APE Item 105 item105 Teorema 104 Teorema do ângulo externo da geometria euclidiana Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes a ele α β γ θ 190 ROTEIRO 10 GEOMETRIA EUCLIDIANA Demonstração Decorre das igualdades α β γ 180 e β θ 180 Item 106 item106 Definição 101 Paralelogramo Um paralelogramo é um quadrilátero cujos la dos opostos são paralelos Dois segmentos são paralelos quando estão em retas paralelas Item 107 Existência de paralelogramo Na geometria euclidiana paralelogamo item107 existe Na geometria neutra vimos que existe paralelogramo Lista de Exercícios 8 n 12 Logo existe paralelogramo tanto na geometria euclidiana como na hiperbó Ex 8 12 não existe Ex 8 12 não existe lica Segue um processo de construção de paralelogramo que funciona na geome tria euclidiana mas não funciona na geometria neutra A B D C r s t u 1 Tomamos dois pontos A e B axioma I3 2 traçamos a reta r desterminada por A e B axioma I2 3 tomamos um ponto C fora da reta r axioma I1 4 A e C determinam uma reta s axioma I2 5 por C traçamos uma reta t paralela à r e por B uma reta u paralela à s teorema de existência de paralela 6 Como as retas r e t são paralelas e u corta r então u corta t num ponto D Lema da transversal Os pontos A B C e D são vértices de um paralelogramo De fato os lados opostos são segmentos que estão em retas paralelas logo são paralelos Item 108 item108 Definição 102 Retângulo Um retângulo é um paralelogramo que tem os quatro ângulos retos 192 ROTEIRO 10 GEOMETRIA EUCLIDIANA Item 1010 Diagrama dos teoremas deste roteiro item1010 Dia1010 Axioma de Paralelismo de Euclides APE Teorema de Ângulos Alternosinternos Recíproca do Teorema dos Ângulos Alternosinternos Teorema da Soma dos Ângulos de um Triângulo Teorema da Existência de Retângulo Lema de Transversal Teorema de Ângulo Externo Roteiro 11 Os substitutos do Axioma de paralelismo de Euclides roteiro11 Um substituto para o APE Axioma de Paralelismo de Euclides é uma proposição que acrescentada aos axiomas da geometria neutra produz os mesmos teoremas que o APE No esquema abaixo indicamos este fato de maneira resumida Dia111 Geometria Euclidiana Geometria Neutra APE Geometria Neutra Substituto para o APE A história nos conta que desconfiados de que o quinto postulado de Euclides poderia ser provado a partir dos demais postulados gerações sucessivas de ma temáticos tentaram sem sucesso demonstrálo Como o quinto postulado não poderia ser usado a demonstração teria que ser feita na geometria neutra Du rante essas tentativas várias afirmações equivalentes ao quinto postulado foram descobertas Uma afirmação é equivalente ao quinto postulado quando ela pode substituílo para produzir os mesmos teoremas que o quinto postulado produz Duas afirmações são equivalentes quando admitida uma como verdadeira a ou tra pode ser provada e viceversa Utilizase a notação Afirmação A Afirmação B para indicar que a segunda afirmação pode ser provada com o uso da primeira Dizemos que a primeira implica ou acarreta a segunda A notação Afirmação A Afirmação B significa Afirmação A Afirmação B e Afirmação B Afirma ção A Assim o símbolo é aqui utilizado para indicar que as afirmações são equivalentes Resumindo um substituto para o APE é uma proposição equivalente ao APE na geometria neutra Existem várias proposições que são equivalentes ao APE No fim deste roteiro apresentamos uma lista com mais de vinte delas Escolhemos Mostrar que o APE 193 194ROTEIRO 11 OS SUBSTITUTOS DO AXIOMA DE PARALELISMO DE EUCLIDES Restrito é equivalente ao APE enunciados abaixo porque o trabalho desenvol vido aqui simplificará o trabalho que será feito na geometria de Lobatchevsky no Roteiro 12 Na geometria neutra o Axioma de Paralelismo Restrito APE Restrito é equivalente ao Axioma de Paralelismo de Euclides APE Os dois enunciados são os seguintes Axioma 12 Axioma de paralelismo de Euclides APE Qualquer que seja a reta r e qualquer que seja o ponto P fora de r então a paralela a r que passa por P é única Axioma 13 Axioma de Paralelismo Restrito APE Restrito Existe uma reta r e existe um ponto P fora de r tais que a paralela a r que passa por P é única O que distingue o APE do APE Restrito é a troca do quantificador univer salqualquer que seja pelo quantificador existencialexiste um É claro que o APE implica o APE Restrito O mais difícil é provar a implicação inversa APE Restrito implica o APE isto é se estiver garantida a existência de uma reta e de um ponto fora da reta pelo qual só passa uma paralela á reta então a unicidade de paralela valerá também para toda reta e para todo ponto fora da reta A prova de que o APE Restrito implica o APE seguirá os seguintes passos 1 Passo APE Restrito Existência de retângulo 2 Passo Existência de retângulo A soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180 3 Passo A soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180 APE Em seguida passaremos a demonstrar cada um dos passos 1Passo O APE Restrito implica a existência de retângulo O diagrama abaixo exibe o caminho percorrido para provar o 1passo Dia112 Geometria Neutro APE Restrito Existe Triângulo Retângulo com Soma dos Ângulos 180 Existe Retângulo 196ROTEIRO 11 OS SUBSTITUTOS DO AXIOMA DE PARALELISMO DE EUCLIDES P Q R S α α P Q R S α α β A aplicação da Proposição A seguida da Proposição B prova o 1Passo 2 Passo A existência de retângulo implica que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180 O caminho para demonstrar o 2 passo está ilustrado no diagrama abaixo Dia113 Geometria Neutro Existe Retângulo Decomposição de um Triângulo em dois Triângulos 180 Qualquer Triângulo Retângulo tem Soma dos Ângulos 180 Qualquer Triângulo tem Soma dos Ângulos 180 Proposição 113 Proposição C Quando um triângulo com soma dos ângulos 180 é decomposto em dois triângulos por um segmento ligando um vértice a um ponto do lado oposto então cada um dos dois triângulos também tem soma dos seus ângulos igual a 180 Demonstração Na figura abaixo o triângulo ABC com soma dos ângulos 180é decomposto em dois triângulos pelo segmento AM A B C M β2 β1 α1 α2 Com as notações indicadas na figura a soma dos ângulos do triângulo ABC é 198ROTEIRO 11 OS SUBSTITUTOS DO AXIOMA DE PARALELISMO DE EUCLIDES Demonstração Seja ABC um triângulo qualquer Pelo menos dois de seus ângu los são agudos por um teorema da Geometria Neutra suponhamos que AB e AC sejam agudos Pelo vértice A baixamos a altura AM do triângulo ABC O ponto M está no lado BC pois se não fosse assim o Teorema do Ângulo Externo seria contrariado como sugere a figura abaixo à direita o ângulo C que é ângulo ex terno do triângulo ACM deveria ser maior que o ângulq M Portanto o segmento AM decompõe o triângulo ABC em dois triângulos retângulos Pela hipótese a soma dos ângulos desses triângulos é 180 Disto decorre que a soma dos ângulos do triângulo ABC é também 180 concluindo a demonstração do lema A B M C A B M C Agora a demonstração do 2 Passo fica assim a existência de retângulo implica que qualquer triângulo retângulo tem soma dos ângulos igual a 180Proposição D Isto por sua vez garante que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180Proposição E 3 Passo Se a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180 então vale o APE Veja no diagrama abaixo o roteiro para provar o terceiro passo Dia114 Geometria Neutro Qualquer Triângulo tem Soma dos Ângulos 180 Construção de um Ângulo Arbitrariamente Pequeno APE Proposição 116 Proposição F Dado um ponto A fora de uma reta r e dado um número β 0 existe uma reta que passa por A e faz com r um ângulo a menor que β r A r A r B P α 199 Demonstração Pelo ponto A tracemos uma perpendicular AB à reta r figura abaixo A tese é que existe um ponto P tal que o ângulo APB é menor que β A idéia da demonstração é construir uma seqüência de triângulos isósceles ABP0 AP0P1 APn1Pn com os ângulos da base αn decrescendo como mostra a figura abaixo Assim BP0 AB P0P1 AP0 Pn1Pn APn1 Como na Geometria Neutra a soma dos ângulos de um triângulo é 180 então α0 45 Decorre do Novo Teorema do Angulo Externo um ângulo externo de um triângulo é que a soma dos ângulos internos não adjacentes Roteiro 9 que 2α1 α0 2α2 α1 2αn αn1 Donde α1 12 45 α2 12 α1122 45 an 12αn1 12n 45 Este número tende para zero quando n tende para infinito Logo para n suficientemente grande teremos αn β Tomando P Pn para este valor de n concluímos a demonstração r P0 α0 α0 P1 α1 α1 P2 α2 α2 Proposição 117 Proposição G Se a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180 então qualquer que seja a reta r e qualquer que seja o ponto A fora de r a paralela a r que passa por A é única Demonstração Seja r uma reta qualquer e seja A um ponto fora de r 200ROTEIRO 11 OS SUBSTITUTOS DO AXIOMA DE PARALELISMO DE EUCLIDES P A B r s M t α γ β N α β P A B r s M t α γ β N α β Pelo ponto A tracemos a perpendicular AB à reta r e em seguida a perpendicular s à reta AB A reta s é paralela a r Queremos mostrar que não existe outra paralela a r por A Seja t outra reta que passa por A Devemos mostrar que t não é paralela a r Aplicando a Proposição F seja P um ponto de r tal que o ângulo BPA ângulo α da figura acima seja menor que β que é o ângulo MAN da figura sendo M um ponto de s e N um ponto de t Como estamos admitindo que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180 no triângulo APB temse α γ 90 Como α β resulta que β γ 90 Disto decorre que o ponto P não pode estar na reta t E também que dentre as duas possibilidades para a posição de P ilustradas na figura acima a correta é a da figura da direita ou seja a semireta SAN está no interior do ângulo BAP Pelo Teorema da semireta do interior de um ângulo Roteiro 7 a reta t corta BP não sendo pois paralela a r Isto conclui a demonstração do 3passo Conclusão da prova de que APE Restrito APE Relembramos os três passos percorridos para provar que o APE Restrito implica o APE APE Restrito Existência de retângulo A soma dos ângulos de qualquer triân gulo é 180 APE Como é óbvio que o APE APE Restrito o ciclo de implicações se fecha APE Restrito Existência de retângulo A soma dos ângulos de qualquer triân gulo é 180 APE APE Restrito concluindo a longa demonstração de que APE Restrito APE O trabalho desenvolvido até agora permite obter mais proposições equivalentes O diagrama dos principais teoremas provados nos três passos é o seguinte 201 Dia115 APE Restrito Existe Triângulo Retângulo com Soma dos Ângulos 180 Existe retângulo Qualquer Triângulo Retãngulo tem Soma dos Ângulos 180 Qualquer Triângulo tem Soma dos Ângulos 180 APE APE Restrito Deste ciclo fechado de implicações decorre que todas as proposições do diagrama são equivalentes entre si No diagrama abaixo destaco as principais Dia116 APE Restrito Existência de Retângulo Qualquer Triângulo tem Soma dos Ângulos 180 APE Um teorema do tipo tudo ou nada Na Geometria Neutra vimos que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é menor ou igual a 180 Somente um novo axioma é capaz de definir o que de fato acontece com a soma dos ângulos de um triângulo Uma coisa é certa se algum axioma garantir que existe um triângulo com soma dos ângulos igual a 180 então todos os triângulos têm soma dos ângulos igual a 180 E o que diz o teorema seguinte Teorema 118 Teorema A Demonstração Tomamos um triângulo cuja soma dos ângulos é 180dado na hi pótese Traçamos a altura pelo seu vértice do maior ângulo para garantir que o pé da altura esteja no lado oposto e aplicamos a Proposição C para concluir que 111 RESUMO 205 Axiomas da Geometria Euclidiana os axiomas da Geometria Neutra mais o seguinte Axioma de paralelismo de Euclides APE Qualquer que seja a reta r e qualquer que seja o ponto P fora de r por P passa só uma paralela à reta r Axiomas da Geometria Hiperbólica os axiomas da Geometria Neutra mais o seguinte Axioma de paralelismo de Lobatchevsky APL Existe uma reta r e existe um ponto P fora de r tal que por P passam mais de uma paralela a r 206ROTEIRO 11 OS SUBSTITUTOS DO AXIOMA DE PARALELISMO DE EUCLIDES 112 Lista de Exercícios n 11 A não ser que esteja explícito em contrário no enunciado do exercício consideram se em vigor todos os axiomas da geometria euclidiana 111 Como se prova que o APE é independente dos axiomas da Geometria Neutra Use o modelo de Klein que é um modelo para a geometria neutra também 112 Lema da transversal Se r e s são retas paralelas e t corta s num ponto P então t corta r Prove e mostre que o APE é indispensável 113 Lema transitividade de paralelismo A relação de paralelismo é transitiva Prove e mostre que o APE é indispensável 114 Recíproca dço teorema dos ângulos alternosinternos Se duas retas paralelas r e s são cortadas por uma transversal então ângulos alternosinternos são iguais Prove e mostre que o APE é indispensável O axioma de congruência de triângulos é indispensável 115 Teorema dos ângulos colaterais internos Se duas retas paralelas r e s são cor tadas por uma transversal então a soma dos ângulos colaterais internos é 180 Prove 116 O quinto postulado de Euclides Se duas retas são cortadas por uma transversal de modo que a soma de dois ângulos colaterais internos é 180 então as duas retas se cortam Prove 117 Em um sistema axiomático duas afirmações são equivalentes se admitida uma de las como verdadeira a outra pode ser provada Mostre que na Geometria Neutra o APE é equivalente ao quinto postulado de Euclides 118 Teorema soma dos ângulos de um triângulo A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 Prove 119 Mostre que na Geometria Neutra o teorema da soma dos ângulos de um triângulo é equivalente ao APE 1110 Defina paralelogramo Existe paralelogramo na geometria euclidiana Você é capaz de construir um paralelogramo na geometria neutra Se sim já fica provado que existe paralelogramo na geometria hiperbólica também 1111 Na geometria neutra prove que em um paralelogramo a cada vértice está no interior do ângulo oposto b as diagonais se interceptam 112 LISTA DE EXERCÍCIOS N 11 207 1112 Prove todas as propriedades de paralelogramo que você conhece Cite uma pro priedade de paralelogramo que não vale no modelo de Klein 1113 Defina retângulo Existe retângulo na geometria euclidiana 1114 Prove todas as propriedades de retângulo que você conhece 1115 Na ausência do axioma de congruência de triângulos você pode dizer que se os quatro ângulos de um quadrilátero são retos então ele é um retângulo Não dê contraexemplo no modelo de Moulton 1116 Definia lòsango Existe losango na geometria euclidiana 1117 Prove todas as propriedades de losango que você conhece 1118 Defina quadrado Existe quadrado na geometria euclidiana 1119 Prove todas as propriedades de quadrado que você conhece 1120 Se uma circunferência passa por um ponto interior e por um ponto exterior de outra circunferência então as duas se interceptam Esta é uma questão dificil Eu não espero que você saiba resolvêla 208ROTEIRO 11 OS SUBSTITUTOS DO AXIOMA DE PARALELISMO DE EUCLIDES 113 Soluções da Lista de Exercícios n 11 117 Em um sistema axiomático duas afirmações são equivalentes se admitida uma de las como verdadeira a outra pode ser provada Mostre que na Geometria Neutra o APE é equivalente ao quinto postulado de Euclides Resposta Afirmação 1 Axioma de paralelismo de Euclides APE Qualquer que seja a reta r e qualquer que seja o ponto P fora de r por P passa só uma paralela à reta r Afirmação 2 O quinto postulado de Euclides Se duas retas são cortadas por uma transversal de modo que a soma de dois ângulos colaterais internos é 180 então as duas retas se cortam Queremos mostrar na Geometria Neutra que a Afirmação 1 é equivalente à Afir mação 2 a Primeiro admitimos a Afirmação 1 como verdadeira e provamos a Afirmação 2 Hipótese da Afirmação 2 r e s são retas cortadas por uma transversal t fa zendo ângulos colaterais internos α e β sendo α β 180 Tese da Afirmação 2 r e s se interceptam Demonstração Por absurdo se r e s fossem paralelas pela Recíproca do Teo rema dos ângulos alternosinternos que decorre da Afirmação 1 seria β γ figura abaixo à esquerda Mas α γ 180 donde α β 180 contrari ando a hipótese b Agora admitimos a Afirmação 2 como verdadeira e provamos a Afirmação 1 Hipótese da Afirmação 4 r é reta e P é ponto fora de r Tese da Afirmação 1 é única a paralela à r traçada por P Demonstração Pelo método das perpendiculares traçamos s r por P Por absurdo suponhamos que existe outra reta t r por P Então o ângulo a indicado na figura abaixo à direita que a reta t faz com a transversal PQ é agudo donde α β α 90 180 Agora pela Afirmação 2 t corta r o que contraria o fato de que t r 210ROTEIRO 11 OS SUBSTITUTOS DO AXIOMA DE PARALELISMO DE EUCLIDES 1115 Na ausência do axioma de congruência de triângulos você pode dizer que se os quatro ângulos de um quadrilátero são retos então ele é um retângulo Não dê contraexemplo no modelo de Moulton Resposta Não Construa um quadrilátero no modelo de Moulton com os quatro ângulos retos Para isto comece com uma reta quebrada escolha um ponto conveniente trace por ele duas perpendiculares à reta quebrada e complete o quadrilátero com os quatro ângulos retos O quadrilátero não é paralelogramo porque tem dois lados opostos que não são paralelos Roteiro 12 Geometria Hiperbólica Tópicos básicos roteiro12 Axioma de paralelismo de Lobatchevsky APL Soma dos ângulos de um triân gulo Não existe retângulo Não existem triângulos semelhantes que não sejam congruentes Cinco casos de congruência LAL ALA LLL LAA e AAA Introdução Como vimos antes na geometria neutra são válidos todos os axio mas introduzidos exceto os axiomas de paralelismo A existência de paralela a uma reta dada por um ponto dado é um teorema da geometria neutra A questão da unicidade de paralela é indecidível na geometria neutra Quando admitimos a unicidade temos a geometria euclidiana quando admitimos a nãounicidade temos a geometria hiperbólica O enunciado da unicidade de paralela é de caráter universal r e P r a para lela a r por P é única O enunciado da nãounicidade por ser a negação daquela é de caráter restrito r e P r tais que por P passam mais de uma paralela a r Este é o axioma de paralelismo da geometria hiperbólica Felizmente é possí vel provar a universalidade desta propriedade r e P r por P passam mais de uma paralela a r Os teoremas da geometria neutra são também teoremas das geometrias euclidiana e hiperbólica Já os teoremas que dependem dos respectivos axiomas de parale lismo são exclusivos de cada uma das geometrias Por exemplo na geometria euclidiana a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180 na hiperbólica é 180 Como vimos na geometria neutra esta soma é 180 Na geometria neutra a questão da existência de retângulo é indecidível ela de pende do axioma de paralelismo que se adota Na geometria euclidiana existe re tângulo na geometria hiperbólica não existe retângulo Outra questão indecidível na geometria neutra é a da existência de triângulos semelhantes ângulos corres pondentes iguais e lados correspõndentes proporcionais na geometria hiperbó 211 212 ROTEIRO 12 GEOMETRIA HIPERBÓLICA TÓPICOS BÁSICOS lica não existem triângulos semelhantes que não sejam congruentes na geometria euclidiana existem triângulos semelhantes que não são congruentes Outro fato interessante é que retas paralelas são eqüidistantes na geometria euclidiana mas não o são na geometria hiperbólica Ainda sabre paralelas na geometria hiper bólica para algumas retas paralelas não existe perpendicular comum para outras existe perpendicular comum não pode existir mais de uma perpendicular comum a duas retas porque senão existiria retângulo Como veremos estes são apenas alguns dos fatos que distinguem uma geometria da outra No Roteiro 10 enun ciamos mais de vinte teoremas que são equivalentes ao Axioma de Paralelismo de Euclides Eles são exclusivos da geometria euclidiana as suas negações são teoremas exclusivos da geometria hiperbólica Os axiomas da geometria hiperbólica são pois todos os axiomas da geometria neutra mais o axioma de paralelismo de Lobatchevsky Axioma 14 Axioma de paralelismo de Lobatchevsky APL Existe uma reta r e existe um ponto P fora de r pelo qual passam mais de uma paralela à reta r O APL é a negação do APE Observemos que o quantificador universalqualquer que seja ou para todo que se costuma denotar por que aparece no APE é substituído pelo quantificador existencialexiste pelo menos um ou existe um denotado por O APL é de caráter restrito ele garante a existência de uma reta e de um ponto com a propriedade de paralelismo enunciada Felizmente a propriedade de nãounicidade de paralelas é universal como provaremos Item 121 Universalidade da nãounicidade de paralelas O APL tem o seu item121 enunciado de nãounicidade de paralela restrito a uma reta e a um ponto Mostra remos aqui que esta propriedade é universal a nãounicidade de paralela vale para toda reta e todo ponto fora da reta No Roteiro 10 vimos como o APE Restrito implica o APE Agora como veremos a universalização da propriedade de não unicidade de paralela decorre facilmente do fato de que o APE Restrito implica o APE teorema este demonstrado na Geometria Neutra Teorema 121 Teorema da universalidade da nãounicidade de paralela Na Geometria Hiperbólica qualquer que seja a reta r e qualquer que seja o ponto P fora de r existem mais de uma paralela a r por P Demonstração Por absurdo A negação da tese é Existe uma reta r e existe um ponto P fora de r tais que a paralela a r que passa por P é única Vimos no Roteiro 11 que este é precisamente o enunciado do APE Restrito Vimos também que na Geometria Neutra o APE Restrito implica o APE que é a negação do APL Portanto a negação da tese contraria o APL Logo a tese é verdadeira 213 Observação Não se iluda o leitor pensando que este teorema é fácil Esta de monstiução ficou simples porque a parte mais trabalhosa e dificil que é provar que o APE Restrito implica o APE foi feita no Roteiro 11 Item 122 item122 Teorema 122 Teorema de existência de um triângulo com soma dos ângulos 180 Existe um triângulo cuja soma dos ângulos é menor que 180 Demonstração Construiremos um triângulo cuja soma dos ângulos é estritamente menor que 180 Tomemos uma reta r e um ponto A fora de r Primeiro construímos uma paralela s à r pelo método das perpendiculares Assim r e s são perpendiculares a AB B é pé da perpendicular baixadade A a r figura abaixo Seja t outra paralela a r por A Dois dos ângulos que t faz com s é agudo Seja β NAM o ângulo indicado na figura sendo M em s e N em t Pela Proposição F do Roteiro 11 existe um ponto P em r como indicado na figura de modo que o ângulo α BPA é menor que β P A B r s M t α γ β N α β P A B r s M t α γ β N α β P A B r s M t α γ β N α β β na figura de direita está errado β na figura de direita está errado Na figura acima que ilustra a demonstração exibimos as três alternativas para a posição da semireta SAN Na figura da esquerda SAN A está no interior do ângulo PAM Na figura do meio SAN passa pelo ponto P o que não é possível pois t é paralela à reta r Na figura da direita SAN A está no interior do ângulo BAP o que também não é possível pois SAN cortaria o segmento BP pelo teorema da semirreta do interior de um ângulo Roteiro 7 contrariando o fato de que t é paralela a r Resta pois a alternativa ilustrada na figura da esquerda em que SAN A está no interior do ângulo PAM Sendo assim temos β γ 90 donde α γ 90porque α β Logo a soma dos ângulos do triângulo retângulo ABP é menor que 180 Construímos assim um triângulo cuja soma dos ângulos é 180 demonstrando o teorema Observação A parte dificil desta demonstração a prova da Proposição F foi feita no Roteiro 11 214 ROTEIRO 12 GEOMETRIA HIPERBÓLICA TÓPICOS BÁSICOS Item 123 item123 Teorema 123 Teorema da soma dos ângulos de um triângulo na Geometria Hiperbólica Todo triângulo tem soma dos ângulos menor que 180 Demonstração Na geometria neutra e portanto na geometria hiperbólica tam bém todo triângulo tem soma dos ângulos 180 Suponhamos que existe um triângulo com soma dos ângulos igual a 180 Então pelo Teorema A do Roteiro 11 todo triângulo tem a soma dos ângulos igual a 180 o que contraria o teo rema de existência de um triângulo com soma dos ângulos 180 Portanto não pode haver triângulo com soma dos ângulos igual a 180 Logo na geometria hiperbólica todos os triângulos têm soma dos ângulos 180 Observação Este teorema também não é fácil A parte mais difícil é a demons tração do Teorema A do Roteiro 11 que foi feita naquele roteiro Item 124 item124 Teorema 124 Teorema da soma dos ângulos de um quadrilátero A soma dos ângulos de qualquer quadrilátero convexo é 360 Demonstração Basta observar que a soma dos ângulos do quadrilátero é igual à soma dos ângulos dos dois triângulos em que o quqdrilátero fica decomposto por uma diagonal Que a diagonal do quadrilátero está contida no interior de cada ângulo interno é uma conseqüência do axioma de separação do plano Veja a Lista de Exercícios n 9 Quadrilátero convexo Quadrilátero nãoconvexo Item 125 item125 Teorema 125 Teorema da não existência de retângulo Não existe retângulo Demonstração Decorre do teorema da soma dos ângulos de um quadrilátero já que a soma dos ângulos de um retângulo é 360 Item 126 item126 Teorema 126 Teorema da não existência de triângulos semelhantes Não exis tem triângulos semelhantes que não sejam congruentes ou melhor triângulos semelhantes são congruentes 216 ROTEIRO 12 GEOMETRIA HIPERBÓLICA TÓPICOS BÁSICOS Dia1208 APL APE Restrito APE Teorema de Universalidade de nãoUnicidade de Paralela Proposição F do Roteiro 11 Proposição da Semirreta do Interior de um Ângulo Teorema da Existência de um Triângulo com Soma dos Ângulos 180 Teorema A do Roteiro 11 Teorema da Soma dos Ângulos de um Triângulo Teorema da Soma dos Ângulos de um Quadrilátero Teorema da não Existência de Retângulo Teorema da não Existência de Triângulos Semelhantes Caso de Congruência AAA 222 ROTEIRO 13 GEOMETRIA HIPERBÓLICA RETAS PARALELAS r Por outro ponto C de s baixamos uma perpendicular CD a r D em r Por A baixamos uma perpendicular AR a CD E em CD Pelo Teorema dos ângu los alternosinternos AR é paralela a BD sendo ED uma perpendicular comum às retas AE e BD Por que AR é diferente de AC Porque se AE coincidisse com AC ABDC seria retângulo o que não existe na geometria hiperbólica Se a construção estivesse sendo feita na geometria euclidiana AR coincidiria com AC A B s r A B s r C D E Não se precipite o leitor pensando que duas retas paralelas sempre têm uma per pendicular comum Item 135 Exemplo de retas paralelas que admitem perpendicular comum e de item135 retas paralelas que não admitem perpendicular comum no modelo de Klein A figura abaixo á esquerda exibe no modelo de Klein uma reta r que é um diâmetro e um ponto A fora de r que está no diâmetro perpendicular a r No caso de diâmetro perpendicular de Kleín é o mesmo que perpendicular cartesiana Uma das paralelas a r por A a reta s é obtida pelo método das perpendiculares ela é perpendicular à reta AB que por sua vez é perpendicular à r Portanto r e s admitem uma perpendicular comum Na mesma figura duas paralelas a r por A se destacam as representadas pelas cordas que terminam em P e Q que são as extremidades da corda que representa r Elas são chamadas paralelaslimites porque separam a região que contém as retas paralelas a r que passam por A da região que contém as retas que passam por A que não são paralelas à r Como veremos essas retas formam com AB ângulos iguais indicados por α na figura e denominados ângulos de paralelismo P r Q B s α α α α A 223 O pólo de uma corda cartesiana é o ponto de interseção das retas tangentes à circunferência pelas extremidades da corda isto é feito fora do círculo de Klein Um diâmetro não tem pólo porque as tangentes pelas extremidades são paralelas Provase que no modelo de Klein duas retas de Klein são perpendiculares se e somente se o prolongamento cartesiano de uma passa pelo pólo da outra Quando uma das retas é diâmetro perpendicular no sentido de Klein é o mesmo que no cartesiano S R r r a a b c d d r S R r r a a b c d d s F F C N M D M N P Q P Q Na figura do meio acima a reta CD é perpendicular a r e a s porque o seu prolongamento cartesiano passa pelos pólos das cordas Essas retas paralelas que admitem urna perpendicular comum têm as seguintes propriedades CD é o único segmento perpendicular comum às retas paralelas r e s pois só existe uma reta cartesiana que passa pelos dois pólos Como veremos na teoria é o menor dos segmentos que se pode traçar ligando ponto de s a ponto de r Também se C é ponto médio do segmento M N e os segmentas M M e N N são perpendiculares a r então os comprimentos de M M e N N são iguais Outro fato é o de que o comprimento de M M distância de M à r cresce quando M tende para a extremidade da corda tendendo para infinito o mesmo acontecendo com N N todos esses são fatos que serão provados em abstrato na geometria hiperbólica 224 ROTEIRO 13 GEOMETRIA HIPERBÓLICA RETAS PARALELAS S R r r a a b c d d m S R r r a a b c d d n M M Já com as retas paralelaslimites acontece o seguinte i Não existe uma perpendicular comum a duas retas paralelaslimites Na figura acima à direita as retas m e n são paralelaslimites os seus pólos estão numa mesma tangente à circunferência por serem as tangentes perpendiculares ao raio que toca o ponto de tangência e assim a única reta que une os dois pólos não passa pelo interior da circunferência ii A distância entre pontos de duas retas paralelaslimites tende para zero ou para infinito conforme o sentido com que o ponto de uma delas tende para infinito Dizemos que as paralelaslimites são assintóticas no sentido em que a distância entre elas tende para zero O sentido de uma reta é definido por um sistema de coordenadas dado pelo axioma da régua Outro fato é o de que não existem dois pontos de uma delas que sejam eqüidistantes da outra Item 136 item136 Teorema 133 Teorema das retas que admitem perpendicular comum Quando existe um segmento perpendicular comum AB às retas paralelas s e r temse a ele é único b é o menor segmento que liga pontos de s a pontos de r c para cada ponto C de s seja C o ponto de s na ordem C B C sendo CB CB então C e C são eqüidistantes de r 225 d a distância de cada ponto de s a r cresce à medida que o ponto se afasta de B tanto para um lado quanto para o outro cresce tendendo para infinito Demonstração a Não pode haver dois segmentos perpendiculares comuns a r e s porque não existe retângulo na geometria hiperbólica b Seja C um ponto de s Baixamos uma perpendicular CD a r No quadrilátero ABCD o ângulo C é agudo pois a soma dos ângulos é menor que 360 Pelo Lema do quadrilátero com dois ângulos retos temos AB CD temse também AD BC Como o segmento de qualquer obliqua é maior que o segmento de qualquer perpendicular seguese que AB é o menor dos segmentos com extremos em s e r A B D C r s c Seja agora C um ponto de s na ordem C B C sendo BC BC Seja CD o segmento perpendicular a r Queremos mostrar que CD CD figura abaixo Pelo caso de congruência LAL ABC ABC Agora pelo caso LAA temos CAD CAD Portanto CD CD A B D C D C r s d Seja agora um ponto E de s mais afastado de B que C na ordem B C E figura abaixo No quadrilátero DCEF o ângulo C que é obtuso é maior que o ângulo E que é agudo Logo pelo Lema do quadrilátero com dois ângulos retos CD EF No outro lado de B o mesmo acontece em virtude do item c A figura à direita é melhor para destacar os segmentos de maiores comprimentos 227 mesma que a distância de X a r de modo que quando X tende para o extremo da corda s a distância de X a r tende também para Paralelaslimites e ângulo de paralelismo Nesta seção definiremos retas paralelaslimites Para provar que elas existem precisamos utilizar a continuidade dos números reais Há várias maneiras de ex pressar esta continuidade Uma delas é a propriedade do supremo de um conjunto de números reais Item 138 Supremo de um conjunto de números reais item138 Consideremos os seguintes intervalos de números reais A 0 30 e B 0 30 O primeiro é aberto à direita o número 30 não pertence a A e o segundo é fe chado à direita o número 30 pertence a B Uma cota superior para um conjunto K de números reais é um número c tal que x c para todo x K Um conjunto é limitado superiormente se possui cota superior Os conjuntos A e B são li mitados superiormente pois possuem cota superior por exemplo 30 ou qualquer outro número maior que 30 O número 30 é a menor das cotas superiores para A e para B Um número a é a menor cota superior ou supremo para um conjunto K se i a é uma cota superior para K e ii nenhum número b a é cota superior para K equivalentemente se b a então existe k K tal que k b O supremo de um conjunto pode ou não pertencer ao conjunto O número 30 supremo de A e de B pertence a B mas não pertence a A Existência de supremo todo conjunto não vazio de números reais limitado su periormente possui um e um só supremo A existência de supremo é uma propriedade fundamental do conjunto dos números reais Numa apresentação axiomática dos números reais ela é um axioma numa construção a partir dos números naturais ela é um teorema Item 139 item139 Definição 131 Definição de semirretas paralelaslimites e de ângulo de parale lismo Dados uma reta r e um ponto A fora de r seja AB perpendicular a r com B em r e seja H1 um dos semiplanos determinado por AB Seja K o conjunto das medidas dos ângulos θ que as semirretas Sθ com origem A contidas em H1 e que cortam r fazem com SAB K θ Sθ corta r 228 ROTEIRO 13 GEOMETRIA HIPERBÓLICA RETAS PARALELAS A B C r θ Sθ O conjunto K é limitado superiormente O número α supremo de K é de nominado ângulo de paralelismo associado à reta r e ao ponto A A semirreta contida em H1 que tem origem em A e faz um ângulo α com SAB é denominada semirreta paralelalimite a r pelo ponto A No outro semiplano determinado por AB definimos outra semirreta paralelalimite com o correspondente ângulo de paralelismo Item 1310 item1310 Teorema 134 Teorema da semirreta paralelalimite Seja r uma reta seja A um ponto fora de r e seja AB um segmento perpendicular a r B em r Seja H um dos semiplanos determinados pela reta AB Usamos a notação Stheta para indicar a semirreta contida em H que faz um ângulo O com AB Seja a o ângulo de paralelismo e seja Sa a paralelalimite a r pelo ponto A Então a Sα não corta r b Se β α então Sβ corta r c Se γ α então Sγ não corta r Demonstração Seja AB uma perpendicular traçada de A a r com B em r Seja s a perpendicular a AB por A s é paralela a r por A Para cada número θ entre O e 180 existe uma semirreta Sθ com origem em A com interior contido em H e que faz um ângulo O com a semireta SAB figura abaixo A B C r θ s Sθ 230 ROTEIRO 13 GEOMETRIA HIPERBÓLICA RETAS PARALELAS c Se γ α então Sγ não corta r pois se cortasse Sα também cortaria r pelo Teorema da semireta do interior de um ângulo contrariando o fato de que Sα é paralela a r A semirreta Sα separa a região das semiretas por A que cortam r da região das que não cortam situadas de um lado de AB É em virtude destas propriedades que denominamos Sα de semireta paralelalimite a r pelo ponto A Observemos que do outro lado de AB existe uma outra paralelalimite a r De cada lado de AB existe apenas uma semirreta paralelalimite à r porque a menor cota inferior de um conjunto é única s r A B C M N Sα α s r A B Sθ Sα Sβ Sα não pode cortar r β α então Sα corta r Perguntas Pode o ângulo de paralelismo ser 90 Não pois se fosse 90 pelo ponto A passaria apenas uma paralela a r O ângulo de paralelismo tem o mesmo valor independentemente das posições da reta r e do ponto A Ou melhor se r e A são distintos de r e A então o ângulo de paralelismo t associado a r e A é igual ao ângulo de paralelismo a associado a r e A Resposta em geral α é diferente de α mas α α quando a distância de A a r é a mesma que a distância de A a r É o que diz o teorema seguinte Item 1311 item1311 Teorema 135 O ângulo de paralelismo associado à reta r e ao ponto A só depende da distância de A a r ou seja se a distância de A à r é igual à distância de A à r então os ângulos de paralelismos associados a cada um dos pares são iguais Hipótese A está fora de r e A está fora de r dA r dA r α ângulo de paralelismo associado a r e A α ângulo de paralelismo associado a r e A Tese α α Demonstração Sejam B e B os pés das perpendiculares baixadas de A a r e de A a r respectivamente e sejam Sα e S α paralelas limites associadas a A e r e a A e r respectivamente 234 ROTEIRO 13 GEOMETRIA HIPERBÓLICA RETAS PARALELAS teremos α2 α1 Esta propriedade caracteriza o conceito de continuidade de αy no ponto y1 Quando A2 A1 pelo item a p90 donde α2 y tende para 90 Pelo argumento do item a a defA1DA2 tende para 0 quando A2 tende para A1 Logo α1 γ tende para 90 Portanto a diferença α2 γ α1 γ α2 α1 tende para zero donde α2 α1 Item 1313 item1313 Teorema 136 Teorema da classificação de retas paralelas Existem dois tipos de retas paralelas as que admitem perpendicular comum e as que não admitem perpendicular comum As retas paralelas que não admitem perpendicular comum são as retas paralelaslimites A distância entre retas paralelaslimites tende para zero num sentido e para infinito no outro sentido Omitimos a demonstração Item 1314 Um exemplo para ilustrar o caso das paralelaslimites no modelo de item1314 Klein Na figura abaixo no modelo de Klein r é uma reta e s é uma paralelalimite a r pelo ponto M sendo R e S os pontos extremos da corda que representa s Sendo X um ponto de s mostraremos que quando dKX A tende para 0 ou conforme X tenda para S ou R respectivamente 236 ROTEIRO 13 GEOMETRIA HIPERBÓLICA RETAS PARALELAS Item 1315 Modelo de Poincaré À guisa de informação descrevemos as re item1315 presentações de ponto e reta no modelo de Poincaré para a geometria hiperbólica Como no modelo de Klein tomase uma circunferência cartesiana C Os pon tos de Poincaré são representados pelos pontos cartesianos do interior de C Já as retas são representadas por arcos de circunferência perpendiculares à circun ferência C sem os extremos Os diâmetros são também retas de Poincaré Na figura abaixo estão representadas duas retas paralelaslimites uma por um arco de circunferência e a outra por um diâmetro Não provaremos aqui que esta re presentação satisfaz todos os axiomas da geometria hiperbólica 131 LISTA DE EXERCÍCIOS N 13 237 131 Lista de Exercícios n 13 A não ser que esteja explicito em contrário no enunciado do exercício consideram se em vigor todos os axiomas da geometria hiperbólica os axiomas da geo metria neutra mais o axioma de paralelismo de Lobatchevsky 131 Qual é o enunciado do Axioma de Paralelismo de Lobatchevsky 132 Como se prova que o APL é independente dos axiomas da Geometria Neutra use o modelo cartesiano que é um modelo para a geometria neutra também 133 Mostre que é falso Se r e s são retas paralelas e t corta s num ponto P então t corta r Para mostrar que uma afirmação é falsa na GH basta dar contraexemplo no modelo de Klein 134 Mostre que a transitividade de paralelismo é falsa 135 Mostre que é falso Se duas retas paralelas r e s são cortadas por uma transversal então ângulos alternosinternos são iguais 136 Mostre que o quinto postulado original de Euclides é falso Se duas retas são cor tadas por uma transversal de modo que a soma de dois ângulos colaterais internos é 180 então as duas retas se cortam 137 No modelo de Klein dê exemplo de um ângulo e de um ponto P do seu interior com a seguinte propriedade não existe reta que passa por P e corta os dois lados do ângulo a não ser a que passa pelo vértice Este é um contraexemplo para a afirmação xiii do Roteiro 11 138 Dê um contraexemplo para a afirmação xviii do Roteiro 11 as mediatrizes dos catetos de um triângulo retângulo se interceptam 139 Em abstrato como você constrói um triângulo cuja soma dos ângulos internos é 180 1310 Uma vez dem onstrada a existência de um triângulo cuja soma dos ângulos inter nos é 180 como você prova que todo triângulo tem soma dos ângulos internos 180 1311 A partir do fato de que todo triângulo tem soma dos ângulos 180 prove que não existe retângulo 1312 Dada uma reta qualquer e dado um ponto fora da reta mostre como construir mais de uma paralela à reta pelo ponto dado Depois de construir uma paralela pelo método das perpendiculares levante uma perpendicular à reta dada por um de seus pontos e pelo ponto dado baixe uma 238 ROTEIRO 13 GEOMETRIA HIPERBÓLICA RETAS PARALELAS perpendicular a esta última reta Para demonstrar que esta última reta é diferente da paralela traçada pelo método das perpendiculares use o fato de que não existe retângulo 1313 Prove que não existem retas eqüidistantes Mostre que não podem existir três pontos de uma reta que sejam eqüidistantes da outra 1314 No modelo de Klein cujos pontos são os pontos do interior da circunferência x2 y2 1 mostre que a distância do ponto A 0 12 ao ponto O 0 0 é dKA O 12 ln 3 Determine o lugar dos pontos X x y acima do eixo Ox cuja distância a este eixo é 12 ln 3 A equação que você obteve é de uma elipse 1315 Construa um quadrilátero com três ângulos retos quadrilátero de Lambert Este quadrilátero é um paralelogramo Os lados opostos são iguais Prove que os lados adjacentes ao ângulo agudo são maiores que os seus lados opostos no quadrilátero Para isto aplique o Lema do quadrilátero com dois ângulos retos 1316 Sejam r e s retas paralelas que admitem uma perpendicular comum MM M em r e M em s Sejam A e B pontos de r tais que M é ponto médio de AB Prove que A e B são eqüidistantes de s 1317 Sejam r e s retas paralelas que admitem uma perpendicular comum MM M em r e M em s Sejam A e B pontos de r tais que A está entre M e B Sejam A e B os pés das perpendiculares baixadas de A e B a s Prove que AA BB 1318 A afirmação seguinte é verdadeira na geometria euclidiana e falsa na geometria hiperbólica certo Se l r r s e s m então l intercepta m Dê contra exemplo no modelo de Klein 1319 Mostre que no modelo de Klein não vale o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de vértices O 0 0 A 0 12 B 12 0 Todo list r s s r mas s r 41 Card substituido por C 47 Partes substituido por Π 47 Fig a direita está em correspondência com o texto 121 V substituido por C 125 Porque trocar texto nos pontos na figura 132 Título muito comprido no cabeçalho das páginas 142 Inserido enumerador 182 Inserido enumerador 183 Caso text positions 184 Ex 8 12 não existe 190 β na figura de direita está errado 213 243