Prova Cálculo Vetorial 3 - Teorema de Green Stokes Gauss - Exercícios Resolvidos

O que é Prova C III Q1 Teorema de Green Q2 Área de superfície Q3 Integral de superfície Q4 Teorema de Stokes Q5 Teorema de Gauss 1 Teorema de Green Seja C uma curva simples fechada contínua por partes orientada positivamente antihorário região da região delimitada por C Se P e Q tem derivadas parciais de 1ª ordem contínuas num aberto contendo D então P dx Q dy Qx Py dA Ex Calcule I C y³3 ex dx x³3 y dy onde C é a curva x² y² 1 orientada positivamente I D x x³3 y y y³3 ex dA D xy x² y² 1 x plano y plano 0 ρ 1 0 θ 2π dA ρ dρ dθ ₀²π ₀¹ ρ² ρ dρ dθ ₀²π ₀¹ ρ³ dρ dθ ₀²π ρ⁴4₀¹ dθ ₀²π 14 dθ 2π4 π2 2 Área de superfície parametizado Seja S r uv uv D² então AS S ds D rᵤ rᵥ dA Ex Calcule a área dada pela superfície formada pela parte da esfera x² y² z² p² p 0 que está no semiespaço z 0 r θφ p senφ cosθ p senφ senθ p cosφ 0 φ π2 não porque faz parte da esfera 0 θ 2π Como queremos a parte que está em z 0 devemos restringir 0 φ π e 0 θ 2π AS D rᵤ rᵥ dA D φθ 0 φ π2 0 θ 2π rᵤ rᵥ p cosφ cosθ p senφ senθ p senφ u θ p senφ senθ p senφ cosθ 0 rᵤ rᵥ det p senφ cosθ p senφ senθ p cosφ p senφ senθ p senφ cosθ 0 p² senφ cos²θ sen²θ p² sen²φ cosφ k p senφ p² sen²φ cos²θ sen²θ p² cos²φ psen²φ cos²φ p AS ₀²π ₀π2 p² senφ dφ dθ ₀²π dθ ₀π2 p² senφ dφ 2π p² ₀π2 senφ dφ 2π p² cosφ 0π2 2π p² Ex Seja S a superfície paramétrica x² y² 1 com 0 g 1 Calcule S x² ds ruv cos u sen u v 0 u 2π 0 v 1 rᵤ sen u cos u 0 rᵥ 0 0 1 rᵤ rᵥ det sen u cos u 0 0 0 1 cos u sen u 0 rᵤ rᵥ cos² u sen² u 0² 1 S x² ds ₀¹ ₀²π cos² u rᵤ rᵥ du dv ₀¹ ₀²π cos² u du dv ₀¹ ₀²π 1 cos 2u2 du dv ₀²π u2 sen 2u 4 ₀²π dv ₀¹ π dv π 4 Teorema de Stokes Seja S uma superfície orientada lisa por partes cuja fronteira é uma curva suave C fechada simples lisa por partes e orientada positivamente Seja F um campo vetorial cujas componentes tenha derivadas parciais contínuas num aberto contendo o S e a curva C então C F dr S rot F dS Ex Calcule o C vet F dr onde Fxyz y z z x x y e C é o parábola x t y t² z t³ 0 t 1 orientada no sentido positivo do circlo 3 Ajustantes de S orientada positivamente e dada pela curva C parametrizado por x 0 0 t 2π y cos t 3 sen t S rot F dS S F dr C F dr ₀²π F0 cos t sen t 0 sen t cos t dt ₀²π 0 sen t sen t cos t0 sen t cos t dt ₀²π sen² t cos² t dt ₀²π dt cot π0 1 1 0 5 Teorema de Gauss Seja E uma região sólida não plana e S a superfície positiva E orientada positivamente para fora Seja F um campo vetorial cujas funções comp tenham derivadas parciais contínuas num aberto contendo E então S F dS E div F dV F Pi Qj Rk div F Px Qy Rz Ex Seja E xyz x² y² 1 0 g 1 S a fronteira de E orientado positivamente rs Fxyz x eʷᶻ y x³ sen 1x³ eʸ nem calcula o fluxo de F através de S div f 1 1 0 1 1 0 v S F dS E div F dV E 2 dV 2 dh dA D xy x² y² 1 dz dA 2 dA