Series de Fourier

Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Prof Dr Samuel Carlos de Souza Ferreira 20241 Questionário 1 Cálculo 3 1 35 Calcule a série de Fourier da onda senoidal retificada isto é fx senx ou seja a parte não negativa do seno fx senx se 0 0 se 0 A série de Fourier desta função converge uniformemente para f 2 35 Calcule a série de Fourier da função fθ er cosθ cosr senθ A série de Fourier desta função converge uniformemente para f 3 30 Para cada n 1 seja fnx nx n2x4 1 Considere a função f dada por fx lim n fnx a 10 Esboce os gráficos de f e das fn b 10 fn converge uniformemente a f em 01 Justifique Sugestão Verifique que o valor máximo de fn em 01 tende a quando n tende a c 10 Verifique que 01 lim n fnx dx lim n 01 fnx dx Cálculo 3 1 Temos que fx senx se 0 0 se 0 logo o periodo de fx é 2π A série de Fourier correspondente à fx é definida como a02 n1 an cosnπxL bn sennπxL em que 2L é o período de f ou seja Lπ a0 1L LL fx dx an 1L LL fx cosnπxL dx n1 bn 1L LL fx sennπxL dx n1 Vamos calcular os coeficientes Obs senx 0 em π0 a0 1π ππ fx dx 1π π0 0 dx 0π senx dx 1π cosx0π 1 1π 2π an 1π ππ fx cosnπxπ dx 1π π0 0cosnx dx 0π senxcosnx dx Temos que senxcosnx senxnxsenxnx2 logo an 1π 0π senxnxsenxnx2 dx 12π cosxnx1n cosxnx1n0π 12π cosπ nπ cosπnπ cos0 cos0 1n2 21n 22π 1n2 1n 1π 1n2 No entanto os cálculos de an e bn possuem cálculos extremamente desafiadores e talvez não possuam ser resolvidos Sendo assim vamos fazer uma análise complexa Temos que Cosx eix eix2 Logo ercos0 Cosrsenθ ercos0 eirSenθ eirSenθ2 ercos0 irsen0 ercos0 irsenθ2 A série de Fourier complexa é n Cn einθ onde Cn 12π ππ fθ einθ dθ Temos que Co 12π ππ ercos0 irsenθ ercos0 irsenθ2 dθ 14π ππ eiθ eiθ2 dθ 14π 4π 14π Cn 12π ππ eiθ eiθ2 einθ dθ 3 fnx nx2 e fx limn fnx fx limn nx2n2 x4 1 limn x2n x4 1n2 0 a graph b Para determinar o máximo de fn vamos calcular sua derivada ddx fnx ddx nxn2 x4 1 n n2 x4 1 nx 4n2 x3 n2 x4 12 n3 x4 n 4 n3 x4 n2 x4 12 ddx fnx 0 n 3n3 x4 n2 x4 12 0 n 3n3 x4 0 x4 13n2 x 13n214 xc ponto crítico O máximo será maxx n 13n214 n 13n214 n 3n214 3n4 13 n 34 n³3 Assim limn maxx limn 3n 4³3 Dizemos que fnx converge uniformemente para fx em 01 se para qualquer ε0 existe N tal que para todo n N e para todo x 01 temos fnx fx ε Como lim máx temos que a função fn não converge uniformemente para f c Vimos que limn fnx 0 logo 01 limn fnx dx 01 0 dx 0 Por outro lado temos que 01 fnx dx 01 nx dxn2 x4 1 Substituição u n x2 du 2 n x dx du2 n x dx u1 0 e u2 n Então 01 fnx dx 0n 1u2 1 du2 12 arctgu0n 12 arctgn Logo limn 01 fnx dx limn 12 arctgn 12 π2 π4 Portanto 01 limn fnx dx 0 π4 limn 01 fnx dx