Equações Diferenciais Ordinárias

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Patrícia Nunes da Silva Este livro está registrado no EDA da Fundação Biblioteca NacionalMinC sob número 350448 Livro 646 folha 108 i PREFÁCIO As equações diferenciais ordinárias apareceram de forma natural com os métodos do Cálculo Diferencial e Integral descobertos por Newton e Leib nitz no final do século XVII e se converteram na linguagem pela qual muitas das leis em diferentes ramos da Ciência se expressam Assim as equações diferenciais ordinárias modelam fenômenos que ocorrem na Física Biologia Economia e na própria Matemática Historicamente no fim do século XVIII as equações diferenciais ordinárias se transformaram numa disciplina independente na Matemática impulsio nada por matemáticos famosos como Euler Lagrange e Laplace entre outros que estudaram as equações diferenciais ordinárias no Cálculo das Variações na Mecânica Celeste na Dinâmica dos Fuidos etc No século XIX os funda mentos da Matématica experimentaram uma revisão geral fixando com exa tidão conceitos até então nebulosos Matemáticos como Cauchy Gauss Rie mann e principalmente Poincaré são referências obrigatórias no estudo mo derno das equações diferenciais ordinárias Na atualidade a teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias é objeto de efervescente pesquisa em todo o mundo incluindo o Brasil Nestas notas abordaremos toda a ementa das disciplinas Cálculo Diferen cial e Integral III e EDO oferecidas pelo Departamento de Análise do IME UERJ A autora gostaria agradecer ao professor do Departamento de Análise do IMEUERJ Mauricio A Vilches pelo estímulo para que estas notas fossem organizadas na forma do presente livro bem como por sua valiosa contribuição na elaboração das figuras e gráficos que aparecem ao longo do texto Patrícia Nunes da Silva Universidade de Rio de Janeiro Rio de Janeiro2005 ii Conteúdo 1 Introdução 1 11 Definições 1 12 Problemas de Valor Inicial PVI 7 13 Campos de Direções 9 14 Teorema de Picard 11 2 Modelos 13 21 Molas 13 22 Lei de Resfriamento de Newton 14 23 Crescimento e Decrescimento Exponencial 14 231 Crescimento Exponencial 14 232 Decrescimento Exponencial 15 24 Crescimento Logístico 16 25 Problemas de Mistura 17 26 Epidemias 18 27 Lei de Torricelli 19 28 Circuitos 19 29 Reações Químicas 21 291 Reações Irreversíveis Mononucleares 21 292 Reação Bimolecular Irreversível 22 210 Exercícios 23 3 Edos de Primeira Ordem 25 31 Introdução 25 32 Edos de Variáveis Separáveis 26 321 Obtenção de Soluções não Constantes 26 33 Edos de Primeira Ordem Linear 29 331 Obtenção de Soluções 30 34 Equação de Bernoulli 31 341 Obtenção de Soluções 32 35 Equação de Riccati 33 iii iv CONTEÚDO 351 Determinação de Soluções 34 352 Método Alternativo de Resolução da edo de Riccati 34 36 Edos Exatas 36 361 Fator Integrante 40 362 Determinação do Fator Integrante 41 37 Edos Homogêneas 42 38 Edos Redutíveis 45 381 Redutíveis a Homogêneas 46 382 Redutíveis a Variáveis Seraravéis 47 39 Equação de Clairaut 49 391 Determinação de Solução 49 310 Equação de Lagrange 51 3101 Determinação de Solução 51 311 Exercícios 54 4 Aplicações 61 41 Molas 61 42 Crescimento Exponencial 62 421 Decaimento Radioativo 62 43 Crescimento Logístico 63 44 Circuitos 64 45 Reações Químicas 65 451 Reações Irreversíveis Mononucleares 65 452 Reação Bimolecular Irreversível 66 46 Famílias de Curvas Planas 66 461 Envoltórias 68 462 Trajetórias 69 463 Trajetórias Ortogonais 70 47 Exercícios 73 5 Edos de Segunda Ordem 77 51 Edos de Segunda Ordem Redutíveis 77 52 Aplicações 81 521 Curva de Perseguição 81 522 Catenária 83 53 Equações Lineares de Segunda Ordem 86 531 Álgebra Linear I 87 532 Redução de Ordem 92 533 Álgebra Linear II 94 54 Edos com Coeficientes Constantes 96 541 Álgebra Linera III 98 CONTEÚDO v 55 Equação de EulerCauchy Homogênea 101 56 Edos não Homogêneas 104 561 Método de Variação de Parâmetros 104 57 Método dos Coeficientes Indeterminados 109 571 Determinação dos Coeficientes 113 58 Exercícios 117 59 Aplicações 120 591 Sistema massamola 120 592 Oscilações livres nãoamortecidas 120 593 Oscilações livres amortecidas 121 594 Oscilações Forçadas nãoamortecidas 123 595 Oscilações Forçadas amortecidas 125 6 Edos de Ordem Superior 129 61 Edos Lineares de Ordem n 130 611 Equações Lineares Homogêneas 131 612 Redução de Ordem 134 613 Edos Homogêneas com Coeficientes Constantes 136 614 Estudo Detalhado das Raízes 138 62 Equação de EulerCauchy Homogêneas 146 63 Método de Variação dos Parâmetros 149 64 Método dos Coeficientes Indeterminados 152 65 Exercícios 157 7 Exercícios Resolvidos 161 71 Aplicações à Biologia 161 72 Aplicações à Física 168 8 Transformada de Laplace 201 81 Funções de ordem exponencial 203 82 Transformada Inversa de Laplace 206 83 Resolução de PVI 212 84 Função Degrau Unitário 215 85 Funções Periódicas 220 86 Convolução 222 87 Função de Impulso 224 871 Princípio de Duhamel 226 88 Exercícios 231 vi CONTEÚDO 9 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 239 91 Sistemas Lineares coeficientes constantes 242 92 Método de Eliminação 247 93 Exercícios 250 10 Respostas 251 Bibliografia 269 Capítulo 1 Introdução 11 Definições Denotaremos por I ℝ um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos e y I ℝ uma função que possua todas as suas derivadas a menos que seja indicado o contrário Denotaremos por ynx dnydxnx y0x yx Definição 1 Uma equação diferencial ordinária edo é uma equação que envolve uma função incógnita sua variável independente e derivadas da função incógnita e que pode ser escrita na forma F x yx yx yx y3x yn1x ynx 0 n 1 11 As equações diferenciais ordinárias podem ser classificadas pela ordem e pela linearidade Definição 2 A ordem de uma equação diferencial ordinária é a ordem da mais alta derivada presente na equação Exemplo 1 1 A edo d²ydt² seny 0 é de ordem 2 2 A edo y³ y x y e é de ordem 1 Observação 1 A equação 11 é uma equação diferencial ordinária de ordem n Note que F é uma função de n 2 variáveis Vamos supor que todas as equações diferenciais de ordem n podem ser escritas da seguinte forma ynx f x yx yx yx y3x ynx 12 onde f Ω ℝ é uma função real definida em um conjunto aberto Ω ℝn1 Isto é garantido por um teorema clássico chamado Teorema da Função Implícita que com hipóteses razoáveis as quais são adotadas nests notas implica que localmente as edos 11 e 12 são equivalentes Exemplo 2 Sejam F x y z w m w k y τ z hx 0 e f x y z 1m k y τ z hx A edo de ordem 2 my τ y k y hx pode ser escrita na forma 11 F x y y y 0 e na forma 12 y f x y y Esta edo descreve o oscilador harmônico amortecido submetido a uma força hx Definição 3 Uma equação diferencial ordinária de ordem n é linear se é do tipo ni0 pix yi qx 13 onde pi pix e q qx são funções tais que pnx 0 Caso contrário é dita nãolinear Se a função qx 0 para todo x I a edo é dita linear homogênea Caso contrário é dita nãohomogênea 11 DEFINIÇÕES Exemplo 3 Uma edo linear de primeira ordem é do tipo y px y qx onde p px e q qx são funções reais Exemplo 4 A seguinte edo de primeira ordem modela a evolução de certas espécies de populações dy dt α y γ y2 0 Exemplo 5 Uma edo linear de segunda ordem é do tipo y px y qx y rx onde p px q qx e r rx são funções reais Exemplo 6 No estudo do pêndulo simples a equação que descreve o movimento do pêndulo é d2y dt2 g l seny 0 onde l é comprimento do pêndulo e g a constante gravitacional Esta edo é nãolinear mas para pequenas oscilações seny y então d2y dt2 g l y 0 que é uma edo linear de segunda ordem e descreve o movimento de um pêndulo para pequenas oscilações Este processo de aproximação é chamado linearização da edo Definição 4 Uma função φ J R de classe CnJ chamase solução da edo de ordem n 12 no intervalo J se 1 Para todo x J o vetor x φx φx φx φ3x φn1x pertence ao domínio da função f 2 Para todo x J a função φx satisfaz identicamente a edo 12 Isto é φnx fx φx φx φx φ3x φn1x Exemplo 7 As funções wt seng l t e zt cosg l t são soluções da edo d2y dt2 g l y 0 Na verdade se para cada c1 c2 R2 consideramos φt c1 seng l t c2 cosg l t temos d2φ dt2 g l c1 seng l t c2 cosg l t g l φ Logo d2φ dt2 g l φ 0 Isto é φt também é solução da edo 14 Definição 5 Uma solução geral da equação diferencial ordinária 12 em I é uma função Φ Φx c1 cn nvezes derivável definida em I e que depende de n constantes arbitrárias ci Além disso para cada c1 cn Rn Φ é solução da edo 12 6 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Note que y0x 1 também é solução da edo e que não existe escolha de c que permita obter y0 a partir da solução geral 1 Figura 12 Gráficos de y e de y0 vermelho Definição 7 Uma solução singular em I da equação diferencial ordinária 12 é uma solu ção que não se deduz da solução geral da edo Observação 2 O gráfico de uma solução de uma edo é chamado curva integral Como a solução Φ de uma edo deve ser obrigatoriamente derivável logo ela deve ser contínua então pode haver diferenças entre a curva integral de uma edo e o gráfico da função Φ Exemplo 11 A função Φx 1 x 2 x 2 x2 é uma solução particular da edo x2 y x2 y2 x y 1 0 logo como solução deve estar definida em um intervalo que não contém 0 2 ou 2 No desenho a seguir temos a solução da edo no intervalo 3 10 Gráficos de Φ e da solução respectivamente 4 2 2 4 3 6 8 10 05 05 Um sistema formado por 1 uma edo de ordem n e 2 n condições complementares que determinam em um mesmo valor da variável independente o valor da função incógnita e de suas derivadas é chamado de problema de valor inicial PVI As condições complementares são ditas condições iniciais Um problema de valor inicial para edo de ordem n é do tipo ynx f x yx yx yx y3x yn1x yx0 y0 yx0 y1 yx0 y2 yn1x0 yn1 Uma solução do problema de valor inicial é uma função que satisfaz tanto a edo como as condições complementares Se lançamos um objeto verticalmente ignorando o efeito da resistência do ar a única força que age sobre o objeto é a gravitacional Se a aceleração do objeto é a e m é sua massa da segunda lei de Newton segue que ma mg Denotando por v a velocidade do objeto a igualdade anterior pode ser escrita dv dt g Usando o exemplo 8 obtemos que a solução geral da edo é vt gt c Na solução geral da edo a constante que aparece como consequência da integração pode ser interpretada da seguinte forma se t 0 temos v0 c assim a constante pode ser considerada como a velocidade inicial do objeto 13 CAMPOS DE DIREÇÕES 9 13 Campos de Direções Do ponto de vista geométrico as curvas integrais soluções de uma edo do tipo y fx y são tais que em cada ponto x y a reta tangente à curva integral passando pelo ponto tem coeficiente angular m fx y Isto sugere um método geométrico para entender aproximadamente como deveriam ser as curvas integrais da edo Para isto traçamos um pequeno segmento de reta em cada ponto x y com coeficente angular fx y o conjunto destes segmentos é chamado campo de direções da edo Exemplo 16 Considere a edo y y Calculando alguns coeficientes angulares xy fxyy x 0 0 x 1 1 x 1 1 x y y 1 05 05 1 15 2 2 15 1 05 05 1 15 2 Figura 13 Campo de direções e algumas curvas integrais Exemplo 17 Considere a edo y x y Calculando alguns coeficientes angulares xy fxy x x 0 x x 1 1 x x 1 1 x x k k x x k k 10 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 4 2 2 4 4 2 2 4 Figura 14 Campo de direções e algumas curvas integrais Dado uma edo temos duas questões fundamentais para responder 1 Ela tem solução E se tem ela é única 2 Como obter esta solução O próximo teorema responde à primeira questão para as edos de primeira ordem Teorema 1 Picard Sejam f a b c d R e x0 y0 a b c d então i Se f é contínua então o PVI y fx y yx0 y0 tem uma solução no intervalo I0 x0 h x0 h a b h 0 ii Se f y for contínua em a b c d então a solução do PVI é única CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Capítulo 2 Modelos O termo modelo é utilizado frequentemente como sinônimo de edo quando referida a aplicações A seguir apresentaremos alguns modelos 21 Molas Considere uma mola de massa desprezível presa verticalmente por uma extremidade Suponha que na outra extremidade há um corpo de massa m com velocidade v0 Determine a edo que descreve o comportamento da velocidade v em função da deformação x da mola A Lei de Hooke nos diz que a mola exerce sobre o corpo uma força que é proporcional à deformação da mola Como a força exercida pela mola se opõe à deformação a força resultante no corpo é igual ao peso do corpo menos a força exercida pela mola Sabemos que a força resultante também é igual a F ma e a e a dv dt logo m dv dt mg kx Isto é m dv dx m dv dx dt m dv dt mg kx Ou seja dv dx 1 v g kxm 21 é o modelo que descreve o comportamento da velocidade v em função da deformação x da mola 14 CAPÍTULO 2 MODELOS 22 Lei de Resfriamento de Newton O problema da condução do calor tem um modelo simples mas real que trata da troca de calor de um corpo com o meio ambiente com as seguintes hipóte ses 1 A temperatura T Tt depende apenas do tempo t 2 A temperatura do meio A é constante 3 A lei de resfriamento de Newton a taxa de variação temporal da tem peratura T Tt de um corpo é proporcional à diferença entre T e a temperatura A constante do ambiente em volta Isto é dT dt k T A k 0 Se T A então dT dt 0 de modo que a temperatura T Tt é decrescente Logo se a temperatura do corpo é maior que a do ambiente o corpo está res friando Se T A então dT dt 0 de modo que a temperatura T Tt é crescente Logo se a temperatura do corpo é menor que a do ambiente o corpo está es quentando Se T A então dT dt 0 de modo que a temperatura T é constante 23 Crescimento e Decrescimento Exponencial 231 Crescimento Exponencial Suponha que 1 N Nt é o número de indivíduos de uma população colônia etc 2 a população tem taxas de natalidade e de mortalidade constantes β e δ respectivamente em nascimentos ou mortes por indivíduo por unidade de tempo Então durante um pequeno intervalo de tempo t ocorrem aproximadamente β Nt t nascimentos e δ Nt t mortes de modo que a variação em Nt é dada por N β δ Nt t e assim 23 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO EXPONENCIAL 15 dN dt lim t0 N t k N com k β δ A equação acima nos diz que a variação da população N é proporcional ao valor atual de N Essa é uma das hipóteses mais simples sobre variação populacional A constante k é chamada de constante de crescimento se for positiva ou declínio se for negativa Esta equação é chamada de equação de crescimento exponencial Figura 21 Campo de direções da edo para k 0 Se N0 N0 é a população inicial então a solução do PVI dN dt k N N0 N0 22 descreve o comportamento desta população em função do tempo 232 Decrescimento Exponencial Considere uma amostra de material que contém Nt átomos de um certo isó topo radioativo no instante t Foi experimentalmente observado que uma fra ção constante destes átomos radioativos decairá espontaneamente em átomos de outro elemento ou em outro isótopo durante cada unidade de tempo Con seqüentemente a amostra se comporta como uma população com uma taxa de mortalidade constante mas sem ocorrência de nascimentos Logo obtemos dN dt k N k 0 16 CAPÍTULO 2 MODELOS Figura 22 Campo de direções da edo para k 0 Onde k depende do isótopo radioativo em questão Se N0 N0 é a quanti dade inicial do isótopo então a solução do PVI dN dt k N N0 N0 descreve a quantidades de átomos do isótopo radioativo em função do tempo A constante de decaimento de um isótopo radioativo é frequentemente especi ficada em termos de uma outra constante empírica a meiavida do isótopo A meiavida τ de um isótopo radioativo é o tempo necessário para que metade dele decaia Datação por carbono radioativo A datação por carbono radioativo é uma ferramenta importante para pesquisa arqueológica Ela se baseia no fato de que o isótopo radiativo C14 do Carbono é acumulado durante toda a vida dos seres orgânicos e começa a decair com a morte Como a meia vida do C14 é aproximadamente 5730 anos quantidades mensuráveis de C14 ainda estão presentes muitos anos após a morte Observação 4 A rigor ambos os modelos são exatamente iguais a diferença está na interpretação da constante k 24 Crescimento Logístico O modelo de crescimento exponencial não é adequado para o estudo de popu lações a longo prazo pois o crescimento de uma população é eventualmente limitado por diversos fatores como por exemplo os ambientais Uma popula ção não pode cerscer sempre por isto foi proposto o seguinte modelo 25 PROBLEMAS DE MISTURA dp dt hpp Nele queremos escolher hp de modo que hp k quando a população p for pequena e que hp decresça quando a população p for suficientemente grande Uma função simples com esta propriedade é hp k ap a 0 Substituindo na equação temos dp dt hpp k app Esta equação é conhecida como equação logística É conveniente reescrevêla pondo k em evidência e introduzindo uma nova constante da seguinte forma dp dt k 1 p R p R k a 23 A constante k é chamada de taxa de crescimento intrínseco isto é a taxa de crescimento na ausência de qualquer fator limitador e R é a capacidade ambiental de sustentação da espécie Consideremos um tanque que contém uma mistura de soluto e solvente Neste tanque há tanto um fluxo de entrada como um de saída e queremos calcular a quantidade xt de soluto no tanque no instante t Vamos supor que no instante t 0 a quantidade de soluto é x0 x0 Suponha que a solução entre no tanque a uma taxa de ri litros por segundo e que sua concentração seja de ci gramas por litro Suponha também que a solução do tanque seja mantida uniformemente misturada e que ela escoa a uma taxa constante de rs litros por segundo Para deduzir uma equação diferencial para xt estimamos a variação Δx em x por um curto período de tempo t t Δt Temos 18 CAPÍTULO 2 MODELOS x gramas de soluto que entram gramas de soluto que saem concentração da solução que entra litros que entram t concentração do tanquelitros que saem t ci ri t quantidade soluto no tanque Volume do tanque rs t x ci ri t xt V t rs t x t ci ri xt V t rs o volume do tanque é dado por V t volume inicial litros que entram litros que saem V0 ri rs t Portanto dx dt ci ri rs V0 ri rst x é o modelo que descreve a quantidade de soluto no tanque em função do tempo 26 Epidemias Suponha que uma determinada população pode ser dividida em duas partes a dos que têm a doença e podem infectar outros e a dos que não a tem mas são suscetíveis a ela Seja x a proporção dos indivíduos suscetíveis e y a proporção de indivíduos infectados então x y 1 Suponha qua i a doença se espalhe pelo contato entre indivíduos doentes e sãos e que a taxa de disseminação é proporcional aos contatos ii os elementos dos dois grupos se movem livre mente entre si de modo que o número de contatos é proporcional ao produto de x e y Denotemos por y0 é número inicial de infectados Logo o PVI dy dt αy x α y 1 y α 0 y0 y0 é o modelo que descreve a variação do número de indivíduos infectados em função do tempo A Lei de Torricelli nos dá uma expressão para a taxa de variação do volume do tanque em relação ao tempo Suponha que um tanque tenha um orifício de área a em seu fundo Considera ht como a profundidade de água no tanque no instante t E se olharmos para uma gota de água na superfície da água e considerarmos que ela está caindo em queda livre até o fundo do tanque sua velocidade v é dada por v 2gh logo dvdt a v a 2gh Em um intervalo t suficientemente pequeno o volume de água que passa pelo orifício entre os instantes t e t t é aproximadamente igual ao volume do cilindro de base a e altura vtt Portanto a variação no volume neste intervalo de tempo é dada por V vtt a e dvdt a v Isto é a Lei de Torricelli nos diz que a taxa de variação do volume é proporcional à velocidade com que a água sai pelo buraco e que a constante de proporcionalidade é igual à área do orifício Também podemos expressar o volume como função da profundidade da seguinte maneira seja Ah a seção horizontal do tanque na altura h temos V 0 to h Ah dh e dvdh Ah dhdt dvdt a 2gh Portanto Ah dhdt a 2gh é uma outra expressão para lei de Torricelli 20 CAPÍTULO 2 MODELOS Sabemos que 1 A intensidade da corrente elétrica I é a taxa de variação da carga elé trica Q em relação ao tempo que passa por uma seção tranversal de um condutor isto é It dQ dt 2 A capacitância C de um capacitor a uma carga elétrica Q com uma dife rença de potencial V entre as placas é Ct Qt V t 3 A lei de Ohm a diferença de potencial V nos terminais de um resistor de resistência R submetido a uma intensidade de corrente I é dada por V t R It Circuiros RC são circuitos que possuem um resistor com resitência R um capacitor de capacitância C uma fonte com voltagem E constante E C R Figura 23 Circuito RC O modelo que rege este fenômeno é a edo de primeira ordem R dI dt I C 0 Circuiros RL são circuitos que possuem um resistor com resitência R um in dutor de indutância L uma fonte com voltagem E constante 29 REAÇÕES QUÍMICAS 21 E R L Figura 24 Circuito RL O modelo que rege este fenômeno é a edo de primeira ordem L dI dt R I E Circuiros RLC são circuitos mais complexos redes formados por um resistor com resitência R um capacitor de capacitância C carregando uma diferença de potencial VC e uma fonte cuja diferença de potencial é Et E R L C VC Figura 25 Circuito RLC O modelo que rege este fenômeno é a edo de segunda ordem L d2I dt2 R dI dt I C 0 29 Reações Químicas 291 Reações Irreversíveis Mononucleares A lei de ação de massa estabelece que a velocidade de uma reação química é proporcional às concentrações das substâncias que reagem 22 CAPÍTULO 2 MODELOS Consideremos inicialmente a inversão da sacarose A reação é C12 H22 O11 H2 O C6 H12 O6 C6 H12 O6 São formadas duas moléculas uma de glicose e outra de frutose Como neste caso a concentração da àgua pode ser suposta constante durante a reação já que sua variação é desprezível nas condições em que o problema se realiza chamamos A esta concentração a a da sacarose antes de iniciar a reação e x a da sacarose decomposta ao fim do tempo t A velocidade com que se verifica a inversão será dada pela derivada da quantidade decomposta em relação ao tempo como esta derivada deve ser proporcional às concentrações A da àgua e a x da sacarose que ainda não reagiu temos dx dt k1 A a x 24 292 Reação Bimolecular Irreversível Consideremos a reação C2 H2 O2 2 C O H2 Chamando a e b as concentrações iniciais de acetileno e oxigênio e x a quanti dade de cada reagente expressa tal como as concentrações iniciais em molé culasgrama por unidade de volume a velocidade da reação é dx dt k a x b x 25 210 EXERCÍCIOS 23 210 Exercícios 1 A taxa de crescimento da população de uma certa cidade é proporcional ao número de habitantes Determine o modelo que descreve o compor tamento da população em função do tempo 2 Um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à quan tidade de matéria no instante t Determine o modelo associado a este processo Supondo que a quantidade de inicial de matéria seja Q0 deter mine o PVI que descreve variação da quantidade de átomos ainda não desintegrados em função do tempo Este PVI tem solução Ela é única 3 Esboce o campo de direções da edo y x2 y e tente determinar grafi camente algumas de suas curvas integrais xy fxy x x2 0 x x2 1 1 x x2 1 1 x x2 k k x x2 k k CAPÍTULO 2 MODELOS Capítulo 3 Edos de Primeira Ordem 31 Introdução Neste capítulo estamos interessados em obter e analisar as soluções das edos de primeira ordem Isto é edos que podem ser escritas na forma Fy y x 0 ou y fx y Estudaremos vários métodos elementares de resolução de vários tipos especiais de edos de primeira ordem Veremos a maioria dos métodos reduz o problema de obtenção de solução ao cálculo de primitivas Sejam I ℝ e uma função H I ℝ Lembremos que uma primitiva de H em I é uma função G I ℝ tal que Gx Hx para todo x I Sendo G uma primitiva de F sabemos que para toda constante c Gx c também é uma primitiva de H A família das primitivas de H é denominada de integral indefinida de G e denotada por Hx dx Gx c Ou seja dGxdx dx Hx dx Gx c Isto é Φx Gx c é solução geral da edo dΦdx H 26 CAPÍTULO 3 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM 32 Edos de Variáveis Separáveis Exemplo 18 Considere a seguinte edo dP dt α V P 32 onde α e V são constantes Reescrevendo a equação 32 obtemos d dt ln Pt 1 P dP dt α V Integrando com respeito a t e usando 31 vemos que a solução geral da edo 32 é dada por Pt c e α V t Vamos tentar generalizar o procedimento acima O quê havia de especial nesta edo que nos permitiu determinarmos P Definição 9 Uma edo de primeira ordem é do tipo separável se é da forma dy dx fx gy 33 Observação 5 Se a é tal que ga 0 a função yx a é solução da edo 33 321 Obtenção de Soluções não Constantes Discutiremos a resolução da edo 33 supondo que f e g estão definidas em in tervalos abertos I e J respectivamente e que f é contínua em I e g é contínua em J Resolução 1 Reescrevemos a equação separando as variáveis 1 gy dy dx fx 2 Consideremos uma primitiva Hx de 1 gx e uma primitiva Gx de fx Isto é dH dx x 1 gx e dG dx x fx 32 EDOS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS 3 Usamos 31 em d dx Hgyx dx 1 gy dy dx fx dx para obter a solução geral da edo 33 na forma implícita Hgyx Gx c Exemplo 19 dy dx 2 x y 1 Inicialmente vamos procurar soluções constantes Observemos que y 1 é raiz de gy y 1 0 Logo yx 1 é solução da edo Para determinarmos as soluções nãoconstantes separamos as variáveis e integramos 1 y 1 dy dx 2 x e obtemos a solução geral da edo na forma implícita 2 yx 1 x² c ou yx 1 4 x² c² 1 Observe que no caso da edo deste exemplo a solução constante yx 1 não pode ser deduzida da solução geral Logo yx 1 é uma solução singular da edo Observação 6 Através de uma mudança na variável de integração obtemos 1 gy dy dx 1 gy dy 28 CAPÍTULO 3 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM 2 Integramos os dois lados com respeito à variável independente 1 gy dy dx fx dx 3 Usamos a Observação 6 1 gy dy 1 gy dy dx fx dx E a solução é 1 gy dy fx dx 34 Exemplo 20 Considere a seguinte edo dy dx y x Resolução 1 y dy dx 1 x 1 y dy 1 x dx ln y ln x ln c então yx c x é a solução geral da edo Exemplo 21 y 1 xy 1 yx Resolução 1 y dy dx 1 x x 1 y y dy 1 x x dx ln y y ln x x c então ln xy x y c é a solução geral da edo 33 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM LINEAR 33 Edos de Primeira Ordem Linear Definição 10 Uma edo de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma dy dx pxy qx Se a função qx 0 dizemos que é uma edo de primeira ordem linear homogênea caso contrário linear nãohomogênea Definição 11 Um fator integrante para uma edo é uma função μx y tal que a multiplicação da equação por μx y fornece uma equação em que cada lado pode ser identificado como uma derivada com respeito a x Com a ajuda de um fator integrante apropriado há uma técnica padrão para resolver as chamadas edos de primeira ordem lineares Exemplo 22 dy dx y 2 2 x 35 Vamos procurar um fator integrante que seja função somente de x μx dy dx 1 2 μxy 2 xμx Gostaríamos que o lado esquerdo fosse a derivada do produto μxy Ou seja que ele fosse igual a d dx μxy μx dy dx dμx dx y Comparando termo a termo o fator integrante caso exista deve satisfazer dμx dx 1 2 μx Resolvendo a equação de variáveis separáveis acima temos 1 μ dμ 1 2 dx Logo ln μ x 2 c isto é μx C e x 2 Fazendo C 1 temos μx e x 2 e obtemos d dx e x 2 y e x 2 dy dx 1 2 e x 2 y 2 xe x 2 e integrando com respeito a x temos e2x y int fracddx lefte2x yright dx int x2e2xdx int xe2xdx int 2e2xdx x 2 e2x int 2 e2x dx 4 e2x c x 2 e2x 4 e2x c x 2 e2x c onde usamos integração por partes no primeiro termo Logo yx 2x c e2x é solução geral da edo 35 e um fator integrante para a edo 36 Multiplicando a equação 36 por mux obtemos fracddx leftefxdx yright efxdx fracdydx fracddx leftefxdxrighty efxdx leftfracdydx pxyright qxefxdx efxdx y int qxefxdx c efxdx y e int fxdx leftint qxefxdx cright é solução geral da edo 36 Façamos mudança de variável v y2 As derivadas de v e y satisfazem fracdvdx 2yfracdydx reescrevendo a edo dividindo por x2 temos 2y fracdydx 3 fracy2x2 4x fazendo a mudança de variável obtemos fracdvdx 3 fracvx 4x Isto é obtemos uma edo linear Resolviendo esta equação obtemos que uma solução geral da edo 39 é dada por vx x3 int 4x3dx 4x2 cx3 Voltando à variável original y Como v y2 temos y2x 4x2 cx3 é solução geral da edo 38 35 EQUAÇÃO DE RICCATI 33 35 Equação de Riccati Definição 13 Equações de Riccati são edos de primeira ordem que podem ser escritas na forma dy dx qx y2 px y rx 311 Observe que quando qx 0 temos uma equação linear e quando rx 0 temos uma equação de Bernoulli com n 2 Observação 7 Liouville matemático francês mostrou que uma solução geral da equação de Riccati nos caso em que ela não é linear nem do tipo Bernoulli só pode ser explicitamente obtida se já conhecermos uma solução Vamos deduzir um método de resolução para o caso em que conhecemos uma solução de 311 que denotaremos por y1 Vejamos um exemplo Exemplo 24 Sabendo que y1x x é uma solução resolver a edo de Riccati dy dx y2 x2 y x 3 312 Consideremos a mudança de variável z y y1 y x Derivando obtemos dz dx dy dx dy1 dx dy dx 1 Usando a equação 312 como y1x x é uma solução temos dz dx dy dx 1 y2 x2 y x 3 1 fazendo a substituição y y1 z x z temos dz dx x z2 x2 x z x 3 1 2 x z x2 z2 x2 z x Ou seja obtivemos uma equação de Bernoulli dz dx 3 x z 1 x2 z2 313 Resolvendo e equação de Bernoulli 313 obtemos que zx 4 x 4 c x4 1 é solução geral da edo 313 Como y y1 z x z temos yx x zx 4 c x5 3 x 4 c x4 1 351 Determinação de Soluções Vamos tratar o caso geral Seja y1 uma solução particular da equação de Riccati dydx qx y² px y rx Neste caso a mudança de variável z y y1 transforma a equação de Riccati na variável y em uma equação de Bernoulli com n 2 na variável z De fato temos dzdx dydx dy1dx Logo dzdx dydx dy1dx q y² p y r dy1dx q y1 z² p y1 z r dy1dx 2 q y1 z q z² p z q y1² p y1 r dy1dx como y1 é uma solução a expressão entre parênteses é igual a zero ou seja obtemos uma edo de Bernoulli com n 2 para a variável z dzdx 2 qx y1x px z qx z² 352 Método Alternativo de Resolução da edo de Riccati Seja y1 uma solução particular da equação de Riccati dydx qx y² px y rx Vimos que a mudança de variável zx v12x v1x transforma a equação de Riccati na variável y em uma equação linear na variável v Combinando as duas mudanças de variável acima vemos que a seguinte mudança de variável yx y1x 1vx transforma a equação de Riccati na variável y em uma equação linear na variável v De fato temos dydx dy1dx 1v² dvdx Logo dydx 1v² dvdx q y² p y r dydx dvdxv² q y1 1v² p y1 1v r então obtemos a edo linear dvdx px 2 y1x qx vx qx Exemplo 25 Ache a solução geral da seguinte edo de Riccati y 1 x² 2 x y y² 0 se y1x x é uma solução Reescrevendo a edo y y² 2 x y x² 1 logo qx 1 e px 2 x então v 2 x 2 x v 1 v 1 de onde v x c A solução geral da edo de Riccati é yx y1x 1vx isto é yx x² c x 1x c Exemplo 26 Ache a solução geral da seguinte edo de Riccati y y yx 1x² 0 x 0 se y1x 1x é uma solução Reescrevendo a edo y y² yx 1x² logo qx 1 e px 1x então v 1x 21x v 1 v 1x v 1 de onde v c x²2 x A solução geral da edo de Riccati é yx y1x 1vx isto é yx 1x 2xc x² Logo fracddx psix yx fracpartial psipartial x cdot fracdydx fracpartial psipartial y cdot fracdydx 2x y2 2xy fracdydx 0 Observação 9 Note que esta condição nada mais é do que exigir a igualdade das derivadas mistas de psi Teorema de Schwarz Logo obtemos fracpartialpartial x left Nx y fracpartialpartial y int Mx y dx right 0 CAPÍTULO 3 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM Uma solução da edo acima é gy 1 y logo ψx y x2 y3 1 y c é uma solução geral da edo exata 317 361 Fator Integrante Exemplo 29 Considera a seguinte edo 3xy y3 x2 xy dy dx 0 318 Como y 3xy y3 3x 2y e x x2 xy 2x y então a edo não é exata Vamos tentar encontrar um fator integrante μx tal que μx3xy y3 μxx2 xy dy dx 0 seja exata A condição necessária e suficiente dada pelo Teorema 2 para que uma edo seja exata se y μx 3xy y3 x μxx2 xy Derivando obtemos y μx3xy y3 μx y 3xy y3 x μxx2 xy x x2 xy logo μx3x 2y dμ dx x2 xy μx2x y Isto é um fator integrante dependendo somente de x se existir deve satisfazer dμ dx x y x2 xy μ x y xx y μ 1 x μ 362 Determinação do Fator Integrante Suponha que a edo Mx y Nx y dy dx 0 não é exata Queremos determinar um fator integrante μx y que a torne exata Isto é procuramos μ μx y tal que a edo μx y Mx y μx y Nx y dy dx 0 seja exata Supondo que estamos nas condições do Teorema 2 devemos ter y μx y Mx y x μx y Nx y Derivando a expressão acima M μ y N μ x μ N x M y 37 Edos Homogêneas Definição 15 Uma função f A R2 R é homogênea de grau n se para todo λ R fλx λy λn fx y x y A Exemplo 30 Considera a edo x2 y2 2xy dy dx 0 324 Verifique que 1 x2 é fator integrante e que x y2 x c é a solução geral da edo Exemplo 31 fx y x4 x3y é homogênea de grau 4 Exemplo 32 fx y 3 x3 y3 é homogênea de grau 1 Exemplo 33 fx y x2 senx cosy não é homogênea Uma equação diferencial da forma 320 é denominada homogênea quando M x y e N x y são funções homogêneas do mesmo grau Derivando esta relação temos dy dx dv dx x v Logo dv dx x v dy dx M 1 y x N 1 y x M 1 v N 1 v A solução geral desta edo de variáveis separáveis é 1 3 v 2 x 3 c Voltando às variáveis originais 1 3 y x 2 x 3 1 3 v 2 x 3 c 381 Redutíveis a Homogêneas Se as retas são concorrentes então det a1 a2 b1 b2 0 Denotemos por α β a solução do sistema linear a1x b1y c1 0 a2x b2y c2 0 e consideremos a mudança de variável x u α y v β 328 Podemos reescrever a edo 327 na forma dv dx dy dx F a1x b1y c1 ax2 b2y c2 F a1u α b1v β c1 a2u α b2v β c2 F a1u b1v a2u b2v pois α β é solução do sistema linear Isto é obtemos a seguinte edo homogênea dv dx F a1u b1v a2u b2v Observação 12 A mudança de variável 328 corresponde a considerarmos um novo eixo de coordenadas w cuja origem se localiza no ponto de coordenadas x y α β Nas novas variáveis u e v o lado direito de 327 será uma função homogênea de grau zero Exemplo 37 Seja a edo dy dx 2x 3y 1 3x y 2 329 Consideremos o sistema linear 2x 3y 1 0 3x y 2 0 Temos det 2 3 1 2 9 11 0 e a solução do sistema é dada por 7 11 1 11 Fazendo a mudança de variável x u 7 11 e y v 1 11 temos dv du dy dx 2x 3y 1 3x y 2 2 u 7 11 3d v 1 11 1 2u 3v 3u v Isto é dv du 2u 3v 3u v A solução geral da edo homogênea acima é u2 2 6v u v2 x2 c desfazendo a mudança de variável x u 7 11 e y v 1 11 obtemos 2 11x 7 2 6 11y 1 11x 7 11y 1 2 c é solução geral da edo 329 Isto é a2 m a1 e que b2 m b1 Logo podemos reescrever a equação na forma dy dx F a1x b1y c1 ax2 b2y c2 F a1x b1y c1 ma1x b1y c2 Considerando a mudança de variável vx a1 x b1 y logo dv dx a1 b1 dy dx e obtemos uma edo de variáveis separáveis para v dv dx a1 b1 dy dx a1 b1 F a1x b1y c1 ma1x b1y c2 a1 b1 F a1x b1y c1 ma1x b1y c2 a1 b1 F v c1 mv c2 Exemplo 38 Considere a edo dy dx 2x y 1 6x 3y 1 Logo det 2 1 6 3 0 Fazendo a mudança de variável para a1 2 e b1 1 vx 2x y logo dv dx 2 dy dx 2 2x y 1 6x 3y 1 2 2x y 1 32x y 2 v 1 3v 1 então dv dx 2 dy dx 2 2x y 1 6x 3y 1 2 2x y 1 6v 2 v 1 3v 1 5v 3 3v 1 39 EQUAÇÃO DE CLAIRAUT Logo fracdvdx frac5v 33v 1 A solução geral desta edo é dada por frac3v5 frac425ln5v 3 x c desfacendo a mudança de variável obtemos v 2x y frac32x y5 frac425ln52x y 3 x c é solução geral da edo 330 39 Equação de Clairaut Definição 17 Uma equação é de Clairaut se é da forma y xfracdydx phileftfracdydxright 331 Observação 13 Quando phiz z temos que 331 é de variáveis separáveis Exemplo 39 A edo y xfracdydx leftfracdydxright2 é de Clairaut Aqui temos phiz z2 391 Determinação de Solução Vamos introduzir um parâmetro auxiliar p p fracdydx A edo 331 pode ser reescrita na forma y x p phip 332 Derivando a expressão acima em relação a x obtemos p fracdydx fracddxxp phip p xfracdpdx phipfracdpdx ou x phipfracdpdx 0 Logo x phip 0 ou fracdpdx 0 A solução da segunda destas equações nos diz que px c Usando a equação 332 vemos que a família de retas yx xp phip cx phic é solução geral de 331 Por outro lado as possíveis soluções necessariamente nãoconstantas da edo x phip 0 nos fornecem as seguintes soluções singulares da equação de Clairaut yx xpx phipx Vamos resolver a equação de Clairaut do Exemplo 39 y xfracdydx leftfracdydxright2 333 Fazendo p fracdydx a edo pode ser reescrita na forma y xfracdydx leftfracdydxright2 xp p2 334 Derivamos a expressão acima em relação a x e lembramos que p fracdydx Temos p fracdydx fracddxxp phip p xfracdpdx 2fracdpdx ou x 2pfracdpdx 0 Então x 2p 0 ou fracdpdx 0 Da edo fracdpdx 0 obtemos px c Logo por 334 a família de retas yx cx c2 é solução geral de 333 Resolvendo x 2p 0 determinamos px fracx2 Substituindo px fracx2 em 334 obtemos yx xpx px2 fracx32 fracx24 solução singular da equação de Clairaut 333 310 Equação de Lagrange Definição 18 Uma edo é de Lagrange se é da forma y xpsileftfracdydxright phileftfracdydxright 335 Observação 14 Se psiz z 335 é uma edo de Clairaut Exemplo 40 A edo y xleftfracdydxright2 leftfracdydxright3 é de Lagrange onde psiz z2 e phiz z3 3101 Determinação de Solução Novamente consideramos um parâmetro auxiliar p p fracdydx A edo 335 pode ser reescrita na forma y xpsileftfracdydxright phileftfracdydxright xpsip phip 336 52 CAPÍTULO 3 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM Observe que se p m é raiz de p ψp então 337 é satisfeita e yx x ψm φm é solução da edo de Lagrange 335 Considerando x como função de p e lembrando que dx dp 1 dp dx podemos reescrever 337 na forma ψp p dx dp ψp x φp 0 338 Seja xp a solução geral da edo linear e yp dado por 336 Então xp yp é a solução geral da equação de Lagrange 335 na forma paramétrica Vamos resolver a equação de Lagrange do Exemplo 40 y x dy dx ² dy dx ² 339 Fazendo p dy dx obtemos y x dy dx ² dy dx ² x p² p² 340 Derivando com respeito a x p dy dx p² 2xp 2p dp dx 341 Resolviendo p ψp 0 achamos as raízes p 0 e p 1 Usando 340 encontramos as seguintes soluções de 339 yx 0 e yx x 1 Determinemos agora a solução geral de 339 Considerando x como função de p a partir de 341 obtemos a seguinte edo linear dx dp 2 1 p x 2 1 p cuja solução geral é xp 1 c 1 p² 310 EQUAÇÃO DE LAGRANGE Voltando à equação 340 obtemos a solução geral de 339 na forma paramétrica xp 1 c 1 p² yp cp² 1 p² Eliminando o parâmetro p das equações acimas y x 1 p² c x 1² x 1 Logo yx c x 1² é solução geral de 339 Note que a solução yx x 1 pode ser deduzida da solução geral c 0 por outro lado a solução yx 0 é uma solução singular de 339 54 CAPÍTULO 3 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM 311 Exercícios 1 Determine a solução geral das edos de variáveis separáveis a 2z3z 1dw dz 1 2w 0 b dy dx x ex y ey c du dv 1 u2 1 v2 d 1 yx 1 xdy dx 0 e xyy 2 y 1dy dx 0 f dy dx 1 x y2 xy2 2 Determine a solução geral das edos lineares a ds dt s cos t 1 2 sen 2t b dy dx y 2ex c dρ dθ ρ tg θ 0 d ds dt s t cos t sen t t e y 2xy 2xex2 f xdy dx y 1 xex 3 Determine a solução geral das edos de Bernoulli a nxdy dx 2y xyn1 b 3y2y ay3 x 1 0 c y y cos x y2 cos x1 sen x d dy dx y x y3 e xdy dx y x2y2 0 f y xy x3y3 4 Observando que y1x x é uma solução resolva as seguintes equações de Ricatti a y y2 1 x2 b y 2xy 1 x2 y2 5 Resolva a equação abaixo sabendo que y1x sen x é uma solução dy dx cotg xy2 cossec x y sen x 6 Determine a solução geral das edos Exatas a 23xy2 2x3 32x2y y2dy dx 0 b x3 y3 3xy2dy dx 0 311 EXERCÍCIOS c y 3x² 4y x dy dx 0 d x² x y² dy dx y² x y² 0 e y² x y² 1 x 1 y x² x y² dy dx 0 f y³ x y y 7 Resolva as equações abaixo encontrando um fator integrante a x⁴ y⁴ x³y³ dy dx 0 x 0 b 3x²y 2xy³ x² y² dy dx 0 c y 2xy e2y dy dx 0 d ex e² cotg y 2y cossec y dy dx 0 e y x y³ ln x dy dx 0 x 0 f cos² y sen x sen y cos x dy dx 0 g y² xy 1 dy dx 0 h x² y² xy dy dx 0 CAPÍTULO 3 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM 11 Determine a solução geral das edss a xx 3 dy dx y2x 3 0 b 1 4t² ds dt 21 s² 0 c ax b dy dx y² 0 a 0 d ds dt s cotg t e₀1 cotg t e y 1 2x x² y 1 0 f y 2y x 1 x 1³ g dy dx y cos x 0 h dy dx 2xy xy³ i x dy dx 3y 2nx j ds dt s cotg t 1 t 2 cotg t l ds dt s tg t 2t t² tg t m 1 y sen x 1 cos x dy dx 0 n y n x y ex xⁿ o dy dx y tg x cos x p dx dt 6x 10 sen 2t q 2xy dy dx y² x 0 12 Ache a solução do problema de valor inicial dado na forma explícita e determine o intervalo no qual a solução é definida a dy dx 2x y x²y y0 2 b dy dx 2x 1 2y y2 0 13 Mostre que a e λ foram constantes positivas e b um número real qualquer então toda solução da equação y ay beλx tem a propriedade y 0 quando x Sugestão Considere separadamente os caso a λ e a λ 14 i Mostre que ycx cepxdx é solução geral da equação linear homogénea y pxy 0 ii Mostre que ypx epxdx qxepxdx dx é uma solução particular de y pxy qx 311 EXERCÍCIOS iii Se ycx é qualquer solução geral da equação linear homogénea y pxy 0 e ypx é qualquer solução particular da equação linear y pxy qx então mostre que yx ycx ypx é uma solução geral da equação linear y pxy qx 15 Mostre que uma equação de Riccati com coeficientes constantes y ay² by c 0 tem uma solução da forma y m se e somente se m é uma raiz da equação am² bm c 0 16 Empregue este resultado para encontrar a solução geral de i y y² 3y 2 0 ii y y² 2y 1 0 17 Determine o valor de A para que a solução yx do problema de valor inicial x y 3y 5x² 3 x 0 y2 A seja tal que lim x 0 yx seja finito 18 Determine a solução geral das equações abaixo a 3x² y² 2xy dy dx 0 b x 2y 1 2x 3 dy dx 0 c y xy² y² d y xy 1 y² e 2x² y² 2xy 3y² dy dx 0 f y 2xy y² g dy dx 2x y 1 4x 2y 5 h y y 1 y² i 3e3xy 2xdx e3xdy 0 j y x dy dx² 1 k y 2x dx 1nx 2dy 0 x 0 l y xy x² y² 58 CAPÍTULO 3 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM m x 2y 1 2x 3 dy dx 0 n dy dx 2y 1 2x o x y cos y x y x dy dx y sen y x d y dx y p dy dx y x² y² q x 2y 1 4x 2y 3 dy dx 0 r dy dx x y 3 x y 1 19 Encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e então resolvaa usando esse valor de b ye2xydx bxe2xydy 0 20 Determine a solução geral das equações abaixo a 2 y 3 x dy dx 0 b ds dt cos t s sen t 1 c dy dx 4 y xy d dy dx 1 x y x y 0 e 1 x²y xy a xy² 0 f y x 1y² g dy dx 1 x y ex h dy dx 1 x y e2 a x2y3 x1 y2y 0 mux y frac1xy3 60 CAPÍTULO 3 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM Capítulo 4 fracdNdt kN N0 N0 Exemplo 41 Uma amostra de carvão vegetal encontrada em um sítio arqueológico contém 63 de 14C em relação a uma amostra atual de carvão de igual massa Qual a idade da amostra encontrada Denotemos por N0 a quantidade de carbono que existia no carvão antes do decaimento Como a constante k se relaciona com a meiavida τ pela equação k ln 2 τ ln 2 5700 e sabemos que a solução da equação de decaimento quando N0 N0 é Nt N0 ekt Logo temos 0 63N0 N0 ekt N0 eln 2 5700 ln 2 5700 t ln 0 63 t 5700 ln 0 63 ln 2 3800 anos A solução Nt N0 ekt prevê que a população cresce exponencialmente Observase que tal previsão é adequada para certas populações pelo menos por períodos limitados No entanto é claro que esta situação não pode perdurar Em algum momento as limitações sobre o espaço o suprimento de comida ou outros recursos reduzirão a taxa de crescimento inibindo o crescimento exponencial Para levar em conta este fato vamos substituir a constante k por uma função que dependa da população Teremos o chamado crescimento logístico 43 Crescimento Logístico O modelo é dado por 23 dpdt k 1 p R p R k a É uma equação do tipo Bernoulli com n 2 uma vez que podemos reescrevêla na seguinte forma dpdt kp k R p2 Para resolvêla consideramos a mudança de variável v p12 p1 e obtemos uma edo linear dvdt p2 dpdt 64 CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES Resolvendo a edo obtemos v 1 R c ekt 1 c R ekt R Desfazendo a mudança de variável v p1 pt 1 v R 1 c R ekt Vamos determinar a constante c supondo que no instante t 0 a população seja igual a p0 Temos p0 p0 R 1 c R logo p0 c R p0 R e c R p0 Rp0 Fazendo esta escolha para o valor de c na solução geral após simplificações temos pt R p0 p0 R p0 ekt Vamos analisar o comportamento desta solução Vemos que quando t tende a pt tende à população limite R Este valor é chamado de nível de saturação ou capacidade ambiental sustentável Não temos mais o crescimento exponen cial Se a população inicial é inferior a R ela cresce sem nunca superar o valor R Se a população inicial é superior a R ela decresce e tende a R Figura 41 Gráfico da p pt 44 Circuitos A edo que descreve os circuitos RC é 45 REAÇÕES QUÍMICAS R dIdt It C 0 onde C é a capacitância e R a resistência Esta edo é de variáveis separáveis logo sua solução é It C expt RC A edo que descreve os circuitos RL é L dIdt RIt E onde R é a resistência L a indutância e E a voltagem Esta edo é linear logo sua solução é It E L R C expRt L 45 Reações Químicas 451 Reações Irreversíveis Mononucleares Consideremos a edo 24 dxdt k a x onde k k1 A Contando o tempo a partir do momento em que se inicia a reação para t 0 devemos ter x 0 logo temos o seguinte PVI dxdt k a x x0 0 A edo é de variáveis separáveis dx a x lnc kt lna x c kt ekt a x c 452 Reação Bimolecular Irreversível Consideremos a edo 25 dxdt k a x b x Contando o tempo a partir do momento em que se inicia a reação para t 0 devemos ter x 0 logo temos o seguinte PVI dxdt k a x b x x0 0 A edo é de variáveis separáveis dx a x b x lnc kt 1 a b lnc x a x b kt Utilizando a condição inicial obtemos que c b a então 1 a b lnb a x a x b kt 46 FAMÍLIAS DE CURVAS PLANAS 67 Exemplo 42 Seja Fx y λ y 2 λ x2 λ Nós temos uma família de parábolas 1 1 Figura 42 Gráfico da família y 2 λ x2 λ 0 Derivando implicitamente y 2 λ x2 λ 0 temos y 4 λ x 0 eliminando λ obtemos a edo 4 x y 2 x2 1 y 0 Exemplo 43 Seja Fx y λ x λ2 y2 1 Nós temos uma família de círculos de raio 1 centrados ao longo do eixo dos x Figura 43 Gráfico da família x λ2 y2 1 Derivando implicitamente x λ2 y2 1 temos x λ y y 0 eliminando λ obtemos a edo y2 1 y2 1 Neste caso a edo tem soluções singulares y1x 1 e y2x 1 Estas soluções são chamadas de envoltórias da família Exemplo 44 Seja Fx y λ y λ xfc onde f é função arbitrária Nós temos uma família de retas 68 CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES 1 1 Figura 44 Gráfico da família para fc c2 2 Derivando implicitamente y λ x fc 0 temos y c obtemos a edo de Clairaut y x y fy Seguindo o desenvolvimento dos exemplos podemos deduzir o seguinte mé todo Dada a família Fx y λ 0 i Derivamos em relação a x a família F x x y λ 0 ii Resolvemos o sistema Fx y λ 0 F x x y λ F x x y λ y x 0 de onde eliminamos λ Isto é garantido pelo Teorema da Função Implícita Se F λ x y λ 0 sempre poderemos obter λ ψx y 461 Envoltórias Seja a família 1parâmetro Fx y λ 0 tal que para cada λ cada curva é diferenciável Definição 19 A envoltória da família Fx y λ 0 é uma curva parametrizada por γλ xλ yλ tal que Fxλ yλ λ 0 41 xλ F x xλ yλ λ yλ F y xλ yλ λ 0 42 Se w π2 então de 43 a família ortogonal a Fx y λ 0 é dada pela solução da edo fx y 1y 0 Se a cada ponto de Cλ associamos a terna x y y onde x y são as coordenadas do ponto P e y fx y analogamente a cada ponto de T associamos a terna x1 y1 y1 tais que x x1 y y1 no ponto P como y tgθ e y tgφ logo y tgθ tgφ ω tgφ tgω 1 tgφtgω então a família de ωtrajetórias é dada por fx y y tgω 1 ytgω 0 Exemplo 46 Determine as π4trajetórias da família x² y² c A edo associada à família x² y² cé x y y 0 então y tgπ4 1 ytgπ4 y 1 1 y e obtemos a edo homogênea x y x y y 0 cuja solução é x² y² c1 exp2 arctgyx 72 CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES famílias de curvas 47 EXERCÍCIOS 73 47 Exercícios 1 Numa colméia a razão de crescimento da população é uma função da po pulação Assim dp dt fp a Calcule pt para fp βp β 0 considere p0 p0 e determine a população limite do sistema ie o limite de pt quando t tende a infinito b Encontre pt para fp βp kp2 onde β e k são constantes positivas Determine a população limite do sistema 2 A taxa de crescimento da população de uma certa cidade é proporcional ao número de habitantes Se a população em 1950 era de 50000 e em 1980 de 75000 qual a população esperada em 2010 3 Um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade de matéria no instante t Supondo que a quantidade de inicial de matéria seja Q0 e que 10 anos após já tenha se desintegrado 1 3 da quantidade inicial pede se o tempo necessário para que metade da quantidade inicial desintegre 4 Uma bola de golfe de massa 0 5kg recebe uma tacada que lhe imprime uma velocidade de 72Kmh Supondo que a bola permanece em contato perma nente com o chão e sabendo que a força de atrito que atua sobre ela é de 5N qual a distância percorrida pela bola até que ela pare 5 Considere um páraquedista em queda livre sem o acionamento do pára quedas Determine a sua velocidade como função do tempo e sua velocidade limite t Considere v0 0 Obs Considere P mg peso do paraquedista com o páraquedas R γv resistência do ar 6 A população de pássaros de uma ilha experimenta um crescimento sazonal descrito por dy dt 3 sen 2πty onde t é o tempo em anos A migração para dentro e para fora da ilha tam bém é sazonal A taxa de migração é dada por Mt 2000 sen 2πt pássaros por ano Logo a equação diferencial completa da população é dada por dy dt crescimento sazonalmigração pra dentrofora 3 sen 2πty2000 sen2πt 74 CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES a Determine yt que satisfaz y0 500 b Determine a população máxima 7 A meiavia do cobalto radioativo é de 5 27 anos Suponha que um acidente nuclear tenha levado o nível de radiação por cobalto numa certa região a 100 vezes o nível aceito para a habitação humana Quanto tempo levará até que a região seja novemente habitável Ignore a presença provável de outros elementos radioativos 8 O Carbono extraído de um crânio antigo continha apenas um sexto do 14C radioativo do que o carbono extraído de uma amostra de um osso atual Qual é a idade do crânio Considere a meiavida do carbono igual a 5700 anos 9 Suponha que um corpo descoberto à meianoite tenha temperatura de 29 4oC e que a temperatura ambiente seja constante e igual a 21 1oC O corpo é removido rapidamente faça a hipótese da instantaneidade para o necroté rio onde a temperatura ambiente é 4 4oC Depois de uma hora a temperatura do corpo é de 15 6oC Estime a hora da morte 10 Os moradores de uma certa comunidade decidiram interromper a fluori zação da água local Atualmente o reservatório local contém 200 milhões de litros de água fluorizada que contém 1600 Kg de flúor A água está sendo usada a uma taxa de 4 milhões de litros por dia e está sendo substiutída a uma mesma taxa por água não fluorizada e o flúor restante é sempre redis tribuído uniformemente no reservatório Expresse a quantidade de flúor no reservatório em função do tempo Quanto tempo levará para que a quanti dade de flúor no reservatório esteja reduzida à metade 11 Suponha que faltem 3 horas para um estudante fazer um exame e durante esse tempo ele deseja memorizar um conjunto de 60 fatos De acordo com os psicólogos a taxa segundo a qual uma pessoa pode memorizar um conjunto de fatos é proporcional ao número de fatos que restam para serem memori zados Suponha que inicialmente nenhum fato tenha sido memorizado Se o estudante memoriza 15 fatos nos primeiros 20 minutos quantos fatos ele irá memorizar em 1h E em 3h 12 Um reservatório de 500 litros inicialmente contém 100 litros de água fresca Começando no instante t 0 escoa para o reservatório água contendo 50 de poluidores à taxa de 2 litrosmin Há também um escoamento que ocorre à taxa de 1 litro min Considere a mistura bem agitada e determine a con centração de poluidores no instante de transbordamento 47 EXERCÍCIOS 75 13 Considere um lago de volume constante V que no instante t contém uma quantidade Qt de poluentes distribuídos homogeneamente com uma con centração ct onde ct Qt V Suponha que um fluxo de água com uma concentração k de poluentes entre no lago com uma vazão r e que a água saia do lago com a mesma vazão Suponha que poluentes também sejam lançados diretamente no lago a uma taxa constante P a Se no instante t 0 a concetração do poluente é c0 determine uma ex pressão para a concentração ct em qualquer instante do tempo Qual a concentração limite quando t b Se o despejo do poluente no lago é proibido k 0 e P 0 para t 0 determine o intervalo de tempo T necessário para que a concentração de poluentes seja reduzida a 50 do valor original e a 10 do valor original 14 A população de uma cidade é de 1000000 de habitantes Houve uma epi demia e 10 da população contraiu o vírus Em sete dias esta porcentagem cresceu para 20 O vírus se propaga por contato direto entre os indivíduos enfermos e sãos logo é proporcional ao número de contatos A partir destes dados e supondo que o modelo seja fechado isto é a população mantendo se constante sem nascimentos mortes ou migração e os indivíduos tendo toda liberdade de interagir calcule a A proporção de indivíduos enfermos e sãos como função do tempo b O tempo necessário para que a porcentagem de indivíduos enfermos seja de 50 15 Uma pedra é solta a partir do repouso de uma altura h acima da superfície da Terra Mostre que a velocidade com que atinge o solo é v 2gh 16 Determine o tempo necessário para esvaziar um tanque cilíndrico de raio 2m e altura 5m cheio de água admitindose que a água escoe através de um orifício situado na base do tanque de raio 10cm com uma velocidade v 2ghms sendo h a altura da água no tanque e g 10ms2 a aceleração gravitacional 17 A população de mosquitos em determinada área cresce a uma razão pro porcional à população atual e na ausência de outros fatores a população dobra a cada semana Existem inicialmente 200000 mosquitos na área e os predadores comem 20000 mosquitosdia Determine a população na área em qualquer instante t 76 CAPÍTULO 4 APLICAÇÕES 18 Segundo a lei de resfriamento de Newton a velocidade de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e a do meio ambiente Se a temperatura ambiente é 20oC e a temperatura de um corpo passa de 100oC para 60oC em vinte minutos qual é o tempo necessário para que a temperatura do corpo seja igual a 30oC 19 Suponha que um aposento contenha 1200 litros de ar originalmente isento de monóxido de carbono A partir do instante t 0 fumaça de cigarro contendo 4 de monóxido de carbono é introduzida no aposento com uma vazão de 01 lmin e a mistura gasosa homogênea sai do aposento com a mesma vazão a Determine uma expressão para a concentração ct do monóxido de car bono no aposento para t 0 b A exposição prolongada a concentrações de monóxido de carbono maio res do que 0 00012 é prejudicial à saúde Determine o intervalo de tempo τ após o qual esta concentração é atingida 20 Um corpo de massa m cai do repouso em um meio que oferece resistência proporcional ao quadrado da velocidade Ache a relação entre a velocidade v e o tempo t Ache a velocidade limite 21 Para uma certa substância a taxa de variação da pressão de vapor P em relação à temperatura T é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura Determine uma expressão para PT 22 Uma solução de 60kg de sal em água enche um tanque de 400 litros Fazse entrar água nesse tanque na razão de 8 litros por minuto e a mistura mantida homogênea por agitação sai com a mesma vazão Qual a quantidade de sal existente no tanque no fim de 1 hora 23 Achar o tempo necessário para esvaziar um tanque cilíndrico de raio 8m e altura 10m cheio de água sabendo que a água se escoa através de um orifício situado na base do tanque de raio 10cm com uma velocidade v 4 h sendo h a altura da água no tanque 24 Quando um corpo se move através de um fluido viscoso sob ação de uma força F a força resultante é F kηv onde k depende da forma do corpo v é a velocidade do corpo e η é o coeficiente de viscosidade Obter a velocidade como função do tempo Suponha que o movimento seja retilíneo que a força aplicada seja constante e que v0 v0 Capítulo 5 Edos de Segunda Ordem Neste capítulo estamos interessados em estudar equações de segunda ordem isto é edos do tipo F x yx yx yx 0 Achar soluções gerais de qualquer tipo de edo de segunda ordem está fora do contexto destas notas Por exemplo com os métodos desenvolvidos neste capítulo não poderemos achar as soluções das seguintes edos Exemplo 48 1 A edo de Legendre de ordem α 1 x2 y 2 x y α α 1 y 0 2 A edo de Bessel de ordem µ 0 x2 y x y x2 µ2 y 0 Nos trataremos sistematicamente apenas de duas classes de edos de segunda ordem as que podem ser reduzidas a edos de primeira ordem e as lineares Isto não tão é restritivo como pode parecer pois com estas edos podemos modelar uma grande quantidade de fenômenos 51 Edos de Segunda Ordem Redutíveis Consideremos a edo de segunda ordem y fx y y 77 As soluções de alguns tipos de edos de segunda ordem podem ser obtidas utilizando os métodos estudados no capítulo anterior nos seguintes casos i Quando f não depende de de y e y y fx Integrando duas vezes a edo yx fx dx c1 dx c2 se Fx fx dx então yx Fx dx c1 x c2 Exemplo 49 Seja y cos2x a edo não depende de y e de y logo Fx cos2x dx sen2x2 y sen2x2 dx c1 x c2 y cos2x4 c1 x c2 ii Quando f não depende de de y y fx y Fazemos p y então dpdx ddx dydx y logo obtemos a edo p fx p que é de primeira ordem em p Exemplo 50 Seja 1 x y y 0 não depende de y fazendo p y 1 x p p 0 que é uma edo de variáveis separáveis pp 11 x e dpp dx1 x lnp ln1 x lnp1 x então lnp1 x lnc1 logo px 1 c1 obtendo y c1x 1 e y c1 dxx 1 c2 c1 lnx 1 c2 iii Quando f não depende de de x e de y y fy Fazemos p y então d²ydx² ddx pyx p dpdy logo obtemos a edo p dpdy fy que é de variáveis separáveis em p Exemplo 51 Seja y 4 y3 y 0 A edo só depende de y como fy 4 y3 obtemos p dpdy 4 y3 Por outro lado p dp 4 y3 dy c1 p² 4y² c1 p 4y² c1 dydx 4y² c1 Logo y c1 y² 4 y 1 integrando c1 y² 4 c1 x c2 c1 y² c1 x c2² 4 iv Quando f não depende de de x y fy y Fazemos p y então d²ydx² ddx pyx p dydy logo obtemos a edo p dpdy fy p que é de primeira ordem em p Exemplo 52 Seja y y y² y y² y 0 A edo não depende de x Como fy p fy y y y y²y y p p²y logo obtemos a edo de primeiro ordem linear p py y cuja solução é p y² c1 y logo y y² c1 y que é de variáveis separáveis yy² c1 y 1 dyy² c1 y x c2 logo y c2 y c1 expx 52 APLICAÇÕES 521 Curva de Perseguição Suponha que na origem do plano temos uma presa que foge de um predador ao longo do eixo dos y e com velocidade constante v O predador localizado no ponto a 0 persegue a presa correndo sempre na direção em que se encontra a presa com velocidade constante w Determinaremos uma curva descrita pelo predador e as condições sobre a v e w para o predador encontrar a presa Considero o seguinte desenho 52 APLICAÇÕES 83 Lembrando que c v w logo i Se v w então lim x0 yx o predador não pega a presa ii Se v w então c 1 e lim x0 yx a c c2 1 este é o ponto onde predador pega a presa 522 Catenária O problema é determinar a forma que toma um cabo flexível suspenso em dois pontos e sujeito a seu peso Este problema foi proposto por Leonardo da Vinci e resolvido por vários matemáticos entre eles Leibniz e J Bernoulli foi Leibniz que deu o nome de catenária à curva solução do problema Suporemos que temos um cabo flexível e inextensível suspenso em dois pontos A e B Temos A P B θ O H V T Vamos localizar a origem do plano no ponto mais baixo da curva formada pelo cabo e analisar as forças que atuam no trecho OP Como o cabo é flexí vel segue que as tensões são tangentes Temos as tensões H e T e o peso do segmento OP que denotaremos por V Estas forças estão em equilíbrio logo H T V 0 Em termos das componentes temos H T cos θ 0 V T sen θ 0 logo tg θ fracVH Vamos expressar as forças pelo comprimento do arco Sejam ω o peso por unidade de comprimento e s o comprimento do arco OP Podemos expressar V ωs Note que H e ω são constantes e fracdydx tg θ fracVH fracωsH cs c fracωH 52 APLICAÇÕES 85 Vejamos como determinar as constantes k1 e k2 Lembremos que x 0 é o ponto mais baixo da nossa curva A tangente de y no ponto O é nula Isto é dy dx0 0 0 dy dx 1 2ec0k1 ec0k1 k1 0 y0 0 0 y0 1 c cosh cx k2 1 c k2 Portanto nossa solução é yx coshc x 1 c O gráfico de y yx é chamada catenária 86 CAPÍTULO 5 EDOS DE SEGUNDA ORDEM 53 Equações Lineares de Segunda Ordem Neste parágrafo estamos interessados em estudar equações lineares de segunda ordem isto é edos do tipo d2y dx2 px dy dx qx y rx 51 A edo d2y dx2 px dy dx qx y 0 52 é dita homogênea associada a edo 51 Se rx 0 a edo 51 é dita linear nãohomogênea Vamos enunciar para as edos de segunda ordem um teorema de existência e unicidade de solução Teorema 3 Sejam p q I R funções contínuas tal que x0 I então o PVI d2y dx2 px dy dx qx y 0 yx0 y0 dy dxx0 y1 tem uma única solução definida no intervalo I Observação 16 1 A demonstração deste teorema é simples mas depende de um resultado de existência e unicidade geral que veremos no apêndice 2 As equações lineares são especiais pois para elas temos garantida a exis tência e unicidade de soluções Na verdade este resultado vai a ser ge neralizado para equações lineares de ordem n 3 É possível provar que se p q CkI então a solução de 52 y CkI 53 EQUAÇÕES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 87 Nosso objetivo é determinar uma solução geral da edo 51 provaremos que tal solução é do tipo yx yhx ypx onde yh é a solução geral de 52 e yp é uma solução particular de 51 Claramente yx 0 é a única solução da edo 52 tal que yx0 yx0 0 Se y1 e y2 são soluções da edo 52 então y λ1 y1 λ2 y2 também é solução de 52 531 Álgebra Linear I Consideremos o conjunto V n y I R R y CnI V é um Respaço vetorial de fato do Cálculo sabemos que para todo y1 e y2 V n λ1 e λ2 R temos λ1 y1 λ2 y2 V n Logo a estas funções podemos dar um tratamento análogo aos vetores em Ál gebra Linear A seguir vamos estabelecer um critério para verificar se duas soluções y1 e y2 V 2 de 52 são linearmente independentes Definição 20 As funções y1 e y2 V 2 são chamadas lineramente dependentes ld se uma é um múltiplo constante da outra Isto é λ y1x λ y2x x I Caso contrário são chamadas linearmente independentes li Exemplo 53 1 As funções y1x senx e y2x cosx são li para todo x R 2 As funções y1x sen2 x e y2x senx cosx são ld para todo x R pois fx 2 gx Vejamos a seguir um critério para decidir quando duas soluções são li Inicial mente consideremos a seguinte definição Definição 21 Dadas duas funções y1 e y2 V² o Wronskiano de y1 e y2 no ponto x I é o determinante Wf gx det y1x y2x y1x y2x Exemplo 54 Sejam y1x ek1x e y2x ek2x então Wy1 y2x det ek1x ek2x k1 ek1x k2 ek2x k2 k1ek1k2x logo Wy1 y2x 0 se k1 k2 As funções y1x ek1x e y2x ek2x são li se k1 k2 Exemplo 55 Sejam y1x ekx e y2x x ekx então Wy1 y2x det ekx x ekx k ekx k ekx ekx logo Wy1 y2x 0 para todo k As funções y1x ekx e y2x x ekx são li Teorema 4 Suponha que y1 e y2 são duas soluções de d²ydx² px dydx qx y 0 em um intervalo aberto I em que p e q são contínuas Então y1 e y2 são linearmente independentes se e somente se Wy1 y2x 0 em um ponto de x I Seja x0 I tal que Wy1 y2x0 0 Suponhamos por contradição que y1 e y2 sejam linearmente dependentes Isto é existe λ tal que y1 λ y2 Tome α1 e α1 tais que λ α2α1 e α1 0 Temos y1 λ y2 α2α1 y2 então α1 y1 α2 y2 0 Portanto α1y1x0 α2y2x0 0 α1 y1x0 α2y2x0 0 tem uma solução nãotrivial α1 α2 α1 0 ou α2 0 Seja Φx α1 y1x α2 y2x Observe que por construção Φ é solução do PVI Φ px Φ qx 0 Φx0 α1 y1x0 α2 y2x0 0 Φx0 α1 y1x0 α2 y2x0 0 Por outro lado Ψx 0 também é solução do PVI acima Pelo Teorema de existência e unicidade Ψ Φ em I Isto implica 0 Ψx Φx α1 y1x α2 y2x com α1 0 ou α2 0 Ou seja y1 e y2 são múltiplas Contradição Logo Wy1 y2 0 em todo x I Para finalizar nossa análise resta saber se dadas y1 e y2 soluções li de d²ydx² px dydx qx y 0 Podemos afirmar que toda solução do problema acima é da forma α1 y1 α2 y2 Usaremos o teorema que acabamos de provar para estabelecer o seguinte resultado 53 EQUAÇÕES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM Exemplo 56 Sejam y1x ex e y2 ex Verifique que estas funções são soluções de y y 0 e determine a solução geral da equação homogênea acima Vamos verificar que são soluções da edo 53 ex ex ex ex 0 e ex ex ex ex 0 Para construir a solução geral precisamos de um conjunto fundamental Logo basta verificar se ex e ex são li Devemos provar que Wex ex 0 para algum x0 R Consideremos x0 0 Temos Wy1 y20 det y10 y20 y10 y20 det e0 e0 det 1 1 0 Logo yx α1 ex α2 ex é a solução geral da edo 52 Teorema 6 Seja y1 y2 um conjunto fundamental de soluções da edo 52 e yp uma solução particular de 51 então a solução geral de 51 é yx c1 y1x c2 y2x ypx O teorema segue diretamente da seguinte observação Observação 18 Se y1 e y2 são soluções de 51 então y1 y2 é solução de 52 Prova do teorema Fixe yp seja y solução de 51 Pela observação y yp é solução de 52 logo existem c1 c2 R tais que yx ypx c1 y1x c2 y2x yx c1 y1x c2 y2x ypx 92 CAPÍTULO 5 EDOS DE SEGUNDA ORDEM 532 Redução de Ordem Vamos prosseguir nosso estudo das edos homogêneas de segunda ordem para determinar seu conjunto fundamental Primeiramente analisaremos o caso em que já conhecemos uma solução da edo homogênea e queremos determinar uma segunda que seja linearmente independente Esse método é chamado de redução de ordem Vamos obter uma segunda solução y2x a partir de y1x que sejam li Sabemos que qualquer múltiplo de y1x yx c y1x ainda é solução da equação homogênea Como desjamos uma nova solução que seja li estes tipos de soluções não nos interessam No entanto não vamos abandonar completamente este idéia Vamos tentar determinar soluções da forma yx cx y1x onde cx é uma função não constante de modo que yx seja solução da equa ção homogênea Este argumento é chamado de variação de parâmetros Sendo possível determinar tal yx a nova solução e a antiga y1x serão natural mente linearmente independentes Vejamos que condições c cx deve satisfazer para que y seja solução Calcu lemos as derivadas de y y cx y1 c y1 c y 1 y c y1 2 c y 1 c y 1 Como queremos que y seja solução deve satisfazer a edo y p y q y 0 c y1 2 cy 1 cy 1 p c y1 c y 1 q c y1 0 reescrevendo a última equação c y 1 p y 1 q y1 c y1 2 c y 1 p c y1 0 Como y1 é solução o resultado da expressão dentro do parênteses é zero e c y1 2 c y 1 p c y1 0 Esta edo de segunda ordem se encaixa nas edos estudadas no início do capí tulo Logo c y1 2 y 1 p y1c 0 54 pode ser resolvida com a mudança de variável v c 53 EQUAÇÕES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 93 Exemplo 57 Consideremos a edo x2 y 5 x y 9 y 0 x 0 55 Observemos que y1x x3 é solução da equação acima De fato x2 y 1 5 x y 1 9 y1 x2 6 x 5 x 3 x2 9 x3 0 Vamos tentar determinar uma segunda solução da forma y2x cx y1x cx x3 A edo 54 fica c c x 0 Fazendo p c obtemos p p x 0 d dx x p 0 x p k1 p k1 x então cx k1 ln x k2 Como queremos apenas exibir uma segunda solução podemos fazer a escolha que julgarmos mais simples Por exemplo podemos tomar y2x cx y1x x3 ln x e portanto como y1 e y2 são linearmente idenpendentes e solucionam o pro blema homogêneo 55 yx k1 y1 k2 y2 k1 x3 k2 x3 ln x é solução geral de 55 94 CAPÍTULO 5 EDOS DE SEGUNDA ORDEM 533 Álgebra Linear II Nosso próximo objetivo é mostrar que as edos y px y qx y rx podem ser tratadas como uma transformação linear T Definição 23 Uma transformação linear T V 2 V 0 se diz um operador diferencial liner de ordem 2 se puder ser colocado na forma T φ d2φ dx2 p dφ dx q φ Algumas vezes é também escrito da forma T D2 p D q onde D é o operador derivada Isto é D φ φ Só para nos habituarmos à notação e verificarmos que o operador que defini mos é de fato linear consideremos α β R e f g V Se o operador for linear deveriamos ter T α f β g α T f β T g Calculemos T α f β g D2 α f β g p D α f β g q α f β g αD2f β d2g p α Df β Dg α q f β q g α T f β T g Portanto para encontrarmos uma solução geral de 51 basta resolvermos um problema do tipo T y r onde T é um operador linear Sabemos que toda solução y do problema acima pode ser escrita como y yp yh onde yp é uma solução particular de Ty r e yh uma solução do problema homogêneo isto é yh NT onde NT é o nucleo de T T y 0 53 EQUAÇÕES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 95 Isto novamente nos diz que para solucionar o problema nãohomogêneo basta sermos capazes de descrever completamente o conjunto de soluções do pro blema homogêneo Se y1 e y2 são soluções do problema homogêneo então αy1 βy2 também é solução De fato pela linearidade T α y1 β y2 α T y1 β T y2 Ou seja o conjunto de soluções do problema homogêneo é um subespaço ve torial de dimensão 2 Em Álgebra Linear quando desejamos descrever os ele mentos de um espaço vetorial procuramos uma base do espaço Todos os resultados obtidos no parágrafo anterior podem ser obtidos de forma muito mais consistente com a utilização de operadores Por exemplo o pro blema de achar a solução da edo 52 Teorema 7 Princípio de Superposição Sejam y1 e y2 soluções do problema ho mogêneo 52 no intervalo I então a combinação linear α y1 β y2 também é solução de 52 quaisquer que sejam α β R Prova Já vimos que o problema homogêneo pode ser escrito como Ty 0 com T D2 p D q e vimos que T é linear Portanto T α y1 β y2 α T y1 β T y2 0 uma vez que y1 e y2 são soluções 54 Edos com Coeficientes Constantes Vamos agora considerar equações lineares de segunda ordem da forma d²y dx² a1 dy dx a0 y 0 onde a1 a0 R Isto é equações diferenciais ordinárias de segunda ordem lineares com coeficientes constantes Inicialmente introduzirem uma resolução de 56 Tentaremos encontrar soluções da forma yx erx Logo yx r erx e yx r² erx Para que y seja solução de 56 devemos ter r² a1r a0 erx 0 isto é o expoente r deve ser igual às raízes da equação quadrática em r r² a1 r a0 0 Esta equação é chamada equação característica da edo 56 Vamos analisar os possíveis casos das raízes da equação característica A solução da eqüação característica é r a1 Δ 2 onde Δ é o discriminante da equação característica Se Δ 0 Então existem r1 r2 R tais que r1 r2 como y1x er1x e y2x er2x são li uma solução geral da edo 56 é yx k1 er1x k2 er2x Exemplo 58 Considere a edo y 2y 8y 0 A equação característica da edo é r² 2r 8 r 2r 4 0 logo a solução geral da edo é yx k1 e2x k2 e4x 54 EDOS COM COEFICIENTES CONSTANTES 97 Se 0 Então temos r r1 r2 R e r a1 2 Neste caso obtemos y1x erx Logo vamos usar o método de redução de ordem para achar uma segunda solução li Procuramos soluções do tipo yx cx y1x A edo 54 é cx 0 Resolvendo a equação por integração imediata temos cx k1 x cx k1 x k2 cx x Como já sabemos que y1x erx e y2x x erx são li a solução geral da edo 56 é yx k1 erx k2 x erx Exemplo 59 Consideremos a edo y 4 y 4 y 0 A equação característica da edo é r2 4 r 4 r 22 0 logo a edo tem como solução geral yx k1 k2 x e2x Se 0 Então a equação característica tem duas raízes complexas r1 α i β e r2 α i β Logo formalmente vamos tentar uma solução geral da forma yx k1 eαiβx k2 eαiβx eαx k1 eiβx k2 eiβx Utilizando a fórmula de Euler eix cos x i sen x 98 CAPÍTULO 5 EDOS DE SEGUNDA ORDEM obtemos er1x eαx eiβx eαx cosβx i senβx er2x eαx eiβx eαx cosβx i senβx Sabemos que se consideramos uma combinação linear das funções er1x e er1x esta será solução da edo Então er1x er2x 2 eαx cosβx er1x er2x 2i eαx senβx Sejam y1x eαx cosβx y2x eαx cosβx Claramente y1 e y2 são li Portanto uma solução geral de 56 é dada por yx k1 eαx cosβx k2 eαx senβx Exemplo 60 A edo y y 0 A equação característica é r2 1 0 as raízes são complexas r1 i e r2 i logo α 0 e β 1 e a edo tem solução geral yx k1 cos x k2 sen x Observação 19 A justificativa da escolha em princípio arbitrária da solução yx erx da edo 56 pode ser feita utilizando Álgebra Liner elementar 541 Álgebra Linera III Com a notação de operador diferencial linear de ordem 2 podemos associar à edo de 56 o seguinte operador T D2 a1 D a0 54 EDOS COM COEFICIENTES CONSTANTES 99 Logo a equação de 56 pode ser representada como Ty 0 Uma propriedade interessante destes operadores estudada em Álgebra Li near elementar é que algebricamente estes operadores se comportam como se fossem polinômios em D Em particular eles podem ser fatorados como um produto de operadores de ordem 1 Ou seja podemos cair na resolução de equações de primeira ordem Exemplo 61 Consideremos a edo d2y dx2 4 y 0 A edo pode ser escrita como D2 4y 0 e D 2 D 2y 0 ou D 2 D 2y 0 De fato D 2 y D y 2 y D 2 D 2 y D 2 Dy 2 y D2 y 2 Dy 2 Dy 4 y D2 4 y Vejamos qual é a vantagem disto Sejam y1 y2 tais que D 2 y1 0 e D 2 y2 0 logo D2 4 y1 D 2 D 2 y1 D 2 0 0 D2 4 y2 D 2 D 2 y2 D 2 0 0 Ou seja podemos achar as soluções de D2 4 y 0 resolvendo D 2 y 0 e D 2 y 0 As equações de primeira ordem acima correspondem a D 2 y 0 dy dx 2 y e D 2 y 0 dy dx 2 y 100 CAPÍTULO 5 EDOS DE SEGUNDA ORDEM cujas soluções respectivamente são y1x e2x e y2x e2x Achamos y1 e y2 duas soluções da equação homogênea de segunda ordem Para que elas formem um conjunto fundamental basta verificar se elas são li Wy1 y20 det e20 e20 e20 e20 det e0 e0 det 1 1 0 Portanto yx k1 e2x k2 e2x é solução geral da D² 4y 0 O exemplo sugere tentar resolver a equação de segunda ordem D² a1 D a0 y 0 57 Tentaremos decompor o operador diferencial D²a1 Da0 em fatores lineares Para isto tal como fazemos com polinômios precisamos encontrar suas raízes Isto é precisamos determinar as raízes do polinômio r² a1r a0 0 Esta equação também recebe o nome de equação característica da equação 57 De posses das raízes do polinômio acima determinamos os fatores lineares e temos que resolver duas equações de primeira ordem tal como no exemplo 55 EQUAÇÃO DE EULERCAUCHY HOMOGÊNEA 101 A seguir estudaremos uma classe especial de equações homogêneas lineares de ordem 2 que não têm coeficientes constantes 55 Equação de EulerCauchy Homogênea Uma edo é de EulerCauchy de ordem 2 se é da forma a2 x2 y a1 x y a0 y 0 58 tal que a2 0 e a0 a1 a2 R Ela é também chamada de equação equidimensional pois o expoente de cada coeficiente é igual à ordem da derivada Isso implica que com a substituição yx xr x 0 produzirá termos do mesmo graue teremos yx r xr1 yx r r 1 xr2 logo a2 x2 y a1 x y a0 y xr a2 r r 1 a1 r a0 0 Portanto basta analisarmos as raízes do polinômio a2 r2 a1 a2 r a0 Seja a1 a22 4 a2 a0 o discriminante da equação de segundo grau Como antes temos 3 possibilidades Se 0 Logo temos r1 r2 R tais que r1 r2 Uma solução geral de 58 é yx k1 xr1 k2 xr2 Se 0 Logo temos raízes reais e iguais r r1 r2 Utilizando o método de redução de ordem vamos achar uma segunda solução da forma y2 cx xr y 2 xr c r xr1 c y 2 xr c 2 r xr1 c r r 1xr2 c 102 CAPÍTULO 5 EDOS DE SEGUNDA ORDEM Portanto a2 x2 y 2 a1 x y 2 a0 y2 a2 xr2 c c xr1 2 a2 r a1 0 Fazendo a mudança de variável e lembrando que r a2 a1 2a2 c p a2 xr2 p p xr1 a2 0 dp p xr1 a2 a2 xr2 dx 1 xdx ln p ln x c p 1 x cx ln x y2x cx xr xr ln x Portanto uma solução geral de 58 é yx k1 k2 ln x xr Se 0 Logo temos raízes complexas r1 a bi e r2 a bi Tal como no caso das equações de coeficientes constantes usamos a fórmula de Euler para obter xabi eabi ln x ea ln xebi ln x xa cosb ln x i senb ln x Podemos verificar que as partes real e imaginária são soluções linearmente independentes Portanto uma solução geral de 58 e yx xa k1 cosb ln x k2 senb ln x Suponhamos que tenhamos obtido por este método uma solução yt para x 0 Observemos agora que se x 0 obtemos resultados análogos Teorema 8 Consideremos a edo de EulerCauchy a2 x2 y a1 x y a0 y 0 x 0 e a equação característica a2 r2 a1 a2 r a0 59 Então 55 EQUAÇÃO DE EULERCAUCHY HOMOGÊNEA 103 1 A edo 59 tem raízes reais e distintas r1 r2 A solução geral da edo é yx k1xr1 k2xr2 2 A edo 59 tem raízes repetidas r1 r2 A solução geral da edo é yx k1 k2 lnx xr1 3 A edo 59 tem raízes complexas r1 a bi e r2 a bi A solução geral da edo é yx xα k1 cosb lnx k2 senb lnx Exemplo 62 Considere a edo x2 d2y dx2 5x dy dx 4y 0 x 0 Procuramos uma solução da forma yx xr x 0 O polinômio característico é r2 4r 4 r 22 0 Logo uma solução geral é yx k1 x2 k2 lnx x2 x 0 Exemplo 63 Considere a edo x2 d2y dx2 5x dy dx 10 4 y 0 x 0 Procuramos uma solução da forma yx xr x 0 O polinômio característico é r2 r 10 4 0 As raízes são r 1 3i 2 Logo uma solução geral é yx x 1 2 k1 cos 3 2 lnx k2 sen 3 2 lnx x 0 104 CAPÍTULO 5 EDOS DE SEGUNDA ORDEM 56 Edos não Homogêneas Vamos agora voltar às equações nãohomogêneas Queremos resolver y px y qx y rx Já vimos que uma solução geral é dada por yx yp yh e yh é uma solução geral do problema homogêneo y px y qx y 0 Veremos agora um método que consiste em obter uma solução particular para um problema nãohomogêneo a partir da solução geral do homogêneo 561 Método de Variação de Parâmetros Seja yhx k1 y1x k2 y2x uma solução geral do problema homogêneo y pxy qxy 0 Vamos tentar encontra uma solução particular do problema nãohomogêneo da forma ypx c1x y1x c2x y2x Observamos que esta é uma idéia similar à que utilizamos para obter uma segunda solução linearmente independente quando tínhamos raízes repetidas Se queremos que yp seja uma solução particular devemos ter Typ r Como temos duas funções a determinar c1x e c2x estamos livres para impor mais uma condição adicional Vamos impor uma condição que simplifique nossa resolução Calculemos as derivadas de yp y px c1xy1x c2xy2x c 1xy1x c1xy 1x c 2xy2x c2xy 2x Vamos simplificar esta expressão impondo c 1x y1x c 2x y2x 0 56 EDOS NÃO HOMOGÊNEAS 105 Desse modo y px c1x y 1x c2x y 2x e y px c 1x y 1x c1x y 1x c 2x y 2x c2x y 2x Lembrando que y1 e y2 são soluções do problema homogêneo temos y 1 p y 1 q y1 e y 2 p y 2 q y2 Portanto y p c 1 y 1 c1 p y 1 q y1 c 2 y 2 c2 p y 2 q y2 c 1 y 1 c 2 y 2 p c1 y 1 c2 y 2 q c1 y1 c2 y2 c 1 y 1 c 2 y 2 p y p q yp Como queremos Typ r y p r p y p q yp devemos ter c 1 y 1 c 2 y 2 r Portanto devemos resolver o sistema c 1x y1x c 2x y2x 0 510 c 1x y 1x c 2x y 2x r 511 Observe que o determinante da matriz associada a este sistema é Wy1 y2 0 Logo resolveremos o sistema e determinaremos expressões para as derivadas de c1 e c2 integrando estas expressões e obtemos os coeficientes da solução particular Exemplo 64 Considere a edo y 3 y 2 y ex sen x i Vamos resolver o problema homogêneo y 3 y 2 y 0 106 CAPÍTULO 5 EDOS DE SEGUNDA ORDEM o polinômio associado a edo é r2 3r 2 r 1r 2 logo a solução geral é yh k1 e x k2 e 2x ii Vamos achar uma solução particular yp c1x e x c2x e 2x Temos y p c1x e x c1x e x c2x e 2x 2c2x e 2x vamos impor que c1x e x c2x e 2x 0 logo y p c1x e x 2c2x e 2x y p c1x e x c1x e x 2c2x e 2x 4c2x e 2x Queremos que y p e x sen x y p 3y p 2yp e x sen x e x sen x y p 3 c1x e x c2x e 2x 2 c1x e x c2xe 2x Exemplo 64 Considere a edo 56 EDOS NÃO HOMOGÊNEAS 107 e ex sen x dx ex cos x ex cos x dx ex cos x ex sen x ex sen x dx 1 2 ex sen x cos x Logo ypx c1x e x c2x e 2x e x cos x 1 2 ex sen x cos x e 2x e x 2 cos x sen x é uma solução particular de y 3y 2y e x sen x e uma solução geral é dada por yx ypx k1 e x k2 e 2x e x 2 cos x sen x k1 e x k2 e 2x Exemplo 65 Considere a edo y y sec x 0 x π 2 i Vamos resolver o problema homogêneo y y 0 o polinômio associado a edo de Euler é r2 1 logo a solução geral é yh k1 cos x k2 sen x ii Vamos achar uma solução particular yp c1x cos x c2x sen x Como antes devemos resolver o sistema CAPÍTULO 5 EDOS DE SEGUNDA ORDEM 110 CAPÍTULO 5 EDOS DE SEGUNDA ORDEM ypx 3 5 Exemplo 68 Considere a edo y 3 y 4 y 3 e2x Podemos tentar uma solução particular da forma ypx A e2x uma vez que as derivadas de uma função deste tipo seriam múltiplos de e2x Para que yp seja solução devemos ter y p 3 y p 4 yp 4 A e2x 6 A e2x 4 A e2x 3 e2x 6 A 3 ypx e2x 2 Exemplo 69 Considere a edo y 3 y 4 y 2 sen x Podemos tentar uma solução particular da forma ypx A sen x uma vez que combinações lineares das derivadas de uma função deste tipo podem resultar em um múltiplo de sen x Para que yp seja solução devemos ter y p 3 y p 4 yp A sen x 3 A cos x 4 sen x 2 sen x 2 5 A sen x 3 A cos x 0 Como sen x e cos x são funções li tal equação se anulará para todo x somente se os coeficientes forem nulos 2 5 A 0 3 A 0 logo obtemos ypx 0 e tal solução não nos interessa vamos tentar ypx A sen x B cos x então y p 3 y p 4 yp A sen x B cos x 3 A cos x B sen x 4 A sen x B cos x 2 sen x 112 CAPÍTULO 5 EDOS DE SEGUNDA ORDEM Observemos que se conhecermos soluções dos problemas y 1 3 y 1 4 y1 3 e2x y 2 3 y 2 4 y2 2 sen x y 3 3 y 3 4 y3 8 ex cos 2x então temos uma solução particular da edo dada por ypx y1x y2x y3x Obtivemos nos exemplos anteriores y1x 1 2 e2x y2x 5 17 sen x 3 17 cos x y3x 10 13 ex cos 2x 2 13 ex sen 2x Portanto ypx 1 2 e2x 5 17 sen x 3 17 cos x 10 13 ex cos 2x 2 13 ex sen 2x é uma solução particular da edo Vemos nestes exemplos que para determinarmos uma solução particular basta determinar certas constantes Vamos tentar a seguir resumir alguns casos em que é simples aplicar o método dos coeficientes indeterminados Antes de prosseguir vejamos mais um exemplo Exemplo 72 Consider a edo y 4 y 3 cos 2x Podemos tentar uma solução particular da forma ypx A cos 2x B sen 2x uma vez que combinações lineares das derivadas de uma função deste tipo podem resultar em um múltiplo de cos 2x Para que yp seja solução devemos ter y p 4 yp 4 A 4 A cos 2x 4 B 4 B sen 2x 3 cos 2x e vemos que não há escolhas de A e B que nos dêem uma solução particular na forma ypx A cos 2x B sen 2x Na verdade a substituição acima nos mos trou que soluções deste tipo na verdade são soluções do problema homogêneo 57 MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 113 associado o que pode ser verificado resolvendo a equação característica De fato a equação característica da edo é r2 4 0 r1 2i e r2 2i yx k1 cos 2x k2 sen 2x Qual é a diferença deste exemplo com os demais Por que este problema não ocorreu antes Como generalizar a aplicação do método dos coeficientes inde terminados excluindo casos deste tipo 571 Determinação dos Coeficientes Queremos determinar uma solução particular da edo y a1 y a0 y rx Vamos resumir a aplicação do método dos Coeficientes Indeterminados quando rx é uma combinação linear de produtos finitos de funções do tipo 1 Um polinômio Pnx de grau n 2 Uma função exponencial ekx 3 Combinações de cos kx ou sen kx Vimos através de um exemplo que teríamos problemas se rx contivesse ter mos tais que eles ou algumas de suas derivadas fosse linearmente dependente com uma base do espaço solução da equação homogênea associada No que segue veremos como tratar também estes casos Regra 1 Se rx Pnx é o polinômio de grau n então ypx xhAnxn An1xn1 A1x A0 onde h é a ordem da menor derivada presente na edo Exemplo 73 Considere a edo y 4 y x2 x 114 CAPÍTULO 5 EDOS DE SEGUNDA ORDEM Vamos resolver o problema homogêneo associado y 4 y 0 r2 4 r 0 eq carac r1 0 r2 4 Então yhx k1 k2 e4x Como rx x2 x estamos nas condições da Regra 1 Como h 1 e vamos tentar uma solução particular da forma ypx xA x2 B x C Derivando y px 3 A x2 2 B x C ypx 6 A x 2 B Para que yp seja solução da edo devemos ter y p 4 y p 12 A x2 6 A 8 B x 2 B 4 C x2 x Logo 12 A 1 6 A 8 B 1 2 B 4 C 0 de onde obtemos A 1 12 B 3 16 e C 3 32 então ypx x3 12 3 x2 16 3 x 32 A edo tem uma solução geral yx k1 k2 e4x x3 12 3 x2 16 3 x 32 Regra 2 Se rx ekx então ypx A xh ekx onde h é o grau de multiplicidade de k como raiz da equação característica da edo 116 CAPÍTULO 5 EDOS DE SEGUNDA ORDEM Vamos resolver o problema homogêneo associado y y 0 r2 1 0 eq carac r1 i r2 i Então yhx k1 cos x k2 sen x Como i k i é raiz de multiplicidade 1 da equação característica estamos nas condições da Regra 3 Como h 1 e vamos tentar uma solução particular da forma ypx x A cos x B sen x Então derivando y px cos x A B x sen x B A x ypx sen x 2 A B x cos x 2 B A x Para que yp seja solução da edo devemos ter y p yp 2 A sen x 2 B cos x cos x Logo A 0 e B 1 2 então ypx x sen x 2 A edo tem uma solução geral yx k1 cos x k2 sen x x sen x 2 58 EXERCÍCIOS 119 onde α e β são constantes reais é chamada de equação de Euler Mostre que a mudança de variável x ez transforma uma equação de Euler em uma equação de coeficientes constantes 12 i Verifique que y1x 1 e y2x x são soluções da equação dife rencial yyy2 0 para x 0 A combinação linear k1k2 x também é solução desta equação Comente sua resposta ii É possível que yx sen x2 seja uma solução da equação y pxy qxy 0 com px e qx funções contínuas em um intervalo que conte nha x 0 Explique sua resposta 13 Sejam y pxy qxy 0 uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea onde px e qx são funções contínuas em um intervalo aberto I e y1x e y2x duas soluções i Prove que se y1x e y2x forem nulas em um mesmo ponto de I en tão não podem constituir um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo ii Prove que se y1x e y2x tiverem máximos ou mínimos em um mesmo ponto de I então não podem constituir um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo iii Prove que se y1x e y2x tiverem um ponto de inflexão em comum no ponto x0 I e px0 0 ou qx0 0 então y1x e y2x não podem constituir um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo 59 APLICAÇÕES 127 Exemplo 77 Uma massa m é lançada verticalmente cima com velocidade inicial v0 Achar a função que descreve o movimento do corpo m mg kv x O Tomemos a origem no ponto de lançamento e orientemos o eixo com sentido positivo para cima Denotemos x a distância da massa em relação à origem O no instante t Temos m x m a F m g k v m g k x Resolvendo a equação característica r2 k mr 0 obtemos uma solução geral da equação homogênea associada na forma xht k1 k2 e k mt Não podemos utilizar o método de coeficientes indeterminados pois as fun ções constantes são múltiplas de um dos elementos da base do espaço solução Vamos usar variação dos parâmetros xpt c1t c2t e k m t Temos x pt c 1 c 2e k mt k mc2e k mt c 1 c 2e k mt 0 x pt k mc 2e k mt k2 m2c2e k m t Substituindo na equação diferencial m x p k x p k c 2e k m t k2 m c2 e k m t k2 m c2 e k m t m g Capítulo 6 Edos de Ordem Superior Neste capítulo estamos interessados em estudar equações de ordem n 2 isto é edos do tipo ynx fx yx yx yn1x 61 Novamente achar soluções gerais de qualquer tipo de edo de ordem n está fora do contexto destas notas Como antes só trataremos sistematicamente apenas as lineares Este capítulo é completamente análogo ao anterior as generalizações que fare mos são extensões naturais do capítulo anterior Lembremos que uma solução geral da edo 61 em I é uma função Φ Φx k1 k2 kn nvezes derivável definida em I e que depende de n constantes arbitrárias k1 k2 kn Além disso para cada k1 k2 kn Rn Φ é solução da edo 61 Um sistema formado por uma edo de ordem n e n condições complementa res que determinam em um mesmo valor da variável independente o valor da função incógnita e de suas derivadas até ordem n 1 é chamado de pro blema de valor inicial PVI As condições complementares são denominadas condições iniciais Um problema de valor inicial para a edo de ordem n é do tipo ynx fx yx yx yn1x yx0 y0 yx0 y1 yn1x0 yn1 129 130 CAPÍTULO 6 EDOS DE ORDEM SUPERIOR Uma solução do problema de valor inicial é uma função que satisfaz tanto a edo como as condições complementares 61 Edos Lineares de Ordem n Definição 24 Uma edo de ordem n que pode ser escrita na forma dny dxn pn1xdn1y dxn1 p1xdy dx p0xy rx 62 é chamada linear Se rx 0 dizemos que a edo 62 é linear homogênea e se rx 0 que ela é linear nãohomogênea Para edos lineares de ordem n vale o seguinte teorema de existência e unici dade de solução Teorema 9 Se as funções p0x pn1x e rx forem contínuas em um intervalo aberto I contendo o ponto x0 então o PVI dny dxn pn1xdn1y dxn1 p1xdy dx p0xy rx yx0 y0 dy dxx0 y1 dn1y dxn1x0 yn1 tem solução ela é única e está definida no intervalo I Nosso objetivo no estudo da equações lineares é determinar uma solução geral de 62 Antes de prosseguirmos observemos que o lado esquerdo da equação 62 pode ser visto como uma transformação linear T Utilizando as notações do capítulo anterior denotemos por V n o espaço vetorial formado pelas funções de classe Cn no intervalo aberto I e V 0 o espaço vetorial formado pelas funções contínuas emI Consideremos T V n V 0 o seguinte operador Tφ φn pn1x φn1 p1x φ p0x φ 63 61 EDOS LINEARES DE ORDEM N 131 É fácil ver que T é linear Isto é para todo α R e f g V n temos Tf g Tf Tg Tα f α Tf Podemos reescrever a edo 62 na forma Ty rx 64 Definição 25 Todo operador L V n V 0 do tipo Lφ φn pn1x φn1 p1x φ p0x φ é chamado Diferencial Linear de Ordem n Lembremos que que toda solução y do problema acima pode ser escrita como y yp yh onde yp é uma solução particular de 64 e yh uma solução do problema ho mogêneo associado Ty 0 65 Portanto para determinarmos todas as soluções do problema nãohomogê neo 64 basta conhecermos uma solução particular de 64 e descrever com pletamente o nucleo de T onde estão as soluções do problema homogêneo associado 65 611 Equações Lineares Homogêneas Como antes acharemos primeiramente as soluções da edo yn pn1x yn1 p1x y p0x y 0 66 O próximo Teorema é análogo ao visto no capítulo anterior Teorema 10 Princípio de Superposição Sejam y1 yn soluções da edo de or dem n linear homogênea dny dxn pn1xdn1y dxn1 p1xdy dx p0xy 0 67 no intervalo aberto I então a combinação linear α1y1 αnyn também é solução de 67 quaisquer que sejam α1 αn R 132 CAPÍTULO 6 EDOS DE ORDEM SUPERIOR 1 O Teorema acima nos implica que o conjunto formado por todas as solu ções da edo de ordem n linear homogênea67 é um espaço vetorial Este espaço também é chamado de espaço solução 2 Se mostrarmos que dimensão do espaço solução de 67 é igual a n po deremos obter todos as soluções da edo 67 logo basta conhecer as soluções que formem uma base para este espaço vetorial 3 Então mostraremos que a dimensão do espaço solução é n e estabelece remos um critério para decidir se n soluções y1 yn formam uma base deste espaço Definição 26 Sejam f1 fn funções definidas em I Dizemos que estas funções são linearmente dependentes ld se existe λ1 λn 0 0 tal que λ1 f1x λn fnx 0 x I Caso contrário são chamadas linearmente independentes li Definição 27 Sejam f1 fn V n1 o Wronskiano de f1 fn no ponto x0 é o determinante Wf1 fnx0 det f1x0 f2x0 fnx0 f1x0 f 2x0 f nx0 f n1 1 x0 f n1 2 x0 f n1 n x0 Exemplo 78 Se f1x x f2x x ln x e f3x x2 temos Wf1 f2 f3x det x x ln x x2 1 ln x 1 2 x 0 1 x 2 2 x ln x 2 x x 2 x ln x 2 x x Teorema 11 Suponha que y1 yn são n soluções da edo linear homogênea 67 num intervalo aberto I em que as funções pi são contínuas para i 0 n 1 Então y1 yn são linearmente independentes se e somente se Wy1 yn 0 em um pelo menos um ponto de I 61 EDOS LINEARES DE ORDEM N 133 Para terminarmos nossa análise resta saber se dadas y1 yn funções li nearmente independentes soluções da edo linear homogênea 67 Podemos afirmar que toda solução y de 67 é da forma y α1 y1 αn yn Teorema 12 Sejam y1 yn soluções linearmente independentes da edo linear ho mogênea 67 num intervalo aberto I em que pi i 0 n 1 são contínuas Se Y é solução da equação acima então existem constantes α1 αn tais que Y x α1y1x αnynx x I Definição 28 Se y1 yn são n soluções linearmente independentes da equação ho mogênea 67 dizemos que y1 yn formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea Observação 20 O Teorema 12 nos diz que se y1 yn formam um conjunto funda mental então yx k1y1x knynx k1 kn R é solução geral da equação homogênea 67 Exemplo 79 Sejam y1x x y2x x ln x e y3 x2 Verifique que estas funções são soluções da edo x3 y x2 y 2 x y 2 y 0 x 0 68 e determine a solução geral da edo Verifiquemos que y1 y2 e y3 são soluções da edo Como y 1x 1 y 1x 0 y 1 x 0 temos x3y 1 x2y 1 2xy 1 2y1 0 0 2x 2x 0 Analogamente y 2x ln x 1 y 2x 1 x y 2 x 1 x2 logo x3y 2 x2y 2 2xy 2 2y2 x x 2xln x 1 2x ln x 0 61 EDOS LINEARES DE ORDEM N 135 Ou seja o método de redução de ordem nos leva a resolver uma equação de ordem n 1 Se o n for grande este método pode não ser muito eficiente pois a equação de ordem n 1 pode ser tão difícil de ser resolvida quanto a de or dem n Na prática o método de redução de ordem é útil principalmente para equações de segunda ordem Exemplo 80 Considere a edo y y 4 y 4 x y 0 onde y1x x é uma solução É fácil verificar que y1 é de fato uma solução Tentemos encontra uma segunda solução da forma vx cx y1x x cx Logo v x c c v x c 2 c v x c 3 c e v v 4 v 4 x v x c 3 x c 2 4 x c 4 4 c p c x p 3 x p 4 x 2 p 0 A equação acima não se encaixa em nenhum dos tipos de equação de segunda ordem que sabemos resolver Exemplo 81 Considere a edo y 6 y 12 y 8 y 0 69 A função y1x e2x é solução de 69 Vamos procurar outras soluções na forma yx cx e2x Para que y seja solução de 69 deve satisfazer y 6 y 12 y 8 y e2x c 0 Isto é o coeficiente cx deve satisfazer cx 0 cuja solução geral facilmente obtida por integrações é cx k1 x2 k2 x k3 136 CAPÍTULO 6 EDOS DE ORDEM SUPERIOR Fazendo as escolhas k1 k2 k3 ei obtemos as seguintes soluções linear mente independentes da edo 69 y1x x2 e2x y2x x e2x e y3x e2x Portanto yx k1 x2 e2x k2 x e2x k3 e2x é solução geral da edo 69 613 Edos Homogêneas com Coeficientes Constantes Estudaremos nesta Seção edos de ordem n lineares homogêneas em que as coeficientes pix i 0 n 1 são funções constantes Isto é edos que podem ser escritas na forma yn an1 yn1 a1 y a0 y 0 610 onde an1 a0 R Já sabemos que para determinar uma solução geral de 610 basta achar n so luções linearmente independentes Tentemos encontrar tais soluções da forma yx erx Logo deve satisfazer a edo 610 y r erx y r2 erx yn rn erx De 610 obtemos rn an1 rn1 a1 r a0 erx 0 611 Isto é o expoente r deve ser igual às raízes da equação característica rn an1 rn1 a1 r a0 0 Denotemos por Pr rn an1 rn1 a1 r a0 Pr é um polinômio de grau n e da Álgebra sabemos que um polinômio possui n raízes reais eou complexas Pr é chamado polinômio caracteristíco da edo Raízes Distintas Se Pr possui n raízes reais ri distintas Pr r r1 r r2 r rn 138 CAPÍTULO 6 EDOS DE ORDEM SUPERIOR Exemplo 84 Considere a edo y3 y 0 A equação característica da edo é r3 r r r2 1 r r i r i 0 r1 0 r2 i e r3 i Logo uma soluções da edo é yhx k1 k2 cos x k3 sen x 614 Estudo Detalhado das Raízes Voltemos à equação característica Como Pr é um polinômio do grau n sa bemos que ele tem n raízes A introdução de operadores diferenciais permite entender o porquê do procedimento acima Vamos dividir as raízes da equação característica em dois grupos raízes com parte imaginária igual a zero e raízes com parte imaginária diferente de zero Suponhamos que a equação característica tenha j raízes reais e nj raízes com plexas com 0 j n Lembrando que as raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados n j deve ser um número par Exemplo 85 O polinômio Pr r9 8 r8 26 r7 50 r6 72 r5 82 r4 70 r3 46 r2 23 r 6 se fatora da seguinte forma Pr r 2 r 3 r 13 r i2 r i2 este caso j 5 n j 4 e k 2 Analisemos todas as possibilidades para as raízes da equação característica Elas podem ser Raízes Distintas Neste caso podemos fatorar a equação característica da seguinte maneira j fatores envolvendo raízes com parte imaginária igual a zero e 2k nj fatores envolvendo as raízes com parte imaginária diferente de zero com 0 j n Isto é a equação característica pode ser reescrita na forma r r1 r rjr α1 iβ1r α1 iβ1 r αk iβkr αk iβk 0 61 EDOS LINEARES DE ORDEM N 141 cujas raízes são r1 1 r2 1 r3 i r4 i Portanto uma solução geral de y4 1 0 é yx k1 er1x k2 er2x e0x c1 cos x d1 sen x k1 ex k2 ex k3 cos x k4 sen x Raízes Repetidas Vamos começar com um exemplo Exemplo 87 y4 5 y 6 y 4 y 8 y 0 612 A edo acima tem equação característica r4 5 r3 6 r2 4 r 8 r 1r 23 0 que tem r 1 como raiz de multiplicidade um e r 2 como raiz de multi plicidade três Neste caso temos apenas duas soluções da forma erx a saber y1x ex e y2x e2x Como a edo é de ordem quatro precisamos de mais duas soluções linearmente independentes para determinarmos um conjunto fundamental Vamos agora fazer uso de uma propriedade das equações de coeficientes constantes Para tanto vamos associar ao fator r 23 da equa ção característica uma edo linear homogênea com coeficientes constantes cuja equação caractarística seja dada por ele Como r 23 r3 6 r2 12 r 8 podemos tomar y 6 y 12 y 8 y 0 613 Por construção sabemos que yx e2x é solução de 613 No Exemplo 81 usamos o método de redução de ordem o obtivemos outras soluções de 613 na forma yx cxe2x Vimos que o coeficiente cx deve satisfazer cx 0 Isto é cx k1 x2 k2 x k3 Fazendo as escolhas k1 k2 k3 ei obtemos as seguintes soluções linear mente independentes verifiquem da edo 613 y1x x2 e2x y2x x e2x e y3x e2x Vamos verificar que y1 também é solução da edo 612 y4 1 5 y 1 6 y 1 4 y 1 8 y1 2 e2xx28 20 12 4 4 x32 60 24 4 24 30 6 0 144 CAPÍTULO 6 EDOS DE ORDEM SUPERIOR Por outro lado para que yx seja solução de 615 devemos ter Akyk Ak1yk1 A1y A0y 0 Logo o coeficiente cx deve satisfazer ckx 0 cuja solução geral facilmente obtida por integrações é cx αk xk1 αk1 xk2 α2 x α1 Fazendo as escolhas α1 αk ei obtemos k soluções linearmente inde pendentes yix xi1 erpx da edo 615 Caso real Vamos supor que r é raiz real da equação característica 610 com multiplici dade k Neste caso queremos associar a esta raiz k soluções linearmente in dependentes da edo 610 Basta que determinemos soluções da forma yx cx yrx cxerx com cx solução da edo ckx 0 Isto é cx αk xk1 α2 x α1 com αi R para i 1 k Logo y1x erx y2x x erx ykx xk1 erx linearmente independentes da edo 610 Caso Complexo Vamos supor que r α iβ são raízes complexas da equação caracterís tica 610 com multiplicidade k Neste caso queremos associar a cada uma delas k soluções linearmente independentes da edo 610 Vimos que se cx é solução da edo ckx 0 então funções da forma yx cx yrx cxerx são soluções de610 Logo y1x eαiβx y2x x eαiβx ykx xk1 eαiβx e z1x eαiβx z2x x eαiβx zkx xk1 eαiβx 61 EDOS LINEARES DE ORDEM N 145 são soluções a valores complexos de 610 Para obter soluções a valores re ais basta tomarmos as partes real e imaginária das funções yix e zix com i 1 k Deste conjunto de 4 k soluções podemos obter as seguintes 2k soluções linearmente independentes da edo 610 y1x ea x cos b x y2x x ea x cos b x ykx xk1 ea x cos b x e y1x ea x sen b x y2x x ea x sen b x ykx xk1 ea x sen b x Vamos ver através de um exemplo o que fazer no caso geral Exemplo 88 y7 5y6 9y5 13y4 15y 11y 7y 3y 0 617 Primeiramente achamos as raízes da equação característica r7 5r6 9r5 13r4 15r3 11r2 7r 3 r 3r 12r i2r i2 0 e consideremoas as soluções da forma yx erx y1x e3x y2x ex y3x eix y4x eix Estas soluções são linearmente independentes No entanto elas não formam um conjunto fundamental pois uma de ordem sete tem espaço solução de di mensão sete Vamos obter outras soluções a partir das raízes repetidas Procu raremos soluções da forma ux c1xy2x vx c2xy3x com cix soluções das edos c 1x 0 e c 2x 0 Isto é ux k1x k2ex e vx k3x k4eix Para obter soluções a va lores reais tomamos as partes real e imaginária de v A solução geral de nos dois últimos ficamos com as partes real e imaginária de k4x k5eix Por tanto uma solução geral de 617 é obtida tomando combinações das soluções linearmente independentes obtidas anteriormente Isto é yx k1e3x k2x k3ex k4x k5 cos x k6x k7 sen x 146 CAPÍTULO 6 EDOS DE ORDEM SUPERIOR 62 Equação de EulerCauchy Homogêneas Definição 29 Uma equação de EulerCauchy de ordem n é uma equação da forma an xn yn an1 xn1 yn1 a1 x y a0 y 0 618 onde an 0 a0 a1 an R Observação 21 A equação de Euler 618 também é chamada de equação equidimen sional pois o expoente de cada coeficiente é igual à ordem da derivada De forma análoga ao capítulo anterior acharemos soluções de 618 da forma yx xr para x 0 substituindo yx na edo 618 obtemos an xn yn an1 xn1 yn1 a1 x y a0 y 0 619 Isto é r deve ser raiz da equação 619 Podemos associar à equação 619 uma edo de coeficientes constantes na variável t dada por An dny dtn An1 dn1y dtn1 A1 dy dt A0 0 620 com os coficientes Ai dado pelo coficiente de ri de 619 É fácil ver que 619 é equação característica da edo 620 Denotemos por yt uma solução geral de 620 É possível mostrar que uma solução geral da equação de Euler 618 pode ser obtida a partir de yt através da seguinte mudança de variável x et Portanto toda a análise feita na Seção 613 para edos de coeficientes cons tantes se estende para a edo 618 através da mudança de variável indicada acima Desse modo uma solução geral da edo 618 para x 0 é yx k1 y1ln x kn ynln x onde y1t ynt formam um conjunto fundamental da edo 620 e k1 kn são contantes reais arbitrárias Observação 22 É fácil verificar que se yx é uma solução da edo 618 para x 0 então yx é solução da edo 618 para x 0 Exemplo 89 x3 y 3 x2 y 2 x y 2 y 0 621 63 MÉTODO DE VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS 149 63 Método de Variação dos Parâmetros Como antes queremos resolver a edo linear de ordem n não homogênea yn pn1x yn1 p1x y p0x y rx 626 supondo que já conhecemos uma solução geral yHx k1 y1x kn ynx 627 da equação homogênea associada yn pn1x yn1 p1x y p0x y 0 628 Como uma solução geral da edo 626 é dada por yx ypx yHx com ypx uma solução particular da edo 626 e yHx uma solução geral da edo homogênea associada Como já temos yHx resta apena determinar uma solução particular Vamos tentar encontrála na forma ypx c1x y1x cnx ynx Tal como no caso das equações de segunda ordem a hipótese de que a expres são acima é uma solução particular nos fornece apenas uma equação Como queremos determinar n funções temos n 1 graus de liberdade Introduzire mos n 1 equações adicionais que simplifiquem nossas exepressões de deri vadas bem como nos leve a um sistema que sempre tenha solução Vamos considerar para 1 k n 1 as seguintes condições adicionais c 1 yk1 1 c n yk1 n 0 Desse modo as derivadas de yp serão dadas por yk p c1 yk 1 cn yk n 629 Até o momento temos n 1 equações Resta obter a equação que exige que yp seja solução da edo 626 Usando 629 obtemos yn p c 1yn1 1 c nyn1 n c1yn 1 cnyn n 63 MÉTODO DE VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS 151 Vimos no Exemplo 89 que yHx k1 x2 k2 ln x k3x x 0 é uma solução geral da edo homogênea associada x3 y 3 x2 y 2 x y 2 y 0 Vamos procurar uma solução particular da edo nãohomgênea 631 na forma ypx c1x x2 c2x ln x c3xx Acrescentaremos as seguintes condições c 1x x2 c 2x x ln x c 3x x 0 e 2c 1x x3 2c 2x ln x 1 c 3x 0 Portanto y px c 1x x2 c 2x ln x c 3xx 2c1x x3 c2xln x 1 c3x 2c1x x3 c2xln x 1 c3x y px 2c 1x x3 c 2xln x 1 c 3x 6 c1x x4 c2x x1 6 c1x x4 c2x x1 y p x 6 c 1x x4 c 2x x1 24 c1x x5 c2x x2 Queremos que yp seja solução de 631 Isto é x3 y p 3 x2 y p 2 x y p 2 yp 6 c 1x x1 c 2x x2 27 x Dividindo a última equação por x3 vemos que as derivadas dos coeficientes de cix devem satisfazer compare com 630 c 1x x2 c 2x x ln x x c 3x 0 2c 1x x3 c 2x ln x 1 c 3x 0 6c 1x x4 c 2x x1 27 x2 Resolvendo o sistema obtemos as seguintes edos c 1x 3 x2 x c 2x 9 e c 3x 6 x1 9x1 ln x 9 x1 64 MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 153 Exemplo 91 y 9 y x sen x 634 Resolvemos o problema homogêneo associado y 9 y 0 Como r1 0 r2 3i e r3 3i são raízes de sua equação característica r3 9 r 0 uma solução geral da edo homogênea associada é dada por yHx k1 k2 sen 3x k3 cos 3x Uma vez que a função rx x sen x e suas derivadas x sen x x cos x sen x cos x e o conjunto fundamental da edo homogênea 1 sen 3x cos 3x são line armente independentes vamos combinar as Regras 1 2 e 3 apresentadas na Subseção 571 e tentar encontrar uma solução particular da forma ypx A sen x B cos x C x sen x D x cos x Observe que estas funções linearmente independentes que podem ser obtidas a partir de rx x sen x e de suas derivadas Temos y p A D cos x C B sen x Cx cos x D x sen x y p A 2 D sen x 2 C B cos x C x sen x D x cos x y p A 3 D cos x 3 C B sen x C x cos x D x sen x Para que yp seja solução devemos ter y p 9 y p 8 A 6 D cos x 6 C 8 B sen x 8 C x cos x 8 D x sen x x sen x Isto é 8 A 6 D 0 6 C 8 B 0 8 C 0 8 D 1 Resolvendo o sistema linear obtemos ypx 3 32 sen x 1 8 x cos x Não tratamos ainda o caso em que algum termo de r ou de suas derivadas é linearmente dependente com os elementos da base do problema homogêneo 158 CAPÍTULO 6 EDOS DE ORDEM SUPERIOR 7 Mostre que se y1 é uma solução de y p1ty p2ty p3ty 0 então a substituição y vty1t nos leva à seguinte equação de segunda ordem para p v y1p 3y 1 p1y1p 3y 1 2p1y 1 p2y1p 0 8 Encontre uma solução geral de a y 2y 2y 0 b y 10y 25y 0 c 6x2y 5xy y 0 d x2y 4xy 6y 2x4 x2 e y 7y 10y 24ex f y 3y 3y y 0 g y 6y 3 cos x h y 25y 6 sen x i 3y 10y 15y 4y 0 j y 3y 5y 4x3 2x k y 5y 6y 8 2 sen x l y 2y 2y ex tg x m x3y 6x2y 4xy 4y 0 n y 4y 4y 2ex 4x 12 o d3u dt3 d2u dt2 2u 0 p y4 y y 0 q y 2y 5y ex cos 2x r y 2y y sen x 3 cos 2x s y 2y 5y ex cos 2x t y 2y y sen x 3 cos 2x u y4 2y y x 12 v y y 3 w y y 8x2 x y y 12y e4x y y 6y 9y xe4x z y y x2ex 5 9 Sabendo que y1x é uma solução da edo dada determine uma solução geral de a y 4y 4y 0 y1x e2x b y 16y 0 y1x cos 4x c y 4y 2 y1x e2x d y 3y 2y 5e3x y1x ex 65 EXERCÍCIOS 159 e x2y xy 2y 0 y1x x senln x f 1 2x x2y 21 xy 2y 0 y1x x 1 10 Encontre uma solução geral de a y 3y 2y sen ex b x2y xy y 2x c xy4 6y 0 d xy 4y x4 e y 2y 5y ex sen x f y 8y 6x2 9x 2 g y4 2y y ex 1 h y 3y 3y y ex x 16 i y 3y 2y 1 1 ex j 3y 6y 6y ex sec x k x3y 6y 0 l x2y 9xy 20y 0 11 Resolva os PVIs a y 12y 36y 0 y0 0 y0 1 y0 7 b y 2y y 2 24ex 40e5x y0 1 2 y0 5 2 y0 9 2 12 Encontre soluções particulares de a y 6y 5y 9e2x e y 6y 5y 5x2 3x 16 b Use o item anterior para encontrar soluções particulares de y6y5y 5x23x169e2x e y6y5y 10x26x32e2x 13 Suponha que m1 3 m2 5 e m3 1 sejam raízes de multiplicidade 1 2 e 3 respectivamente de um polinômio de grau seis Escreva a solução geral da edo linear homogênea correspondente se ela for a uma equação com coeficientes constantes b uma equação de EulerCauchy 14 As raízes de uma equação característica cúbica são r1 4 e r2 r3 5 Determine uma equação diferencial linear homogênea correspondente Sua resposta é a única possível Discuta 160 CAPÍTULO 6 EDOS DE ORDEM SUPERIOR 15 Ache a solução geral de y 6y y 34y 0 sabendo que y1x e4x cos x é uma solução 16 Considere a equação diferencial ay by cy ekx onde a b c e k são constantes com a 0 A equação caracterísitca da equação homogênea asso ciada é ar2 br c 0 a Se k não for raiz da equação característica mostre que podemos encon trar uma solução particular da forma ypx Aekx onde A 1 ak2 bk c b Se k for uma raiz de multiplicidade um da equação característica mostre que podemos encontrar uma solução particular da forma ypx Axekx onde A 1 2ak b Explique como sabemos que k b 2a c Se k for uma raiz de multiplicidade dois da equação característica mostre que podemos encontrar uma solução particular da forma ypx Ax2ekx onde A 1 2a 72 APLICAÇÕES À FÍSICA 185 xt xht xpt Aeλt cosωt φ F0 m ω2 0 ω2 f 4γ2ω2 f ω2 0 ω2 f2 cos ωft F0 m 2ωfγ 4γ2ω2 f ω2 0 ω2 f2 sen ωft O primeiro termo do segundo membro solução da equação homogênea re presenta oscilações amortecidas Este termo decresce quanto t cresce e ao fim de certo tempo os outros dois termos que representam oscilações força das são os que desempenham papel principal Fazendo A cos φ F0 m ω2 0 ω2 f 4γ2ω2 f ω2 0 ω2 f2 e A sen φ F0 m 2ωfγ 4γ2ω2 f ω2 0 ω2 f2 obtemos xt Aeλt cosωt φ A cos φ cos ωft A sen φ sen ωft Aeλt cosωt φ A cosωft φ Circuito RL E L R O comportamento dos elementos que constituem este circuito é regido por uma equação linear de primeira ordem que resulta da aplicação das seguin tes leis 1 Lei de Kirchoff A soma das quedas de potencial elétrico ao longo de uma ma lha do circuito é igual a zero 194 CAPÍTULO 7 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Circuito RLC R L E C A equação diferencial de segunda ordem que descreve o comportamento da corrente elétrica em função do tempo nesse circuito resulta da aplicação das seguintes leis 1 Lei de Kirchoff A tensão aplicada em um circuito fechado é igual à soma das quedas de tensão no resto do circuito 2 Lei de Ohm A diferença de potencial aplicada aos terminais de um resis tor metálico mantido à temperatura constante é diretamente proporcional à intensidade de corrente elétrica que o atravessa Escrevemos E RI 3 A queda de tensão através de um indutor é proporcional à taxa de variação da corrente Isto é E LdI dt 4 A queda de tensão através de um capacitor é proporcional ao valor da carga elétrica armazenada no condutor Temos então que E Q C Portanto LdI dt RI 1 C Q Et 72 APLICAÇÕES À FÍSICA 197 It Aebt cosωt φ F ω2 0 ω2 l 4b2ω2 l ω2 0 ω2 l 2 cos ωlt F 2bωl 4b2ω2 l ω2 0 ω2 l 2 sen ωlt Observe que primeiro termo do segundo membro da última equação repre senta oscilações amortecidas Quando t cresce este termo decresce de modo que ao final de um certo intervalo de tempo os outros dois termos desempe nharão o papel principal Fazendo G cos δ F ω2 0 ω2 l 4b2ω2 l ω2 0 ω2 l 2 e G sen δ F 2bωl 4b2ω2 l ω2 0 ω2 l 2 obtemos It Aebt cosωt φ G cosωlt δ onde tg δ 2bωl ω2 0 ω2 l 11 Um tubo em U está cheio com um líquido homogêneo que é levemente comprimido em um dos lados do pistão O pistão é removido e o nível do líquido em cada ramo oscila Determine a altura do nível do líquido em um dos ramos em função do tempo z 0 z z l Consideramos o fluido ideal Características do fluido ideal 1 Escoamento uniforme a velocidade do fluido em qualquer ponto não muda com o tempo em magnitude em direção e em sentido 200 CAPÍTULO 7 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 81 FUNÇÕES DE ORDEM EXPONENCIAL 203 Teorema 13 Se α e β são constantes então Lα ft β gt α Lft β Lgt para todo s tal que as transformadas tanto de f quanto de g existam O resultado acima permitem que calculemos a transformada de algumas fun ções a partir de outras transformadas já conhecidas Exemplo 98 Calcule L5 8 t3 se t 0 Como L1 1 s e Lt3 6 s4 aplicando o teorema L5 8 t3 5 L1 8 Lt3 5 s 48 s4 se s 0 Exemplo 99 Calcule Lcosh kx e Lsinh kx se t 0 Como cosh kx ekx ekx 2 e Lekx 1 s k se s k aplicando o teorema Lcosh kx 1 2 Lekx 1 2 Lekx s s2 k2 se s k Analogamente Lsinh kx 1 s2 k2 se s k 81 Funções de ordem exponencial Agora desejamos saber que tipo de funções possuim transformadas de La place Definição 31 Uma função f é contínua por partes em um intervalo α β se o inter valo puder ser particionado em um número finito de subintervalos ti ti1 α t0 t1 tn β tais que 1 f é contínua em cada subintervalo aberto ti ti1 2 São finitos os limites laterais lim tt i ft e lim tt i1 ft 0 i n 1 existem 234 CAPÍTULO 8 TRANSFORMADA DE LAPLACE d 1 3 4 5 0 1 1 2 2 y t e 0 1 1 y t f ft t2u1t g ft e2tuπt h ft t 3u2t t 2u3t 9 Determine a transformada de Laplace das seguintes funções periódicas a 3 4 5 0 π 2 t 6 7π π π π π π y π b 3 4 5 0 2 t 6 7 y 1 1 88 EXERCÍCIOS 237 s x4 1 x4 x2 t u2 1 u3 1 u 2x 1 x2 42 v x3 x 1 x2 2x2 1 w x3 1 x 12x2 12 238 CAPÍTULO 8 TRANSFORMADA DE LAPLACE Capítulo 9 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Agora estamos interessados em estudar sistemas de equações diferenciais li neares de primeira ordem Definição 36 Um sistema da linear da forma x 1 p11tx1 p1ntxn g1t x 2 p21tx1 p2ntxn g2t x n pn1tx1 pnntxn gnt é chamado de sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem Se todas as funções g1t gnt forem indeticamente nulas no intervalo I α β dizemos que o sistema 36 é homogêneo caso contrário ele é nãohomogêneo Definição 37 Dizemos as funções x1 φ1t xn φnt são uma solução do sistema 36 no intervalo I α β se elas i são diferenciáveis em todos os pontos do intervalo I e ii satisfazem o sistema 36 em todo t I Definição 38 Se associarmos ao sistema 36 n condições iniciais x1t0 x0 1 xnt0 x0 n 91 dizemos que 36 e 91 formam um problema de valor inicial PVI Vejamos através de um exemplo que sistemas lineares envolvendo derivadas de ordem mais altas podem ser reduzidos a sistemas de primeira ordem 239 242 CAPÍTULO 9 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES Teorema 27 Se x1 xn são soluções do problema homogêneo 93 no intervalo I então Wx1 xn ou é identicamente nulo ou nunca se anula nesse intervalo O Teorema 27 nos diz que x1 xn são soluções de 93 no intervalo I α β então x1 xn são linearmente independentes se e somente se det Xt 0 em algum ponto do intervalo I Teorema 28 Sejam x1 xn soluções linearmente independentes do problema ho mogêneo 93 em um intervalo aberto I em que p11 pnn são contínuas Então cada solução x φt do sistema 93 pode ser expressa de modo único como uma combinação linear de x1 xn φt α1x1t αnxnt t I Por esta propriedade damos um nome especial a um conjunto de n soluções linearmente independentes Definição 40 Se x1 xn soluções linearmente independentes do sistema homogê neo 93 dizemos que x1 xn formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea Vejamos o caso nãohomogêneo Se tivermos x Pt x g 95 pela linearidade uma solução geral de 95 é dada por xt xpt α1 x1t αn xnt onde x1 xn formam um conjunto fundamental do problema homogêneo 93 e xpt é uma solução particular do problema não homogêneo Isto é x p Pt xp g 91 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares com coeficientes constantes x 1 a11x1 a1nxn g1t x 2 a21x1 a2nxn g2t x n an1x1 annxn gnt Capítulo 10 Respostas Exercícios 210 1 dp dt kp k R 2 dQ dt kQ k 0 dQ dt kq Q0 Q0 Sim Sim 3 2 1 1 2 2 15 1 05 05 1 15 2 Figura 101 Campo de direções e algumas curvas integrais 251 261 e yx exk1 cos 2x k2 sen 2x 1 3ex sen x f yx k1 k2x k3e8x 11 256x2 7 32x3 1 16x4 g yx k1 k2x k3ex k4xex 1 2x2ex 1 2x2 h yx k1ex k2xex k 3x2ex 1 6x3ex x 13 i yx k1ex k2e2x ex e2x ln1 ex j yx k1ex sen x k2ex cos x 1 3xex sen x 1 3xex cos x ln cos x k yx k1x3 k2 cos 2 ln x k3 sen 2 ln x l yx x2k1 cos3 ln x k2 sen3 ln x 4 13 3 10x 11 a yx 3x 4x ln x b yx 11 11ex 9xex 2x 12x2ex 1 2e5x 12 a ypx 3e2x e ypx x2 3x b ypx x2 3x 3e2x e ypx 2x2 6x 1 3e2x 13 a yx k1e3x k2e5x k3xe5x k4ex k5xex k6x2ex b yx k1x3 k2x5 k3x5 ln x k4x k5x ln x k6xln x2 266 CAPÍTULO 10 RESPOSTAS v 1 4x 1 3 4x 12 3 4x 1 1 4x 12 w 1 4x 1 1 2x 12 x 1 4x2 1 x 1 2x2 12 Bibliografia Ab S Abunahman Equações Diferenciais EDC 1991 Ay F Ayres Jr Equações Diferenciais Coleção Schaum Ao Livro Téc nico 1963 BD W E Boyce R e C DiPrima Equações Diferenciais Elementares e Pro blemas de Valores de Contorno LTC 2002 EP C H Edwards Jr e D E Penney Equações Diferenciais Elementares com Problemas de Valores de Contorno PrenticeHall do Brasil 1995 FN D G Figueiredo e A F Neves Equações Diferenciais Aplicadas IMPA 1997 In E L Ince Integracion de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias DOSSAT 1943 KL W Kaplan e D J Lewis Cálculo e Álgebra Linear LTC 1976 KO D Kreider D R Ostberg R C Kuller F W Perkins Introdução à Análise Linear Equações Diferenciais Lineares vol 1 Ao Livro Téc nico 1996 L S Lang A First Course in Calculus 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