Questionário 2 Cálculo 3

Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Prof Dr Samuel Carlos de Souza Ferreira 20241 Questionário 2 Cálculo 3 1 50 Determine a área da superfície S x y z ℝ³ z x² y² e x² y² z² 6 2 50 Usando o Teorema da Divergência calcule a integral S xi yj z²k n ds onde S é a fronteira da região V x y z ℝ³ x² y² z²4 e 0 z 2 ₀² ₀²π z₃ r²7 0³2 dθ dz₃ ₀² ₀²π 3 34² dθ dz₃ 14 ₀²π ₀²π z₃³ dθ dz₃ 14 ₀² θ z₃³ ₀²π dz₃ π2 ₀² z₃³ dz₃ π2 34 ₀² π8 2⁴ 2π Questão 1 Determine a área da superfície S x y z ℝ³ z x² y² x² y² z² 6 Solução Note que superfície S consiste de duas superfícies S₁ e S₂ sendo S₁ a superfície da esfera x² y² z² 6 acima do plano z 2 z 6 x² y² e S₂ a superfície do paraboloide z x² y² abaixo do plano z 2 A interseção entre as superfícies ocorre quando z z² 6 z² z 6 0 z 2z 3 z 2 e z 3 Logo concluímos que a interseção entre as superfícies ocorre no plano z 2 e é o circulo centrado na origem e de raio 2 que é fronteira do disco D x y x² y² 2 Sendo z f₁ x y 6 x² y² temos que f₁x 126 x² y² 2x x6 x² y² e f₁y 126 x² y² 2y y6 x² y² e portanto a área da superfície S₁ é dada por AS₁ D 1 f₁x² f₁y² dA D 1 x²6 x² y² y²6 x y² dydx D 1 26 x² y² dydx D 26 x² y² dydx Para resolver a ultima integral usamos coordenadas polares Seja x rcosθ e y rsenθ com 0 r 2 e 0 θ 2π Então D 26 x² y² dydx ₀²π ₀2 26 r² rdrdθ 2 ₀²π ₀2 r6 r² drdθ Para resolver a integral ₀2 r6 r² dr considere a substituição u 6 r² Então du 2r dr e r6 r² dr 12 1u du u C 6 r² C Assim ₀2 r6 r² dr 6 r²₀2 2 6 Voltando a integral dupla obtemos AS₁ 2 ₀2π ₀2 r6 x² y² dr dθ 2 ₀2π 6 2 dθ 2 6 2 θ₀2π 2π23 2 Agora sendo z ₂ x y x² y² temos que f₂x 2x e f₂y 2y e portanto a área da superfície S₂ é dada por AS₂ D 1 f₂x² f₂y² dA D 1 4x² 4y² dydx D 1 4x² y² dydx Usando coordenadas polares para resolver a última integral dupla sejam x r cosθ e y r senθ com 0 r 2 e 0 θ 2π Então AS₂ ₀2π ₀2 1 4r² r dr dθ Para resolver a integral ₀2 1 4r² r dr considere a substituição u 1 4r² Então du 8r dr e 1 4r² r dr 18 u du 18 23 u32 C 112 1 4r²32 C Portanto ₀2 1 4r² r dr 2712 112 136 Assim AS₂ ₀2π ₀2 1 4r² r dr ₀2π 136 dθ 136 θ₀2π 13π3 Finalmente a área a procurada é AS AS₁ AS₂ 2π23 2 13π3 Questão 2 Usando o Teorema da Divergência calcule a integral S xi yj z²k n ds onde S é a fronteira da região V x y z x² y² z²4 0 z 2 Solução Seja Fx y z xi yj z²k um campo de vetores Então o divergente de F é dado por divF x x y y z z² 2z Note que a superfície S é fronteira de uma região sólida V que é um cone x² y² z²4 que está limitado superiormente pelo plano z 2 e inferiormente pelo plano xy z 0 Assim usando coordenadas cilíndricas V é descrita por V r θ z 0 r z2 0 θ 2π 0 z 2 e portanto aplicando o Teorema da Divergência S F n ds E 2z dV ₀² ₀2π ₀z2 2z r dr dθ dz