Análise das Séries de Fourier

Séries de Fourier Victor Rios Silva victorrioslivecom Universidade Federal Fluminense UFF Instituto de Matemática IM Departamento de Matemática Aplicada GMA Rua Mário Santos Braga SN Valonguinho 2402014 Niterói Rio de Janeiro Brasil Outubro 2010 Página 2 57 Todos os eventos da natureza podem ser equacionados uns de maneira simples e outros de maneira mais complexa Uma das formas de equacionarmos os fenômenos naturais é através das Séries de Fourier Nosso estudo sobre as Séries de Fourier será uma análise sobre quais as circunstâncias é possível escrever e como escrever uma função como uma Série de Fourier análise da convergência e demonstração da derivação e integração dessas séries Nas seções I e II é apresentado as funções periódicas e séries trigonométricas como uma forma de revisão de conceitos posteriormente essenciais para o entendimento das Séries de Fourier Na seção III apresentase as Condições de Dirichlet na seção IV as Integrais de Euler na seção V a maneira pela qual se determinam os coeficientes de Fourier na seção VI funções pares e ímpares na seção VII funções com períodos arbitrários a fim de expandirmos o conceito de Séries de Fourier da maneira mais genérica possível na seção VIII falase sobre séries em senos e cossenos e expansão par e ímpar na seção IX igualdade de Parseval na seção X convergência das Séries de Fourier na seção XI derivação e integração das Séries de Fourier na seção XII forma complexa das Séries de Fourier e na seção XIII as aplicações das Séries de Fourier Durante o estudo são propostas diversas questões resolvidas como forma de exemplificação e melhor entendimento do assunto I Funções Periódicas Uma função é dita periódica com um período T se para qualquer x Do que decorre que para n inteiro Exemplo 1 temos que logo Exemplo 2 Achar o período da função Se a função for periódica Página 3 57 Logo Observação Se duas funções e possuem período T então a função é periódica com período T II Série Trigonométrica É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicandose os senos e os cossenos dos múltiplos sucessivos da Variável independente x por coeficientes que não dependem da variável x e são admitidos reais ou 1 Sendo esta uma série de funções sua soma S no caso de existir ou seja se a série for convergente será uma função da variável independente e como os termos da série são funções trigonométricas funções periódicas de período a soma será uma função periódica de período De modo que precisamos estudar a série trigonométrica em um intervalo de comprimento por exemplo As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica Esta representação é possível se a satisfaz as condições de suficiência de Dirichlet Página 4 57 III Condições de Dirichlet Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser representada por uma série trigonométrica as condições de suficiência de Dirichlet apesar de mais restritivas asseguram a convergência da série para a função 1ª A função deve ser contínua e portanto limitada no intervalo com exceção talvez de um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie finitas Exemplo Esta função apresenta num período apenas um ponto de descontinuidade finita em Contraexemplo no intervalo Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto 2ª Efetuandose uma partição no intervalo em um número finito de subintervalos a função fx em cada um deles é monótona A função tem somente um número finito de máximos e mínimos em um período Exemplo 1 Podemos considerar 3 subintervalos No 1º é crescente No 2º é decrescente No 3º é crescente Apresenta no período um ponto de máximo e um de mínimo Página 5 57 Contraexemplo Esta função apresenta um número infinito de máximos e mínimos na vizinhança de Exemplo 2 Verificar se as funções abaixo satisfazem as condições de Dirichlet a Sim pois no ponto onde temos uma indeterminação a descontinuidade é de 1ª espécie b Não pois temos descontinuidade infinita para c Não descontinuidade infinita na vizinhança de Página 6 57 d Sim as duas condições de Dirichlet são satisfeitas e Não pois na vizinhança de temos um número infinito de máximos e mínimos IV Ortogonalidade Integrais de EULER Os termos na série são ditos ortogonais com relação ao período isto é a integral em um período do produto de quaisquer dois termos diferentes é nula 1 De fato 2 De fato 3 De fato 1 2 Somando membro a membro 1 2 Página 7 57 4 De fato 1 2 Fazendo 1 2 5 1 2 2 1 6 7 1 2 1 2 Página 8 57 V Determinação dos Coeficientes de Fourier Usando propriedades elementares das funções trigonométricas podemos facilmente determinar e em termos de de maneira que no intervalo a série trigonométrica 1 seja igual à função isto é Integramos os dois membros de 1 entre ππ 0 1ª IE 0 2ª IE Cálculo de Multiplicando 1 por sendo p número fixo dado integrando no intervalo 0 1ª IE 0 se 3ª IE 0 7ª IE Se Página 9 57 Cálculo de Multipliquemos 1 por e integremos entre Se Exemplo 1 Determinar a série de Fourier da função que supomos possuir período e fazer esboço gráfico de e das primeiras três somas parciais Página 10 57 As somas parciais são Vimos que para A Série que Fourier representa é Página 11 57 Vamos determinar a Série de Fourier para A função é a deslocada unidade para baixo logo A função é a mesma exceto por uma alteração na escala do tempo Verificamos que alterar a escala tempo altera as frequências angulares dos termos individuais mas não altera seus coeficientes Assim para calcular os coeficientes o período pode ser arbitrariamente mudado se isto parecer conveniente Exemplo 2 Desenvolver em série de Fourier as funções supostas periódicas de período a A satisfaz as condições de Dirichlet Página 12 57 A satisfaz as condições de Dirichlet Cálculo dos Coeficientes de Fourier Fazendo a integração por partes Página 13 57 Logo b A satisfaz as condições de Dirichlet Cálculo dos Coeficientes Sabemos que então faremos Fazendo integral por partes novamente para temos Página 14 57 c A satisfaz as condições de Dirichlet Vamos calcular os coeficientes Se fizermos a integração por partes teremos Página 15 57 Se multiplicarmos por n² teremos Mas sabemos que De modo análogo calculamos Logo ou Página 16 57 d A satisfaz as condições de Dirichlet Cálculo dos Coeficientes Como a função é ímpar então VI Funções Pares e Ímpares Sejam gx e hx funções definidas no intervalo Dizse que Observação O gráfico da função par gx é simétrico em relação ao eixo das ordenadas O valor da função ímpar no ponto zero Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar verifiquemos que Página 17 57 I II III O produto de uma função par gx por uma função ímpar hx é ímpar IV O produto de uma função par gx por uma função par é uma função par Página 18 57 V O produto de uma função ímpar hx por uma função ímpar é uma função par Conclusão Se uma função é uma função par é uma função ímpar e Por outro lado se é uma função ímpar é ímpar e Teorema I A série de Fourier de uma função periódica par que possui período é uma série de Fourier em cossenos Com coeficientes A série de Fourier de uma função periódica ímpar que possui período é uma série de Fourier em senos Página 19 57 Com coeficientes Consideremos par 1 2 Mas como f é par Somandose 1 com 2 Por outro lado Como são funções pares temos Página 20 57 Consideremos agora ímpar 1 Como é ímpar então 2 Fazendo 1 2 Por outro lado Como são funções ímpares Página 21 57 Logo ao calcular os coeficientes da Série de Fourier para uma função que tenham simetria é conveniente integrar de a ao invés de a Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o horizontal ou ambos de maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as simplificações para formas de onda simétricas Exemplo 1 Verificar se as funções são pares ímpares ou nem pares nem ímpares a Logo não é nem par nem ímpar b Logo é par c Logo é ímpar d Logo não é uma função nem par nem ímpar e Página 22 57 Logo é uma função par Exemplo 2 Determinar a Série de Fourier da função Como é uma função que apresenta simetria é conveniente integrála no intervalo Cálculo dos Coeficientes Como é par Como a integral já foi calculada sabemos que Portanto Página 23 57 Exemplo 3 Determine a Série de Fourier para Embora pudéssemos determinar a série de diretamente vamos relocalizar os eixos a fim de usar as relações de simetria pois a não é par nem ímpar 1º Caso A subtração de uma constante de produz uma função ímpar Logo Portanto Página 24 57 2º Caso Mudemos o eixo vertical para obter uma função par Logo Portanto Mas como Podemos reescrever exatamente como obtido anteriormente Página 25 57 Exemplo 4 Desenvolver em Séries de Fourier as funções supostas periódicas de período a Como é par temos que ou Se substituirmos teremos Página 26 57 b Como é ímpar c Como é par temos que 0 1ª IE 0 1ª IE Página 27 57 d A satisfaz as condições de Dirichlet Cálculo dos Coeficientes Como é uma função par temos que Sabemos que Página 28 57 Exemplo 5 Determinar a Série de Fourier das funções periódicas de período T a e Como é ímpar b Como é par Página 29 57 c e Página 30 57 d e Como a função não é nem par nem ímpar teremos que calcular Logo e e Página 31 57 Resolvermos a integral da seguinte forma Resolvermos a integral da seguinte forma Página 32 57 f Como sabemos que é uma função par temos que g Página 33 57 h i Como sabemos que é uma função par temos que Página 34 57 Resolvermos a integral da seguinte forma j Como é uma função par temos que Mas temos que Página 35 57 k Como é uma função par temos que Para calcular aplicaremos a solução por partes duas vezes Ao multiplicarmos o resultado por teremos valendo Página 36 57 VII Funções com Período Arbitrário Até agora consideramos funções periódicas de período Por uma simples mudança de variável podemos encontrar a Série de Fourier para uma função de período T qualquer Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear Seja definida no intervalo 1 2 Somando membro a membro 1 e 2 Substituindo em 1 Então Vamos pois trocar a variável t por x onde logo a é definida no intervalo Assim Com coeficientes Página 37 57 Para facilitar os cálculos façamos Com coeficientes O intervalo de integração pode ser substituído por qualquer intervalo de comprimento T por exemplo O Teorema I se verifica para funções pares e ímpares periódicas de período T qualquer Seja uma função qualquer definida num intervalo fechado Podemos definir o intervalo T como sendo Página 38 57 Então é possível generalizar a Série de Fourier descrita acima como Exemplo 1 Determinar a Série de Fourier da função periódica de período Temos que Como é par Página 39 57 Exemplo 2 Determinar a Série de Fourier em da função Página 40 57 Exemplo 3 Determine a série de Fourier da função dada por A função pode ser definida como Embora essas integrais possam ser calculadas diretamente os cálculos podem ser simplificados consideravelmente mediante o seguinte raciocínio Designemos por a extensão periódica de a todo o eixo dos x Então as funções e são periódicas com período 2 e temos Para qualquer número real a Neste ponto nos apoiamos no fato óbvio de ser contínua por partes em com período Então Para qualquer par de números reais Faremos agora para obtermos Página 41 57 Mas no intervalo coincide com a função par onde para todo k e VIII Séries em Senos e Séries em Cossenos Desenvolvimento de meio período Se for par a série de Fourier fica 1 Com coeficientes 2 prolongada como função par Página 42 57 Se for ímpar a série de Fourier fica Com coeficientes Prolongamento periódico ímpar Observação Constatamos que 2 e 4 empregam unicamente os valores de do intervalo Para uma função definida somente neste intervalo podemos formar as séries 1 e 3 Se a função satisfaz as condições de Dirichlet ambas as séries representam a função no intervalo Fora deste intervalo a série 1 representará o prolongamento periódico par da tendo período e a 3 o prolongamento periódico ímpar da Página 43 57 Exemplo 1 Encontrar a Série de Fourier em cossenos da função definida no intervalo e fazer o gráfico do prolongamento periódico correspondente Logo Página 44 57 Exemplo 2 Representar por meio da Série de Fourier em cossenos e fazer o prolongamento periódico correspondente a Prolongamento periódico par Calculemos a integral Seja Página 45 57 Exemplo 3 Representar por meio da Série de Fourier em senos e fazer o prolongamento periódico correspondente da seguinte função Mas temos que Página 46 57 IX Igualdade de Parseval Se é uma função qualquer de então Onde e são os coeficientes de Fourier De fato Multiplicando no sentido do produto interno a equação1 por obtémse Tendo em vista que Concluise que Página 47 57 Observação Em geral onde é um conjunto ortogonal de vetores de um espaço de dimensão infinitaespaço euclidianoV Assim é um vetor arbitrário de V Além disso é uma base de v se e somente se X Convergência das Séries de Fourier a Convergência Pontual Seja fx contínua por partes em com período e suponhamos que para todo x Então a série de Fourier em cada ponto em que f tem derivadas à direita e à esquerda Quando f é continua Página 48 57 b Convergência em Média Mais uma vez ressaltamos que a série converge em média para f e não que converge pontualmente no sentido que para todo em A convergência pontual ocorre surpreendentemente quando f é razoavelmente bem comportada Neste caso a série converge também pontualmente para f nos pontos de onde está definida Além disso quando a série converge para zero embora não esteja definida nesses pontos Teorema Seja uma função continuamente diferenciável por partes em com o que entendemos que f tem uma derivada primeira contínua por partes em Então o desenvolvimento em série de Fourier de converge pontualmente em e tem o valor Observação é a média dos limites à esquerda e a direita de em e é igual a quando é um ponto de continuidade de Página 49 57 Assim podemos afirmar que a série converge pontualmente no intervalo para c Convergência Absoluta e uniforme Teorema Seja uma função contínua em com período e suponhamos que tenha derivada primeira contínua por partes Então a série de Fourier de converge uniforme e absolutamente para em todo intervalo fechado do eixo x Teorema Seja continuamente diferenciável por partes e periódica em com período Então a série de Fourier de converge uniformemente para em qualquer intervalo fechado do eixo x que não contenha ponto de descontinuidade de Página 50 57 XI Derivação e Integração das Séries de Fourier Teorema Seja f uma função contínua em com período e suponhamos que tenha derivada primeira contínua por partes Então a série de Fourier de pode ser obtida derivando a série de termo a termo e a série derivada converge pontualmente para se existe Teorema Seja f uma função contínua por partes em com período e seja a série de Fourier de Então Em outras palavras a integral definida de de a até b pode ser calculada integrandose a série de Fourier de termo a termo Página 51 57 Teorema da Integral Seja uma função arbitrária de com Série de Fourier dada por Então a função tem uma série de Fourier que converge pontualmente com relação a todo x do intervalo e Exemplo 1 Página 52 57 Exemplo 2 0 a b XII Forma Complexa das Séries de Fourier Onde pode ser escrito sob a forma complexa Escreva E introduza estas expressões na Série de Fourier É conveniente definir Página 53 57 Então a Série de Fourier pode ser escrita sua forma complexa da seguinte maneira Observação Exemplo 1 Ache a Série Complexa de Fourier de Página 54 57 XIII Aplicações das Séries de Fourier a Circuitos RLC Página 55 57 b Deflexão em Vigas Onde é a rigidez da viga e é a carga por unidade de comprimento Temos também que Mas temos que a Série de Fourier de é Página 56 57 Página 57 57 Através desse estudo pudemos entender um pouco mais sobre as Séries de Fourier além de suas peculiaridades abordadas de forma específica nas diversas seções Foi possível também notar a grande importância da mesma para a descrição de fenômenos naturais e a facilidade que ela propõe para tal estudo Com isso podese afirmar que tal ferramenta é essencial para as sociedades poderem interagir com a natureza de maneira cada vez mais eficaz Agradecimentos Aos amigos Bruno César Gimenez Pedro Gall Fernandes e Liziane Freitas Possmoser pelo empenho dedicação e auxílio na elaboração desenvolvimento e conclusão deste estudo Ao professor Dr Altair de Assis pelo material cedido para pesquisa e atenção assistida nos diversos itens enunciados Referências 1 Butkov Eugene Mathematical Physics 1ª edição 1988 2 Assis Altair S de Séries de Fourier 2010 3 Assis Altair S de Séries de Fourier Mudança de Intervalo 4 Assis Altair S de Convergência das Séries de Fourier 5 Assis Altair S de Apêndice 1 6 Assis Altair S de Forma Complexa das Séries de Fourier