Exercícios Resolvidos sobre Campos Vetoriais Calculo Vetorial

917 O campo vetorial F é constante no plano xy e é o mesmo em todos os planos horizontais com mesma palavra F é independente de z e tem componentes x e e y a O ulha F em positivo negativa ou nulo Explique b Determine se rot F O Se não em que direção ve F aponta 12 Seja Jam campo escolar e F um campo vetorial Diga se cada ex presão tem significado Em caso negativo explique por que Em caso afirmativo diga se é um campo vetorial ou escalar a rol F b grad c div F d rotgrad e grad F 0 graddiv F g divgrad h graddiv i rotrot F 0 divdiv F k grad f x div F 0 divrotgrad 1218 Determine se o campo vetorial é conservativo ou não Se for conservativo determine utna funçäo tal que F V Fx y z ycz 2xyc2 3xyc2 k Fx y 2 e xef e xyzc zys e k Fx y 2 3xyc2 i 2xyc2 3iyc2 k Fx y z i scnz y cos 2 Fx 2 z oi xoel xyeI k Fx y 2 efscny z 2e cos 2 ye cos yz k 18 Existe um campo vetorial G em Rt tal que rot G xsen y cos y z x y Explique 20 Existe um campo vetorial G em Rt tal que rot G eyc ye ye x Explique 21 Mostre que qualquer campo vetorial da forma Fx y z x i gx j hx k onde g e h são diferenciáveis é irrotacional 22 Mostre que qualquer campo vetorial da forma Fx y 2 6 2 i g2 2 j hx y k é incompreensível 23 divF G div F div G 24 rotF G rot F rot G 25 div r F div F V 26 rot r F rot F V x F 27 divP X c G n rot F rot G 28 divV X Vdj O 29 rot rot F rgraddiv F V2F 3032 Sejams i 12k e r c 30 Verifique as identidades a V f r 3 c Vr 12r 31 Verifique as identidades a Vr r r c Vrr rir 32 Se F rr2 determine div F Existe um valor para o qual div F 0 33 Use o Teorema de Green na farma da Equação para mostrar a primeira identidade de Green onde Deo C satisfazem as hipóteses do Teorema dérivadas parciais apropriadas de f e g existem e a quantidade A quantidade Derip Q Da pararece na integral de ló n a derivada direcional na direcão do vetor normal n derivada normal de ga 34 USE a primeira identidade de Green Exercício 31 para mostrar a segunda identidade de Green onde Deo C satisfazem as hipóteses do Teorema de derivadas parciais apropriadas de fe g existem a 35 Lembrese da Seção 143 de que uma função é artista hmônica em D e satisfaz a equação de Laplace Então func em D Utilize primeira identidade de Green com as hipóteses que no Exercício 31 para mostrar que se é harmônica em D então Dg dgid O Aqui Da é a derivada normal definida no Exercício Use a primeira identidade de Green para mostrar que se é harmônica em D e se x y O na curva limite C então 0 Suponha que são válidas as supositions q5 3 37 Este exercícito ilustra a relaçao entre vector rotacional e rotaçåo Seja B ser um corpo ràgido girando sobre o eixo A rotiq Super 166 Superfici Superfici 2 a bi varis a quidades equ sendo todas