Capítulo 3: Análise da Série de Fourier e suas Aplicações

Capitulo 3 Séries de Fouri 31 Introdugao Neste capitulo analisamos a série de Fourier que é um caso especial de série de poténcias A série de Fourier tem muitas aplicacoes na engenharia elétrica mas neste trabalho essas séries sao usadas apenas para resolver equacoes diferenciais parciais Uma série formada por senos e cosenos é chamada de série trigonométrica Assim uma série trigonométrica assume a seguinte forma a oS marx marx oO am Cos bm Sen 31 2 L L m1 A série anterior é chamada de série de Fourier de uma fungao fa desde que essa série seja convergente As séries de Fourier sao andlogas as séries de Taylor no sentido em que ambas séries fornecem uma forma de representar funcoes relativamente complicadas em termos de funcgoes elementares e familiares Se a série de Fourier converge entao ela representa uma funcéo fx e podemos representar essa relagao da seguinte forma a oo Mnx Mra oO fz Am Cos by Sen 32 2 L L m1 Sabemos que para que uma funcao seja representavel por uma série de poténcias as condicdes sao as seguintes para um 7 real A fungao deve ser infinitamente derivavel O resto da férmula de Taylor deve tender para zero Portanto devemos observar que uma série trigonométrica pode ser convergente ou divergente Exemplo 1 Séries trigonométricas convergentes e divergentes Mostramos algumas séries trigonométricas e suas caracteristicas de convergéncia 1 1 A série trigonométrica com am bm oo para m 0 e a 0 assume a seguinte forma 1 T 1 21 1 27 1 37 1 30 Cosx Senax Cos2x Sen2 Cosa Sen2x Fr Sen x 7Cosx Sena 5Cos 2 Sen2 Pode ser demonstrado que a série anterior converge para todos os valores de x 2 A série trigonométrica com a 0 e bm 4 assume a seguinte forma T 1 27 1 37 Senax Sena Sen2 en Er 5Sen sn 5SenTa2 Pode ser demonstrado que a série anterior converge para todos os valores de x exceto para 3 A série trigonométrica com a 1 e bm 0 assume a seguinte forma 1 1 27 37 Cos Cos Cosa 5 os5a Pode ser demonstrado que a série anterior diverge para todos os valores de x exceto para As séries de Fourier sao usadas em aplicacoes tais como no método de separacao de varidveis de equacdes diferenciais na resolucao de equacoes diferenciais parciais na analise de circuitos elétricos em que os bipolos ativos séo fontes de tensao eou corrente de tipo periddico nao senoidal entre outras aplicagoes Assim por exemplo uma fonte periddica nao senoidal pode ser substituida por uma série de Fourier que esta formado apenas por fungoes senoidais e depois aplicar a teoria de corrente alternada para fontes de corrente alternada senoidal e o teorema da superposicao para analisar essse tipo de circuito elétrico 32 As séries de Fourier As séries de Fourier podem representar uma grande variedade de funcoes incluindo algumas funcoes discontinuas Entretanto nao podemos esquecer que pela natureza da série de Fourier ela pode representar somente fungdes periddicas com periodo T 0 periodo T nao necessariamente é o perfodo original de fx isto 6 pode ser menor mas um miltiplo do perfodo original Periodicidade das fungdes seno e coseno Uma fungao fx é chamada de periddica com perfodo T 0 se o dominio de fx contém 7 sempre que contiver x e se adicionalmente faT fx 33 para todo valor de x Chamamos o T de perifodo A figura 1 mostra uma funcao periddica Observagao Se T é 0 periodo de fx entéo um miultiplo inteiro de T também é um periodo de T 2T3T4T Assim o menor valor do perfodo é chamado de periodo fundamental de fx Também a funcao constante é considerada periddica com qualquer periodo e sem periodo fundamental As fungoes Sen 7 2 e Cos 4 2 para m 1 23 sao periddicas com periodo fundamental T 2h Para verificar essa caracteristica lembremos que Sen x e Cos x tem como periodo fundamental 27 e que 2 Figura 1 Uma fungao periddica Sen ax e Cos ax tem periodo fundamental ar Assim escolhendo a verificamos que o perfodo 27 20 fundamental T de Sen 72 e Cos 72 é dado por T Adicionalmente como todo miultiplo Tr m inteiro de um periodo também é um perfodo entao cada uma das fungdes Sen x e Cos 7x tem um perfodo comum 2L Também provamos facilmente que T 2h é um periodo de Sen 4 2 da seguinte forma mar Sen fx en Zr r fcTS8 Ee S 2 s fx nN mr x x en a en an ra Ortogonalidade das fungoes seno e coseno As func6es u e v sao chamadas de ortogonais no intervalo a x se satisfazem a seguinte relacao B ux vx dx 0 34 a Também um conjunto de funcgdes formam um conjunto ortogonal se cada par de funcoes diferentes pertencentes ao conjunto é ortogonal Assim as funcdes Sen 2 e Cos a param 123 formam um conjunto ortogonal de fungdes no intervalo L a L Podemos provar facilmente a validade das seguintes relagoes L mr nt 0 se mn Cos F2 Cos Fe dz L se men 35 L mar nt Cos 2 Sen dz 0 paratodo men 36 L L L L mt nt 0 se mAn Sen 2 Sen Se dz L se men 37 3 A validade dessas relacdes podem ser obtidas por integracaéo direta Na prova devemos usar as seguintes relagoes trigonométricas Sen 2 Sen e 1 Cos non Cos eeenit 38 L L 2 L L cox Tre eos Te 5 com pee cos Ea 9 os Cos 2 5 4 Cos Z x os z 2 C s 5s ea s 310 os 2 Sen 2 5 4 Sen Z x en Z 2 que usaremos quando m 4 n Para o caso particular em que m n as relacoes anteriores se reduzem as seguintes relacdes mais simples 2 mn 1 2mm ee lt aoe 11 Sen x Cos r 311 2 mn 1 2n1t 1 12 Cos x 5 1 Cos Os 312 Sen 2 Tra 58en AP 313 e 7 Cos Z 5 72 Exemplo 2 Provar as relagées 35 36 e 37 A prova dessas relacdes matematicas é relativamente simples e séo apresentadas a seguir 1 Provando a relagao 35 Se m n temos o seguinte P Cos 2 Cos e dx Cos foeenr Cos dx JEL L L 2 sen L L 1 L L L pi Sen on enr gen 2 Lmnr L mnr L 1 L L L L p sen yb sen eon 2nm n L p 2nmn L L L 1 1 P fan Senm n Sen1m nr Senm nr Sen1m nn 2n mn mn L 1 1 4 porque os multiplos de 7 sao tais que Senk7 0 para k inteiro Para m n temos o seguinte L L 008 TE ae hf Peeo Fe P cos r wast 1 Cos ze dz 1 2m L yt P 3 lr Sen e r sal 1 L L P5 L L 5 Sen2mr 5c Sen12mz P LSen2mn L Sq eam ja que cada fungao do tipo Sen2mz7 0 para m inteiro 2 Provando a relagao 36 Se m n temos o seguinte ft mr nt ly ft mn m nr p Cos F2 Sen Fe dx 3 i Sen nr Sen rel dx 1 L mnr L mnt ly P waa 5 memel Z nme l z 2 1 P 5 Cos m nn Cos m nn 5 m4nn os mnr os mn7 Cos m na Cos mm nm m nym os m n 7 os m n7 P 2 Cos mnn Cos m nn 3 mn os mnr os m nr Gap C8 lm nx Cos mm nmyJ 0 mn os m n 7 os m nr Para m n temos o seguinte L mr mt 1 L 2mm p Sen F Cos F2 dx I Sen F2 ir p5L eo P 2mm Cos2mz 9am 8 7 ama os2mr 0s2mm P Cos2mm Cos2mm 0 7 Cosama os2m7 5 3 Provando a relagao 37 Se m n temos o seguinte pa SenFx Sen Paar 5 J cos Fal cos Fal a en 2 Sen d 5 0s z 2 os Z 2 x L pt Lye Sen noni Figen ee 2 lmnr L mnr L 1 L 1 mnr 1 mnn 1 P a A ma a ee A P sen m nr Sen1m nr on lan enmnr en mnt 1 1 mn Sen m na Sen 1m nnij L 1 P ja Sen m nz Sen m nr 27 mn 1 Wm en Sen m nr Sen m nni L 1 1 P qow en m nr mn m nn 0 porque em todos os casos temos multiplos de 7 sao tais que Senk7 0 para k inteiro Para m n temos o seguinte L L 2 mn 1 Cos 2 P Sen 7 r w 3 ih Cos zt dx L P I E gen 2 2m L L 1 L L Pas LL L 5Sen2mr Sg Sen12mn L L L PL Tm eam Gp ean L Im eamr L ja que cada fungao do tipo Sen2mz7 0 para m inteiro 6 33 Encontrando os coeficientes da série de Fourier Supor que a série de Fourier na forma 32 converge e portanto representamos a soma da série pela funcao fx da seguinte forma a oe Mnx Mnx fa X om Cos bm Sen 314 Nesse contexto pretendemos encontrar os coeficientes de a e bm para uma fungao fx especificada 331 Encontrando os coeficientes a Multiplicamos 314 por Cos 4a para um n fixo inteiro n 0 e integramos em relagéo a de L a L f C05 rar co tx a fic 7 r Cos x de Ff os a r Fh 0 pa art dy am J Cos z os x dx oS L mat nt S Om Sen x Cos ax dx 315 L L L m1 Para n fixo e diferente de zero e para m variando assim como das relacgoes de ortogonalidade 35 e 36 verificamos que o primeiro e o ultimo termo do lado direito de 315 é sempre igual a zero e o segundo termo apresenta uma integral diferente apenas quando m n e nesse caso essa parcela da integral é igual a L Assim temos o seguinte L nT fx Cos zt dx L ayn para n123 316 L que permite encontrar os coeficientes a para n 0 Para encontrar a integramos 314 para x variando de L a L da seguinte forma L L oo L oo L fx de dx Yan Cos r dx Y bm f Sen x dx wh 2 JL m1 wh L m1 WL L L co L oo L Qo aL L MTX L MTX f dx 3 x7 Dy dm sen bm Cosy 1 m1 m1 L Qo oo AmL oe bmL I fx dv a lL L X Senmm Senmn X a Cosmm Cosmr L SS 2amL SS bm L fx dx aoL S tm Senmm S Cosmr Cosmn L mn a mn 7 L 1 L fx dx ab a i fx dx 317 L LJy De 316 encontramos a forma genérica de a que assume a seguinte forma 1 L an al fx Cos dx para n123 318 L JL L As relacoes 317 e 318 podem ser juntadas da seguinte forma 1 L Qn 7 fx Cos dx para n0123 319 LJy L 332 Encontrando os coeficientes 0 Multiplicamos 314 por Sen 4 para um n fixo inteiro n 0 e integramos em relagao a x de L a L temos o seguinte ios xar s Mx a ic M22 sen M2 ae pF en r of 5 pa art dy am fos z en x dx oS L mat nt S bm Sen a Sen ax dx 320 L L L m1 Para n fixo e diferente de zero e para m variando assim como das relagoes de ortogonalidade 36 e 37 verificamos que o segundo termo do lado direito de 320 é sempre igual a zero A integral do primeiro termo é zero porque é uma funcao senoidal O terceiro termo tem uma integral diferente de zero apenas para m n Assim 320 assume a seguinte forma L nt fx Sen dx L by para n123 321 L que é valida para qualquer n inteiro e positivo Assim temos a relagéo que nos permite encontrar b da seguinte forma 1 L bn al fx Sen dx para n123 322 L Jt L Portanto se a série de Fourier converge e dessa forma representa adequadamente uma fungao fx conhecida entao os coeficientes da série de Fourier podem ser encontrados usando as relagoes 319 e 322 Observagoes As seguintes observagdes sao importantes Se a funcao é periddica entaéo o intervalo de integracéo pode ser mudado de L x L para 022LT Cada elemento am e bm pode ser encontrado de forma independente e a dificuldade para encontrar esses valores depende da forma matematica de fz 8 Exemplo 3 Supor que existe uma série de Fourier convergindo para a fungéo fx definida por xr se 220 fx fa 4 fx x se 0a2 Determine os coeficientes dessa série de Fourier fx é mostrada na figura 2 Devemos observar que a fungdo fx é triangular e periddica com perfodo T2L45L2 fz L2 2 2 2 4 6 8 10 7 Figura 2 Grafico de fx do exemplo 3 Encontrando a 0 2 1 ft 1 2 1 x x 1 dv5eae wax se w Vil py yas to rf fae s feat fe 2 2 7 12 p Encontrando a para m 1 1 L 1 0 2 am z f fa Cos ME atv 5 2 Cos a Cos ar Precisamos encontrar a seguinte integral Je Cos dx 2 Usamos a integragaéo por partes da seguinte forma Uu2x du dz dv Cos 3 da v Sen Substituindo na integral temos o seguinte MTL 2 MTX 2 MTX Cos dx zx Sen sen dz 2 mr 2 mr 2 9 2 2 Je Cos dx x Sen Cos 2 mT 2 maT 2 Usamos a relacao anterior para calcular a 1 2 MTX 2 MTX am x4 x Sen Cos 2 mar 2 mar 2 9 2 MTX 2 MTX zx Sen Cos mar 2 mar 2 0 1 2 5 2 5 Am 4 00 Cos 0 Cosmz 0 0 Cosmz Cos 0 2 mmr mT 4 2 pcostme 2 2 cosoma1 m123 am 5 7 osma osmm m 123 Quando m é impar Cosmm 1 Cosmr 1 2 Quando m é par Cosmm 1 Cosmr 1 0 Portanto os coeficientes a assumem a seguinte forma 8 mane para m iImpar adm 0 para m par Encontrando b 1 L 1 0 2 bn sf Fe Sen de 5 2 Sen a x Sen a Precisamos encontrar a seguinte integral Je Sen dx 2 Usamos a integragaéo por partes da seguinte forma Uu2x du dz du Sen da v Cos F Substituindo na integral temos o seguinte 10 2 2 Je Sen dx x Cos Cos dx 2 mmr 2 mmr 2 2 2 Je Sen dx x Cos Sen 2 mmr 2 mar 2 Usamos a relacao anterior para calcular b 1 2 MTX 2 MTX bm 4 2x Cos Sen 2 mar 2 maT 2 9 2 MTX 2 MTL 2 Cos Sen mmr 2 mar 2 0 bm 1 400 22Cos 2s mm 22Cosmr 0400 00 2Cosmr enmm osmn m2 mmr mmr mmr 17 4 4 bm Cosmn gCosimn 0 m 123 2 ma maT Portanto fx assume a seguinte forma 8 TX 1 37k 1 OTL 1 112 1 MTX para m impar 8 1 2k 1rax Sv 0s SA I 2 2s Ok Ip 0s 2 Exemplo 4 Resolvendo o exemplo anterior mas com outra estrutura Supor que existe uma série de Fourier convergindo para a funcgao f definida por x se 0a22 fz fa 4 fx z4 se 2a4 Determine os coeficientes dessa série de Fourier O grafico de fx é mostrada na figura 3 Devemos observar que a fungaéo fx é triangular e periddica com periodo T 2L 4 L 2 Neste caso integramos no intervalo de 0 a 20 T 4 que também é possivel 11 fx L2 2 2 4 6 8 10 12 Figura 3 Grafico de fx do exemplo 4 Encontrando a 1 2 1 4 1 21 2 4 a7 flo de5 f cae w4 dr 5 4 5 442 L Jo 2 LJo 2 2 2 0 2 9 1 Ao 7 2 O 816282 Encontrando a para m 1 1 2L 1 2 4 Am fx Cos dx 5 x Cos de 4 x Cos ar 1 2 4 4 am54 Cos av 1 Cos av Cos ar 2 Vo 2 2 2 2 2 Precisamos encontrar a seguinte integral Je Cos dx 2 Mas esse tipo de integral ja foi encontrado no exemplo anterior e assume a seguinte forma 2 2 Je Cos dx x Sen Cos 2 mT 2 maT 2 Usamos a relacao anterior para calcular a 12 2 1 2 2 2 4 Am a Sen Cos 4 Sen 2 mar 2 mir 2 0 ma 2 2 2 MTX 2 MTX 2 sen 2 cos mr 2 mr 2 9 1 2 2 2 2 Am O Cosmm 0 0 0 Cos2mm 0 wa Cosmr 2 mT mmr mmr ma 4 2 costme 12 2 Costmm 1 m123 dm 5 osmar osmm m 123 Quando m é impar Cosmm 1 Cosmr 1 2 Quando m é par Cosmm 1 Cosmz 1 0 Portanto os coeficientes a assumem a seguinte forma wa para m impar am 0 para m par Encontrando b 1 28 mre 1 2 mre 4 mrx bm S dr 4 m a fz en ME ae 5 ff Sen 5 ant f 2 Sen 5 ac 1 2 4 4 im 54 x Sen av 4 Sen av x Sen ax 2 Vo 2 2 2 2 2 Precisamos encontrar a seguinte integral Je Sen dx 2 Esse tipo de integral ja foi encontrado no exemplo anterior e assume a seguinte forma 2 2 Je Sen dx 2x Cos Sen 2 mmr 2 mT 2 Usamos a relacao anterior para calcular b 13 2 1 2 2 8 4 bm 2 Cos Sen Cos 2 mr 2 mr 2 9 mn 2 2 2 MTL 22 Mmrx x Cos Sen mr 2 mr 2 9 Cosmz 0 0 0 Cos2mn Cosmn m5 mE osmm a os2mm osmm 8 4 Cos2mm 0 Cosmr 0 mir mir 1 4 8 8 8 4 bm Cosmr Cos2mr Cosmm Cos2mr Cosmn 0 2 mr mr mr mr mr bn 0 m123 Portanto fx assume a seguinte forma 8 Tx 1 3720 1 57x 1 71x 1 MTX fx 1 Cos gz 008 B20 08 7 Cos 208 para m impar 8 1 2k 1rx fa 1 Cos ee re 2k 1 2 Devese observar que o resultado obtido 6 o mesmo do exemplo 3 ja que estamos resolvendo o mesmo problema Apenas mudamos a faixa escolhida para a integracéo 34 O Teorema de Convergéncia de Fourier Neste caso vamos supor que conhecemos uma funcgaéo fx Se fa é uma fungao periddica com periodo T 2L e integravel no intervalo L L entao podemos calcular os coeficientes a b da seguinte forma 1 L am i fx Cos dx m 123 323 DLJL L 1 st marx bm fx Sen dx m 123 324 L Jy L 14 e montar a série de Fourier correspondente a marx marx oO Am Cos bm Sen 325 2X om eos ST Hom sen 8 625 m1 Nesse contexto estamos interessados em conhecer se a série 325 converge para algum valor de z e se realmente converge queremos saber se converge para o valor de fz Os matematicos descobriram que existem casos em que a série de Fourier encontrada para uma funcaéo fx pode nao convergir para fx e ainda existem casos em que a série pode divergir E relativamente simples identificar fungdes fx cujas séries de Fourier nao convergem para pontos isolados Por outro lado as fungdes cuja série de Fourier divergem em um ou mais pontos sao mais dificeis de construir e sao consideradas patolégicas As hipoteses de garantia de convergéncia de uma série de Fourier para a funcgdéo fx é mostrada no Teorema 1 Teorema 1 Sobre convergéncia da série de Fourier Supor que fx e f x so fungdes seccionalmente continuas no intervalo L L Adicionalmente fx esta definida no intervalo L x L de forma que seja periddica e com periodo 2L Nesse contexto fx tem uma série de Fourier dada pela relacao a a Mnx Mnx oO C bm Sen 326 12320 oem 8 rh so 8 aan m1 e cujos coeficientes sao dados por 323 e 324 Entaéo a série de Fourier converge para fx em todos os pontos onde fz é continua e converge para 3fz fa em todos os pontos em que fz é descontinua Observacoes As seguintes observacgoes sao importantes 1 Devemos observar que f2 fa 0 valor médio dos limites direita e A esquerda no ponto de descontinuidade x e em pontos em que fa é continua esse valor representa o préprio valor de fx fxt usado para denotar o limite de fx quando x zy pela direita e fx 6 usado para denotar o limite de fz quando x Zo pela esquerda 2 As condicdes dadas no Teorema sao suficientes para a convergéncia de uma série de Fourier e essas condicdes nao sao necessarias 3 Uma funcao é seccionalmente continua no intervalo a x 6 se o intervalo pode ser particionado em um ntmero finito de pontos a tg 41 6 de modo que seja verdadeiro o seguinte a fa é continua em cada subintervalo aberto 11 x a b fa tende a um limite finito nas extremidades de cada subintervalo quando aproximadas do interior do intervalo Nao é necessdrio que a funcao se encontre definida nos pontos de particao xi Também nao é essencial que o intervalo seja fechado pode ser aberto ou fechado em cada extremidade A figura 4 mostra uma funcao seccionalmente continua 4 Existem muitas funcoes que satisfazem as condigdes do Teorema 1 praticamente todas as que interes sam na Engenharia Elétrica Fungdes que nao satisfazem as exigéncias do Teorema 1 sAo aquelas que tem descontinuidades infinitas no intervalo L L como 5 quando x 0 ou LnxL quando L 15 Figura 4 Uma fungao fx seccionalmente continua Entretanto existem fungdes que nao satisfazem as exigéncias do Teorema 1 mas a série correspondente converge para fx Exemplo 5 Série de Fourier de uma onda quadrada Encontrar a série de Fourier de fx definida da seguinte forma 0 se La0 fx fa 2L fx L se 0aLb A onda quadrada é mostrada na figura 5 fx 3L 2L L L 2L 3L v Figura 5 Uma onda quadrada Encontrando a 1 sh 1 sh w7 feae Lda af L Encontrando a para m 1 16 1 sh mra 1 sh mra L mra am z ff cos E av 1 Cos av Cos E dx L L tm Sen 0 an 0 m 123 mr L 0 Encontrando b 1 st MTX 1 st MTX L MTX bn fe Sen ar ih 1 Sen aw Sen dx bn cos costa 1 1 Costme Cos Cosmm 1 1 Cosma m maT L 0 maT maT Se m é impar entao b 2h e se m for par entao b 0 Assim b assume a seguinte forma ah para m impar bm 0 para m par Portanto fx assume a seguinte forma DL 2b Tx 1 3TX 1 OTe S S S wae fx en 5 en Z 5 en T joy bE SE t 20 mw 44 2n1 35 Funcgoes pares e impares e as séries de Fourier em senos e cosenos Em algumas aplicagdes é necessdrio expandir uma fungao fx definida originalmente para o intervalo 0 Z em uma série de Fourier de perfodo 2L Essa expansao pode ser realizada de varias formas e cada tipo de expansao é vadlida apenas para o intervalo 0 L Para apresentar esse tipo de expansao precisamos definir e usar as propriedades das funcoes pares e impares Uma funcao é par se seu dominio contém o ponto x sempre que contiver o ponto x e se satisfaz a relacao f2 fz 327 Sao exemplos de funcées pares x Cosnx x etc Uma funcao é impar se seu dominio contém x sempre que contiver x e se satisfaz a relacao 17 Figura 6 Fungao par e impar f2 fz 328 Sao exemplos de funcées pares x x Sennx etc A figura 6 mostra uma funcao par e uma funcao impar Observagao A maioria das fungdes nao sao pares nem impares De 328 concluimos que se x 0 faz parte do dominio de fx entao f0 0 Também a fungcao identicamente nula é a tinica que é ao mesmo tempo par e impar Propriedades das funcgoes pares e impares As seguintes propriedades relacionadas com fung6es pares e impares sao muito importantes 1 A soma ou diferenga e o produto ou quocente de duas fungdes pares é uma fungao par 2 A soma ou diferencga de duas fungdes impares é uma fungao impar mas o produto ou quocente de duas fungoes impares é uma fungao par 3 A soma ou diferenca de uma fungao par e uma fungao impar nao é uma fungaéo par nem uma fungao impar mas o produto dessas funcdes é uma funcao impar 4 Se fx é uma fungao par entao temos o seguinte L L fx dx 2 Fx de 329 L 0 5 Se fx é uma funcao impar entéo temos o seguinte L Fx de 0 330 L A demonstracao dessas propriedades é relativamente simples e sao realizados abaixo 1 Prova da primeira propriedade Sejam fx e fx fungdes pares Seja gx fix fox Nesse contexto temos o seguinte 18 ga fix fox fix fox gx gx é uma fungao par Seja hx fixfox Nesse contexto temos o seguinte h2x fi2 fox fix fox hx hx uma fungao par 2 Prova da segunda propriedade Sejam fx e f2a fungdes impares Seja gx fix fox Nesse contexto temos o seguinte g2x fix fox fix fox fix fox gx gx é uma funcao impar Seja hx fixfox Nesse contexto temos o seguinte ha fi2 fo2 1 fil fo fila fol hx hx uma fungao par 3 Prova da terceira propriedade Seja fx uma fungao par e fx uma funcéo impar Seja gx fix fox Nesse contexto temos o seguinte g fix fox fix fox gx 6 uma funcao que nao é par nem impar Seja hx fixfox Nesse contexto temos o seguinte ha fi fox 1 fi x fox hx hx 6 uma funcao impar 4 Prova da quarta propriedade Seja fz uma fungaéo par Nesse contexto temos o seguinte L 0 L Fade fadx fxda 331 L L 0 Trabalhamos com a primeira integral do lado direito da equacao da seguinte forma Fazemos 7 s Sex 0 8sO0ecsexv L L s 5 L Também fx fs fs fungao par e dr ds Substituindo as relacdes anteriores na primeira integral do lado direito de 331 temos o seguinte 0 0 0 L J fmae fo pyas piojas tsas L L L 0 Substituindo a relacao anterior em 331 temos o seguinte L L L L Fade fsds fadx 2 Fadx L 0 0 0 19 5 Prova da quinta propriedade Seja fx uma fungdéo impar Nesse contexto temos o seguinte L 0 L Fade fxde fada 332 L L 0 Trabalhamos com a primeira integral do lado direito da equacao da seguinte forma Fazemos s Sex 05 sO0cseau L L s 5 L Também fx fs fs funcaéo impar e dx ds Substituindo as relacoes anteriores na primeira integral do lado direito de 332 temos o seguinte 0 0 0 L J sae 05a5 fisyas flsyas L L L 0 Substituindo a relagdo anterior em 332 temos o seguinte L L L L L fade fsds flaydx fade fxdx 0 L 0 0 0 0 351 Séries de Fourier em Cosenos Neste caso provamos que se fx é uma fungcao par entao a série de Fourier correspondente é representado apenas por funcoes coseno isto é todos os by 0 Supor que fa e fx sao seccionalmente continuas no intervalo L x Le que fx é uma funcao perfodica par com perfodo 2L Nesse contexto a fungao f2Cos 27 é uma fungao par e fxSen 27 é uma funcao impar Portanto de 329 e 330 temos o seguinte 1 st nTx 2 ft nTxr an x Cos de 2 Cos da n 123 333 0 z Fle Cos av F Fe Cos 123 333 1 ft nx b z ff sen ar o n123 334 Assim a série de Fourier de uma fungao fx que é par assume a seguinte forma a NTx fx An Cos dx 335 n1 Portanto a série de Fourier de uma funcao par é formado pelo termo constante e pelas funcoes trigo nométricas pares da forma Cos Esse tipo de série é chamado de série de Fourier em cosenos 352 Séries de Fourier em Senos Neste caso provamos que se fa é uma funcao impar entao a série de Fourier correspondente é repre sentado apenas por funcoes seno isto é todos os ay 0 Supor que fx e fx sao seccionalmente contfnuas no intervalo L x Le que fx é uma fungao perfodica impar com periodo 2L Nesse contexto a fungao fxCos 2 é uma funcao impar e fxSen 6 uma fungao par Portanto de 329 e 330 temos o seguinte 20 1 L mz fx Cos dz 0 n123 336 L Jet L 1 sh 2 rt mz ff Sen aw fx Sen dx n 123 337 Assim a série de Fourier de uma fungao fx que é impar assume a seguinte forma a NTx fx S bn Sen dx 338 n1 Portanto a série de Fourier de uma funcao impar é formado apenas pelas fungoes trigonométricas impares da forma Sen Esse tipo de série é chamado de série de Fourier em senos Exemplo 6 Série de Fourier de uma fungao impar Seja fz x para L x Le seja fL fL 0 para que a funcao seja impar Seja fx definida no intervalo restante de forma que seja periddica com periodo 2L Essa funcao é chamada de dente de serra Encontre a série de Fourier dessa fungao A figura 7 mostra a forma grdafica de fz fx L L L x L Figura 7 Uma fungao dente de serra Podese verificar que fx é uma funcao impar e seus coeficientes de Fourier assumem a seguinte forma An 0 n0123 2 rh 2 rh bp a fx Sen dz a x Sen dx Precisamos encontrar a integral da seguinte forma L nTx S d x Sen Z xt 21 Esse tipo de integral pode ser integrada por partes como ja foi realizada anteriormente Assim temos o seguinte Uu2x du dx dv Sen dx v Cos Assim a integral procurada assume a seguinte forma L L Sen mae dx 2 Cos Cos E ae L nn L nT L Nx L NTx L NTx S dr 2xC S8s 339 Je en aa ame os en 339 A relacao 339 aparece com frequéncia em problemas de séries de Fourier e merece ser lembrado Substituindo essa relacéo na integral para calcular b temos o seguinte 2 L NTx L NTL X bn 2C s i Ze os o rn 2 Cosnn 40400 2H Cosnn Cosnr 0 Cosni LL nq nT Para n impar Cosn7 1 e para n par Cosn7 1 Portanto b assume a seguinte forma 2L by 1 n123 nt A série de Fourier de fx assume a seguinte forma 2b 11 nTa 340 fle yy A sen 340 n1 Para o caso particular em que L 2 a série assume a seguinte forma 4S 1 nTx a Fle sen n1 36 Representagao de uma fungao por uma série em senos ou cosenos Sempre é possivel representar uma funcao periddica por uma série com elementos apenas em senos ou cosenos Para verificar este fato observemos que a forma matemdatica de fx nos exemplos 3 e 6 sao exatamente iguais no intervalo 0 x 2 para L 2 Portanto as séries encontradas para as funcdes dos exemplos 3 e 6 representam de forma adequada a fungao periddica fx x para0 x 2 Assim a funcao periddica f a 22 fx x 0 x 2 fx 2 fx 341 pode ser representada por uma serie de Fourier provavelmente com elementos seno e coseno considerando o perıodo T 2 L 1 Entretanto fx pode ser transformado na funcao fx do exemplo 3 com L 2 e a serie de Fourier dessa funcao modificada representa de forma adequada a funcao fx de 341 para o intervalo 0 x 2 para 2 x 0 essa serie obviamente nao representa de forma adequada fx em 341 nesse intervalo Da mesma forma fx pode ser transformado na funcao fx do exemplo 6 com L 2 e a serie de Fourier dessa funcao modificada representa de forma adequada a funcao fx de 341 para o intervalo 0 x 2 Portanto a funcao periodica fx para 0 x 2 pode ser representado por 3 tipos de series diferentes um tipo de serie com funcoes seno e coseno um tipo de serie apenas com funcoes coseno e um tipo de serie apenas com funcoes seno Para que uma funcao periodica seja representada apenas por senos ou cosenos entao essa funcao fx deve ser adequadamente extendida Assim seja fx uma funcao periodica definida em 0 x L Para representar fx no intervalo 0 x L por uma serie de Fourier em cosenos devemos extender fx para o intervalo L x L de forma que se transforme em uma funcao par De forma semelhante para representar fx no intervalo 0 x L por uma serie de Fourier em senos devemos extender fx para o intervalo L x L de forma que se transforme em uma funcao impar Se fx for extendida de outra forma entao a serie de Fourier converge para fx no intervalo 0 x L mas deve ter termos em senos e cosenos Em resumo se pretendemos expandir uma funcao fx originalmente definida no intervalo 0 L em uma serie de Fourier de perıodo 2L entao existem as seguintes alternativas 1 Definir uma funcao gx de perıodo 2L tal que gx fx 0 x L fx L x 0 342 A funcao gx e uma extensao periodica par de fx Assim a serie de Fourier de gx representa adequadamente fx no intervalo 0 L 2 Definir uma funcao hx de perıodo 2L tal que hx fx 0 x L 0 x 0 e x L fx L x 0 343 A funcao hx e uma extensao periodica impar de fx Assim a serie de Fourier de hx representa adequadamente fx no intervalo 0 L 3 Definir uma funcao px de perıodo 2L tal que px fx 0 x L 344 e defina px em L 0 de qualquer forma desde que seja consistente com o Teorema de convergˆencia de Fourier Assim existem muitas formas de series e todas convergindo para fx no intervalo original 23 Essas séries envolvem termos em senos e cosenos Uma forma trivial seria com px 0 para L x0 Exemplo 7 Série de Fourier de uma fungao fx Seja fx x definida da seguinte forma lw O02l fx fa 2 fx 0 la2 Encontre a série de Fourier dessa funcao O grafico de fx é mostrada na figura 8 fx 1 1 2 7 Figura 8 Funcao original do exemplo 7 A funcao fx é expandida em séries de Fourier de 3 formas diferentes 1 Extendendo fx para uma fungao par A figura 9 mostra a fungao extendida Encontrando ao 2 ph 2 x 11 a F fade5 2 de Ja y aU gl5 Encontrando ay 2 rh 2 fi An if fx Cos dx a 1 x Cos dx I nx I nTx am Cos av x Cos dx 0 2 0 2 Neste capitulo ja foi encontrada a forma matematica da seguinte integral 2 2 Cos rt de aSen J Cos 2 nT 2 nT 2 24 fx L2 1 3 2 1 1 2 3 7 Figura 9 Extensao par da funcao do exemplo 7 Usando a relagao anterior temos o seguinte 1 2 1 2 2 an sen a Sen Cos nT 2 0 nT 2 nT 2 0 2 2 2 Qn Sen 0 Sen 0O Cos 1 nT 2 nT 2 nT 2 9 2 m 2 em 3 nT 2 Quando n é impar entao Cos 35 0 entao temos o seguinte 9 2 an nm135 nT Quando n é par entao Cos 4 1 para n 2610 e Cos 4 1 para n 4812 portanto temos o seguinte 22 an 2 n 2610 nt an 0 n4812 Obviamente como foi realizada uma extensao de fa para uma fungao par entao todos os coeficientes bn 0 para n 123 Portanto fx pode ser representada pela seguinte série de Fourier 1 4 Tx 1 372 1 OTx 3 44 j4 te 37a 1G Sma 45 T 1 T Lee a2 4008 m2 ge Cos Sax 75 Cos Sax 2k1x Fa 1 4 sco Ee 2 Sp Cesk Una x Le oo 4m 4 2k 1 me 2k 1 25 2 Extendendo fx para uma funcao impar A figura 10 mostra a funcgdo extendida Neste caso temos que todos os a 0 para n 123 j que estamos realizando uma extensao impar da fungao fz fx L2 1 3 2 T 1 2 3 4 5 6 7 Figura 10 Extenséo impar da funcéo do exemplo 7 Encontrando by 2 rt 21 bn i fx Sen dz 5 1 2 Sen dx 1 NTx 1 nTx n Sen av x Sen dx 0 2 0 2 Neste capitulo ja foi encontrada a forma matematica da seguinte integral 2 2 Je Sen dx 2Cos Sen 2 nq 2 nT 2 Usando a relagao anterior temos o seguinte 1 2 1 2 2 bn Cos 2 Cos Sen nm 2 0 nT 2 nT 2 0 2 2 2 2 bn Cos ot Cos 0 Sen 0 nt nt 2 nq 2 nT 2 2 2 no 2ysan nT nT 2 Quando n é impar entao Sen 4 1 paran 15913 e Sen 4 1 para n 371115 e portanto temos o seguinte 2 2 2 2 bn 1 n 15913 nt nt nT nt 26 2 2 2 2 b 142 n 371115 nt nt nt nT Quando n é par entao Sen 3 0 para n 2468 e portanto temos o seguinte 2 b n 2468 nt A série de Fourier da fungdo fx expandida assume a seguinte forma fe 2 2 g 2 2 g 2a als nx Lg mn n Lebo a x 5 Bn Bx en Senmx Sen2nx 22 s 22 2 2 s 7 4 3x 30 AD 7x Tn gp 22 1 2 4k 1 Ma 1 lie 1 4k nr en D nz oo 1 2 4k 1rax Sl S aa Sen eS S Sen krx hel las 4k 1x 2 fo 2k 3 Extendendo fx fazendo px 0 para L x 0 Neste caso a funcao extendida nao é par nem impar e portanto a série de Fourier da funcao extendida pode ter termos em senos e cosenos A grafica da funcao extendida é6 mostrada na figura 11 fz L2 1 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 Figura 11 Extensao da funcgao do exemplo 7 Encontrando ao 1 fl 1p 1 ve 1 Qo cf f x 3 I x dx 5 al rl 27 Encontrando a para n 1 1 sb 17 An ai Cos dz 5 1 x Cos dx 1 1 2 1 2 2 an sen a Sen Cos 2 Ln 2 0 nt 2 nT 2 0 2 nT t age tO 5 Quando n é impar entao Cos 3 0 e temos o seguinte 2 on na n135 Quando n é par entao Cos 3 1 para n 2610 e Cos 44 1 para n 4812 Portanto para n par temos o seguinte 9 2 an nm 2610 nt an 0 n 4812 Encontrando by 1 sh 1 ft bn 7 fo Sen dz a 12 Sen dx 1 2 1 fe 22 bn Cos 2 Cos Sen 2 nT 2 0 nT 2 nT 2 0 1 2 nT by 9 ne nr en 2 Quando n é impar entao Sen 4 1 paran 15913 e Sen 4 1 para n 371115 e portanto temos o seguinte b 2 15913 n Lee ne nr coe 1 2 b n 37 11 15 nn nm 28 Quando n é par entao Sen 3 0 para n 2468 e portanto temos o seguinte 1 b n 2468 nt A série de Fourier da fungdo fx expandida assume a seguinte forma 2k1rax 1 2 Cos Cea 4 Cos 2k 1ra 121 fe 453S 4 Oa i t SY Senkrx 8 7 2k 1 1 PD 22k 1 Qn 2 k 1 1 2 4k 1rx oS 1 2 4k 1rx ELS AY on ARAMA FA 8 ey th m fj 4k 1 4k 1 2 fa 4k1 0 4k 1 2 4 Encontrando a série de Fourier sem extensao Neste caso encontramos a série de Fourier de fa sem extenséo o que também é possivel Devemos observar que neste caso temos L 1 A grafica é mostrada na figura 12 que é a mesma da figura 8 onde apenas foi adicionada a informagao de que L 1 fz L1 1 1 2 7 Figura 12 Fungao original sem extensao Neste caso vamos encontrar relagoes matematicas alternativas para encontrar a e b que aparecem na maioria dos livros da engenharia elétrica Neste material a forma matematica de a e by assumem a seguinte forma 1 st nTx On F fx Cos 345 1 ft nx bn S 346 n 7 fe Sen 346 As duas relac6es anteriores realizam uma integracao para um periodo completo e a escolha dos limites de LaL é arbitrdria e escolhida pelos matematicos para facilitar o processo de integracao Assim podemos escolher outros limites desde que a integracao seja para um periodo completo Assim as relacoes anteriores podem ser escritas da seguinte forma 1 pelt nTx An i fx Cos 347 29 1 2h nTx Vamos trabalhar apenas com a relacao 347 Sabendo que L f temos o seguinte 1 NTx An r fx Cos 2 70 2 2 7 Qqr An zf fx Cos Faw Finalmente lembrando que a w entao temos o seguinte 9 T An fx Cos nwa 349 T Jo Da mesma forma podemos encontrar uma forma matematica para b que assume a seguinte forma 9 T bn fx Sen nwa 350 T Jo Portanto encontramos a série de Fourier da funcao original usando as relagoes 349 350 sendo que T2L2 Encontrando ao 2 T 21 ey 1 w 5 fx aw 5 ladxr w Encontrando a para n 1 2 7 21 An fx Cos nwa dx 1 x Cos nwa dx T Jo 2 Jo 1 1 An Cos nwa dx x Cos nwa dx 0 0 1 I 1 1 1 An Sennwax 2x Sennwx Cosnwz nw 9 Lnw nw 0 Sabendo que w mm on 7 temos o seguinte 1 1 1 1 1 An 7p eunna wae Sennmx nn Cosnra Sennn Sennz 0 5Cosnm 1 pl Cosnm fe Tr lj Cosnt Gn Sennn 7 enn nme osnt nm 30 Quando n é impar entaéo Cosn7 1 e quando n é par entao Cosn7 0 e portanto temos o seguinte a 135 n m 199 oa An 0 n 246 Encontrando b 2 7 21 bn fx Sen nwa dx 1 x Sen nwa dx T Jo 2 Jo 1 1 bn Sen nwa dx x Sen nwa dx 0 0 Podemos deduzir facilmente a seguinte relacao 1 1 Je Sen nwa dx Tat Cosnwaz wy 2 0m nn Usando a relacao anterior b assume a seguinte forma 1 1 1 1 1 bn Cosnwax x Cosnwx j Sennwz nw 9 Lnw nw 0 Sabendo que w 2m 2 7 temos o seguinte 1 1 1 bn walt Cosnn qc osint 0 nye Senn 0 1 bn n123 nt Portanto fx assume a seguinte forma i 54 fe nx Cos3mx Cos5mx 4 w 4 t Cosax 9Cos3ra 52 Cosdmz 1 1 1 Senn ySen2rx goen3re 7 1 2 SX Cos2k1rz 1 Senkra f3 4 1 2k 1 7 d k 31 37 Problemas propostos 1 Determine se a funcao dada é periddica Se for encontre o periodo fundamental a fx sen 5x b fa cos 2n x c fa senh 2x d fx sen ce fa tg ma f fx 2 0 2n1la2n s fle n012 1 2na2n1 1 2n1la2n h fx n012 1 2na2n1 2 Nas fungdes mostradas a Esboce o grafico da funcaéo para 3 periodos e b Encontre a série de Fourier da fungao a f a LaL fv 2L fz 1 Laz0 b fz fa 2L fz 0 O0aL x 7a0 c fz fa 2x fx 0 Oax7 r1 la20 d fz fa 2 fz 12 Oal ctL La20 ce fz fa 2L fz L 0aL 0 2al f faj4 a lal fa 4 fz 0 1a2 l 220 g fz fa 4 fx 1 O0ar2 h fz a lal fa 2 fx i f 222 fw4fe 0 320 fa fa 6 fz x3 2 043 52 220 k fx fa 4 fz 2x 5x Oa42 32 3 Para cada funcao mostrada determine se a funcao e par impar ou nenhuma delas a fx x3 2x b fx x3 2x 1 c fx tg2x d fx sec x e fx ex 4 A continuacao sao mostradas funcoes fx para um intervalo de comprimento L Em cada caso mostre as extensoes par e impar de fx para um perıodo igual a 2L a fx x 0 x 2 1 2 x 3 b fx 0 0 x 1 x 1 1 x 2 c fx 2 x 0 x 2 d fx x 3 0 x 4 e fx 0 0 x 1 1 1 x 2 f fx 4 x2 0 x 1 5 Para as funcoes indicadas encontre a serie de Fourier de fx ou de fx extendida na forma indicada a Encontre a serie de Fourier em cosenos com perıdo 4 para a funcao fx 1 0 x 1 0 1 x 2 b Encontre a serie de Fourier em senos com perıdo 4 para a funcao fx x 0 x 1 1 1 x 2 c Encontre a serie de Fourier de fx x 0 x 1 com perıodo 1 d Encontre a serie de Fourier em cosenos de fx L x 0 x L com perıodo 2L e Encontre a serie de Fourier em senos de fx L x 0 x L com perıodo 2L f Encontre a serie de Fourier em senos de fx 2 x2 0 x 2 com perıodo 4 g Encontre a serie de Fourier em cosenos de fx x2 2x 0 x 4 com perıodo 8 33