Resolução de Equações Diferenciais Lineares por Série de Potências

2 Capitulo 2 Resolucgao de equacao diferencial e 2 e li 2 e Nn e ordinaria linear por série de poténcias Sabemos que a solucao geral da EDO linear de 1 ordem y 2x yx 0 21 é 2 a yx ce a VeeR 22 n0 Isso sugere que também possamos resolver a EDO em 21 tentando uma série de poténcias ya S Anx 23 n0 donde so y x So nana 24 n1 Substituindo 23 e 24 em 21 obtemos 0 y2Qry S nNayw a S nx n1 n0 S nayw 1 S Qanx n1 n0 S nayw 1 S 2an22 n1 n2 at S nan 2an2 a n2 uma equacao que so pode ser valida para todos os valores de x se os coeficientes das poténcias se anularem isto é a 0 e nay 2an2 5 0 Desta segunda equacao deduzimos que an 2 para n2 n Essa equacao é chamada de relacao de recorréncia Por meio dela determinamos os coeficientes an 33 Fazendo n igual a naturais pares obtemos n 2 a2 a0 n 4 a4 2 4 a2 1 2 a0 n 6 a6 2 6 a4 1 3 1 2 a0 n 8 a8 2 8 a6 1 4 1 3 1 2 a0 a2n 1 n a0 n 0 Agora com n igual a ímpares temos n 3 a3 2 3 a1 0 n 5 a5 2 5 a3 0 a2n1 0 n 0 Finalmente substituindo essas expressões dos coeficientes em 23 obtemos yx n0 anxn n0 a2nx2n n0 a0 n x2n a0 n0 x2n n a0 ex2 que é a solução dada em 22 pois o coeficiente a0 permanece como uma constante arbitrária Vejamos mais um exemplo Considere a seguinte EDO e a sua solução geral conhecida 4y yx 0 solução geral yx c1 cosx2 c2 senx2 25 Vamos recalcular essa solução geral pelo método das séries de potências Os passos são os seguintes Passo 1 Escrevemos a série de potências que se admite como solução e as derivadas dessas séries que serão usadas yx n0 anxn y n1 n anxn1 y n2 n n 1 anxn2 Passo 2 Na EDO substituímos y y e y pelas respectivas séries para deduzir a relação de recor rência 0 4y y 4 n2 nn 1anxn2 n0 anxn n2 4nn 1anxn2 n2 an2xn2 n2 4nn 1an an2 xn2 0 an an2 4nn 1 n 2 Passo 3 Usamos a relação de recorrência para calcular os coeficientes em termos dos coeficientes Estamos começando a estudar um poderoso método que servirá naturalmente para obter soluções de EDOs que não sabemos resolver analiticamente mas os exemplos ora apresentados são educativos ilustram o método e as manipulações matemáticas costumeiras 34 que permanecem arbitrarios ag e a1 ao ag 421 ay a3 43 2 a2 ao ao a4 SOF OE oe CO 443 4432 4124 a3 ay 2a a SF eee SE oem TsO Ss 454 425432 5125 a4 ao ao a SS FF SOS OPN Oe eee COCs 465 4365432 6128 as ay 2a a SOC SS eee ee ee SOnaDh sé 476 48765432 7127 Passo 4 Deduzimos uma expressdo genérica para os coeficientes em termos de dg e a1 Do passo 3 concluimos que 1ao 12a1 aran0 dn e a bates on 2nb22 antl On Llaenti Passo 5 Substituimos a expresséo genérica dos coeficientes na série de y para deduzir uma expressao fechada para a solucao CO co CO co n CO n n Qn Qn41 10 on 12a Qn1 yz S ann SS dan a So dant x S anylg2 pan S Qn 4 1lo2F1 x n0 n0 n0 n0 n0 co co 1 1 say2ntl x x a 2a 5 do cos a sen 0d Onl 2 20 Gnd 2 a n0 a n0 que é a solucao geral apresentada em 25 Ressaltese que o passo 4 é frequentemente dificil e o passo 5 é raramente possivel Por isso nas resolucoes por série de poténcias que seguem nao nos preocuparemos ordinariamente com a implementacao do passo 4 0 que seria até elegante mas este passo embora de certa importancia esta fora dos nossos propésitos aqui que é o entendimento do método e do passo 5 21 Resolugao em torno de um ponto ordinario 211 Definicoes a Uma fungao fa é dita analitica no ponto x 29 se ela pode ser desenvolvida numa série de Taylor relativa a esse ponto que tenha raio de convergéncia positivo b Considere a EDO linear de 28 ordem Axy Bxy Cxyx 0 26 que pode ser escrita na forma y px y x yx 0 27 com px BaAx e qx CaAa Dizemos que x xp um ponto ordinario ou naosingular dessa EDO se nesse ponto px e gx ou suas extensdes continuas sao funcdes Recordacao Uma fungao fx definida num ponto x zo é dita continua nesse ponto se lim fx f xo LxQ A extenséo continua de uma fungao fx num ponto x xg em que ela nao é definida mas tem limite finito é a funcdo gx que é igual a fx se x xo e naquele ponto é dada por gxo lim fx Por exemplo a extensdo continua da LxQ fungao senxx em x 0 é a fungao gx igual a senxx se x 0 e com g0 lim senxx 1 35 analiticas Um ponto que nao é ordinario é dito um ponto singular ou uma singularidade da EDO Exemplos i y nz yz 0 x 0 ponto singular pois fx Inz nao é analitica nesse ponto nao existindo f0 f0 etc fa nao pode ser desenvolvida numa série de Taylor em torno de x 0 ii y a 18y y 0 1 ponto singular pois 2 153 nao pode ser expandida em poténcias de a1 a segunda derivada de a 1 igual a 1091 é infinita em x 1 sen x 1cosaz iii cy senzy1lcosxy40 S yl y y2z 0 SS px ax Essa EDO nao tem ponto singular isto é todos pontos de R sao ordinarios inclusive c 0 De fato como 1 oe wy 1 xt x senx z eee eee x x 3 5 7 3 5 7 e Ma Le te oe x oe an cosxz eee see x a2 4 6 8 2 4 6 8 sao as séries de Taylor relativa a 0 das extens6des continuas de px e qx nesse ponto a analitici dade em x 0 esta verificada iv 22 1y tay ylr0 y Ty A alo 0 z z21 Os pontos singulares dessa EDO sao as raizes de x 1 0 a saber 2 i nos quais xx 1 e 1a 1 nao admitem extensdo continua pois apresentam limites infinitos nesses pontos Esse exemplo ilustra que pontos singulares nao sao necessariamente reais Percebese que a caracterizagao de pontos ordinarios e singulares com base no conceito de analiti cidade pode complicar as vezes a determinagao deles Ora 0 conceito de fungao analitica é porme norizadamente estudado num curso de fungdes complexas e é exatamente a falta desse estudo que nos traz dificuldades aqui Mas nao precisamos de muita teoria para prosseguir uma vez que estaremos na maioria das vezes preocupados apenas com EDOs cujos coeficientes sao polindmios Nesse caso fornecemos a seguinte receita A EDO 26 no caso em que Ax Bx e Cx séo polindmios sem fator comum tem em Xx 2 real ou imaginario um ponto e ordindrio se Axp 0 e singular se Ax 0 Por exemplo i a 1y 2zy 6yx 0 os pontos singulares sao as raizes de 2 1 0 isto x 1 Todos os outros pontos sao ordinarios ii aw 1y a ly a1y7 0 aly a 1ya1yx 0 ponto singular em x 1 ili aw 1y a 1y 1yz7 0 SS yp a ly x lyx 0 nao tem ponto singular todos pontos de R sao ordinérios iv vy a2y 2xlyx70 xy 2y x 1yx 0 ponto singular em x 0 v x 1y yx 0 pontos singulares em x i 36 212 Teorema da existéncia de solugoes em série de poténcias Se x xo for um ponto ordinério da EDO 26 podemos sempre encontrar duas solugées line CO armente independentes na forma da série de poténcias aa xo convergindo cada série pelo n menos no intervalo ap R x R em que R é a distancia do ponto xp ao ponto singular real ou nao mais proximo co Por exemplo a solugéo da EDO a 1y ay y 0 na forma ax 4 isto é na forma de n uma série de poténcias em torno do ponto ordinario x 4 é convergente para 4 3 4 3 17 pois nesse caso a distancia R do ponto x 4 ao ponto singular mais proximo que é 0 ponto x 1 é R413 Outro exemplo a solucdo da EDO a 9y 2y y 0 na co forma ax4 isto é na forma de uma série de poténcias em torno a n 7 do ponto ordinario x 4 é convergente para 4 5 4 5 19 Bi 5 intervalo des pois nesse caso a distancia R do ponto x 4 do eixo das abscissas ff ys Sppvergencia que também é o ponto z 4 do plano complexo ao ponto singular eos ja A Q 7 mais proximo que sao os pontos z 3i do plano complexo R lz 2F 4 3i 443i V42 3 5 A figura a direita oy mostra que o intervalo 19 é a parte do eixo real que jaz no interior S45 457 da circunferéncia de raio R 5 centrada no ponto x 4 desse eixo ae 213 Exemplos de resolugao de EDOs lineares por séries de poténcias em torno de ponto ordinario Nota Aqui por questao de simplicidade supomos que a origem x 0 seja sempre o ponto ordinario em torno do qual se deseja obter a solugao da EDO na forma de uma série de CO poténcias 5 anx no caso Isso nao significa perda de generalidade pois mediante a n0 mudanga para a varidvel t x x9 sempre podemos transformar uma EDO com ponto ordinario em x Zp noutra com ponto ordinario em t 0 Exemplo 1 y 2ay 0 Como nao ha pontos singulares a solugao em série obtida abaixo é convergente para todo real CO co co co 0 S nn 1anx 2x S Ant S nn lanx S 2anxt n2 n0 n2 n0 CO CO co S nn janx S 2an30 7 2ag S nn 1ay 2an3 2 n2 n3 0 n3 0 2an ag0 e an 23 n3 nn1 Como az 0 temos que a5 ag as2 0 k0 O coeficiente ag permanece arbitrario dele dependendo os coeficientes asn k1 2ao ao a 3Q 3 2a3 ldo ao a6 or ES 65 15 3 45 246 1 ao ao a FEF OO oe SS 98 3645 1620 Recordese de que a distancia entre dois pontos z1 e z2 do plano complexo é dada por z1 z2 e que o médulo de um nimero complexo z a bi é z Va 62 Por exemplo a distancia entre os pontos 6 13ie 1ié 6 13i 1 i 54 12i V5 122 V169 13 37 O coeficiente a também permanece arbitrario dele dependendo os coeficientes ask k1 2a ay a4 43 6 2a4 1 ag ay az FF Or 76 216 126 2a7 1 ay ay M0 Wa Fe yoe Eee 109 45126 5670 Logo ya apn tayat ag 7 a3 24 ag ct44 a5 2 4 ag 2 4 a7 ge ag 224 ag 94 ayy 19 4 WY WY wY wY wY wY wY WY we 0 20 a1 0 20 a1 0 2Q 1 3 6 45 126 1620 5670 5454 4 4aeo 2 4 a eee a x eee 3 45 1620 6 126 5670 é a solucao desejada sendo as séries entre parénteses duas solucoes linearmente independentes da EDO Exemplo 2 7 1y2y y0 Os pontos singulares sao x i A distancia entre esses pontos e o ponto de expansao x 0 é R0i i 1 Logo a solugdo em série obtida abaixo convergente para x 0 R0 R co co CO 0 a7 1 S nn 1anx 24 S nanw S An x n2 n1 n0 CO CO CO CO S nn 1anx S nn lana S NGy x S Ay x n2 n2 n1 n0 CO co co co Soin 2n 3an20 S nn 1anx Son 2an92 S An20 n4 n2 n3 n2 CO 2a9 643 aye dg are S nn 1a n 2n34n2 1 ano har k9909 0 es eae oe ee 2a2ao 6a32 n4 n1n3 3 an 2a2a90 agO0 e an r 8 dn2 n4 n O coeficiente aj permanece arbitrario dele dependendo os coeficientes a2r k1 ao ag 9 ag ag 2 ao a4 SS SF Sa a 4 4 8 3a4 ao8 ao a6 DS 6 2 16 O coeficiente a também permanece arbitrario e como a3 0 vemos pela relagao de recorréncia que a5 a7 ag 0 Logo yx ag tayx ag x a3 a2 ag x as 2 ag 28 az a t WS wY wY wY wY Y 20 0 20 0 20 0 2 8 16 38 a at af pene es me a1Zi5 Exemplo 3 y 12y0 Nao existem pontos singulares convergindo para todo z real a série que se obtém a seguir co CO CO CO CO 0 S nn lanx 1 2 S Ann S nn lanx S An2 S An32 n2 n0 n2 n2 n3 co 2a2 ag S nn 1an an2 Gn3a n3 donde az ao2 e a an3 an2 In3 nn 1 é a relacao de recorréncia Como ag e a permanecem arbitrarios em termos deles escrevemos todos os demais coeficientes ao ag 2 a 20 ay 5 6 a aq wo 0 ay a pt a ot Dp ag a3 1 2 ag t ao ay 20 2012 6 30 120 Finalmente yz ag tayx ag 22 ag a ay ett ay w Ww WY Ww Ww e e ee yee tae e e4 2 4 a eee a x eee 2 6 24 30 6 12 120 214 Problema de valor inicial PVI Considere os dois PVIs seguintes formados com a EDO ja resolvida no Exemplo 1 acima e diferindo apenas quanto ao ponto do dominio no qual as condicoes iniciais sao definidas ey 2xy 0 y0 2 0 5 ey 2xy 0 y3 2 y3 5 Como ja temos a solucao geral da EDO dada por ee x gt gt 10 1454542 4 4 542 454 yl ao 3 45 1620 OVE 6 196 5670 falta para completar a resolugao dos PVIs determinar as constantes ap e a a partir das condigoes iniciais o que exigiré a expressdo da derivada de yx x 2 4 2 e my x a x eae a see y 45 1620 6 126 5670 39 No caso do primeiro PVI as condig6es iniciais fornecem diretamente y0 ag 2 e y0 a 5 Mas no segundo PVI temos complicagoes as condicoes iniciais fornecem 33 36 39 34 37 310 3 1 54 54 5 4as542 57 4 2 y3 ao 3 45 1620 6 126 5670 a TO Sy So e 63 938 432 73 1039 3 a 2 7 a 4 2 5 y3 do 45 1620 6 126 5670 SS S3 Sa Essas duas equacoes formam um sistema algébrico com as duas inc6gnitas ap e a o qual para ser resolvido é necessdrio antes executar a dificil tarefar de calcular as somas 1 S2 3 e S4 Vése assim que a determinacao das constantes arbitrérias na solucdo geral ya tornase com plicada quando ya nao é uma série centrada no mesmo ponto do dominio no qual sao definidas as condig6es iniciais Assim concluimos o seguinte Ao se revolver por série o problema de valor inicial formado por uma EDO Axy Baxy Cayx 0 e condigoées iniciais dadas pelos valores conhecidos de yzo e yo se for um ponto ordindrio da EDO é vantagem obter a solugao geral como uma série centrada nesse ponto co isto 6 y anx xo pois as constantes arbitrdrias aj e a podem ser determinadas com n0 simplicidade sendo iguais a yxo e yao respectivamente De fato observe CO yz ag aya 29 S Anw 2 yao a n2 co yz a S NAna2xo yaoar n2 Vamos entao resolver 0 segundo PVI acima Segundo a conclusao acima convém primeiramente obter a solucao como uma série centrada em x 3 Isso seré menos trabalhoso se fizermos a mudancga de varidvel t x 3 As transformacg6es correspondentes das derivadas de y sao obtidas pela regra da cadeia dy dy dt dy d dy d dy dt a2 4 yt portanto y 24 2 v VO ae at de at YD Portanto 9 Ta tae de YO we We 1 yt 1 Com esses resultados e tendo em conta que yx yxt yt a EDO y 2x yx 0 toma CO a forma y 2t 3yt 0 Substituindo nessa equacgao a série S at lembrando que uma série n0 centrada em t 0 equivale a série desejada centrada em x 3 obtemos co co 0 y2t3y S nn 1ant 2t 3 S Ant n2 n0 CO co CO CO co co S nn1ant Qant 6 S at S nn1ant 2an3t 7 6 S An2t n2 n0 n0 n2 n3 n2 2a 6a 2a9 6a9 S nn1an 2an3 6an2t ag3aq e an oe a n3 nn 1 0 0 2 A209 3ag 2a0 6a ao a3 a 32 3 2a4 6a2 ay 63ao 3a9 ay a4 SO EE Fs S 43 6 12 2 6 2a2 6a3 2 6 ao 3 1 6 2a0 301 t Fite 8 nGspor gorn 5 54 39 320 ag 10 10 990 5 10 na notagiéo empregada yt designa a fungdo composta yat 40 v yt agtayt a2 a3 t ay t as P we Ww Ww wy Tete ar GE OE 1 ge hy Oe are pe a wee a eee 3 2 5 6 10 Com a substituigao de t x 3 a9 2 e a 5 obtemos finalmente a solugao do segundo PVI x3 3a3 2a3 yz 2 13e 32 223 3 yey tes 3 2 5 x 3 3a3 5 3 3 3 see c 3 6 10 22 Resolugao em torno de ponto singular 221 Definigoes Os pontos singulares ja definidos na secao 211 sao por sua vez classificados em regulares e irregulares como segue Dizemos que um ponto singular da EDO 26 é um ponto singular regular ou uma singularidade regular se ao reescrevermos essa EDO na forma dada por 27 constatamos que x xopx e 2 29qx ou suas extensdes continuas sdo funcdes analiticas em Zo O ponto singular que nao é regular é chamado de ponto singular irregular ou singularidade irregular Novamente para evitar a andlise de analiticidade de funcoes fornecese a seguinte receita valida no caso de EDO cujos coeficientes sao polinémios Considere 26 com coeficientes polinomiais e escreva essa EDO como em 27 mas com px e ga na forma de um quociente irredutivel de polindmios completamente fatorados em monomios Se o fator 9 aparece nos denominadores de px e gx com multiplicidades m Mg respectivamente entao x x9 é um ponto singular e regular se m1le m2 e irregular se Mp 1 ou mg 2 Assim por exemplo i Os pontos x 1 e 2 sao pontos singulares da EDO x1a4y a1x2yy 0 sem fator comum nos coeficientes polinomiais Reescrevendo essa equagao na forma 1 1 1 4 9 y0 YO 222 N2222 4 verificamos de acordo com a receita acima que x 2 é um ponto singular irregular jax lex2 sao pontos singulares regulares ii A EDO xx 1y a 1y 2yx 0 ou x1 1 2 t ea I y vx 1 wx 12 tem em 0 um ponto singular irregular e em x 1 um ponto singular regular iii 1a y 2a2y30y0 a 1 sao pontos singulares regulares SS w11 2 5 iv ay 2ary5y0 ySyzy0 x 06 ponto singular irregular x x v 8xry 2x7y 5ry 0 ou cancelando o fator comum x 8y 2ry5y0 aEDO nao tem ponto singular somente pontos ordinarios Al vi x2 9y 3xy 1 xy 0 y 3xy x 3ix 3i y 1 x x 3ix 3i y 0 x 3i são pontos singulares regulares A seguir estudamos o chamado método de Frobenius usado para se obter solução em série de EDO linear em torno de ponto singular regular Antes de explicar esse método convém apresentar dois fatos que motivam esse método y1 x2 e y2 x2 ln x são soluções de x2y 3xy 4y 0 para x 0 Essa EDO tem um ponto singular regular em x 0 em torno do qual se intentássemos uma série de potências anxn como solução só obteríamos y1 x2 pois o fator ln x na solução y2 não tem série de Taylor em torno de x 0 A EDO 6x2y 5xy x2 1y 0 tem um ponto singular regular em x 0 mas não possui solução alguma em série de potências em torno desse ponto Pelo método de Frobenius podemos obter duas soluções em série com as formas y1 n0 anxn12 e y2 n0 bnxn13 222 O Método de Frobenius Parte 1 Considere o problema de resolver a EDO 26 isto é Axy Bxy Cxy 0 em torno de um ponto singular regular x x0 Aqui pela mesma razão dada no início da seção 213 supomos por simplicidade mas sem perda de generalidade que x0 0 Pelo chamado método de Frobenius é sempre possível encontrar uma solução na forma da série relativa a x0 0 y xr n0 anxn n0 anxnr a0xr a1xr1 a2xr2 com a0 0 28 Não permitindo que a0 se anule impomos que esse coeficiente seja o primeiro da série Faz parte da resolução determinar 1 Os valores de r para os quais a EDO tem solução na forma da série em 28 Esses valores surgem da resolução de uma equação algébrica do 2o grau do 3o grau se a EDO fosse de 3a ordem e assim por diante denominada equação indicial cujas soluções r1 e r2 são as chamadas raízes indiciais 2 A relação de recorrência para os coeficientes an 3 O intervalo de convergência da solução em série obtida Os detalhes do método serão apresentados através de exemplos nos quais x 0 é o ponto singular regular em torno do qual se deseja a solução Conforme as raízes indiciais três casos importantes devem ser considerados 2221 Caso de raízes indiciais que não diferem por um inteiro r1 r2 Z Neste caso o método de Frobenius sempre fornece duas soluções linearmente independentes Exemplo 1 3xy y y 0 y n0 anxnr y n0 n ranxnr1 y n0 n r 1n ranxnr2 3x n0 n r 1n ranxnr2 n0 n ranxnr1 n0 anxnr 0 n0 3n r 1n ranxnr1 n0 n ranxnr1 n1 an1xnr1 0 Consulte as seções 43 a 46 da referência 4 42 3r 2ragx S Bnr1nrnr an an hon 0 n e ee 8n3r2nr r3r 2 aga S 8n 3r 2nran an1 e 0 1ucmeqwm 0 0 r3r 2 0 equagao indicial r0 ou 23 raizes indiciais 3n 38r 2n1ray dn1 0 relagdo de recorréncia dependente da raiz indicial As relacoes de recorréncia especificas para cada raiz indicial sao dadas por an1 r0 an n3n 2 ou 2 An1 r an 3 n3n 2 n1 A essas duas relacoes de recorréncia correspondem duas séries distintas nas quais ag permanece arbi trario A série correspondente a r 0 ao a Ty 20 11 ay ao ag 24 8 a2 ag 8 ao a3 os 37 21 168 a3 ag 168 ao a EE OO ES 410 40 6720 x x xt v yiz 2apt ay e ag 274 ag v2 ag xt4 ee ee a0 3s Tes 5720 A série correspondente a r 23 ao ao ay TF 15 5 ay ag 5 ao ag FE Oi 28 16 80 ag ag 80 ao a oO FS So 5 311 332640 a3 ag 2640 ao a4 OE or OE s 414 56 147840 ya 2 ag a a ag 2 ag a2 ag a4 Ww Ww Ww s 30 2640 T7810 2 3 4 231 i a eT ve wom ET 5 30 7 3640 7 147840 7 Assim obtemos duas solugées cuja combinacéo linear é a solucao geral yx y1x y2x con siderando o ap que multiplica cada uma delas como sendo duas constantes arbitrérias independentes 43 2222 Caso de raizes indiciais iguais Neste caso s6 se consegue uma tinica solugaéo na forma da série em 28 na qual r é igual ao tnico valor da raiz indicial Exemplo 2 xy y 4y 0 co CO CO Son trlnranat Soin ranxt4 S anz 0 n0 n0 n0 CO co co Soin trlnranett Son t ranx 4 S Ana t 0 n0 n0 n1 co r 1r rlaga S ntr1nrn7r Jan Jan bart 0 nr CO 2 1 2 tr1 Tr agx 0 n r Qn 4an1 arr 0 0 n1 0 Vemos que r 0 é 0 tnico valor da raiz indicial e que 4an1 Qn paranl 29 rnpP P 29 Essa equacao com r 0 tornase ay 4a1n n 1 donde dao ay 7 4a 47 a9 a ss 2 12 a 42 a0 5 32 123 4 ao lp Logo temos a tinica solugao 4 16 yx Yoana a pe a9 1 4x 4a Sa 210 n0 r0 n0 2223 Caso de raizes indiciais que diferem por um inteiro positivo r ro N Nesse caso a série em 28 1 Com r a maior raiz indicial sempre fornece uma tinica solugao 2 Com r rg a menor raiz indicial leva a uma das duas ocorréncias a Ela nao fornece nenhuma solugao b Ela fornece a solugao geral permanecendo arbitrarios dois coeficientes que inclui portanto a solucdo correspondente 4 maior raiz 11 Disso conclufmos que convém tentar obter primeiramente a solucao correspondente 4 menor raiz indicial pois ocorrendo 2b a resolugdo estara concluida Exemplo 3 ocorréncia de 2a ry 3y y 0 co CO CO Son trlnranat S 3n4ranat S anxt 0 n0 n0 n0 44 CO co co Soin rlnranett S 3nranx S Ana t 0 n0 n0 n1 co r 1r 4 3r aga 4 S n r 1n r 3n r an an hart 0 eS rr2 nl nr2nr CO rr 2 aga S nr2nran an1 Ft 0 T Vemos que r 2 e r 0 sao as raizes indiciais além disso a relagao de recorréncia dependente de r é dada por nr2n4ranGQr170 n1 211 Ser 2 A relacao de recorréncia especifica para r 2 nn 2an Gn1 n1 fornece ecomn1 1lhaya aa9 ecomn2 2O0aga Oa1 a9 Mas ag 0 é contrario a nossa hipétese estipulada em 28 Logo nao existe série associada a raiz indicial r 2 Passemos entao ao cdlculo da tinica solucao linearmente independente associada A maior raiz indicial que conforme o item 1 acima sempre existe Se r 0 A relacdo de recorréncia especifica para r 0 an1 n2nayGn10 Gr nin 2 n1 fornece ao ao ay 3Q 3 ay ao 3 ao ag COO i ei 42 8 24 ag ag 24 ao a FEO 5 53 15 360 a3 ag 360 ao a4 Eo O 64 24 8640 Temos portanto a tnica solucao linearmente independente 2 aap a1 e a2 2 a3 2 a4 x4 12E 2 4 212 v a2a a ag a3 x a4 a 2 y OP RT RE EBT 0 37 24 360 8640 cs at 300 Boao Exemplo 4 ocorréncia de 2b xy a7 2yy 0 CO CO CO co Soin r1nrana Soin ranx tht Soin 17anx S Anwt 0 n0 n0 n0 n0 45 CO CO co co Soin r1nrayv Soin r1ayyat Son rayxzt S anwt 0 n0 n1 n0 n0 co r1rr1 aox mr1ntrn4rllantntr Vana bent 0 w oo ge r1r1 r21 mt nr1nr1 co r 1 aga S nr lnr4 lant n4r Vana ban 0 an SS 0 donde obtemos as raizes indiciais r rj 1 er rg 1 e também que ntr1nr4lanan10 paran1 Serl A relagaéo de recorréncia é n 2nay dn1 0 n 1 donde e Com n 1 obtemos a a9 0 ay a e Com n 2 obtemos 00 significando que a2 permanece arbitrario e Para n 3 temos que a Gyn1N Ou seja ag 2a2 a SS TS 3 23 a3 ag 2a2 a O ES OO DS 4 34 234 a4 2a2 a o ES Ee 5 2345 12 a ba n Logo CO yz Yona aox ay tanx ag v2 ag 2 ag att YwY wY wY WY n0 r1 ao 282 202 222 142 2 xe x a a eee e lo Br at SS SS ui 2 u22 que é a solucao geral da EDO pois é a combinagao linear das duas funcoes linearmente independentes ua e u2a formada com as constantes arbitrarias ag e 2a2 Note que ee at og xe a 2 gt a ata Rt el4a 2 3 A 5 x x Fica como exercicio mostrar que se fizéssemos os cAlculos com a maior raiz indicial r 1 obte riamos apenas a solugao u2x 223 O Método de Frobenius Parte 2 Descrevemos aqui alguns procedimentos para o calculo de uma segunda solucao linearmente inde pendente y2x quando apenas uma solugao yi aguix de 26 na forma da série em 28 é obtida a saber quando as raizes indiciais r e rg se enquadram numa das circunstancias e 1 circunstancia rT r 46 e 2 circunstancia 7 rg K N e nao existe solugdo na forma de 28 com r rg a menor raiz Procedimento 1 Fazemos uso da formula 1 yox Cuy0 er Jolaae dx 213 uz 2 obtida pela técnica da reducao de ordem cf referéncia 6 onde essa formula é deduzida e apresentada como a equacéo 4 da secao 42 Acima px é 0 coeficiente de y na EDO escrita na forma dada por 27 e C é uma constante arbitraria Procedimento 2 Usamos o seguinte resultado cf segao 45 da referéncia 4 CO yox a ao ux na S baat 214 n0 onde ae d ena 1 circunstancia a1 e by ar dr 215 as ax r d ena 2 circunstancia a r re e by rreanr ao T12 dr r1T2 sendo a7 a expressao que se obtém para o coeficiente a em termos de r e ag por meio do uso reiterado da relagdo de recorréncia dependente da raiz indicial e nao do uso reiterado da relagao de recorréncia especifica para a raiz indicial rz ou seja o valor rz nao é substituido no lugar de r antes de se usar a relacao de recorréncia reiteradamente na deducao dos coeficientes a em termos do primeiro coeficiente ag permanecendo portanto a presenga de r nas express6es desses coeficientes Procedimento 3 Usamos 214 com a 1 e sendo r2 o tnico ou o menor valor da raiz indicial conforme a circunstancia Mas em vez de calcular os coeficientes b empregando 215 ignoramos essa formula substituimos 214 na EDO para determinélos Para exemplificar esses procedimentos usemolos para completar a resolugao das EDOs dos exem plos 2 e 3 obtendo uma segunda solucao linearmente independente Uma segunda solugéo no Exemplo 2 ry y 4y 0 Calculo com o procedimento 1 Tendo em vista o uso de 213 expliquemos os passos necessarios 1 Para calcular u7x usamos a formula abc a b c 2ab2ac2be que é a soma de dois somatorios dos quadrados de cada termo e dos dobros de cada produto de dois termos distintos nao explicitaremos as poténcias com grau maior que 3 Assim usando 210 que é a expressao de ui2 obtida no exemplo 2 temos que 16 2 32 320 u2 144040a 14162 828x S a 320 14804240 4 a ey co 2 Para calcular 1u7x S cnx reescrevemos essa equacao tendo ja substituido a expressao n0 de u a deduzida acima na forma 320 ut 2 S ena 1 8x 240 a co ea cou e327 1 n0 AT donde mantendo explicitas apenas as poténcias com grau até 3 obtemos 9 320 3 co c1 8c9 co 8c 24c9 a 3 82 24er co a ed eS 9 0 Logo calculando iteradamente os valores de c a partir das equacoes indicadas pelas chaves acima obtemos 320 1472 co1 nd cy 8 c2 8c 24c9 40 c3 8e2 24e co Assim 1 1472 co tea cov 322 182 402 a3 uz 2 9 3 A EDO na forma apresentada em 27 isto é y 1xy 4xy 0 mostra que px 1x e portanto que ew Spade e Q2 dx eine 1x 4 Logo usando 213 obtemos finalmente 1 1 1472 yor Cun en Jolaae l dx Cu 1 82 40x a dz uj 2 x 9 1 1472 Curx 8 402 a de x 72 Cux Ina 80 202 a ur dado por 210 m 216 Calculo com o procedimento 2 Na resolucao apresentada no exemplo 2 obtivemos a as raizes indiciais r rg 0 mostrando que devemos usar 214 e 215 com a formulagao referente 4 1 circunsténcia e b a relagao de recorréncia dependente da raiz indicial na equacao 29 dan anr we para n1 Uma vez que aor ado const temos que 4ag a1 r r 1 4a ar 3 r 12r 2 4 ao alr W2 r Ir 2r nP Para calcular a derivada aj 1 convém empregar a derivacao logaritmica Inar In4a9 2Inr 1 Inr 2 4Inrtn 1 1 1 0 1 1 ult 2 4 4 4 a0 y Tt44 An 1 Ir0 r1l r2 rnio9 An 0 2 n 4 4 onde substituindo a0 i ee at obtemos 12n n 4 ag 1 1 0 la4 ONO Tae 145 tt 48 Logo ay 0 ao é constante a0 2a941 8a9 2ap42 1 2a 43 1 1 176 e assim finalmente yoa ux Ina S al Oat n0 176 wx Ina ao 8a 122 37 uia dado por 210 m 217 Calculo com o procedimento 3 Impondo uma segunda solugdo para a EDO Ly xy y 4y 0 com a forma y2x ao ui x na S bya ro O 70 f ax 92 sendo ux dado por 210 isto é 2 16 3 uia 14 4a 4a oe fee obtemos Lyz Lagf 9 aobLftLg0 Lgalf I Mas Tr 1 al 1 Lf ff4f uf Ina 2u m ui Ing u 4u nz x x x 1 Ina ruil ui 4u12u 244 8a e tll SS 0 2 aoLf B8ag 16apx 8 foes II e Lg wg 9 4g2 S nn 1bpx S nbx 4 S bp x n2 n1 n0 S nn 1bpa S nbw S 4b 12 b 4b So n7bn 4bJx n2 n1 n1 n2 by 4b 4b2 4b1a 9b3 4b2a IID Logo em vista dos resultados em II e III a equagao I fornece by 4b9 8a9 db 4bo 8a0 Abo Ab 16ao ba by dag Abo 12a9 32a0 4 32 4 32 16 176 9b3 4bp 2 3 40 12 18 20 so 3 go 70 gO GO 970g 0 97 49 Finalmente yox ag uyx Ina bo bye box b3x aguxz Ina 2 16 176 3 bo 4b 8a0 x 4b 12a9a Gro free IV 1 1 bo 1 4a 4a quite a9 uiw Ine 80 122 et eS uix 176 5 bo uy ae ao wy na 8x 120 372 7 218 SS u2x que é na verdade a solugdo geral haja vista as duas constantes arbitrarias ag e bj bem com as duas solug6es linearmente independentes ux j4 deduzida e u2x aqui obtida Equivaléncia das solucoes Se tomarmos a segunda solucao obtida com o procedimento 1 dada por 216 fizermos C 1 destacarmos o termo com In substituindo no outro a expresséo de ux e entao multiplicarmos as séries para obter 1472 80 202 1 yox uia ne ux x 20a a7 2 1 1472 ux ma 1 40 40 att te 82 202 Sete 1 ux Ina 8a 122 sett be observamos que esse resultado é exatamente a segunda solucgao obtida com os procedimentos 2 e 3 dada por 217 e 218 Uma segunda solugdéo no Exemplo 3 ry 3y y0 Calculo com o procedimento 1 y 3 1 fpxdx 3x dx 3lna 3 sy 3yy0 yryy0 e IP e e 1a x x px Usando 212 que é a expressao de ui a obtida no exemplo 3 temos que 2 3 2a 4 ee ee Bye out 2 1 3 57 360 2 x x x x x 2 21 21 211 2 5 Le 3 F203 2054 2D 3365 23 laa 14224 ca 4 w 2x 2z see 3 36 30 1 eww 2 3 2 72 Bay o co c1a cox c3 1 50 367 o 1 2 2 2 er 2 wt c 7b 4 SO 2 cg 4 74 A ON SE ad 3 3 36 3 3630 1 PS e SS 0 0 0 2 2c 7Co 1 2c2 7c Co 19 l1 tS a3 7 ON 3 36 7 4 SF 8B 86 B0270 4 1 1 2 4 x 19 5 ape se Bp ee uz x 3 4 270 50 1 1 2 x 19 Spwdx 2 S84 yox Curx e Za dx cue 1 git 17 370 dx Qa x 198 3 oO 4 Cur0 a 3 4 2707 de x Qe 4 19x 1 1 2 192 Curx5 Ine 55 5 ur a dado por 212 219 Calculo com o procedimento 2 No exemplo 3 vimos que a as raizes indiciais r 0 e rg 2 mostrando que devemos usar 214 e 215 com a formulacao referente 4 2 circunstancia e b a relagdo de recorréncia dependente da raiz indicial na equagéo 211 An1 ts 1 Gn r tn 2rPn para n1 Temos que d bo rT r rzaor aor r 12 aor ao r r1ro Sa Ss p 2 ao 0 d d ao bn Fleaal Fler asl eee a Q9 r 3P ree QP d d ag b 2 oO 2 dr r Jaatr dr eyes ease ee es 40 rr 8 LAD r 1r 3r 4 r2 g MA EDR A 221 a 1 4 2 4 4 d d ao b 2 TT OOWNDO OO 3 dr r yastr dr eres GPRB 2M23 YA YA2 6 123 2 Map 1223P 8 36436 Precisamos também calcular o fator presente na formulacao que no caso como K r rg 0 2 2 é dado por ax r 2 1 1 Qa G r2 ao lL lr ao 9 r 1r 3r 4 a 2 Por fim yox aagui2 Ina S byaa agui x na bor bya bo bga n0 a i uya Ina iui t ie fee wix dado por 212 220 2 zc ax 4 36 51 Calculo com o procedimento 3 Impondo uma segunda solugdo para a EDO Ly xy 3y y 0 com a forma Yyox ag ux Ina S byw tT rg 2 f x a 9 com ux dado por 212 isto é ec x of j404424 4 ui2 3 547 360 obtemos Ly LaoftgalLftLlg0 Lgalf I Mas T 1 l 1 Lf f3ff uf Ina 2u m 3ui Ina u ulnz x x x 2 Ing ru 3u uy 2u ay Str 2u u1 Vs x x x 0 6 242 4 2i2E 24 7 3 12 120 x 3 24 360 2a9 4ap ane aox asLf 2 2e ee Y Il Golf zr 3 4 4 e Lg g3ggx Soin 2n3bnx 7 3 Soin 2ba 3 S byw n0 n0 n0 Son2n 3bna 2 3n 2bna 7 dpa 3 Gbga Gbga n0 n0 n1 S n 2n 3 3n 2 bp bn ba S nn 2bp Dn ba n1 Or n1 nn2 bp bo by Sa 7 a t bs b2 8ba bsa II Logo em vista dos resultados em II e III a equagao I fornece b tbo 0 bo 2ao b 2a 1 by 2ao bg permanece arbitrario 4ag 4ag bo 3b bb5 by 4 ye 3 9 3 ao ao b3 ao ao by 25a0 bg 8b4 b3 bg tS Se e 4H S S Y as 4 32 8 32 18 2d 388 24 52 Finalmente bo by 2 yoz ago uix Ina 2 Tt b2 baa bax fee agux Ing 2a0 2a0 dao ba 25a9 bg 2 4 tt 4 Sa4 Se Saree 221 a2 tt ba 9 ta tt sas t o42 221 2 3 176 bi55a5t aow x na 8x 122 Sa SS ua 2 2 2 4x 25a by ui aouixIne 4 a 222 que é a solugao geral com as duas constantes arbitrarias ao e bo Equivaléncia das solugoes Note que 220 com ag 1 é igual 4 segunda solucao em 221 com ap 12 e bp 14 Além disso se tomarmos a segunda solucao obtida com o procedimento 1 dada por 219 fizer mos C 1 destacarmos o termo com In substituindo no outro a expressao de uiz e entao multiplicarmos as séries para obter 1 1 2 19 l a4 et no gtueIne e 55 35 o79 t tmayme 1454542 4b2Bee gy 3 24 360 222 3x 270 1 x 1 4 1 4 29 19x 4 ux Ing 4 40 Qa Qr 144 432 vemos que esse 6 0 mesmo resultado que se obtém da segunda solugéo em 221 com ag 14 e bg 29144 53 23 Exercícios 1 Calcule a solução em série centrada no ponto ordinário x 0 de cada uma das EDOs abaixo a y xy b y 2xy y 0 c y x2y xy 0 d x2 2y 3xy y 0 2 Determine os pontos singulares de cada EDO e classifiqueos como regular ou irregular a x3 4x2 3y 0 b x2 9y x 3y 2y 0 c x3 4xy 2xy 6y 0 d x2 x 6y x 3y x 2y 0 e x21 x2y 2xy 4y 0 f x3x2 25x 22y 3xx 2y 7x 5y 0 g x21 xy x 2y 3xy 0 h x21 x2y 2xy 4y 0 i 1 x22y x1 xy 1 xy 0 j x1 x23y 1 x22y 21 xy 0 k x 22x 1y 3x 1y 2x 2y 0 3 Calcule a solução geral na forma de uma série centrada no ponto singular regular x 0 de cada uma das seguintes EDOs cujas raízes indiciais correspondentes informase não difere por um número inteiro a 9x2y 9x2y 2y 0 b 2x2y xx 1y y 0 c 2x2y 3xy 2x2 1y 0 d 3xy 2y 4y 0 4 Calcule a solução geral na forma de uma série centrada no ponto singular regular x 0 e com x 0 de cada uma das seguintes EDOs que são tais que as raízes indiciais são duplas sendo necessário calcular uma segunda solução linearmente independente por um dos três procedimentos abordados na seção 223 a x2y xx 1y y 0 b 4x2 16x3y y 0 c x2y x2 14y 0 d 4x2y 1 4xy 0 5 Calcule a solução geral na forma de uma série centrada no ponto singular regular x 0 de cada uma das seguintes EDOs que são tais que as raízes indiciais diferem por um número inteiro nãonulo correspondendo à menor delas a solução geral a xy 2y xy 0 b xx 1y 3y 2y 0 c xy x 6y 3y 0 d x2y 5xy 5y 0 6 Calcule a solução geral na forma de uma série centrada no ponto singular regular x 0 e com x 0 de cada uma das seguintes EDOs que são tais que as raízes indiciais diferem por um número inteiro nãonulo sendo necessário calcular uma segunda solução linearmente independente por um dos três procedimentos abordados na seção 223 a xx 1y 6x2y 3y 0 b 9x2y 15xy 7 36xy 0 c 16x2y 40xy 32x 13y 0 7 Uma EDO linear de 2a ordem com coeficientes polinomiais que tem um ponto singular em x 0 é da forma xA0 A1x A2x2 y B0 B1x B2x2 y C0 C1x C2x2 y 0 Mostre que considerando séries de potências centradas em x 0 nos casos em que o método de Frobenius se aplica quando x 0 é um ponto singular regular obtemos a equação indicial a A0r2 B0 A0r 0 se A0 0 b A1r2 B1 A1r C0 0 se A0 B0 0 e A1 0 c A2r2 B2 A2r C1 0 se A0 A1 B0 B1 C0 0 e A2 0 d A3r2 B3 A3r C2 0 se A0 A1 A2 B0 B1 B2 C0 C1 0 e A3 0 54 Respostas e algumas resolugoes 1 a yx ag 1 ye ape get ap deg get ay 0 dott sheet sphere b yx ag 1 Ha Sart 2a ax 40 05 Gat 2 22 2 272 2 2 o2 c yx ap1 da4 Sao Hao 4 4 aio Fat Beat Maret gto d yx ao1 40 sat 376 aie 708 dha Ste 2 a irregular x 0 b regular 3 irregular x 3 c regulares x 0 2i d regulares 3 2 e regular 0 irregular x 1 f regulares x 5 2 irregular x 0 g regular 1 irregular x 0 h regulares x 1 irregular x 0 i regular 1 irregular 2 1 j regulares 0 1 irregular x 1 k regular 1 irregular x 2 3 a yx c091 50 3a Ho ee91 50 ga ioe b yx ce1 a0 Seat stgt con 1 get ye t age c yx cal 1 da spp area ca 10 spat bya d ya ci1 20 2 Zo et 140 2a iga 4 a yv cui x cpu2x onde ui re ugx wi0Ine0 fe sign b ya cyusa cguex onde uix xl 1 x 3a Fa3 U2x uy 0 Ina 2a 9a 3a c ylx ermsxezus2 onde wx 21 Gphns2 Geet gpa Ux ui 0 Ine 52 4 poatt ui2 Ina wll 4a pat t d Solugao yz Yo ana a ag aiuagqu7 S y Vn4rnrljanz n0 n0 0 4a7y 1 42y SO 4ntrntrVane tt SY apart S dana ttt n0 n0 n0 ee SS S 4an1x2tr n1 4rr 1 1ao DO 4ntrnr1 Yan t 4ani at 0 fe SEO 2r120 0 r12 e Antrnr11p12an 4an1 1 1 1 n an 5 n 5 7 Aan law 1 7 dn 4n7an 4dn1 On on n1 uix oo ay ao a2 ao i 12 1 4 2 a 1 a a aj2 a L a x at4 1 01 BTA BX 9 36 y 4 36 0 0 O usa f 04 de Cur0 a yox Cu 2x e Da x Cua Bla x 59 x x 2 x a x 3a 5x3 eS SE Px 1 3a 53 Px dent Px Dense 1224 She cot ere en eg0 1 3 3 5 Co 2 ci 2c u2 2c 2 08 3 2a SE be WY S 2 2 9 ee S SS SS 1 0 3C9 5 3c 5Co0 23 2 TST 2 J a s co C1 2C9 1 C2 2C1 p C38 402 9 9 1 1 1 L 24 By 1g Se 230 so a C9 HO Oot 0030 F uzz Pr 2 ot 8 x 2 9 1 1 5a 23a yaax Cure fy de Cula f 542 5 dae x Resposta yx c1u1x cguex onde ux x1 1 e a 36 5a 23a Ine 20 p Sy e U2x ur 2 na 2a 1 37 5 a ya ca 1 fa hat fae e1 fa gat fa b ya ca1 2a 30 coat 20 30 407 c yx al 5u yn io ca0 52 Bao Fal d Solugao oo yf nt raya yx Yo ana a2 ag au aqu74 no n0 y YS nrnr1ana n0 0 ay bay By Yo n4rnrLanat YD 5nranart SD 5ayart n0 n0 n0 rUr5r5laot OY nrUnr5nr5 an a 0 X i r24r50 0 Logo r 5 ou 1 Considerando r 5 o menor valor obtemos para n 1 ntr1nr5nr5 an n51n5 5n5 5 an 0 r5 nn6 a 0 a 0 e ag permanece arbitrario tal qual ag n1 n46 Como duas constantes ap e ag permanecem arbitrérias a solucaéo que se obtém é a geral Resposta yx aao ag2 aox a6 Acabamos de resolver uma EDO de EulerCauchy naturalmente ela pode ser resolvida mais simples mente pelos métodos analiticos que o aluno jd aprendeu 6 a yx ci 3x 2x3 Bat 23un 2 nae 1 2g Wz b ya crus x couea onde uix 23 a 20 qe Ux we gu 2a71 Ine Ba c Solugao 16x7y 40xy 32a 13y 0 SX 16n rn r lanat SS 40nrana SY 32anaPttt SS 13anat 0 n0 n0 n0 n0 ee S 32an12t n1 16rr 1 40r 13a9 DY 16nrn r 1 40n r 13 ay 32a1 2 0 Na 16r256r13 0 0 56 rr 134 ou rrg14 e 16nrnr1 40nr 13 a 32a1 n 1 Como r rg 3 Z vejamos se com r 14 a menor raiz indicial a solugdo geral é obtida Nesse caso a relacao de recorréncia é dada por 1 3 1 f16n5n4 40n5 i3 an 4n14n3 40n 3Jan 16nn 3an 32an1 Substituindo n 12 obtemos n1 32a 32a9 ayao n2 82a 32a 32a9 ada2a0 n3 0a3 32a2 32a9 ado 0 contradicgaéo com a hipdtese ap 0 Vemos assim que nao existe solugao corresponde 4 menor raiz indicial Passemos entao ao cdlculo da solugao associada a r 134 Nesse caso a relacdo de recorréncia os coeficientes da série e a solugao y1x correspondente sao dados por 13 9 13 16nn2 40n 13 an An134n9 40n117 an 16nn3ay 32ay1 2an1 ao a a a2 ao n 7 1 T see inayn 2 OSD OSE TQ BS 90 2 3 ed Ce ee ve Yt ao 210 907 eS uix 1 Calculemos uma segunda solugao 1i usando a equagao 213 yox Curl e POT dx uy a px 5 32x 4 13 16x7y 40ry 322 13y0 y xy y0 Qu 16x rac ode SINT 8 ede Im2 52 2x 2 2 3 2 2 2 3 3 0 04 14524 a2 45 2s SEF 4 wa 2 E 2 10 90 Tats Bot 9x2 112 192 1 ee ve x w 50 90 eS Pa 1 2 11a Po Soe Pla Yo ent 10 EE ey pere tern e509 1 11 Co 2 cic 2a 52 5 c2 st 2 te 1 v 1 0 Y 3C0 5 3c 5Co 23 col cy 2c9 2 C2 2e1 5p C3 20a SO ee 1 1 a4 So aa 1 He 20 utz 182 Px 182 C0 ES OES EE 132 90 9 7 u2zx 132 20 9 eP 1a4 lla a7 4 3 a Vda cue a 97 7 ae 134 ec x Resposta yx cyuix cguex onde ux 2 1 5 i090 e usx x vy a lie 2 ux uz a 3 5 50 g Ine 57