Vibrações Mecânicas I - Capítulo 5: Resposta a uma Excitação Geral

Vibrações Mecânicas I Capítulo 5 Resposta a uma Excitação Geral Universidade Federal de Itajubá Bibliografia INMAN D J 2007 Engineering Vibration 3th Edition PrenticeHall THOMSON W T DAHLEH M D 1998 Theory of Vibration with Application 5ª Edition PrenticeHall RAO S 2008 Vibrações Mecânicas Pearson Prentice Hall SP 51 Excitações Periódicas 52 Excitações não Periódicas 511 Exercícios propostos 523 Exercícios propostos 521 Resposta ao Impulso 522 Resposta a uma Excitação Arbitrária Vibrações Mecânicas I Capítulo 5 Resposta a uma Excitação Geral Universidade Federal de Itajubá Em alguns casos existem forças de excitação que variam com o tempo em uma forma não harmônica Nestes casos é comum não se ter uma solução exata mas aproximações Assim devese distinguir excitações gerais em duas categorias 1 Periódicas 2 Não Periódicas Capítulo 5 Resposta a uma Excitação Geral Resposta a uma Excitação Periódica Universidade Federal de Itajubá 51 Resposta a uma Excitação Periódica Uma força periódica pode ser expressa em séries de Fourier na forma onde 1 0 cos 2 n n n b sen n t n t a a F t 96 T 2 97 t dt F T a T 0 0 2 98 n t dt t F T a T n 0 cos 2 99 t sen n t dt F T b T n 0 2 100 Capítulo 5 Resposta a uma Excitação Geral Resposta a uma Excitação Periódica Universidade Federal de Itajubá Considere do sistema de 1GDL abaixo excitado por uma força periódica Retirado de wikiwandcom Capítulo 5 Resposta a uma Excitação Geral Resposta a uma Excitação Periódica Universidade Federal de Itajubá Assim a equação do movimento do sistema que sofre a ação de uma força periódica é Devido a linearidade o princípio da superposição dos efeitos pode ser aplicado e a solução em estado permanente será a soma das soluções das equações cos 2 1 0 b sen n t n t a a kx cx mx n n n 101 2 0 1 1 1 a kx cx mx 102 1 3 3 3 n n b sen n t kx cx mx 104 1 2 2 2 cos n n n t a kx cx mx 103 Capítulo 5 Resposta a uma Excitação Geral Resposta a uma Excitação Periódica Universidade Federal de Itajubá A solução particular será 3 2 1 t x t x t x t x p p p p k a x p t 2 0 1 1 2 2 2 ² ² cos n n n p n c m n k n t a t x 1 2 2 3 ² ² n n n p n c m n k b sen n t t x ² ² mn k n c arctg n Capítulo 5 Resposta a uma Excitação Geral Resposta a uma Excitação Periódica Universidade Federal de Itajubá solução completa será 1 2 2 0 ² ² cos 2 n n n n n p n c m n k b sen n t n t a k a t x 105 Na forma adimensional 1 2 2 0 2 ² ² 1 cos 2 n n n n n p nr r n sen n t k b n t k a k a t x 106 ² ² 1 2 n r nr arctg n 107 n r T 2 Capítulo 5 Resposta a uma Excitação Geral Resposta a uma Excitação Periódica Universidade Federal de Itajubá Observe a equação abaixo 1 2 2 0 ² ² cos 2 n n n n n p n c m n k b sen n t n t a k a t x O denominador do segundo membro se aproxima de zero quando o amortecimento for pequeno ou nulo e o que implicará em grandes amplitudes de vibração Assim múltiplos da frequência fundamental podem levar o sistema à ressonância 𝑛2𝜔2 𝜔𝑛2 𝑛2𝜔2 𝑘 𝑚 Resposta a uma Excitação Periódica Exercícios Propostos Universidade Federal de Itajubá Exemplo 1 Um sistema de 1GDL é excitado por uma força Ft que varia como na figura Encontre a resposta do sistema para k2500Nm c10Nsm e m025kg 𝐹 𝑡 5 40 𝜋2 𝑛1 1 𝑛2 cos𝑛𝜔𝑡 𝑥𝑝 𝑡 0002 4053 𝑛1 cos𝑛𝜋𝑡 𝜙 𝑛2 2500 247 𝑛2 2 3142 𝑛 2 1 2 para n ímpar para n ímpar