Aula 02: Características de Sistemas de Controle em Malha Fechada

ECA602 Sistemas de Controle Universidade Federal de Itajuba Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologia da Informacao Aula 02 Caracterısticas de Sistemas de Controle em Malha Fechada Prof Caio Fernandes de Paula caiofernandesunifeiedubr 2 Semestre de 2023 1 120 Introducao Sugestao de leitura 1 Engenharia de Controle Moderno K Ogata 5ª Edicao Editora Pe arson Capıtulo 5 todas as secoes 2 Engenharia de Sistemas de Controle N S Nise 6ª Edicao Editora LTC Capıtulos 4 e 6 todas as secoes 3 Sistemas de Controle para Engenharia Franklin Powell e Emami Naeini 6ª Edicao Editora Bookman Capıtulo 3 todas as secoes 4 Sistemas de Controle Modernos Dorf e Bishop 13ª Edicao Editora LTC Capıtulos 5 e 6 todas as secoes 2 120 Introducao Nesta aula continuaremos a ver as caracterısticas de sistemas de controle em malha fechada como estabilidade sensibilidade rejeicao de disturbios analise da resposta estacionaria erro em regime permanente e analise da resposta transitoria criterios de desempnho Malha de controle padrao para sistemas a tempo contınuo 3 120 Estabilidade Uma das questoes mais difıcies de se responder sobre os sistemas dinˆamicos e sobre a sua estabilidade Em linhas gerais se entende por estabilidade a capacidade de se permanecer sob controle Estabilidade BIBO Um sistema dinˆamico e dito BIBO bounded input bounded output estavel se para toda entrada limitada em magnitude a saıda tambem permanece limitada em magnitude por todo o tempo A estabilidade BIBO de um sistema dinˆamico linear e invariante no tempo contınuo esta relacionada a posicao dos seus polos no plano complexo Tal sistema e BIBO estavel se e somente se todos os seus polos possuırem a parte real negativa isto e pertencerem ao semiplano a esquerda do plano complexos 4 120 Estabilidade Funcao de transferˆencia em malha fechada Ts GCsGPs 1 GCsGPsHs A analise de estabilidade de um sistema dinˆamico em malha fechada e dada pela equacao caracterıstica da malha fechada a qual e defi nida pelo denominador da funcao de transferˆencia em malha fechada igualado a zero 1 GCsGPsHs 0 Assim tanto os polos quanto os zeros em malha aberta possuem in fluˆencia nos polos em malha fechada Com base nas informacoes pro vidas pela equacao caracterıstica surgem os metodos de compensacao a escolha do controlador 5 120 Criterio de RouthHurwitz O calculo das raızes da equacao caracterıstica pode ser numericamente dispendioso e a localizacao exata das raızes nao e necessaria para se concluir sobre a estabilidade BIBO O criterio de RouthHurwitz fornece as condicoes suficientes e ne cessarias para testar se um polinˆomio possui ou nao todas as raızes com a parte real negativa sem calcular explicitamente as suas raızes A equacao caracterıstica e geralmente um polinˆomio exceto para os casos em que o sistema dinˆamico possua um atraso de transporte uma exponencial em s Nestes casos o criterio de RouthHurwitz nao pode ser utilizado Seja entao Qs o polinˆomio da equacao caracterıstica Qs ansn an1sn1 a1s a0 onde a0 0 6 120 Criterio de RouthHurwitz A partir dos coeficientes do polinˆomio obtemse o arranjo de Routh dado por sn an an2 an4 an6 sn1 an1 an3 an5 an7 sn2 b1 b2 b3 b4 sn3 c1 c2 c3 c4 s2 k1 k2 s1 l1 s0 m1 O numero de raızes com parte real positiva de Qs e igual ao numero de mudancas de sinais na primeira coluna do arranjo Logo o sistema sera estavel se e somente se todos os termos da equacao caracterıstica e da primeira coluna do arranjo forem positivos 7 120 on Zt Critério de RouthHurwitz Os termos do arranjo sao calculados por 1 an An2k 1 an1 an12k by G an1 An1 An12k by bt by44 1 bi be 41 d k 123 C1 C1 Ck41 Existem trés casos possiveis na aplicaao do algoritmo e Caso 1 Na aplicacao do algoritmo nao ocorre problemas Caso 2 Elemento da primeira coluna é zero e ao menos um elemento em sua linha nado é zero Quando isso ocorre em tese é impossivel continuar o algoritmo pois as linhas subsequentes teriam divisdo por zero Trataremos deste caso mais adiante Caso 3 Linha nula todos os elementos de uma linha sao nulos Mesmo pro blema que o anterior mas este caso indica que ha a presenca de um polindmio par Qps fatorando Qs Um polindmio par é aquele que sé contém expo entes que sao pares ou zero Também trataremos deste caso mais adiante 8120 Criterio de RouthHurwitz Explorando o Caso 2 No Caso 2 o elemento da primeira coluna de uma linha e zero com pelo menos um elemento da mesma linha nao zero Neste caso para aplicar o algoritmo ha duas possibilidades Substituir o zero na primeira coluna por ϵ e continuar o algoritmo em funcao dele Logo apos a tabela estar completa fazse ϵ 0 para mais ou menos e contase quantas trocas de sinal houve na primeira coluna Fazse a substituicao s 1x e analisase o polinˆomio xnQ1x apro veitando o fato de que as raızes de xnQ1x nao mudam Geralmente quando Qs e Caso 2 xnQ1x sera Caso 1 Da primeira alternativa podemos concluir que se o algoritmo recai sobre o Caso 2 o sistema sempre sera instavel pois ao analisar ϵ 0 ou ϵ 0 a resposta deve ser a mesma ou seja sempre havera uma troca de sinal na primeira coluna A continuacao do algoritmo somente e feita para confirmar o numero de raızes no SPD 9 120 Criterio de RouthHurwitz Explorando o Caso 3 No Caso 3 uma linha inteira da Tabela e zero Este caso indica a presenca de um polinˆomio par Qps fatorando Qs Qs QasQps e a linha anterior a linha nula contem os coeficientes do polinˆomio par Sendo assim a linha nula somente pode ocorrer em uma linha com o expoente de s ımpar As raızes de um polinˆomio par sempre sao simetricas com relacao a origem ou seja devem ser iguais em magnitude e opostas em relacao ao sinal Um polinˆomio par de grau 2 pode apresentar duas raızes pu ramente imaginarias sendo uma a conjugada da outra ou duas raızes puramente reais com sinais trocados Um polinˆomio par de grau 4 ou superior pode apresentar alem de uma combinacao das raızes ante riores simetria quadrantal ou seja apresenta dois pares complexo conjugados igualmente distantes da origem 10 120 Criterio de RouthHurwitz Explorando o Caso 3 De posse do polinˆomio par Qps ha duas possibilidades a serem utili zadas Fatorar Qs em Qas e Qps e analisalos separadamente sendo Qas via Criterio de RouthHurwitz e Qps tambem via criterio de Routh Hurwitz ou equacao biquadrada se Qps e de grau 4 ou menor Continuar o algoritmo na tabela original substituindo a linha nula pelos coeficientes da derivada do polinˆomio par dQpsds Observe que no Caso 3 devido a simetria das raızes do polinˆomio par o sistema sera na melhor das hipoteses marginalmente estavel Para isto e necessario que o algoritmo nao forneca nenhuma raiz no SPD e que as raızes puramente imaginarias nao aparecam em multiplicidade maior que 1 11 120 Estabilidade Exemplo 21 Considere que a equacao caracterıstica de trˆes sistemas de controle sao dadas abaixo Analise a estabilidade de cada um deles a partir do Criterio de RouthHurwitz Q1s s3 6s2 11s 6 Q2s s4 2s3 3s2 4s 5 Q3s s3 2s2 s 2 12 120 Estabilidade Resolucao do Exemplo 21 Comegando por Qs Qis s6s11s6 Observe que todos os coeficientes de is possuem o mesmo sinal o que é uma condiao necessaria porém ndo suficiente para que Q1s possua todas as raizes com parte real negativa no semiplano a esquerda no planos A Tabela de Routh para este caso é s1 11 s6 6 si by so Calculandose os coeficientes i11 11 66 1 6 6 O60 a5 10 0 io 13120 Estabilidade Resolucao do Exemplo 21 A Tabela de Routh final entao fica s3 1 11 s2 6 6 s1 10 s0 6 Como nao houve zero na primeira coluna este e um Caso 1 Analisandose a primeira coluna da tabela notase que todos os elementos sao positivos ou seja nao ha trocas de sinal da primeira coluna Sendo assim como nao ha trocas de sinal na primeira coluna nao ha raızes de Q1s com parte real positiva no semiplano a direita no planos logo todas estarao no SPE Concluise entao que o sistema de controle com equacao caracterıstica Q1s e estavel 14 120 Estabilidade Resolucao do Exemplo 21 Passando agora para Q2s Q2s s 25 35 4545 Observe que todos os coeficientes de 2s possuem o mesmo sinal o que é uma condiao necessdria porém nao suficiente para que 2s possua todas as raizes no SPE A Tabela de Routh para este caso é stl ee s2 4 s by bo st Ct 5 dy Calculandose os coeficientes 1 1 3 46 n5 2 4 P 1f1 5 10 b 2 0 O las 12 4 104 a7 1 5 O a 15120 Estabilidade Resolucao do Exemplo 21 Continuando 1 1 5 0 30 dp 2 0 30 5 6 6 0 6 A Tabela de Routh final entdo fica sy 1 3 5 s 2 4 sx 1 5 st 6 s 5 Como nao houve zero na primeira coluna este é um Caso 1 Analisandose a primeira coluna da tabela notase hd uma troca de sinal da linha s para a linha st e uma troca de sinal da linha s para a linha s Sendo assim ha duas trocas de sinal na primeira coluna e entdo ha duas raizes de Q2s com parte real positiva no semiplano a direita no planos e as outras duas estardo entao no SPE Concluise entéo que o sistema de controle com equacdo caracteristica Qos é instavel devido a presenca de raizes caracteristicas no semiplano a direita 16 120 Estabilidade Resolucao do Exemplo 21 Finalmente analisaremos Q3s Q3s 53 25 542 Observe que todos os coeficientes de Q3s possuem o mesmo sinal o que é uma condido necessdria porém n4o suficiente para que Q3s possua todas as raizes no SPE A Tabela de Routh para este caso é s1 1 s2 2 si by Slag Calculandose os coeficientes 11o1 22 m33 3 P o Perceba que devido ao fato da linha s ser inteiramente formada pelo coeficiente b e sendo este nulo temos uma fila nula portanto um Caso 3 O polinémio par é entao formado pelos coeficientes da linha anterior Qps 257 2 Derivandose Qs fornece a nova linha s dQpsds 4s 17120 Estabilidade Resolucao do Exemplo 21 Continuando 1 2 2 0 2 08 5 44 0 4 A Tabela de Routh final entdo fica s 1 1 s 2 2 st g 4 s 2 Analisandose a primeira coluna da tabela notase quer todos os elementos sdo positivos e portanto nao ha troca de sinal Logo nao ha raizes de Q3s no SPD No entanto devido ao Caso 3 e consequentemente a presenca de um polindmio par fatorando Q3s o fato de nao haver raizes no SPD significa que ha rafzes sobre o eixojw neste caso sendo duas dado que o polinémio par é de grau 2 Concluise entéo que o sistema de controle com equacdo caracteristica Q3s é marginalmente estavel instavel sob a definicdo de estabilidade BIBO devido a presenca de raizes caracteristicas no eixojw 18120 Estabilidade Exemplo 22 Considere o seguinte sistema de controle no qual GPs 2 s3 4s2 5s 2 e Hs 1 Utilizandose um controlador GCs puramente proporcional qual a faixa de ganhos de KP para os quais o sistema e estavel em malha fechada 19 120 Estabilidade Resolucao do Exemplo 22 O Exemplo 22 ilustra bem a aplicacao tıpica do Criterio de Routh em sistemas de controle ao inves de analisarmos a estabilidade absoluta do sistema queremos uitilizar o criterio para definir uma faixa de valores de uma variavel de forma que o sistema estavel no que e conhecido como estabilidade condicional Sabemos que a equacao caracterıstica em malha fechada da malha padrao e 1 GCsGPsHs 0 Substituindose os valores 1 KP 2 s3 4s2 5s 21 0 s3 4s2 5s 2 2KP s3 4s2 5s 2 0 s3 4s2 5s 2 2KP 0 Temos entao que o polinˆomio caracterıstico em malha fechada e Qs s3 4s2 5s 2 2KP 20 120 Estabilidade Resolucao do Exemplo 22 Perceba que neste caso a variavel condicional e KP ou seja utilizaremos o criterio de Routh para definir qual faixa de KP estabiliza o sistema em malha fechada Como condicao necessaria temos que todos os coeficientes de Qs devem ser positivos Logo 2 2KP 0 2KP 2 KP 1 e ja temos entao uma restricao A Tabela de Routh para este sistema e s3 1 5 s2 4 2 2KP s1 b1 s0 c1 21 120 Estabilidade Resolucao do Exemplo 22 Calculandose os coeficientes 21 5 242Kp 20 182Kp 14 4 242Kp 4 4 1 4 22Kp 0 2 2Kpb1 FFF 2 2K C1 bi bi 0 bt 2Kp A Tabela de Routh final entdo fica s 1 5 s 4 22Kp 182Kp Ss a 4 s 22Kp Para se ter estabilidade é necessdrio que todas as raizes de Qs estejam no SPE e isto significa que nado pode haver trocas de sinal na primeira coluna da tabela Portanto temos que ter 18 2K sr 0 242Kp0 22120 Estabilidade Resolucao do Exemplo 22 Logo 18 2KP 4 0 18 2KP 0 2KP 18 KP 9 A outra restricao e a mesma que ja analisamos anteririormente e fornece KP 1 Lembrandose que os ganhos de um controlador nao podem ser negativos ou seja KP 0 que e uma restricao do ponto de vista da pratica temos finalmente que 0 KP 9 Isto significa que qualquer valor de ganho proporcional entre 0 e 9 torna o sistema em malha fechada estavel 23 120 Estabilidade em Malha Fechada Exemplo 23 Considere o seguinte sistema de controle no qual GPs 50 ss 1 e Hs 0 02 Utilizandose um controlador GCs do tipo PI qual a faixa de ganhos de KP e KI para os quais o sistema e estavel em malha fechada 24 120 Estabilidade Resolucao do Exemplo 23 Novamente temos um exemplo parecido com o anterior mas agora com duas variaveis Kp e K os ganhos de um controlador PI Sabemos que a equacao caracteristica em malha fechada da malha padrao é 1 GcsGpsHs 0 Substituindose os valores kK 50 1 Kp 002 0 K 9 eam Kpsk 1 14 0 s ss1 Kps kK 1 0 ss1 ss1Keski o ss1 sisKpsK0 Temos entdo que o polindmio caracteristico em malha fechada é QsssKpstk 25 120 Estabilidade Resolucao do Exemplo 23 Perceba que neste caso ha duas variaveis condicionais KP e KI e utilizaremos o criterio de Routh para definir qual faixa de KP e KI estabiliza o sistema em malha fechada Como condicao necessaria temos que todos os coeficientes de Qs devem ser positivos Logo KP 0 e KI 0 que sao exatamente iguais as restricoes do controlador pratico todos os ganhos devem ser positivos A Tabela de Routh para este sistema e s3 1 KP s2 1 KI s1 b1 s0 c1 26 120 Estabilidade Resolucao do Exemplo 23 Calculandose os coeficientes 11 Kp Ki Kp bi 4 x 1 Ke ki 1 1 sk 0 Kib1 1 By b 0 bt A Tabela de Routh final entdo fica s3 1 Kp s 1 kK si Kp kK 5 kK Para se ter estabilidade é necessdrio que todas as raizes de s estejam no SPE e isto significa que nado pode haver trocas de sinal na primeira coluna da tabela Portanto temos que ter Kpk 0 kK0 27120 Estabilidade Resolucao do Exemplo 23 Logo KP KI A outra restricao e uma das mesmas que ja analisamos anteririormente e fornece KI 0 Lembrandose que os ganhos de um controlador nao podem ser negativos ou seja KP 0 e KI 0 que e uma restricao do ponto de vista da pratica e entao combinando as restricoes temos finalmente que 0 KI KP Isto significa que para quaisquer valores de ganho positivos de modo que KI seja menor que KP estabiliza o sistema em malha fechada 28 120 Estabilidade Na analise de estabilidade classificamos um sistema como marginalmente estavel se ele possui polos sobre o eixojω e nao possui polos no SPD Alem disso fazemos a ressalva de que estes polos que estao sobre o eixojω nao podem ter multiplicidade maior que 1 O motivo desta ressalva e o fenˆomeno conhecido como ressonˆancia e veremos agora o porquˆe de sua ocorrˆencia do ponto de vista da resposta no tempo Para facilitar a nossa analise vamos considerar um sistema de ordem quatro com seus quatro polos sobre o eixojω logo cada polo tem multiplicidade dois dois estao situados em s jb e dois estao em s jb Gs Ps s2 b22 onde Ps e o polinˆomio de zeros 29 120 Estabilidade Na expansao em fracoes parciais o objetivo e deixar este termo que contem os quatro polos como um somatorio de quatro termos Gs c1 s s2 b2 c2 b s2 b2 c3 s2 b2 s2 b22 c4 s s2 b22 Consultando uma tabela de Transformadas de Laplace no domınio do tempo temse que gt c1 cosbt c2 sinbt c3t cosbt c4 1 2b t sinbt e portanto a resposta ao impulso contera termos que tenderao ao infinito quando t tender a infinito tornando o sistema instavel independentemente de qualquer entrada que seja aplicada Por isto fazemos a ressalva do sistema nao conter polos repetidos sobre o eixojω Caso houvesse por exemplo polos de multiplicidade 3 sobre o eixojω terıamos termos t2 cosbt e t2 sinbt na resposta e assim por diante 30 120 Estabilidade De maneira similar vamos considerar para efeito de simplicidade um sistema de segunda ordem com os dois polos sobre o eixojω situados em s jb um sistema naoamortecido Gs Ps s2 b2 Vamos analisar o comportamento deste sistema para uma entrada em particular uma senoide de frequˆencia b rads A saıda sera Y s GsUs Ps s2 b2 b s2 b2 bPs s2 b22 De maneira similar a vista anteriormente a saıda no domınio do tempo sera com posta dos quatro termos yt c1 cosbt c2 sinbt c3t cosbt c4 1 2b t sinbt e portanto tendera ao infinito quando t tender ao infinito Desta forma vimos que uma entrada limitada em magnitude uma senoide de frequˆencia b a mesma dos polos sobre o eixojω gera uma saıda ilimitada em magnitude Este e o efeito conhecido como ressonˆancia 31 120 Sensibilidade De maneira geral a sensibilidade esta relacionada com a variacao da caracterıstica de um determinado sistema em face da variacao de um determinado parˆametro deste sistema Para um sistema de controle e interessante conhecer como a funcao de transferˆencia em malha fechada Ts varia se um determinado parˆametro b do sistema variar Definimos entao de maneira bastante simplista que a sensibilidade e a razao entre a variacao percentual de Ts e a variacao percentual de b S TsTs bb Ts b b Ts onde Ts e a variacao na funcao de transferˆencia em malha fechada Ts causada pela variacao b do parˆametro b 32 120 Sensibilidade Definimos entao a funcao de sensibilidade avaliando a equacao anterior no limite para b tendendo a zero ST b lim b0 Ts b b Ts Ts b b Ts A funcao de sensibilidade geral de uma caracterıstica W com respeito ao parˆametro b e SW b W b b W Geralmente a funcao de sensibilidade e funcao da variavel de Laplace s o que torna o conceito da funcao de sensibilidade difıcil de ser interpretado Sendo assim tomamos a resposta em frequˆencia da funcao de sensibilidade ou seja substituımos s jω e analisamos a funcao de sensibilidade entao como uma funcao da frequˆencia Geralmente fazemos essa analise para frequˆencias dentro da banda passante uma vez que o sistema nao transmite aproximadamente frequˆencias fora da banda passante 33 120 Sensibilidade Exemplo 24 Considere o seguinte sistema de controle Encontre a funcao de sensibilidade da funcao de transferˆencia em malha fechada Ts Y sRs com respeito a GPs e com respeito a Hs 34 120 Sensibilidade Resolucao do Exemplo 24 Funcao de transferˆencia em malha fechada Ts GCsGPs 1 GCsGPsHs Funcao de sensibilidade com respeito a GPs ST GP Ts GPs GPs Ts GCs 1 GCsGPsHs GCsGPsGCsHs 1 GCsGPsHs2 GPs GCsGPs 1 GCsGPsHs 35 120 Sensibilidade Resolucao do Exemplo 24 Continuando ST GP GCs GCs2GPsHs GCs2GPsHs 1 GCsGPsHs 1 GCs Finalmente ST GP 1 1 GCsGPsHs Funcao de sensibilidade com respeito a Hs ST H Ts Hs Hs Ts 0 1 GCsGPsHs GCsGPsGCsGPs 1 GCsGPsHs2 Hs GCsGPs 1 GCsGPsHs 36 120 Sensibilidade Resolucao do Exemplo 24 Continuando ST H GC 2sGP2s 1 GCsGPsHs Hs GCsGPs Finalmente ST H GCsGPsHs 1 GCsGPsHs onde o sinal de menos indica que um aumentodiminuicao em Hs resulta em uma diminuicaoaumento em Ts Vemos que para que a sensibilidade com respeito a planta seja pequena o ganho da malha aberta em modulo GCjωGPjωHjω deve ser grande enquanto que para que a sensibilidade com respeito ao sensor seja pequena o ganho da malha aberta em modulo GCjωGPjωHjω deve ser pequeno Logo o sistema em malha fechada nao pode ser in sensıvel ao mesmo tempo em relacao a planta e ao sensor 37 120 Sensibilidade Exemplo 25 Considere o seguinte sistema de controle Considerando GPs 1s 1 GCs KP e Hs Hk encontre a funcao de sensi bilidade da funcao de transferˆencia em malha fechada Ts Y sRs com respeito a KP e Hk Faca uma analise do comportamento destas funcoes no domınio da frequˆencia 38 120 Sensibilidade Resolucao do Exemplo 25 Funcao de transferˆencia em malha fechada Ts KPGPs 1 KPGPsHk Funcao de sensibilidade com respeito a KP ST KP Ts KP KP Ts GPs 1 KPGPsHk KPGPsGPsHk 1 KPGPsHk2 KP KPGPs 1 KPGPsHk ST KP 1 1 KPGPsHk 1 1 KPHk s 1 s 1 s KPHk 1 39 120 Sensibilidade Resolucao do Exemplo 25 Funcao de sensibilidade com respeito a Hk ST Hk Ts Hk Hk Ts 0 1 KPGPsHk KPGPsKPGPs 1 KPGPsHk2 Hk KPGPs 1 KPGPsHk ST Hk KPGPsHk 1 KPGPsHk KPHk s 1 1 KPHk s 1 KPHk s KPHk 1 40 120 Sensibilidade Resolucao do Exemplo 25 Ambas as funcoes de sensibilidade no dominio da frequéncia sao Ty jwt1 Ty KpH Ske Ve Ro ed UY Ke ad Extraindose os mddulos destas fundes temos Vwr 1 KpH ISkpiv Sy jw yw2 KpH 1 yw2 KpH 1 Claramente o mdédulo de Skp cresce em funcdo de w enquanto que o modulo de Shi decresce em funcao de w Tomandose como exemplo que o valor nominal de Kp 10 e o de H 05 para estes valores nominais a largura de banda é aproximadamente wg 12 rads temos que Ty w 1 Ty 5 S jw 2 i Jw Vw 36 Vw 36 41120 Sensibilidade O grafico do modulo de ambas as funcoes de sensibilidade no domınio da frequˆencia do Exemplo 25 pode ser visualizado abaixo 0 2 4 6 8 10 12 01 02 03 04 05 06 07 08 09 Frequência rads Módulo da Sensibilidade SK P T jω SH k T jω Vemos que tendendo ao regime permanente o sistema e mais sensıvel a variacoes no sensor do que no ganho proporcional enquanto que ha regioes dentro da largura de banda para os quais o sistema e mais sensıvel a variacoes no ganho do que no sensor 42 120 Rejeicao de Disturbios Disturbios sao entradas naocontroladas que tendem a perturbar a saıda de um sistema Considere por exemplo o sistema de controle do posicionamento de uma antena alem do torque fornecido por um servomotor para posicionar o ˆangulo da antena o qual podemos controlar ha a possibilidade de uma rajada de vento o qual nao controlamos exercer um torque adicional sobre o sistema o que obviamente e indesejado Geralmente a dinˆamica que existe entre a saıda do sistema e o disturbio e inerente ao sistema Vamos denotar por GDs a funcao de transferˆencia analisada da saıda Y s em face ao disturbio Ds e a chamaremos singelamente de funcao de transferˆencia do disturbio como mostrado no diagrama de blocos abaixo 43 120 Rejeicao de Disturbios Aplicando a superposicao e equacionando o sistema anterior temse que Y s GCsGPs 1 GCsGPsHsRs GDs 1 GCsGPsHsDs que pode ser resumido para Y s TsRs TDsDs Observe que as equacoes caracterısticas das funcoes de transferˆencia em malha fechada tanto para a entrada de referˆencia quanto para o disturbio sao iguais Isto implica que a estabilidade do sistema independe da entrada a ser analisada De maneira a rejeitar disturbios TDs tem de ser de certa forma pequena Novamente analisandose TDs friamente no domınio de Laplace e de difıcil inter pretacao Novamente esta analise e feita no domınio da frequˆencia ou seja s jω Com isto temos TDjω GDjω 1 GCjωGPjωHjω 44 120 Rejeicao de Disturbios Analisandose a equacao anterior vemos imediatamente duas maneiras de se fazer a magnitude modulo de TDjω ser pequeno Fazer o modulo de GDjω pequeno dentro da largura de banda do sistema em malha fechada Esta opcao implica em modificar a estrutura da planta o que na pratica pode se tornar difıcil ou inviavel Aumentar o ganho da malha fazendo o modulo de GCjω grande dentro da largura de banda do sistema em malha fechada Esta opcao e mais logica uma vez que a escolha projeto do compensador e o objetivo central aqui Uma terceira opcao e diminuir diretamente a magnitude do disturbio Tomando se como exemplo que o disturbio e um ruıdo causado por interferˆencias eletro magneticas em circuitos sensıveis um layout cuidadoso e blindagem e aterramento apropriados da placa geralmente diminui ou ate mesmo elimina o ruıdo Esta opcao e a mais efetiva mas nem sempre e aplicavel 45 120 Erro em Regime Permanente Existem dois problemas abordagens tıpicos no estudo de sistemas de controle o problema de regulacao e o problema de servomecanismo O problema de regulacao se refere ao estudo da saıda do sistema em relacao a condicoes iniciais eou quando ha um disturbio incidindo sobre o sistema Exemplo num sistema de suspensao de carro quando o carro passa por um aclivedeclive acentuado a posicao da roda tende a aumentar ou diminuir Ja o problema de servomecanismo se refere ao estudo de como a saıda e capaz de rastrear ou seguir um determinado sinal de referˆencia ou seja o paradigma desejado para ela Desejase obviamente que em regime permanente a saıda seja exatamente igual a entrada de referˆencia Quando isso nao ocorre temse o que chamamos de erro em regime permanente O nome servomecanismo deriva do fato de que os primeiros estudos em sistemas de controle eram conduzidos com a finalidade de se controlar a posicao e velocidade angulares atraves de um servomotor Sistemas reguladores nao possuem entrada de referˆencia 46 120 Erro em Regime Permanente A definicao matematica de erro e et rut yt onde et e o sinal de erro rut e o sinal de referˆencia para a saıda e yt e o sinal de saıda Vamos dividir o estudo do erro em regime permanente em tempo contınuo em trˆes partes malha com realimentacao unitaria malha com realimentacao naounitaria e sistemas com disturbios A ferramenta basica para o estudo do erro em regime permanente steadystate e o Teorema do Valor Final fss lim t f t lim s0 sFs assumindo que fss exista e que Fs nao tenha polos no SPD incluindo o eixo imaginario Logo temos que o erro em regime permanente ess sera ess lim t et lim s0 sEs assumindo novamente que ess exista e que o sistema seja estavel Es nao possui polos no SPD incluindo o eixo imaginario 47 120 Erro em Regime Permanente Realimentacao Unitaria Vamos considerar a malha de controle com realimentacao unitaria Equacionando a malha de controle acima vemos facilmente que Es 1 1 GCsGPsRus ou seja a tensao de saıda do subtrator e o proprio erro Desta forma o erro em regime permanente sera ess lim s0 sEs lim s0 s 1 1 GCsGPsRus 48 120 Erro em Regime Permanente Realimentacao Unitaria Vemos obviamente que o erro depende do controlador da planta e do tipo de entrada de referéncia sendo aplicada Para facilitar a nossa andlise vamos considerar que a funcdo de transferéncia da malha aberta GcsGps possa ser fatorada em funao do ganho em malha aberta K dos zeros finitos z dos pdlos finitos p e do numero N de pdlos na origem s 41 TE GcsGps G ne Pi Substituindose a equacdo anterior na equacdo do erro em regime permanente chegamos a MV ss li R 530 SN K s Ontmero de polos na origem em malha aberta N define o Tipo do Sistema Sistemas sem pdlo na origem em malha aberta NV 0 sdo do Tipo 0 enquanto que sistemas que tem um polo na origem em malha aberta NV 1 sdo chamados de Tipo 1 e assim por diante 49 120 Erro em Regime Permanente Realimentacao Unitaria Vamos analisar o erro em regime permanente do sistema quando na entrada é aplicado um degrau unitdrio ou seja 1 t0 ut rut 0 t0 Sabemos que a Transformada de Laplace do degrau unitario 1s Logo substituindo se Rs 1s na equacao do erro chegamos a li sv ess lim Fy 7K Desta forma concluimos que quando aplicamos uma entrada de referéncia do tipo degrau unitario e Seo sistema é do Tipo 0 0 erro em regime permanente é finito e é dado por 1 1K Seo sistema é do Tipo 1 ou superior 0 erro em regime permanente é nulo 50120 Erro em Regime Permanente Realimentacao Unitaria Vamos analisar o erro em regime permanente do sistema quando na entrada é aplicada uma rampa unitaria ou seja t t0 ut rut 0 t0 Sabemos que a Transformada de Laplace da rampa unitdria é 1s Logo substituindo se Rs 1s na equagio do erro chegamos a ss lim si s s0 sV K Desta forma concluimos que quando aplicamos uma entrada de referéncia do tipo rampa unitdria Seo sistema é do Tipo 0 0 erro em regime permanente tende ao infinito nao existe Seo sistema é do Tipo 1 0 erro em regime permanente é finito e é igual a 1 K Seo sistema é do Tipo 2 ou superior 0 erro em regime permanente é nulo 51120 Erro em Regime Permanente Realimentacao Unitaria Vamos analisar o erro em regime permanente do sistema quando na entrada e aplicada uma parabola unitaria ou seja rut t2 2 t 0 0 t 0 Sabemos que a Transformada de Laplace da parabola unitaria e 1s3 Logo substituindo se Rus 1s3 na equacao do erro chegamos a ess lim s0 sN2 sN K Desta forma concluımos que quando aplicamos uma entrada de referˆencia do tipo rampa unitaria Se o sistema e do Tipo 0 ou 1 o erro em regime permanente tende ao infinito nao existe Se o sistema e do Tipo 2 o erro em regime permanente e finito e e igual a 1 K Se o sistema e do Tipo 3 ou superior o erro em regime permanente e nulo 52 120 Erro em Regime Permanente Realimentacao Unitaria Da Teoria de Servomecanismos o erro em regime permanente devido a uma entrada do tipo degrau e conhecido como erro de posicao o erro em regime permanente devido a uma entrada do tipo rampa e conhecido como erro de velocidade e o erro em regime permanente devido a uma entrada do tipo parabola e conhecido como erro de aceleracao Vimos que o erro para degrau e finito e depende do ganho em malha aberta K para um sistema do Tipo 0 Com isso definimos a constante de erro de posicao Kp Kp lim s0 GCsGPs Vimos que o erro para rampa e finito e depende do ganho em malha aberta K para um sistema do Tipo 1 Com isso definimos a constante de erro de velocidade Kv Kv lim s0 sGCsGPs Vimos que o erro para parabola e finito e depende do ganho em malha aberta K para um sistema do Tipo 2 Com isso definimos a constante de erro de aceleracao Ka Ka lim s0 s2GCsGPs 53 120 Erro em Regime Permanente Realimentacao Unitaria Observe que a constante de erro de posicao e finita para um sistema do Tipo 0 e infinita para um sistema do Tipo 1 ou superior Logo o erro para degrau e finito para um sistema do Tipo 0 e nulo para um sistema do Tipo 1 ou superior como concluımos Observe que a constante de erro de velocidade e nula para um sistema do Tipo 0 finita para um sistema do Tipo 1 e infinita para um sistema do Tipo 2 ou superior Logo o erro para rampa e infinito para um sistema do Tipo 0 finito para um sistema do Tipo 1 e nulo para um sistema do Tipo 2 ou superior como concluımos Observe que a constante de erro de aceleracao e nula para um sistema do Tipo 0 ou 1 finita para um sistema do Tipo 2 e infinita para um sistema do Tipo 3 ou superior Logo o erro para parabola e infinito para um sistema do Tipo 0 ou 1 finito para um sistema do Tipo 2 e nulo para um sistema do Tipo 3 ou superior como concluımos Lembrese sempre que estes resultados so sao validos se o sistema for estavel 54 120 Erro em Regime Permanente Realimentacao Unitaria Se as entradas forem multiplicadas por uma constante A a qual e conhecida como amplitude da entrada os erros que sao finitos tambem sao multiplicados por A Tabela Resumo Degrau Rampa Parabola Tipo 0 A 1 Kp Tipo 1 0 A Kv Tipo 2 0 0 A Ka Tipo 3 0 0 0 55 120 Erro em Regime Permanente Realimentacao Unitaria Exemplo 26 Considere o seguinte sistema de controle Considerando GPs 5 s 10 calcule o erro em regime permanente para as entradas degrau unitario rampa unitaria e parabola unitaria se a GC s 10 b GC s 10 5 s c GC s 10 0 2s d GC s 1 5s 10 0 3s 1 e GC s 10 5 s 0 2s 56 120 Erro em Regime Permanente Realimentacao Unitaria Resolucao do Exemplo 26 a Funcao de transferˆencia da malha aberta Ls Ls GC sGP s 50 s 10 Funcao de transferˆencia da malha fechada Ts Ts Ls 1 Ls 50 s 60 O sistema em malha fechada possui um unico polo em s 60 e portanto e estavel O sistema em malha aberta e do Tipo 0 e portanto em malha fechada apresentara erro em regime permanente finito para degrau e infinito para rampa e parabola Sendo assim a constante de erro de posicao Kp e Kp lim s0 GC sGP s lim s0 50 s 10 5 Portanto o erro em regime permanente para entrada degrau unitario e ess 1 1 Kp 1 1 5 1 6 0 1667 57 120 Erro em Regime Permanente Realimentacao Unitaria Resolucao do Exemplo 26 b Funcao de transferˆencia da malha aberta Ls Ls GC sGP s 50s 25 s s 10 Funcao de transferˆencia da malha fechada Ts Ts Ls 1 Ls 50s 25 s2 60s 25 O sistema em malha fechada possui polos em s1 59 5804 e s2 0 4196 e portanto e estavel O sistema em malha aberta e do Tipo 1 e portanto em malha fechada apresentara erro em regime permanente nulo para degrau finito para rampa e infinito para parabola Sendo assim a constante de erro de velocidade Kv e Kv lim s0 sGC sGP s lim s0 s 50s 25 s s 10 2 5 s1 Portanto o erro em regime permanente para entrada rampa unitaria e ess 1 Kv 1 2 5 0 4 58 120 Erro em Regime Permanente Realimentacao Unitaria Resolucao do Exemplo 26 c Funcao de transferˆencia da malha aberta Ls Ls GC sGP s s 50 s 10 Funcao de transferˆencia da malha fechada Ts Ts Ls 1 Ls 0 5s 25 s 30 O sistema em malha fechada possui um unico polo em s 30 e portanto e estavel O sistema em malha aberta e do Tipo 0 e portanto em malha fechada apresentara erro em regime permanente finito para degrau e infinito para rampa e parabola Sendo assim a constante de erro de posicao Kp e Kp lim s0 GC sGP s lim s0 s 50 s 10 5 Portanto o erro em regime permanente para entrada degrau unitario e ess 1 1 Kp 1 1 5 1 6 0 1667 59 120 Erro em Regime Permanente Realimentacao Unitaria Resolucao do Exemplo 26 d Funcao de transferˆencia da malha aberta Ls Ls GC sGP s 7 5s 50 0 3s2 4s 10 Funcao de transferˆencia da malha fechada Ts Ts Ls 1 Ls 7 5s 50 0 3s2 11 5s 60 O sistema em malha fechada possui polos em s1 32 1035 e s2 6 2299 e portanto e estavel O sistema em malha aberta e do Tipo 0 e portanto em malha fechada apresentara erro em regime permanente finito para degrau e infinito para rampa e parabola Sendo assim a constante de erro de posicao Kp e Kp lim s0 GC sGP s lim s0 7 5s 50 0 3s2 4s 10 5 Portanto o erro em regime permanente para entrada degrau unitario e ess 1 1 Kp 1 1 5 1 6 0 1667 60 120 Erro em Regime Permanente Realimentacao Unitaria Resolucao do Exemplo 26 e Funcao de transferˆencia da malha aberta Ls Ls GC sGP s s2 50s 25 s s 10 Funcao de transferˆencia da malha fechada Ts Ts Ls 1 Ls s2 50s 25 2s2 60s 25 O sistema em malha fechada possui polos em s1 29 5774 e s2 0 4226 e portanto e estavel O sistema em malha aberta e do Tipo 1 e portanto em malha fechada apresentara erro em regime permanente nulo para degrau finito para rampa e infinito para parabola Sendo assim a constante de erro de velocidade Kv e Kv lim s0 sGC sGP s lim s0 s s2 50s 25 s s 10 2 5 s1 Portanto o erro em regime permanente para entrada rampa unitaria e ess 1 Kv 1 2 5 0 4 61 120 Erro em Regime Permanente Realimentacao Unitaria Comentarios sobre o Exemplo 26 Observe que todos os controladores geraram um sistema estavel em malha fechada e portanto faz sentido em falar sobre erro em regime permanente Considerandose somente a planta verificase que o sistema em malha aberta e do Tipo 0 Os controladores PI letra b e PID letra e por possuırem um polo na origem aumentam em 1 o tipo do sistema em malha aberta forcando o erro em regime permanente para degrau ser nulo qualquer que seja o tipo da planta Isso entre outros motivos explica a popularidade destes controladores Entretanto os controladores P letra a PD letra c e Lag letra d nao possuem polo na origem e o sistema em malha aberta continua se mantem do Tipo 0 o que gera um erro em regime permanente finito para degrau 62 120 Erro em Regime Permanente Real NaoUnitaria Vamos considerar a malha de controle com realimentacao naounitaria Equacionando a malha de controle acima vemos facilmente que a saıda do subtrator Es e Es 1 1 GC sGPsHs Rs em unidades eletricas O problema que surge quando ha realimentacao naounitaria e que a escala entre unidades da saıda e tensao nao e um para um Desta forma a tensao de saıda do subtrator nao representa o erro de fato mas sim o erro entre a tensao de referˆencia e a saıda medida 63 120 Erro em Regime Permanente Real NaoUnitaria Vimos anteriormente como converter uma malha com realimentacao nao unitaria em uma malha com realimentacao unitaria quando a largura de banda do sensor e muito maior que a do sistema e podemos substituılo pelo seu ganho Hk Da figura acima observamos que A saıda Y s possui a mesma unidade da entrada Rus O subtrator nao e fısico eletrico mas conceitual A saıda do subtrator representa de fato o erro da malha Entretanto observe que esse erro e multiplicado pelo ganho do sensor Hk A saıda de Hk neste diagrama de blocos representa a saıda do subtrator eletrico no diagrama mais generico 64 120 Erro em Regime Permanente Real NaoUnitaria Desta forma podemos estender toda a analise que fizemos na realimentacao unitaria para a realimentacao naounitaria lembrandose de que a entrada deve estar na mesma unidade da saıda e trocandose GCsGPs por GCsGPsHs Com isto as constantes de erro sao redefinidas Constante de erro de posicao Kp lim s0 GCsGPsHs Constante de erro de velocidade Kv lim s0 sGCsGPsHs Constante de erro de aceleracao Ka lim s0 s2GCsGPsHs Se um determinado erro e fixado e desejase saber qual deve ser a tensao aplicada de modo a gerar o erro desejado basta encontrar a entrada Rus que gera tal erro e entao multiplicalo por Hk para se ter a tensao desejada 65 120 Erro em Regime Permanente Real NaoUnitaria Exemplo 27 Considere o sistema de controle de um motor de corrente contınua conforme ilustrado na figura a seguir O objetivo e controlar a velocidade do motor em rpm utilizandose de um sensor constituıdo por um tacogerador cuja funcao de transferˆencia e Hs 1 0 75s 150 Vrpm Sabendose que a funcao de transferˆencia do motor de corrente contınua e Ωs Eas 8 0 6s2 1 6s 1 rpmV a Calcule as constantes de erro de posicao velocidade e aceleracao para um controlador P PI e PID b Calcule o erro em regime permanente em rpm para uma entrada do tipo degrau unitario rampa unitaria e parabola unitaria em rpm para um controlador P PI e PID Assuma que o sistema em malha fechada e estavel c Qual deve ser o menor valor de KI ao se utilizar um controlador PID de modo que o erro em regime permanente para uma entrada rampa de amplitude 160 rpms seja menor ou igual a 15 rpm Assuma que o valor de KI encontrado mantem o sistema estavel em malha fechada d Qual deve ser a expressao matematica do sinal de entrada de referˆencia da malha se em regime permanente e desejado que o motor desenvolva uma velocidade de 1280 rpm Assuma que um controlador PID sera utilizado e que o sistema em malha fechada e estavel 66 120 Erro em Regime Permanente Real NaoUnitaria Exemplo 27 67 120 Erro em Regime Permanente Real NaoUnitaria Resolucao do Exemplo 27 Primeiro devemos notar que a constante de tempo do sensor e τH 0 005 s muito menor que as constantes de tempo do motor que sao τ1 0 6 s e τ2 1 s Logo a largura de banda do sensor e muito maior que a da planta o sensor responde muito mais rapido que a planta e o sensor pode portanto ser substituıdo por Hk 1150 Vrpm para efeito de analise em regime permanente A funcao de transferˆencia da planta e GPs 800 0 6s2 1 6s 1 a Para um controlador P GCs KP Constantes de erro Kp lim s0 GCsGPsHs lim s0 KP 800 0 6s2 1 6s 1 1 150 5 3333KP Kv lim s0 sGCsGPsHs lim s0 sKP 800 0 6s2 1 6s 1 1 150 0 Ka lim s0 s2GCsGPsHs lim s0 s2KP 800 0 6s2 1 6s 1 1 150 0 68 120 Erro em Regime Permanente Real NaoUnitaria Resolucao do Exemplo 27 a Para um controlador PI GCs KP KI s KPs KI s Constantes de erro Kp lim s0 GCsGPsHs lim s0 KPs KI s 800 0 6s2 1 6s 1 1 150 Kv lim s0 sGCsGPsHs lim s0 s KPs KI s 800 0 6s2 1 6s 1 1 150 5 3333KI s1 Ka lim s0 s2GCsGPsHs lim s0 s2 KPs KI s 800 0 6s2 1 6s 1 1 150 0 69 120 Erro em Regime Permanente Real NaoUnitaria Resolucao do Exemplo 27 a Para um controlador PID GCs KP KI s KDs KDs2 KPs KI s Constantes de erro Kp lim s0 GCsGPsHs lim s0 KDs2 KPs KI s 800 0 6s2 1 6s 1 1 150 Kv lim s0 sGCsGPsHs lim s0 s KDs2 KPs KI s 800 0 6s2 1 6s 1 1 150 5 3333KI s1 Ka lim s0 s2GCsGPsHs lim s0 s2 KDs2 KPs KI s 800 0 6s2 1 6s 1 1 150 0 70 120 Erro em Regime Permanente Real NaoUnitaria Resolucao do Exemplo 27 b Controlador P Erro em regime permanente para degrau unitario A 1 rpm ess 1 1 Kp 1 1 5 3333KP Erro em regime permanente para rampa unitaria A 1 rpms ess 1 Kv 1 0 Erro em regime permanente para parabola unitaria A 1 rpms2 ess 1 Ka 1 0 71 120 Erro em Regime Permanente Real NaoUnitaria Resolucao do Exemplo 27 b Controlador PI e PID Erro em regime permanente para degrau unitario As 1 rpm ess 1 1 Kp 1 1 0 rpm Erro em regime permanente para rampa unitaria A 1 rpms ess 1 Kv 1 5 3333KI 0 1875KI rpm Erro em regime permanente para parabola unitaria A 1 rpms2 ess 1 Ka 1 0 72 120 Erro em Regime Permanente Real NaoUnitaria Resolucao do Exemplo 27 c Para um controlador PID o erro em regime permanente para rampa e dado por ess A Kv A amplitude do sinal de entrada e A 160 rpms portanto 15 160 Kv Kv 10 6667 s1 Como Kv e igual a Kv lim s0 sGCsGPsHk entao temos que 10 6667 KI 800 1 150 KI 2 Observe que com isso a saıda observada no subtrator eletrico erro eletrico seria igual a Hk 15 0 1 V 73 120 Erro em Regime Permanente Real NaoUnitaria Resolucao do Exemplo 27 d Para um controlador PID o erro em regime permanente e nulo para entrada do tipo degrau Isto e se na referˆencia ha por exemplo neste caso 1 rpm a saıda ira apresentar 1 rpm Logo o sinal Rus devera ser Rus 1280 s rpm Com isso o sinal de referˆencia em tensao Rs devera ser Rus 1 Hk Rs Rs HkRus 8 5333 s V No domınio do tempo rt 8 5333u1t V onde u1t e o degrau unitario 74 120 Erro em Regime Permanente Disturbios Como vimos anteriormente disturbios sao entradas indesejadas que tendem a per turbar a saıda de um sistema Tomamos como exemplo o sistema de controle de temperatura de uma cˆamara termica sempre ha a troca de calor constante entre o interior da cˆamara termica e o ambiente Logo a temperatura ambiente pode ser vista como um disturbio Alem disso sempre ha a possibilidade de uma porta janela ou fresta ser aberta acelerando a troca de calor entre a cˆamara e o ambiente Logo essa abertura tambem pode ser vista como um disturbio Logo um determinado sistema nao esta restrito a possuir apenas um determinado disturbio e nem que os disturbios possam ser eventuais Quando um disturbio constante incide sobre um sistema ele tende a perturbar a saıda indefinidamente E por consequˆencia se a saıda e perturbada o erro em regime permanente tambem tende a ser modificado Logo ha uma componente do erro em regime permanente devido a esse disturbio constante Como vimos a maneira como um disturbio incide sobre um determinado sistema pode possuir sua dinˆamica propria Ja vimos que essa dinˆamica pode ser chamada de Funcao de Transferˆencia do Disturbio GDs un da saıda un do disturbio 75 120 Erro em Regime Permanente Disturbios Diagrama de blocos Y s GCsGPs 1 GCsGPsHsRs GDs 1 GCsGPsHsDs Y s TsRs TDsDs Yrs Yds onde Yrs e a componente da saıda devido a entrada de referˆencia e Yds e a componente da saıda devido ao disturbio 76 120 Erro em Regime Permanente Disturbios Como sempre estamos considerando o sistema como linear o efeito da entrada de referˆencia e do disturbio podem ser analisados separadamente Sabemos que o erro do sistema e dado por Es Rus Y s Logo Es Rus Yrs Yds Ers Eds onde Ers e o erro devido a entrada de referˆencia Rus Yrs Desta maneira o erro devido ao disturbio e Eds Yds GDs 1 GCsGPsHsDs Assim como a entrada de referˆencia disturbios podem ser modelados como funcoes do tipo degrau rampa e parabola 77 120 Erro em Regime Permanente Disturbios O erro em regime permanente devido ao disturbio e dado por edss lim s0 sEds lim s0 s 1 1 GCsGPsHsGDsDs Vemos entao que a analise do erro em regime permanente devido a um disturbio nao e tao simples em relacao a entrada de referˆencia pois alem do tipo de sistema em malha aberta Tipo de GCsGPsHs depende de como o disturbio entra no sistema representado por GDs e como o disturbio pode ser modelado se Ds pode ser modelado como um degrau rampa etc Sendo assim e difıcil elaborar uma analise sistematica para o erro em regime perma nente devido ao disturbio como fizemos para o erro em regime permanente devido a entrada de referˆencia A abordagem utilizada na maioria das vezes entao e analisar caso a caso envolvendo todas nuances que podem ocorrer 78 120 Erro em Regime Permanente Disturbios Exemplo 28 Vamos analisar novamente o motor de corrente contınua utilizado no Exemplo 27 Suponha que haja um torque de disturbio Ds em Nm incidindo sobre o sistema que pode ser representado por uma mudanca repentina e duradoura no torque de carga eou a consideracao de perdas eletricas perdas no ferro arrasto de enrolamento atrito nao viscoso etc de modo que este torque incida sobre o sistema da seguinte forma GDs 18 2s 3 rpmNm Suponha ainda que este torque de disturbio seja um torque constante ou seja que o disturbio Ds possa ser modelado como uma funcao do tipo degrau Assumindo que o sistema de controle em malha fechada seja sempre estavel a Para um controlador P calcule o erro em regime permanente devido a um disturbio de amplitude A 2 Nm incidindo sobre o sistema b Repita o item a para um controlador PI c Utilizandose um controlador P suponha que seja aplicado no sistema uma entrada de referˆencia do tipo degrau com amplitude Ar 1420 rpm e que a amplitude do disturbio e Ad 5 Nm Qual deve ser o valor de KP de forma que o erro do sistema seja igual a 15 rpm Qual o valor da saıda neste caso 79 120 Erro em Regime Permanente Disturbios Resolucao do Exemplo 28 a O erro em regime permanente devido a um disturbio de amplitude A 2 rpm com um controlador P sera edss lim s0 s 1 1 KP 800 0 6s2 1 6s 1 1 0 75s 150 18 2s 3 2 s edss 1 1 KP 800 150 12 12 1 5 3333KP 80 120 Erro em Regime Permanente Disturbios Resolucao do Exemplo 28 b O erro em regime permanente devido a um disturbio de amplitude A 2 rpm com um controlador PI sera edss lim s0 s 1 1 KPs KI s 800 0 6s2 1 6s 1 1 0 75s 150 18 2s 3 2 s edss lim s0 12 1 KI s 800 150 lim s0 12s s 5 3333KI 0 Observe que para um controlador PI ou PID o erro em regime permanente devido a um disturbio do tipo degrau e nulo qualquer que seja a amplitude do degrau de disturbio Isto se deve ao polo na origem do controlador PI ou PID 81 120 Erro em Regime Permanente Disturbios Resolucao do Exemplo 28 c Vamos calcular primeiro o erro em regime permanente devido a entrada de referˆencia erss A 1 Kp 1420 1 5 3333KP Vamos calcular agora o erro em regime permanente devido ao disturbio edss lim s0 s 1 1 5 3333KP 18 3 5 s 30 1 5 3333KP 82 120 Erro em Regime Permanente Disturbios Resolucao do Exemplo 28 O erro do sistema e entao ess erss edss 1450 1 5 3333KP 15 Logo o ganho KP deve ser 1450 1 5 3333KP 15 KP 17 9375 Com este valor de KP os erros sao erss 14 6897 e edss 0 3103 Sendo assim o efeito do disturbio na saıda e diminuıla em 0 3103 rpm pois edss ydss E entao como yrss russ erss logo temos que yrss 1405 3103 rpm Sendo assim em regime permanente a saıda do sistema sera yss yrss ydss 1405 rpm ou seja exatamente igual a referˆencia menos o erro do sistema 83 120 Caracterısticas da Resposta Temporal A resposta tıpica de um sistema e mostrada abaixo 84 120 Caracterısticas da Resposta Temporal Os parˆametros ou caracterısticas tıpicos da resposta do sistema na figura anterior sao Tempo de Atraso Delay Time td e o tempo necessario para que a saıda atinja pela primeira vez metade do valor final Tempo de Subida Rise Time tr e o tempo necessario para que a saıda va de 0 ate 100 de seu valor final pela primeira vez Para sistemas subamortecidos tambem se utiliza as vezes o criterio de 5 ate 95 embora o mais comum seja mesmo de 0 ate 100 Para sistemas superamortecidos utilizase o criterio de 10 a 90 Tempo de Pico Peak Time tp e o tempo necessario para que a saıda alcance seu valor maximo Sobressinal ou Ultrapassagem Maxima Peak Overshoot Mp e o valor maximo que a saıda atinge medido em porcentagem do valor final Se o valor final e unitario entao o maximo pico valor maximo em amplitude e 1 mais o sobressinal Caso contrario Mp ytp y y Tempo de Acomodacao Settling Time ts tempo que a saıda leva para atingir pela primeira vez a faixa de 2 do valor final e nao mais sair dela Consequentemente e o tempo que o sistema leva para entrar em regime permanente 85 120 Caracteristicas da Resposta Temporal Considerandose a fundo de transferéncia do sistema de segundaordem subamor tecido 0 1 temse 2 Wn Gs s s2 2Cwns wr cujos pdlos sao 512 Cwn tjunV1C a resposta ao degrau unitario é dada por yt 1e S coswat sinwgt V1C Por definiao o tempo de subida t é 0 tempo que a saida leva para atingir o valor final pela primeira vez Para o sistema de segunda ordem padrdo o valor final é 1 logo 11e S coswatr sinwgtr V1 eS coswatr sinwgtr 0 V1 86 120 Caracteristicas da Resposta Temporal Uma vez que a exponencial nunca é zero somente o segundo termo pode ser nulo Logo coswgt sinwat 0 watr Jia watr V1 tanwyt watr C lL wat tan vine tan 2 CWn Sabendose que 8 tanwaCwn fornece o Angulo do polo medido a partir do eixo real negativo entao a toB 48 r wa wn 7 ee Observe que 6 deve ser medido a partir do eixo real negativo e que seu valor deve ser em radianos Logo 0 6 22 rad para subamortecido Outra forma de calcular 8 é Bcos 87 120 Caracteristicas da Resposta Temporal Por definiao o tempo de pico é 0 tempo no qual a saida atinge seu valor maximo Logo para encontrar o valor maximo da saida da teoria de calculo basta derivar a expressao da saida e igualar a zero Logo 4 e Sunt costo as snust 0 Cwne S coswat sinwat V1C eo Sunt sinwat TS cost 0 Os termos com cosseno na expressdo anterior se cancelam e entdo a expressdo simplifica para Wn Cwnt e Sinwat 0 V1 est 88 120 Caracteristicas da Resposta Temporal Para que a expressdo anterior seja zero é necessario que o termo que contém o seno seja zero logo sinwgt 0 wat sin0 Possiveis solucdes para a equacao anterior sao 0 7 27 e assim por diante Como o tempo de pico por definiao é o primeiro ponto de inflexdo da curva entao tp t 1 Pa wlan a Por definicdo o sobressinal overshoot pode ser calculado analisandose instante em que ocorre o tempo de pico Logo Cwntp yt 1e coswatp Vine sinwatp mo mo ytp 1e V cosr sinr e VIO 41 VJ1C 89 120 Caracteristicas da Resposta Temporal Como o valor final do sistema de segunda ordem padrao subamortecido é unitdrio entao me Me V 1 Como na resposta do sistema de segunda ordem padrao subamortecido a saida esta confinada numa envelope criado por uma exponencial admitese que quando a envoltéria entra na faixa de 2 a saida estard dentro desta faixa Logo Cwpyt 14 102 J1 e St 0021 Exraindose o logaritmo natural de ambos os membros chegase a to In0 02 In1 Can Na expressdo anterior para a ampla faixa de valores de entre 0 e 22 o termo do numerador se aproxima de 4 logo 4 se Cw 90 120 Caracterısticas da Resposta Temporal Algumas observacoes O tempo de pico corresponde a meio ciclo da frequˆencia de oscilacao amortecida Quanto maior o fator de amortecimento ζ ou seja quanto mais proximo de 0 rad o ˆangulo β e mais o tempo de subida se aproxima do tempo de pico Isto indica que ha uma reducao no maximo pico algo claro de se ver na equacao do overshoot Observe que somente o maximo pico depende apenas de ζ enquanto que todos os outros parˆametros dependem alem de ζ tambem de ωn Isto indica que no projeto de controladores somente um deles pode ser utilizado livremente como especificacao Em geral e o tempo de acomodacao A constante de tempo associada aos polos de um sistema de segunda ordem e dada por τ 1 ζωn 1 σ 1 Res e isto implica que o tempo de acomodacao equivale a 4 constantes de tempo como para um sistema de primeira ordem Logo quanto mais afastado do eixojω os polos estiverem menor o tempo de acomodacao e mais rapido o sistema e entra em regime permanente 91 120 Caracteristicas da Resposta Temporal Considere o circuito RC série a seguir R ot Cc vct Modelamos este circuito na aula anterior e vimos que a funcao de transferéncia é Yi 1 Gs Vets 2 Vs RCs1 ou seja um sistema de primeira ordem cuja constante de tempo é 7 RC s Aplicando um degrau de amplitude V em Volts na fonte vt a tensdo no capacitor em Volts sera vct 1 eR V VY Quanto maior for a constante RC maior serd a constante de tempo do sistema e consequentemente mais lento sera o sistema 92120 Caracteristicas da Resposta Temporal Considere o circuito RL série a seguir iLt vt L Modelando este circuito podemos chegar a conclusdo que a funcdo de transferéncia é 1 Gs et f s R 1 ou seja é um sistema de primeira ordem cuja constante de tempo é 7 LR segundos Aplicando um degrau de amplitude V em Volts na fonte vt a corrente no indutor em Ampéres sera 1 R it R 1e ie V A Quanto maior for a constante LR maior ser4 a constante de tempo do sistema e consquentemente mais lento sera o sistema 93 120 Caracterısticas da Resposta Temporal Considere o seguinte circuito eletrico RLC serie Sabemos que o modelo deste circuito em funcao de transferˆencia e Gs 1 LC s2 R L s 1 LC e entao comparando o modelo do circuito RLC serie com o de um sistema de segunda ordem padrao Gs ωn2 s2 2ζωns ωn2 temos que 2ζωn R L ωn2 1 LC 94 120 Zt Caracteristicas da Resposta Temporal Resolvendo as equaées anteriores para wn temos RC 1 wy 2VL VLC A frequéncia natural depende de L e C enquanto que o fator de amortecimento depende além dos dois também de R Observe que se R 0 ou seja um circuito LC puro entao 0 e o sistema é nao amortecido oscila indefinidamente Ao se aumentar R o fator de amortecimento aumenta diminuindo o overshoot e o tempo de acomodagao deixandoo mais rapido Quando R 2LC ento o sistema passa a ser sobreamortecido Observe que é possivel alterar o valor da frequéncia natural w sem alterar o valor do fator de amortecimento bastando alterar os valores de L e C proporcionalmente igual Um aumento em wp mantendose constante acarreta uma diminuiao do tempo de subida em geral e do tempo de acomodacio 95 120 Caracterısticas da Resposta Temporal Exemplo 29 Encontre a regiao admissıvel no planos correspondente aos polos de um sistema de segunda ordem padrao cujas caracterısticas da resposta temporal sao tr 1 2 s Mp 10 e ts 4 s Utilize a aproximacao tr 1 8 ωn 96 120 Caracterısticas da Resposta Temporal Resolucao do Exemplo 29 A restricao de tempo de subida gera tr 1 8 ωn 1 2 ωn 1 5 rads Como ωn e a distˆancia da origem ate o ponto no planos logo a regiao procurada e todo o SPE excluindose o semicırculo de raio 1 5 area hachurada em cinza na figura abaixo 97 120 Caracterısticas da Resposta Temporal Resolucao do Exemplo 29 A restricao de tempo de acomodacao gera ts 4 ζωn 4 ζωn 1 Como ζωn e a parte real do ponto no planos logo a regiao procurada e todo o SPE a esquerda da reta σ 1 area hachurada em cinza na figura abaixo 98 120 Caracteristicas da Resposta Temporal Resolucao do Exemplo 29 A restriao de overshoot gera oe Mp e 1 C que resolvendose para InMp Vi inMp 2 Para M 01 temos que 0 5912 Como cos angulo formado entre o eixo real negativo e a reta que passa pela origem e pelo ponto no planos o angulo entao deve ser menor que 0 cos 05912 ou seja 537 4rea hachurada em cinza na figura abaixo jo 537 53745 99 120 Caracterısticas da Resposta Temporal Resolucao do Exemplo 29 Juntandose as trˆes restricoes temos entao a regiao procurada 100 120 Efeitos da Inclusao de Polos A analise das respostas dos sistemas de primeira e segunda ordem fornecem a base para analisarmos qualitativamente a resposta de muitos sistemas LIT Com base nelas podemos verificar o efeito de incluir mais polos sistemas de ordem superior e o de incluir zeros Comecando com o efeito da inclusao de mais polos vamos observar um caso es pecıfico Considere um sistema de segunda ordem subamortecido Gs 1 s2 s 1 O fator de amortecimento e ζ 0 5 e a frequˆencia natural e ωn 1 rads A parte real dos polos e σ ζωn 0 5 Vamos verificar o efeito que e incluir um polo adicional ao sistema em s 2 ou seja quatro vezes mais distante do eixojω que os polos do sistema de segunda ordem mantendo o ganho dc do sistema constante igual a 1 Gs 2 s 2s2 s 1 101 120 Efeitos da Inclusao de Polos A figura a seguir ilustra a resposta ao degrau de ambos os sistemas 0 2 4 6 8 10 12 14 0 02 04 06 08 1 12 14 Step Response Time seconds Amplitude Resposta do sistema original Inclusão de um pólo em s 2 Vemos entao que o efeito e aumentar ligeiramente o tempo de subida diminuir ligeiramente o overshoot e manter o tempo de acomodacao 102 120 Efeitos da Inclusao de Polos Vamos analisar o caso agora da inclusao de polos mais proximos aos polos do sistema de segunda ordem Iremos considerar a adicao de um polo em s 0 5 e tambem o caso da adicao de um polo em s 0 25 tambem em ambos os casos mantendo o ganho dc constante G1s 0 5 s 0 5s2 s 1 G2s 0 25 s 0 25s2 s 1 103 120 Efeitos da Inclusao de Polos A figura a seguir ilustra a resposta dos trˆes sistemas 0 5 10 15 20 25 0 02 04 06 08 1 12 14 Step Response Time seconds Amplitude Sistema Original Inclusão de um pólo em s 05 Inclusão de um pólo em s 025 Vemos entao que a adicao de polos mais proximos aos do sistema original desca racterizam completamente a resposta do sistema em termos da resposta do sistema original Polos ainda mais lentos como o que foi incluıdo em s 0 25 agravam ainda mais este efeito 104 120 Efeitos da Inclusao de Polos De maneira mais generica a inclusao de mais polos aumenta a quantidade de modos caracterısticos do sistema Sabemos que a resposta de estado nulo e dada pela combinacao linear entre os modos caracterısticos do sistema e os modos da entrada yt c1ep1t c2ep2t cnepnt modos da entrada Se o polo possui parte real muito negativa esta longe do eixojω no planos entao a exponencial decai muito rapidamente e este termo contribui pouco para a resposa do sistema Sendo assim dizse que este termo pode ser desprezado na reposta e o polo entao e insignificante Os polos que estao mais proximos do eixojω que efetivamente vao contribuir para o formato da resposta sao entao chamados de polos dominantes Como uma regra pratica se um mais polos tiver a relacao entre as partes reais com todos os outros polos menores que 0 2 entao os polos mais proximos a origem podem ser considerados dominantes em relacao aos outros se nao houver zeros na proximidade 105 120 Efeitos da Inclusao de Polos 106 120 Efeitos da Inclusao de Zeros Vamos discutir agora o efeito da adicao de zeros Tambem iremos comecar com um exemplo considere o seguinte sistema dinˆamico LIT Gs 2 s 1s 2 2 s 1 2 s 2 Vamos inserir um zero neste sistema em s 5 mantendo o ganho dc constante Gs 2s 5 5s 1s 2 1 6 s 1 1 2 s 2 Vamos inserir um zero neste sistema em s 1 1 proximo ao polo s 1 tambem mantendo o ganho dc constante Gs 2s 1 1 1 1s 1s 2 0 18 s 1 1 64 s 2 Os zeros exercem influˆencia na resposta temporal modificandos os coeficientes que multi plicam os termos dos modos caracterısticos Vemos que no primeiro caso ao inserir um zero relativamente longe dos polos os coefi cientes da resposta ao impulso pouco modificaram Em compensacao ao inserir um zero proximo a um dos polos quase cancelandoo o coeficiente diminuiu drasticamente de modo que se inserıssemos o zero exatamente em s 1 a contribuicao do polo s 1 na resposta seria nula 107 120 Efeitos da Inclusao de Zeros Ha uma abordagem mais generalista para verificar o efeito dos zeros Considere um sistema dindmico LIT representado por sua funcdo de transferéncia Gs Inserindo um zero em s a no sistema e mantendo o ganho dc constante temos s 1 Gos 3 1 Gs Gs 5 5es Vemos entdo pelas propriedades da Transformada de Laplace que a resposta do sistema com o zero consiste na soma da resposta que o sistema original apresentaria mais uma parcela que corresponde a derivada da resposta original multiplicada por um termo 1a escalada Como no inicio da resposta do sistema original tem uma inclinagao muito ingreme isto equivale a dizer que a derivada nestes pontos sera grande e entao a soma da resposta original com a derivada sera ainda maior em geral tendendo a causar um aumento no overshoot porém uma diminuiado no tempo de subida A parcela que tem origem na derivada da resposta original pode ser minimizada se 0 zero estiver longe do eixojw ou seja se o valor de a for muito grande Logo quanto maior o valor de a mais préximo da resposta do sistema original e entao o efeito do zero sera pequeno 108 120 Efeitos da Inclusao de Zeros De forma a ilustrar a analise considere um sistema dinˆamico LIT Gs 1 s2 s 1 Inserindo um zero no SPE em s 1 temse a 1 e entao G0s s1 1 s2 s 1 Gs 1 1sGs G0s 1 s2 s 1 s s2 s 1 109 120 Efeitos da Inclusao de Zeros A figura a seguir ilustra a reposta do sistema original o termo que depende da derivada da resposta do sistema original e a resposta do sistema com o zero 0 2 4 6 8 10 12 14 02 0 02 04 06 08 1 12 14 Step Response Time seconds Amplitude Sistema sem Zero Derivada escalada do sistema sem zero a 1 Sistema com zero em s 1 110 120 Efeitos da Inclusao de Zeros Para ilustrar que o efeito do zero e minimizado se ele estiver longe do eixojω vamos considerar dois casos do sistema original anterior com adicao de zeros um em s 1 e outro em s 10 Gs 1 s2 s 1 Inserindo um zero no SPE em s 1 temse a 1 G01s s1 1 s2 s 1 s 1 s2 s 1 Inserindo um zero no SPE em s 10 temse a 10 G02s s10 1 s2 s 1 0 1s 1 s2 s 1 111 120 Efeitos da Inclusao de Zeros A figura a seguir ilustra a reposta do sistema original e as duas adicoes de zero 0 2 4 6 8 10 12 0 02 04 06 08 1 12 14 Step Response Time seconds Amplitude Sistema sem Zero Sistema com zero em s 1 Sistema com zero em s 10 112 120 Efeitos da Inclusao de Zeros De maneira geral a adicao de dois zeros sera s s 1 1 1 Gos 21 F1 Gs Gs sGs sGs os 1 F 1 Gs Gs 5 sGs 85 e entao ha a presenca de derivada de segunda ordem que pode amplificar ainda mais o problema do efeito dos zeros se eles nao estiverem distantes do eixojw Vamos falar agora de um caso particular que é o que ocorre quando a 0 ou seja o zero é inserido no semiplano a direita SPD Quando isto ocorre o termo da derivada da resposta original ao invés de ser somado sera subtraido Isto implica no aumento do tempo de subida em geral na diminuiao do overshoot e um efeito indesejado adicional o sistema ira comecar a responder na direado errada ou seja a saida comeca negativa e atinge um pico minimo Este pico é conhecido como undershoot O undershoot ocorre quando o numero de zeros no SPD é impar pois o termo de maior derivada deve ser negativo Sistemas com zeros no SPD sao chamados de sistemas de fase naominima 113 120 Efeitos da Inclusao de Zeros Para ilustrar o efeito de zero no SPD considere o sistema original Gs 1 s2 s 1 Inserindo um zero no SPD em s 1 temse a 1 G01s s1 1 s2 s 1 s 1 s2 s 1 Inserindo um zero no SPD em s 10 temse a 10 G02s s10 1 s2 s 1 0 1s 1 s2 s 1 114 120 Efeitos da Inclusao de Zeros A figura a seguir ilustra a reposta do sistema original e duas adicoes de zeros no SPD 0 2 4 6 8 10 12 04 02 0 02 04 06 08 1 12 14 Step Response Time seconds Amplitude Sistema sem Zero Sistema com zero em s 1 Sistema com zero em s 10 115 120 Criterios de Desempenho para Sistemas de Controle De maneira geral o objetivo no projeto do sistema de controle e de terminar um controlador GCs para atingir as especificacoes de esta bilidade e desempenho sob a forma da resposta transitoria e erro em regime permanente Em alguns casos por uma questao do sistema a ser controlado da es trutura da malha e do controlador isso pode ser relativamente simples Na grande maioria das vezes precisamos de metodos sistematicos para o projeto do controlador Neste sentido surge entao os metodos ditos classicos para analise e projeto de sistemas de controle o Lugar das Raızes e a Resposta em Frequˆencia 116 120 Criterios de Desempenho para Sistemas de Controle Exemplo 210 Considere o sistema de controle na figura a seguir Se Gs Ks α s β2 quais devem ser os valores dos parˆametros K α e β de maneira que o erro em regime permanente para degrau unitario seja igual a 10 o fator de amortecimento seja igual a 0 5 e a frequˆencia natural seja 10 rads O sistema deve ser estavel em malha aberta 117 120 Criterios de Desempenho para Sistemas de Controle Resolucao do Exemplo 210 Vamos comecar com o requisito de resposta em regime permanente Calculandose a constante de erro de posicao uma vez que se trata de erro para degrau Kp lim s0 Gs lim s0 Ks α s β2 Kα β2 Entao o erro para degrau e ess A 1 Kp 0 1A A 1 Kp uma vez que o erro e 10 da amplitude desejada Logo Kp 9 Portanto Kα β2 9 Vamos agora analisar a resposta transitoria Os polos em malha fechada serao as raızes de 1 Gs 0 118 120 Criterios de Desempenho para Sistemas de Controle Resolucao do Exemplo 210 Substituindose os valores 1 Ks α s β2 0 s β2 Ks Kα s β2 0 s2 2βs β2 Ks Kα 0 s2 2β Ks β2 Kα 0 Os polos de um sistema de segunda ordem subamortecido sao s2 2ζωns ωn 2 0 e entao com os valores desejados ζ 0 5 e ωn 10 ficam s2 10s 10 0 Comparandoos tiramos as equacoes 2β K 10 β2 Kα 10 119 120 Criterios de Desempenho para Sistemas de Controle Resolucao do Exemplo 210 Da equacao do requisito da resposta estacionaria podemos inferir que Kα 9β2 e entao β2 9β2 10 β2 1 e entao poderıamos ter β 1 ou β 1 Como e dito que o sistema em malha aberta e estavel entao β 1 esta descartado pois fariam com que os polos em malha aberta estivessem no SPD lembrando que os polos em malha aberta sao s12 β Portanto β 1 Sendo assim 2β K 10 fornece K 10 2 1 1623 Finalmente α 9β2 K 7 7433 120 120