Projeto de Controladores por Lugar das Raízes - Aula 04

ECA602 Sistemas de Controle Universidade Federal de Itajuba Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologia da Informacao Aula 04 Projeto de Controladores por Lugar das Raızes Prof Caio Fernandes de Paula caiofernandesunifeiedubr 2º Semestre de 2023 1 96 Consideracoes Iniciais Vimos na aula anterior as tecnicas de analise de sistemas de controle em tempo contınuo pelo metodo de Lugar das Raızes Veremos nesta aula como utilizar as tecnicas de Lugar das Raızes para compensar um determinado sistema isto e fazer o projeto do controla dor e do sistema de controle a partir de especificacoes de desempenho desejadas para ele em tempo contınuo 2 96 Lugares Geométricos e Considere os polos de um sistema de segunda ordem padrao subamor tecido 12 Op fwd Cwn junV1 onde dp inverso da constante de tempo dos pdlos 17 Wg frequéncia amortecida 2 fator de amortecimento Wp frequéncia de oscilacdo ndoamortecida ou frequéncia natural Observe que a constante de tempo associada a pdlos complexoconjugados é 1 T CWn 396 Lugares Geométricos Os lugares geométricos de fator de amortecimento constante cons tante sdo retas no SPE que passam pela origem Isto é simples de se ver pois o angulo formado entre o eixo real negativo e a reta é o Ww 0cos 22 cos Wn Wn cos e Logo qualquer pdlo na reta que possui angulo com 0 eixo real negativo 0 ira posssuir 0 mesmo e consequentemente ira impor o mesmo overshoot na resposta do sistema 496 Lugares Geométricos e Os lugares geométricos de frequéncia natural constante sdo circun feréncias localizados no SPE com centro na origem e de raio igual a Wp Isto 6 simples de se ver pois a equacao da circunferéncia no plano 5 é 2 2 2 op 0 wg 0 r 2 2 2 Cun nV1l r Cw we Cw r rWp e Logo qualquer ponto sobre a circunferéncia centrada na origem e de ralO Wr possui a mesma frequéncia natural Como o SPD configura a regido instavel consideramos que o lugar geométrico é o semicirculo no SPE 596 Lugares Geométricos Os lugares geométricos de amortecimento constante sao retas paralelas ao eixojw no planos Isto é possivel de ser pois o amortecimento na resposta de um sistema de segundaordem padrao é e Swat e dado que os polos de um sistema de segundaordem padrao sao 12 CWn junV1C es o jw entdo isso indica que qualquer ponto sobre a reta s o ira ter 0 mesmo amortecimento Uma vez que o tempo de acomodacao é dado por 4 ts z CWn polos sobre o mesmo lugar geométrico de amortecimento constante irdo apresentar 0 mesmo tempo de acomodacdo 6 96 Lugares Geometricos Os lugares geometricos de ganho constante sao pontos s C para os quais Gs 1K para K 0 fixo No planoG os lugares geometricos de ganho constante sao circun ferˆencias com centro na origem e raio 1K e o lugar geometrico de ˆangulo 180 constante e o eixo real negativo Portanto no planoG o lugar geometrico de ˆangulo 180 constante e os lugares geometricos de ganho constante sao ortogonais Como Gs e uma aplicacao conforme ou seja uma funcao que pre serva ˆangulos isto implica que no planos o Lugar das Raızes e os lugares geometricos de ganho constante que no planos nao sao ne cessariamente circunferˆencias sao ortogonais 7 96 Fundamentos do Projeto via Lugar das Raizes Se considerarmos que um sistema em malha fechada pode ser suficientemente apro ximado para um sistema de segunda ordem padrao temos entao que no dominio do tempo as caracteristicas da resposta ao degrau desempenho sao 1 Me V 1 4 so Cwn Logo a partir destas especificacdes podemos encontrar qual deve ser a posiao dos polos dominantes do sistema em malha fechada no planos A partir da especificagdo de overshoot é possivel encontrar um fator de amorteci mento para atingir a especificacao de overshoot InMp V InM 2 896 Fundamentos do Projeto via Lugar das Raızes A partir do ζ encontrado e da especificacao de tempo de acomodacao podemos entao encontrar a frequˆencia natural ωn para atingir a especificacao de tempo de acomodacao ωn 4 ζts A partir das especificacoes da resposta transitoria nos determinamos entao a posicao dos polos dominantes do sistema em malha fechada no planos E preciso escolher agora o tipo de controlador que deve ser empregado Devemos comecar entao pelo controlador mais simples que existe que e o controla dor proporcional Para isto e necessario checar se os polos dominantes especificados fazem parte do Lugar das Raızes de GPsHs Caso afirmativo encontramos KP via criterio de modulo Caso contrario teremos que lancar mao de um controlador dinˆamico AvancoAtraso de Fase ou PID e seus variantes 9 96 Fundamentos do Projeto via Lugar das Raızes De maneira a compreender a acao dos compensadores sobre o diagrama de Lugar das Raızes iremos verificar qual o efeito da inclusao de um zero finito e da inclusao de um polo finito sobre o diagrama Vamos comecar pelo zero Sabese que o numero de assıntotas α e dado pelo numero de polos finitos n menos o numero de zeros finitos m e que o ˆangulo destas assıntotas esta relacionado com a quantidade delas Tomando como exemplo sem perda de generalidade o caso de trˆes assıntotas seus ˆangulos sao θa1 60 θa2 60 e θa3 180 Pelo efeito das suas primeiras assıntotas fatalmente o diagrama ira cruzar o eixojω em direcao a regiao instavel Entretanto incluindose mais um zero no sistema o numero de assıntotas cai para dois e seus ˆangulos serao θa1 90 e θa2 90 Se considerarmos que o ponto de partida das assıntotas esta no SPE tais assıntotas nunca cruzarao o eixojω Desta forma concluise que o efeito da adicao de um zero no sistema e o de mover o Lugar das Raızes para a esquerda em direcao a regiao estavel e de resposta mais rapida 10 96 Fundamentos do Projeto via Lugar das Raızes Comparacao entre o diagrama de Lugar das Raızes de dois sistemas G1s 1 s 1s 1s 3 G2s s 2 s 1s 1s 3 Root Locus Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 G1s G2s Faixas de estabilidade Nao existe K 1 5 11 96 Fundamentos do Projeto via Lugar das Raızes Mas atencao se for inserido um zero no SPD o efeito e o oposto do esperado como o diagrama de Lugar das Raızes termina nos zeros finitos o efeito e de mover um dos ramos em direcao a regiao instavel mesmo que o numero de assıntotas diminua Isto prejudica a estabili dade e o desempenho do sistema Vamos analisar agora o efeito da inclusao do polo sob a mesma pers pectiva do numero de assıntotas a inclusao de um polo ira aumentar o numero de assıntotas do diagrama Consequentemente os ˆangulos que as assıntotas fazem com o eixo real sera diminuıdo forcando o diagrama para a direita em direcao a regiao instavel e mais lenta A insercao de um polo no SPD tambem produz o mesmo efeito com um agravante de forcar uma parte de um ramo ou sua totalidade a depender do sistema a correr sobre o SPD tambem prejudicando a estabilidade do sistema 12 96 Fundamentos do Projeto via Lugar das Raızes Comparacao entre o diagrama de Lugar das Raızes de dois sistemas G1s 1 s 1s 3 G2s 1 s 1s 3s 2 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Root Locus Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 G1s G2s Faixas de estabilidade K 0 0 K 59 9 13 96 Fundamentos do Projeto via Lugar das Raızes Considere a malha de controle usual que estamos empregando Sabemos que a equacao caracterıstica e 1 GCsGPsHs 0 e entao temos que GCsGPsHs 1 14 96 Fundamentos do Projeto via Lugar das Raızes Logo para saber se um determinado ponto s1 C faz parte do Lugar das Raızes aplicamos o criterio de ˆangulo GCs1GPs1Hs1 180 e caso afirmativo utilizamos o criterio de modulo GCs1GPs1Hs1 1 Logo a ideia por tras da compensacao via Lugar das Raızes e escolher um ponto s1 C que possui as caracterısticas desejadas para a resposta transitoria e projetar um controlador GCs1 de forma a forcar com que Lugar das Raızes do sistema compensado passe por este ponto e que ele seja um polo do sistema em malha fechada 15 96 Projeto LeadLag Vamos comecar com o controlador AvancoAtraso de Fase LeadLag Temos que a equacao do controlador no planos e GCs a1s a0 b1s 1 Reescrevendo a equacao do controlador para que fique em funcao do valor do polo do zero e do ganho temse GCs Ks s0 s sp onde s0 e o valor do zero do controlador e sp e o valor do polo Observe que de modo que o controlador seja estavel o que e ne cessario sp deve ser positivo de modo que o polo esteja sobre o eixo real negativo Tambem vimos que por questao de estabilidade nao e recomendado inserir zeros no SPD o que implica que s0 tambem deve ser positivo o zero tambem estara sobre o eixo real negativo 16 96 Projeto LeadLag Primeiro vamos forcar o ponto s1 a fazer parte do Lugar das Raızes Isto e feito atraves do criterio de ˆangulo Logo temos que GCs1GPs1Hs1 180 GCs1 GPs1Hs1 180 GCs1 180 GPs1Hs1 A equacao anterior representa a deficiˆencia angular do sistema para que o ponto s1 faca parte do Lugar das Raızes ou seja o tanto de ˆangulo que o controlador GCs avaliado no ponto s1 precisa contribuir para chegar aos 180 17 96 Projeto LeadLag Uma vez que GCs1 s1 s0 s1 sp ao escolher a localizacao do polo ou do zero do controlador e possıvel calcular o outro No projeto LeadLag e comum escolhermos o zero do controlador de maneira a cancelar com um polo da planta Mas atencao na pratica nunca sera possıvel o cancelamento de polos e zeros entre planta e controlador e nunca devemos cancelar polos e zeros que estao no SPD Tambem e indesejavel cancelar um polo da planta na origem ja que reduziria o tipo do sistema 18 96 Projeto LeadLag Se o zero do controlador esta mais proximo da origem que o polo ou seja o zero esta a direita do polo no eixo real negativo ou ainda s0 sp entao o controlador e dito Avanco de Fase embora o nome so fara sentido quando estudarmos o metodo da Resposta em Frequˆencia Considere a figura a seguir que ilustra a localizacao do zero e do polo do controlador Avanco de Fase e o ponto a ser compensado s1 Como o ˆangulo do zero do controlador sempre sera maior que o do polo e GCs1 GCs1 s1 s0 s1 sp θC0 θCp entao concluımos que a contribuicao do ˆangulo ou a defasagem angular de um controlador Avanco de Fase sempre sera positiva 0 GCs1 180 19 96 Projeto LeadLag Se o polo do controlador esta mais proximo da origem que o zero ou seja o polo esta a direita do zero no eixo real negativo ou ainda sp s0 entao o controlador e dito Atraso de Fase Considere a figura a seguir que ilustra a localizacao do zero e do polo do controlador Atraso de Fase e o ponto a ser compensado s1 Como o ˆangulo do polo do controlador sempre sera maior que o do zero e GCs1 GCs1 s1 s0 s1 sp θC0 θCp entao concluımos que a contribuicao do ˆangulo ou a defasagem angular de um controlador Atraso de Fase sempre sera negativa 0 GCs1 180 20 96 Projeto LeadLag Determinados o polo e zero do controlador aplicamos o criterio de modulo para efetivamente fazer com que s1 seja um polo do sistema em malha fechada Logo GCs1GPs1Hs1 1 GCs1 GPs1Hs1 1 GCs1 1 GPs1Hs1 Uma vez que GCs1 K s1 s0 s1 sp logo K s1 sp s1 s0 GPs1Hs1 e entao temos o ganho K do controlador 21 96 Projeto LeadLag Um resumo do procedimento geral 1 A partir das especificacoes da resposta transitoria calcule a localizacao do ponto de compensacao s1 Se s1 for dado calcular o desempenho esperado compensando neste ponto 2 Determinado s1 calcular o ˆangulo GPs1Hs1 3 Calcular a deficiˆencia angular ˆangulo do controlador GCs1 4 Escolher o zero ou polo do controlador e entao pelo criterio de ˆangulo calcular o polo ou zero do controlador GCs1 s1 s0 s1 sp 5 Calcular o modulo GPs1Hs1 6 Pelo criterio de modulo calcular K K s1 sp s1 s0 GPs1Hs1 22 96 Projeto LeadLag Se o polo e o zero do controlador estiverem fora do eixo real negativo ou seja sp 0 e s0 0 entao o controlador encontrado nao pode ser utilizado pois isso acarretaria problemas de estabilidade O procedimento garante que o ponto s1 especificado fara parte do diagrama de Lugar das Raızes e tambem sera um polo do sistema em malha fechada Entretanto o procedimento nao garante o que ocorre com os outros polos que nao o conjugado de s1 Isto significa que o polo s1 pode nao ser dominante ou o sistema pode ser ate mesmo instavel em malha fechada Logo e necessario checar estabilidade em malha fechada Novamente nunca devemos cancelar polos e zeros entre planta e con trolador no SPD pois mesmo que na pratica isso fosse possıvel ou seja que tivessemos um modelo 100 exato da planta isto fere um conceito chamado de estabilidade interna 23 96 Projeto LeadLag Exemplo 41 Considere um sistema de controle a tempo contınuo cuja funcao de transferˆencia da planta e GPs 1 ss 1 e a realimentacao e unitaria ou seja Hs 1 Vus Desejase que o sistema em malha fechada possua um overshoot igual a 20 e um tempo de acomodacao igual a 6 s Dado o diagrama de Lugar das Raızes de GPsHs a seguir em conjunto com trˆes lugares gometricos de fator de amortecimento constante a Utilizandose somente um controlador proporcional ou seja GC s KP qual e o tempo de acomodacao possıvel de ser atingido se for desejado compensar o sistema para atingir o fator de amortecimento desejado b Ainda utilizandose somente o controlador proporcional para o compensar o sistema e atin gir o tempo de acomodacao desejado qual o valor do ganho proporcional seria necessario Por que a compensacao nao daria certo c Faca o projeto de um controlador LeadLag com as especificacoes desejadas O controlador encontrado e Avanco ou Atraso de Fase Justifiquese d Calcule o erro em regime permanente em unidades da saıda para entrada rampa unitaria em tensao com o controlador projetado no item anterior 24 96 Projeto LeadLag 1 08 06 04 02 0 02 15 1 05 0 05 1 15 0384 0456 059 0384 0456 059 Root Locus Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 25 96 Projeto LeadLag Continuo Resolugao Exemplo 41a e Calculandose o fator de amortecimento a partir do overshoot especi ficado InM In02 Mp 02 0456 InMp 1 In0 2 7 e Uma vez que utilizandose um controlador proporcional é possivel an dar apenas sobre o Lugar das Raizes o ponto de compensacao devera ser a interseccdo do Lugar das Raizes com o Lugar Geométrico de Fa tor de Amortecimento 0456 constante Neste ponto a parte real dos polos é igual a 05 ou seja Res 05 Isto implica que a constante de tempo dos pdlos é rt 1Res 2 s e consequen temente o tempo de acomodacdo sera igual a t 47 8 s além dos 6 s desejados 26 96 Projeto LeadLag Continuo Resolugao Exemplo 41b Para se atingir os 6 s de tempo de acomodaao desejados é necessdrio que a constante de tempo dos polos seja ts ts 47 T 7 15f5 e consequentemente Res 1r7 0 6667 ou seja que a parte real dos pdlos seja igual a 0 6667 e O Lugar das Raizes efetivamente passa por um ponto que possui esta parte real no ponto sj 06667 e o ganho Kp necessdrio para impor este polo é 1 1 Kp 0 2222 GpsiHs1 1 0 66670 6667 1 27 96 Projeto LeadLag Contınuo Resolucao Exemplo 41b Uma vez que a equacao caracterıstica em malha fechada e 1 GCsGPsHs 0 entao temse que 1 KP 1 ss 1 0 s2 s KP 0 cujas raızes para KP 0 2222 sao s1 0 6667 que ja sabıamos e s2 0 3333 Sendo assim nao podemos considerar o polo s1 0 6667 pois ha outro ainda mais proximo da origem De fato simulando a resposta ao degrau deste sistema para KP 0 2222 mostrara que o tempo de acomodacao e 13 8 s ainda alem do esperado se o polo s2 0 3333 fosse considerado dominante Isto mostra que devemos lancar mao de um compensador dinˆamico como o LeadLag para atingir as especificacoes 28 96 Projeto LeadLag Continuo Resolugao Exemplo 41c Para realizar a compensa4o via Lugar das Rafzes com um controlador LeadLag vamos primeiro determinar a localizacao dos pdlos que correspondem as especificagdes desejadas Vamos utilizar 04559 que dd exatamente 20 de overshoot e entdo calcular a frequéncia natural 4 4 Wn 1 4623 rads Cts 045596 Logo os pdlos no planos sao 12 Cwn jwnv1 C2 0 6667 j1 3015 Vamos utilizar entao o ponto s 0 6667 j13015 como ponto de compensaao Precisamos calcular 7 GpsiHs1 Gps1Hs1 e faremos via interpretacdo geométrica de acordo com a figura a seguir 29 96 Projeto LeadLag via LR Resolucao Exemplo 41c 30 96 Projeto LeadLag Continuo Resolugao Exemplo 41c Calculando 0 Angulo de GpsHs1 de acordo com a figura anterior temos Z GpS1Hs1 Bzeros Opstos 0 Op Op Op App Calculandose os angulos temos 113015 Op 180 tan G3 117124 1 3015 6 tan 2 7 po an sear 5 6359 Logo Z Gps1Hs1 192 7599 e entao vemos claramente que o ponto s nao faz parte do Lugar das Raizes de GpsHs pois 0 critério de Angulo nao é satisfeito Para isso temos que inserir um compensador que contribui com um Angulo Z Gcs1 180 Z Gps1Hs1 180 192 7599 12 7599 3196 Projeto LeadLag Contınuo Resolucao Exemplo 41c Isto portanto nos diz que o compensador sera Avanco de Fase Lead pois 0 GCs1 180 Vamos escolher posicionar o zero do controlador para cancelar com o polo s 1 da planta Logo temos que s0 1 A interpretacao geometrica do Lugar das Raızes no controlador e ilustrada na figura a seguir 32 96 Projeto LeadLag Continuo Resolucao Exemplo 41c e Pela figura o Angulo do zero do controlador é calculado através de 13015 1 0c tan 56607 0 air 75 6359 e Sabese entado que o polo deve contribuir com o seguinte angulo 9c 9c ZGcs1 75 6359 12 7599 62 876 Pela figura o Angulo do pdlo é calculado através de 13015 Oc tant 2 Co an 0 sar 33 96 Projeto LeadLag Continuo Resolucao Exemplo 41c Extraindo a tangente dos dois membros 1 1 3015 tanc tan tan Saar 13015 2 tan62 876 5 0 6667 13015 1 9522 Sp 0 6667 Logo temos que sp 13334 Observe que sp 0 e entdo o polo do controlador esta localizado em s 1 3334 Agora passamos para 0 calculo de K Calculando o médulo de GpsHs no ponto s pela figura apresentada anteriormente temos 1 II feros Gps1Hs1 TH testes 1 Gp s1Hsi GesHs 34 96 Projeto LeadLag Contınuo Resolucao Exemplo 41c Calculandose os modulos temos rp1 1 3015 sin180 θp1 1 4623 rp2 1 3015 sinθp2 1 3435 Logo GPs1Hs1 0 5089 Calculando o modulo dos vetores do polo e zero do controlador rC0 1 3015 sinθC0 1 3435 rCp 1 3015 sinθCp 1 4623 35 96 Projeto LeadLag Contınuo Resolucao Exemplo 41c Logo calculando K K rCp rC0 GPs1Hs1 1 4623 1 343550 5089 2 1388 Finalmente temos entao que o controlador Avanco de Fase desejado e GCs 2 1388s 1 s 1 3334 Reescrevendo o controlador sob a forma GCs 2 1388s 2 1388 s 1 3334 1 604s 1 604 0 745s 1 e entao a correspondˆencia com os parˆametros do controlador LeadLag na forma convencional sao a0 1 604 a1 1 604 e b1 0 745 36 96 Projeto LeadLag Diagrama de Lugar das Raızes do Sistema Compensado Exemplo 41 12 1 08 06 04 02 0 02 15 1 05 0 05 1 15 Root Locus Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 Pontos marcados em magenta s12 0 6667 j1 3015 37 96 Projeto LeadLag Resposta ao Degrau Unitario em Malha Fechada do Sistema Compensado Exemplo 41 Step Response Time seconds Amplitude 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 02 04 06 08 1 12 14 System Ts Peak amplitude 12 Overshoot 20 At time seconds 242 System Ts Settling time seconds 569 38 96 Projeto LeadLag Resolugao Exemplo 41d Para calcular o erro em regime permanente para rampa vamos primeiro calcular a constante de erro de velocidade K lim sGcsGpsHs s0 lim 622 1388s 2 1 1 s90 13334 ss1 21388 13334 1 K 1604 B S Sea referéncia em tensdo é uma rampa de amplitude 1 Vs ou seja Rs 1s entdo Rs 1HRs e entdo Rs 1s ou seja uma rampa de amplitude 1 Vs corresponde a uma rampa de amplitude 1 uss Logo A 1 uss Sendo assim A 1 uss u uss ss OD C 0 6234 S es KK 1604 1s 7 0784 Us 39 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Relembrandose a equacao do controlador PID no planos temos GCs KP KI s KDs O controlador PI e obtido zerandose a parte derivativa ou seja KD 0 gerando GCs KP KI s enquanto que o controlador PD e obtido zerandose a parte integradora ou seja KI 0 resultando em GCs KP KDs 40 96 Projeto PID via Lugar das Raizes O controlador PI é na realidade um caso particular de um controlador Lag Atraso de Fase no qual o pdlo do controlador esta localizado tao a direita do zero que esta numa das extremidades possiveis ou seja exatamente na origem s 0 Para vermos isso considere Ky Kp s Kps ki P i Gcs s s Se compararmos com um controlador Lag padrao K Gcs Ks 50 S Sp claramente vemos que o controlador PI é um Lag cujo pdlo esta na origem sp 0 e K Kp Ky Ke Logo no projeto PI aproveitamos o procedimento do projeto Lag tomandose o cuidado de posicionar 0 pdlo do controlador em sp 0 4196 Projeto PID via Lugar das Raızes Um resumo do procedimento geral para PI 1 A partir das especificacoes da resposta transitoria calcule a localizacao do ponto de compensacao s1 Se s1 for dado calcular o desempenho esperado compensando neste ponto 2 Determinado s1 calcular o ˆangulo GPs1Hs1 3 Calcular a deficiˆencia angular ˆangulo do controlador GCs1 Observe que por se tratar de um controlador PI pelo fato do polo estar mais a direita do que o zero entao a contribuicao de ˆangulo do controlador deve ser sempre negativa entre 0 e 180 4 Fazer sp 0 e entao calcular o zero do controlador s1 s0 GCs1 s1 θC0 GCs1 θCp 5 Calcular o modulo GPs1Hs1 6 Pelo criterio de modulo calcular K K s1 s1 s0 GPs1Hs1 rCp rC0 GPs1Hs1 7 Calcular KP e KI a partir de s0 e K 42 96 Projeto PID via Lugar das Raizes JA o controlador PD é na realidade um caso particular de um controlador Lead Avancgo de Fase no qual o pélo do controlador esta localizado tao 4 esquerda do zero que esta na outra extremidade possivel ou seja exatamente no infinito s oo Para vermos isso considere K Gcs Kp Kos Kp s Kp Se compararmos com um controlador Lead padrao Ks 50 Gcs S Sp claramente vemos que o controlador PD é um Lead cujo pélo esta no infinito sp ocoe KKp ake 0 KS Logo no projeto PD aproveitamos o procedimento do projeto Lead tomandose o cuidado de posicionar o pdlo do controlador em sp oo 43 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Um resumo do procedimento geral para PD 1 A partir das especificacoes da resposta transitoria calcule a localizacao do ponto de compensacao s1 Se s1 for dado calcular o desempenho esperado compensando neste ponto 2 Determinado s1 calcular o ˆangulo GPs1Hs1 3 Calcular a deficiˆencia angular ˆangulo do controlador GCs1 Observe que por se tratar de um controlador PD pelo fato do polo estar mais a esquerda do que o zero entao a contribuicao de ˆangulo do controlador deve ser sempre positiva entre 0 e 180 4 Fazer sp e entao calcular o zero do controlador s1 s0 GCs1 θC0 GCs1 5 Calcular o modulo GPs1Hs1 6 Pelo criterio de modulo calcular K K 1 s1 s0 GPs1Hs1 1 rC0 GPs1Hs1 7 Calcular KP e KD a partir de s0 e K 44 96 Projeto PID via Lugar das Raizes Vamos mostrar agora que o controlador PID é na realidade um caso particular de controlador Avanco e Atraso de Fase ou seja uma cascata de um Avanco de Fase com um Atraso de Fase Considerando a estrutura de um controlador Avanco e Atraso de Fase Gcs Ks So s 0 s Sp S Sp onde os zeros do controlador devem estar entre os pdlos ou seja Sp 0 02 Sp considerando que os zeros do controlador Avango e Atraso sao reais 0 que nado é necessdrio Desenvolvendo a equacao do controlador PID temse Kp kK Kp 8 s Kps Kps ki p Kp Kp Gcs 2 s s 45 96 c z Projeto PID via Lugar das Raizes Desenvolvendose a equacdo do controlador Avancgo e Atraso de Fase K s 50 025 0 502 Gcs s e comparandose com a do PID fica claro que o controlador PID é um caso particular do controlador Avanco e Atraso de Fase de maneira que os polos estado nos extremos ou seja um esta em s 0 0 outroem s coe Kp K Kp Kp 50 Kp K 50 50 Ki 0 S02 Kj K50 505 Kp Logo no projeto PID posicionamos um dos pédlos do controlador Avanco e Atraso na origem e o outro em oo gerando Ks 0 0 Ges Kis s 5 s e entdo posicionamos um dos zeros do controlador também cancelandoo com um pélo da planta nos casos onde é possivel calculamos 0 outro zero do controlador pelo critério de Angulo e o ganho K pelo critério de mddulo 46 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Um resumo do procedimento geral para PID 1 A partir das especificacoes da resposta transitoria calcule a localizacao do ponto de com pensacao s1 Se s1 for dado calcular o desempenho esperado compensando neste ponto 2 Determinado s1 calcular o ˆangulo GPs1Hs1 3 Calcular a deficiˆencia angular ˆangulo do controlador GC s1 Observe que por se tratar de um controlador PID pelo fato deste ter caracterıstica tanto de avanco quanto atraso de fase a contribuicao do ˆangulo do controlador pode ser tanto positiva quanto negativa 4 Fazer sp1 0 sp2 posicionar o zero s01 do controlador e entao calcular o zero s02 do controlador s1 s02 GC s1 s1 s1 s01 θC01 GC s1 θCp θC02 5 Calcular o modulo GPs1Hs1 6 Pelo criterio de modulo calcular K K s1 s1 s01 s1 s02 GPs1Hs1 rCp rC01 rC02 GPs1Hs1 7 Calcular KP KI e KD a partir de s01 s02 e K 47 96 Projeto PID via Lugar das Raizes Exemplo 42 Considere o sistema de controle de velocidade de um servomotor cuja fundo de transferéncia da planta e atuador é dada por Ys 59 29 a Gps 2 2 ps G0 246085 1512 V ea funcdo de transferéncia do sensor é dada por V Hs05 s Ea R L tv tk ie e e 5 B Jy w a 48 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Exemplo 42 Continuacao Desejase fazer o projeto de um controlador PID de forma que o sistema de controle em malha fechada possua as seguintes caracterısticas i Velocidade do eixo do servomotor em regime permanente igual a 10 rads ii Overshoot igual a 20 iii Tempo de acomodacao igual a 1 s Sendo assim responda a Qual deve ser o sinal de referˆencia de entrada em tensao b Quais sao os polos dominantes desejados c Quais os parˆametros do compensador d Qual o erro em regime permanente em rads para uma entrada rampa de amplitude 2 5 Vs 49 96 Projeto PID via Lugar das Raizes Resolugao Exemplo 42a A funao GpsHs sera 5929 29 645 GpsH8 Sa 9 8 ae s 6985 1512 s 698s 1512 Analisandose GpsHs vése que é Tipo 0 enquanto analisandose Gcs que é um controlador PID verificase que é Tipo 1 Logo GcsGpsHs é Tipo 1 e portanto o erro em regime permanente para degrau é nulo Logo a referncia na mesma unidade da saida deverd ser um degrau de amplitude 10 rads ou seja 1 Rus 10 rads s Sendo assim Vv 10 5 Rs HRus 05 Fa rads VY rads s s ou seja a referéncia em tensdo deve ser um degrau de amplitude igual a 5 V 50 96 Projeto PID via Lugar das Raizes Resolucao Exemplo 42b e Como M 02 e t 1 s temos InM In02 c e f 2 559 InMp 1 In0 2 1 4 4 n a 887729 rads en Cte 045591 rads Sendo assim os pdlos que se esperam dominantes serdo 12 OWp jw 1 2 512 0 45598 7729 j8 77291 0 45592 12 4 j78079 5196 Projeto PID via Lugar das Raızes Resolucao Exemplo 42c Precisaremos para o restante dos calculos do ˆangulo e do modulo de GPsHs no ponto de compensacao s1 Separando esta funcao em polos e zeros para a interpretacao grafica temos GPsHs 29 645 s2 6 98s 15 12 29 645 s 3 49 j1 7146s 3 49 j1 7146 A Figura a seguir mostra a interpretacao grafica para o calculo do ˆangulo e do modulo de GPs1Hs1 Figura Interpretacao grafica de GPs1Hs1 Exemplo 42 52 96 Projeto PID via Lugar das Raizes Resolucao Exemplo 42c Calculandose Z Gps1Hs1 7 8079 17146 180 1 Op 180 tan ee 349 947844 1 78079 1 7146 Op 180 tan eee 93 0657 pe a 4 349 Z Gps1Hs1 0 0p Op 1878501 que comprova que 51 nao faz parte do Lugar das Raizes do sistema pois o Z Gps1Hs1 180 Calculandose Gps1Hs1 1714 rp U BOTS 1 TAG 61146 sin180 Op 780 1714 I 178079 1 7146 95361 sin180 p 29 645 Gps1Hs1 0 5084 pi po 5396 Projeto PID via Lugar das Raızes Resolucao Exemplo 42c Utilizando o controlador PID definido por GC s Ks s01s s02 s precisamos definir um dos zeros como s01 e a partir do criterio de ˆangulo calcular o outro s02 Entretanto a planta possui apenas um par de polos complexoconjugados sendo entao impossıvel utilizar s01 para cancelar um dos polos da planta Para entender melhor onde posicionar o zero s01 vamos fazer um esboco bastante rudi mentar do Lugar das Raızes do sistema compensado ilustrado na figura a seguir Vemos que o polo em malha fechada que esta representado pelo ramo que se origina na origem atraves do polo na origem inserido pelo controlador e termina no ponto s01 zero tambem inserido pelo controlador podera ficar proximo dos polos dominantes s12 4 j7 8079 se o zero s01 nao estiver suficientemente afastado dos polos dominantes desejados Sendo assim iremos escolher s01 8 que se supoe que este terceiro polo estara entre 0 e 8 o que se espera que esteja suficientemente afastado de s12 54 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Resolucao Exemplo 42c Esboco rudimentar do diagrama de Lugar das Raızes do sistema compensado do Exemplo 42 Figura Esboco rudimentar do diagrama de LR do sistema compensado Exemplo 42 55 96 Projeto PID via Lugar das Raizes Resolucao Exemplo 42c A figura a seguir ilustra a interpretado grafica para o cdlculo do angulo e do médulo dos pdlos e zeros do controlador jo feo 78079 sy cor Wy 8 4 rsp Figura Interpretacdo grafica do controlador Exemplo 42 Calculandose Z sj 50 9G e s1 50 Co 9c tan e 62 8739 reg 280g 729 1 sin9c 56 96 Projeto PID via Lugar das Raizes Resolugao Exemplo 42c Calculandose Z s 9c e s1 Cp 9c 180 tan 29 117 1261 7 8079 87729 Ce sin180 8c Sendo assim pelo critério de Angulo devemos ter Z Gcs1 2 Gps1Hs1 180 Z Gcsi1 180 Z Gps1Hs1 Z st 50 Z S1 50 Z 51 180 Z Gps1Hs1 9c 9c 9c 180 Z Gps1Hs1 9c 180 Z Gps1Hs1 9c 9c 9c 180 187 8501 62 8739 117 1261 Acq 62 1024 57 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Resolucao Exemplo 42c Observe que θC01 θC02 124 9762 e entao se tentassemos posicionar s01 muito distante muito a esquerda de 4 o ˆangulo θC01 seria pequeno o que faria com que o ˆangulo θC02 ficasse grande o que implica em s02 estar proximo de 4 ate mesmo a direita deste ponto se o ˆangulo fosse maior que 90 Isto faria com que o terceiro polo representado pelo ramo em verde no diagrama anterior influenciaria na resposta ao ponto de s12 nao serem dominantes prejudicando a resposta esperada do sistema compensado Sabendose que θC02 62 1024 podemos entao calcular s02 Pela interpretacao grafica Figura Interpretacao grafica do controlador Exemplo 42 58 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Resolucao Exemplo 42c Sendo assim tanθC02 7 8079 s02 4 s02 7 8079 tanθC02 4 8 1337 e entao vemos que os dois zeros do controlador estarao muito proximos um do outro Tambem precisaremos de s1 s02 rC02 rC02 7 8079 sinθC02 8 8346 Pelo criterio de modulo devemos ter GC s1 GPs1Hs1 1 K s1 s01 s1 s02 s1 GPs1Hs1 1 KrC01 rC02 rCp GPs1Hs1 1 K rCp rC01 rC02 GPs1Hs1 0 2226 59 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Resolucao Exemplo 42c Entao a equacao do controlador PID sera GC s Ks s01s s02 s 0 2226s 8s 8 1327 s Para determinar os valores dos ganhos KP KI e KD vamos desenvolver a equacao do controlador GC s 0 2226s2 16 1337s 65 0696 s GC s 0 2226s2 3 5914s 14 4845 s GC s 3 5914 14 4845 s 0 2226s Logo KP 3 5914 KI 14 4845 KD 0 2226 60 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Diagrama de Lugar das Raızes do Sistema Compensado Exemplo 42 25 20 15 10 5 0 5 15 10 5 0 5 10 15 Root Locus Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 Pontos marcados em magenta s12 4 j7 8079 61 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Resposta ao Degrau de Amplitude 5 V em Malha Fechada do Sistema Compensado Exemplo 42 Step Response Time seconds Amplitude 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 0 2 4 6 8 10 12 14 System untitled1 Peak amplitude 123 Overshoot 233 At time seconds 0312 System untitled1 Settling time seconds 0894 62 96 Projeto PID via Lugar das Raizes Resolucao Exemplo 42d Para calcular o erro em regime permanente para rampa vamos primeiro calcular a constante de erro de velocidade Ky ky li H dim sGcsGpsHs 0 2226s 35914s 14 4845 29 645 Ky lim 5s s0 s s 6985 1512 1 Ky 28399 B s Em seguida vamos calcular a amplitude na unidade da saida A a pane 204 a5 Ys 224 Hk 05 Vv s s Finalmente o erro em regime permanente sera Au rads 1 5 01701 rad es kK 5 26300 rads 63 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Resposta a Rampa de Amplitude 2 5 Vs 5 rads2 em Malha Fechada do Sistema Compensado Exemplo 42 0 05 1 15 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s Amplitude rads Resposta à Rampa de Amplitude 25 Vs 5 rads2 yt rut 64 96 Projeto PID via Lugar das Raizes Exemplo 43 Considere o sistema de controle de atitude de um satélite cuja fundo de transferéncia da planta e atuador é dada por Ys 1 rad Gps 2 ps Us s Vv ea funcao de transferéncia do sensor é dada por V Hs2 s x J iS 65 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Exemplo 43 Continuacao Desejase fazer o projeto de um controlador PD via lugar das raızes de forma que em malha fechada o sistema tenha polos em s12 2 j2 Sendo assim responda a Qual o desempenho esperado para este sistema de controle b Quais sao os parˆametros do compensador c Qual deve ser o sinal de referˆencia de entrada em tensao se e desejado que em regime permanente a posicao angular do satelite seja 0 5 rad 66 96 Projeto PID via Lugar das Raizes Resolucao Exemplo 43a Como s1 Cwn jwnr1 C2 entao Isi V Gwn wn V C2 Wn C2w2 wn logo Wy 2 j2 y2 2 2v2 rads 2 2 V2 Sn VR Entao a me 2 1s ly 2 Mp Vi e 00432 4 4 ts Cun 5 2 s Esperase entao um overshoot igual a 432 e um tempo de acomodac4o igual a 2 s 67 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Resolucao Exemplo 43b Precisaremos para o restante dos calculos do ˆangulo e do modulo de GPsHs no ponto de compensacao s1 Temos entao GPsHs 1 s2 2 2 s2 A Figura a seguir mostra a interpretacao grafica para o calculo do ˆangulo e do modulo de GPs1Hs1 Figura Interpretacao grafica de GPs1Hs1 Exemplo 43 68 96 Projeto PID via Lugar das Raizes Resolucao Exemplo 43b Calculandose Z Gps1Hs1 1 2 Op 180 tan 5 135 Op Op 135 Z Gps1Hs1 0 8p Op 270 que comprova que 5 nao faz parte do Lugar das Raizes do sistema pois o Z Gps1Hs1 180 Calculandose Gps1Hs1 2 2 22 Pi Sin180 Ap sin45 pp Ip 2v2 2 2 Gps1Hs1 025 Gps1Hs1 Tatm 2V22V3 69 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Resolucao Exemplo 43b Utilizando o controlador PD definido por GCs Ks s0 temos que GCs1 s1 s0 θC0 Sendo assim GCs1 180 GPs1Hs1 GCs1 180 270 90 e entao θC0 90 Como θC0 90 isto significa que s0 deve estar abaixo de s1 2 j2 logo s0 2 facilmente explicavel pela interpretacao grafica 70 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Resolucao Exemplo 43b A figura a seguir ilustra a interpretacao grafica para o calculo do ˆangulo e do modulo dos polos e zeros do controlador Figura Interpretacao grafica do controlador Exemplo 43 Claramente vemos que rC0 2 71 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Resolucao Exemplo 43b Pelo criterio de modulo devemos ter GCs1 GPs1Hs1 1 K s1 s0 GPs1Hs1 1 K 1 s1 s0 GPs1Hs1 1 rC0 GPs1Hs1 K 1 20 25 2 Finalmente entao temos que o controlador PD e GCs Ks s0 2s 2 4 2s e entao KP 4 e KD 2 72 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Diagrama de Lugar das Raızes do Sistema Compensado Exemplo 42 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 25 2 15 1 05 0 05 1 15 2 25 Root Locus Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 Pontos marcados em magenta s12 2 j2 73 96 Projeto PID via Lugar das Raizes Resolucgao Exemplo 43c e Como a fundo GcsGpsHs tem dois pdlos na origem entdo o erro para degrau é nulo Logo a referéncia na mesma unidade da saida deverd ser um degrau de amplitude 05 rad ou seja 05 Rs rad s Sendo assim V 05 1 Rs HRys 2 rad V 5 MeRas 2 G 22 trad 2 ou seja a referéncia em tensdo deve ser um degrau de amplitude igual a 1 V 74 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Resposta ao Degrau de Amplitude 1 V 1 rad em Malha Fechada do Sistema Com pensado Exemplo 43 Step Response Time seconds Amplitude 0 05 1 15 2 25 0 01 02 03 04 05 06 07 System Ts Peak amplitude 0604 Overshoot 208 At time seconds 0787 System Ts Settling time seconds 173 75 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Convem investigar por que o overshoot do Exemplo 43 ter sido tao diferente do esperado Vamos calcular a funcao de transferˆencia em malha fechada Ts GC sGPs 1 GC sGPsHs Ts 2s 2 1 s2 1 2s 2 2 s2 2s 2 s2 1 4s 2 s2 Ts 2s 2 s2 s2 4s 8 s2 2s 2 s2 4s 8 Os polos em malha fechada sao as raızes de s2 4s 8 0 ou seja s12 2 j2 como esperado Como os zeros da malha fechada sao iguais aos zeros da malha aberta vemos que o sistema possui um zero em malha fechada em s 2 muito proximo dos polos dominantes Este zero proximo dos polos dominantes ira alterar significativamente a resposta do sistema quando comparado ao do sistema de segunda ordem subamortecido o que era esperado Lembrar de Sistemas Dinˆamicos que zeros proximos dos polos dominantes fazem com que o tempo de subida seja reduzido e o overshoot seja aumentado 76 96 Projeto PID via Lugar das Raızes Como o zero vem do controlador poderıamos pensar em utilizar um controlador Avanco de Fase posicionando o zero longe dos polos a esquerda e entao calcular sp e K Pelo criterio de ˆangulo entao terıamos que GCs1 θC0 θCp 90 o que implica θCp θC0 90 Se o zero esta a esquerda de s1 2 j2 entao 0 θC0 90 e logo θCp seria negativo o que nao e possıvel Na realidade para que θCp seja positivo o que e necessario pela interpretacao grafica e necessario que θC0 90 ou seja o zero tem que estar a direita de s1 2 j2 mais proximo do eixojω do que os polos Isto piorara ainda mais o overshoot da resposta transitoria Para obtermos um menor overshoot terıamos que relaxar a especificacao de tempo de acomodacao aumentando ts e deixando o sistema mais lento levando os polos mais proximos do eixojω Isto possivelmente faria com que o zero do con trolador ficasse mais a esquerda dos polos dominantes diminuindo sua influˆencia na resposta 77 96 Consideracoes Sobre a Escolha dos Controladores Uma duvida que surge frequentemente no projeto de sistemas de controle de maneira geral e qual controlador deve ser utilizado Conforme vimos anteriormente controladores com caracterıstica de avanco de fase tendem a deslocar o Lugar das Raızes para a esquerda Melhorar a resposta transitoria ou seja diminuir o overshoot e o tempo de acomodacao significa invariavelmente mover os polos da malha fechada para a esquerda Desta forma quando e desejado uma melhora na resposta transitoria e necessario utilizar controladores com caracterıstica de avanco de fase como o proprio Avanco de Fase o PD e o PID Em geral o preco a ser pago pela melhora na resposta transitoria e uma deterioracao na resposta estacionaria Veja por exemplo o controlador Avanco de Fase GC s Ks s0 s sp Como s0 sp para s 0 ou seja em regime permanente s0 sp 1 e entao a tendˆencia e diminuir as constantes de erro deteriorando a resposta estacionaria E claro que a constante de erro vai depender tambem do ganho K do controlador que pode ate fazer com que ela aumente mas essa e uma caracterıstica geral de controladores avanco de fase 78 96 Consideracoes Sobre a Escolha dos Controladores Na pratica a implementacao fısica de um controlador PD sempre acarreta em um Avanco de Fase devido a natureza naocausal da parte derivativa impossıvel de se implementar em tempo real Ja os controladores com caracterıstica de atraso de fase tendem a deslocar o Lugar das Raızes para a direita Isto fara com que os polos da malha fechada se movam para a direita aumentando o overshoot e o tempo de acomodacao deteriorando a resposta transitoria Controladores que possuem esta caracterıstica sao o controlador Atraso de Fase o PI e o PID Afinal de contas qual a utilidade entao de um controlador que piora a resposta transitoria Vamos analisar o controlador Atraso de Fase GC s Ks s0 s sp Como s0 sp para s 0 ou seja em regime permanente s0 sp 1 e entao a tendˆencia e aumentar as constantes de erro melhorando a resposta estacionaria Tambem e claro que a constante de erro vai depender tambem do ganho K do controlador que pode ate fazer com que ela diminua mas essa e uma caracterıstica geral de controladores atraso de fase 79 96 Consideracoes Sobre a Escolha dos Controladores No caso do PI e do PID devido ao fato do controlador inserir um polo na origem isto fara com que o Tipo do sistema seja aumentado evidenciando ainda mais a caracterıstica de melhorar a resposta esta cionaria destes controladores Observe que o PID pode possuir as duas caracterısticas de avanco ou atraso de fase e ainda tambem insere um polo na origem melhorando a resposta estacionaria sob este vies Isto explica a grande popula ridade do controlador PID em ambientes industriais garantese erro nulo em regime permanente para degrau e ainda e possıvel melhorar o desempenho do sistema 80 96 Consideracoes Sobre a Escolha dos Controladores Resumindo entao a empregabilidade dos controladores Avanco de Fase o objetivo e melhorar a resposta transitoria 0 GCs1 180 nao importando o que ocorre com a resposta estacionaria Atraso de Fase o objetivo e melhorar a resposta estacionaria as custas de uma deterioracao que pode ser leve ou nao da resposta transitoria 0 GCs1 180 sem mudar o Tipo do sistema PD mesmo que Avanco de Fase mas com uma melhora ainda mais significativa da resposta transitoria PI o objetivo e melhorar a resposta estacionaria aumentando o Tipo do sistema por meio da insercao de um polo na origem tambem as custas de uma deterioracao que pode ser leve ou nao da resposta transitoria 0 GCs1 180 PID o objetivo e melhorar tanto a resposta transitoria 0 GCs1 180 quanto a estacionaria aumentando o Tipo do sistema por meio da insercao de um polo na origem Observe que quando 0 GCs1 180 e e desejado um polo na origem embora o controlador PID possa ser aplicado o controlador PI ja e suficiente 81 96 Projeto para Resposta Estacionaria Conforme vimos o controlador Atraso de Fase tem como objetivo diminuir o erro em regime permanente para um determinado tipo de entrada porem sem elimina lo Entretanto em algumas situacoes a diminuicao do erro em regime permanente obtida pelo controlador ao se projetar levando em consideracao os requisitos da resposta transitoria nao e suficiente Nestes casos podemos projetar um controlador Atraso de Fase com o unico proposito de diminuir o erro em regime permanente sem alterar significativamente a resposta transitoria No metodo de Lugar das Raızes isso e obtido ao se fazer o polo e o zero do controlador muito proximos da origem e um do outro de forma que o Lugar das Raızes nao se altere significativamente Portanto o ponto de compensacao s1 deve fazer parte do Lugar das Raızes de GPsHs Se o ponto de compensacao s1 nao faz parte do Lugar das Raızes de GPsHs entao projetase um controlador Avanco de Fase para que s1 faca parte do LR e seja uma raiz da equacao caracterıstica em malha fechada e depois projetase um Atraso de Fase para atingir a especificacao da resposta estacionaria erro em regime permanente dando origem entao a um controlador Avanco e Atraso de Fase 82 96 Projeto para Resposta Estacionaria Seja um controlador Atraso de Fase GCs Ks s0 s sp Temos pelo criterio de ˆangulo que GCs1 GPs1Hs1 180 Como s1 faz parte do Lugar das Raızes entao GPs1Hs1 180 Portanto terıamos GCs1 0 o que configuraria um controlador proporcional Entre tanto como GCs1 s1 s0 s1 sp se o zero do controlador e o polo estiverem muito proximos entao s1 s0 s1 sp e entao GCs1 0 e assim o Lugar das Raızes sera ligeiramente deslocado para a direita de s1 Temos pelo criterio de modulo que K s1 sp s1 s0 GPs1Hs1 83 96 Projeto para Resposta Estacionaria Como o zero e o polo do controlador estao proximos um do outro e considerando que estao suficientemente distantes a direita de s1 entao s1 sp s1 s0 e entao K 1 GPs1Hs1 A partir da especificacao de erro em regime permanente e possıvel calcular a cons tante de erro para a entrada desejada Kp Kv ou Ka e entao posicionandose o zero do controlador bastante a direita de s1 e tendose o valor de K s0 e da constante de erro calculase sp Por exemplo para um sistema de controle Tipo 1 o erro limitado e para rampa logo Kv lim s0 sGCsGPsHs Kv lim s0 s Ks s0 s sp GPsHs Kv Ks0 sp lim s0 sGPsHs e finalmente sp Ks0 lim s0 sGPsHs Kv 84 96 Projeto para Resposta Estacionaria Como o controlador posiciona um polo muito proximo da origem e cujo ramo que se inicia nele ira terminar em um zero tambem proximo entao pode ser que exista um modo extremamente lento no sistema em malha fechada o que fara que a resposta seja excessivamente mais lenta do que se espera Se o zero nao for escolhido suficientemente longe de s1 entao o Lugar das Raızes ira se mover significativamente a direita de s1 e a compensacao nao dara certo Se isso ocorrer afastase ainda mais o zero do controlador de s1 e tentase novamente Um bom ponto de partida e fazer o zero estar 10 vezes mais distante a direita de s1 ou seja s0 0 1reals1 Este processo pode necessitar de algumas iteracoes para se encontrar uma resposta satisfatoria 85 96 Projeto para Resposta Estacionaria Um resumo do procedimento geral 1 A partir das especificacoes da resposta transitoria calcule a localizacao do ponto de compensacao s1 Se s1 for dado calcular o desempenho esperado compensando neste ponto 2 Determinado s1 calcular o ˆangulo GPs1Hs1 Se GPs1Hs1 nao for igual a 180 projetar um controlador Avanco de Fase ou ate mesmo Atraso de Fase para atingir tal especificacao 3 Pelo criterio de modulo calcular K K 1 GPs1Hs1 4 Posicionar o zero do controlador Atraso de Fase afastado a direita de s1 5 A partir da especificacao do erro em regime permanente calcular a constante de erro desejada 6 A partir da constante de erro desejada de K e s0 calcular a localizacao do polo do controlador 86 96 Projeto para Resposta Estacionaria Vamos voltar ao sistema de controle do Exemplo 41 Suponha que seja desejado compensar o sistema atraves de um controlador Atraso de Fase de modo que os polos em malha fechada sejam s12 0 5j1 e que o erro em regime permanente para rampa seja reduzido em 10 vezes Observe que pelo grafico fornecido junto ao exercıcio os pontos s12 0 5 j1 fazem parte do diagrama de Lugar das Raızes de GPsHs Estes pontos correspondem a um overshoot de 20 e um tempo de acomodacao de 8 s No ponto de compensacao s1 0 5 j1 temos GPs1Hs1 1 0 5 j10 5 j1 1 1 0 5 j10 5 j1 0 8 Pelo criterio de modulo o ganho K necessario para impor estes polos em malha fechada e K 1 GPs1Hs1 1 0 8 1 25 87 96 Projeto para Resposta Estacionaria Como s1 0 5 j1 vamos escolher inicialmente posicionar o zero do controlador 10 vezes mais distante a direita de s1 ou seja posicionar o zero do controlador em s 0 05 Logo s0 0 05 A constante de erro de velocidade atual sem o controlador e Kv lim s0 sGPsHs lim s0 s 1 ss 1 1 Logo o erro pra rampa atual e ess A Kv A Como e desejado que o erro seja reduzido em 10 vezes entao 0 1A A Kv Kv 10 ou seja a constante de erro de velocidade deve ser aumentada em 10 vezes 88 96 Projeto para Resposta Estacionaria Logo Kv lim s0 sGCsGPsHs Kv lim s0 s Ks s0 s sp 1 ss 1 Kv Ks0 sp 1 Como K 1 25 s0 0 05 e Kv 10 sp Ks0 Kv 1 250 05 10 0 00625 Portanto GCs 1 25s 0 05 s 0 00625 89 96 Projeto para Resposta Estacionaria Diagrama de Lugar das Raızes com o controlador Atraso de Fase projetado 1 08 06 04 02 0 15 1 05 0 05 1 15 Root Locus of Ls1 Imaginary Axis Real Axis gain 0 217735 asymptotes locus open loop poles zeros Note o deslocamento do Lugar das Raızes para a direita 90 96 Projeto para Resposta Estacionaria Zoom na regiao da origem 01 008 006 004 002 0 005 0 005 Root Locus of Ls1 Imaginary Axis Real Axis gain 0 217735 asymptotes locus open loop poles zeros Note o formato do Lugar das Raızes na proximidade do polo e zero do controlador 91 96 Projeto para Resposta Estacionaria Resposta ao degrau unitario do sistema compensado com o controlador Atraso de Fase projetado e somente com um controlador proporcional 0 5 10 15 20 25 0 02 04 06 08 1 12 14 Tempo s Amplitude Com Atraso de Fase Sem Atraso de Fase Zeros em malha fechada s 0 05 Polos em malha fechada s 0 47723 j0 98948 e s 0 05179 92 96 Projeto para Resposta Estacionaria Resposta a rampa unitaria do sistema compensado com o controlador Atraso de Fase projetado 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 Tempo s Amplitude yt rut O polo mais lento introduzido pelo controlador Atraso de Fase faz com que o erro desejado ess 0 1 demore muito mais tempo para ser atingido 93 96 Projeto para Resposta Estacionaria Se tivessemos feito o projeto posicionando o zero do controlador 20 vezes mais distante de s1 s0 0 025 1 08 06 04 02 0 15 1 05 0 05 1 15 Root Locus of Ls2 Imaginary Axis Real Axis gain 0 20881 asymptotes locus open loop poles zeros Note o menor deslocamento do Lugar das Raızes para a direita quando comparado ao primeiro projeto 94 96 Projeto para Resposta Estacionaria Se tivessemos feito o projeto posicionando o zero do controlador 5 vezes mais distante de s1 s0 0 1 1 08 06 04 02 0 1 0 1 Root Locus of Ls3 Imaginary Axis Real Axis gain 0 235912 asymptotes locus open loop poles zeros Note o maior deslocamento do Lugar das Raızes para a direita quando comparado ao primeiro projeto 95 96 Projeto para Resposta Estacionaria Resposta ao degrau unitario do sistema compensado com o controlador os trˆes controla dores Atraso de Fase 0 5 10 15 20 25 0 02 04 06 08 1 12 14 Tempo s Amplitude s0 005 s0 0025 s0 01 96 96