Aula 08: Alocação de Polos e Observadores de Estado - Sistemas de Controle

ECA602 Sistemas de Controle Universidade Federal de Itajuba Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologia da Informacao Aula 08 Alocacao de Polos e Observadores de Estado Prof Caio Fernandes de Paula caiofernandesunifeiedubr 2 Semestre de 2023 1 103 Introducao Considere um sistema dinˆamico LIT SISO estritamente proprio representado no espaco de estados xt Axt But yt Cxt No projeto de sistemas de controle no espaco de estados nao e a saıda que e rea limentada mas sim os estados Logo a lei de controle o sinal de controle a ser aplicado na planta deve conter os estados e a entrada de referˆencia rt ut fxt rt Inicialmente vamos considerer que a entrada de referˆencia e nula rt 0 ou seja estamos lidando com um problema de controle do tipo regulador Sendo assim definimos a lei de controle por realimentacao de estados como ut K1x1t K2x2t Knxnt onde os coeficientes Ki R i 1 2 n serao determinados de acordo com algum criterio 2 103 A última equação pode ser reescrita de forma vetormatricial Alocacao de Polos Vemos entao que precisamos de uma maneira de determinar os ganhos K1 K2 Kn Vamos investigar o que ocorre com o sistema em malha fechada quando conectamos a lei de controle a ele Logo substituindo se a lei de controle na equacao de estados temos xt Axt BKxt xt A BK xt Suponha que desejamos que o sistema em malha fechada possua o seguinte polinˆomio caracterıstico αs sn αn1sn1 αn2sn2 α1s α0 de maneira que dois destes polos tenham caracterısticas em termos de fator de amortecimento ζ e frequˆencia natural ωn que geram uma resposta ao degrau desejada em termos de overshoot e tempo de acomodacao e todos os outros estejam suficientemente afastados de maneira que os dois primeiros sejam considerados dominantes 4 103 Alocacao de Polos Vemos entao que a matriz de sistema do sistema em malha fechada e A BK Logo seus autovalores valores caracterısticos em malha fechada ou seja os polos em malha fechada serao det sI A BK Logo podemos escolher K de maneira que o sistema em malha fechada possua o polinˆomio de polos desejado det sI A BK sn αn1sn1 αn2sn2 α1s α0 Uma vez que estamos arbitrariamente escolhendo onde os polos do sistem em malha fechada devem estar damos a este procedimento o nome de alocacao de polos Igualando os coeficientes em termos da potˆencia de s nos dois membros da equacao anterior gera um sistema linear de n equacoes e n incognitas os valores dos ganhos Ki 5 103 Alocacao de Polos Ha contudo algumas limitacoes Teorica o procedimento gera um sistema linear de n equacoes linearmente independentes se e somente se o sistema for controlavel Ou seja caso o sistema seja controlavel entao o procedimento e determinado e os polos em malha fechada podem ser alocados arbitrariamente em qualquer lugar do plano complexo Se o sistema nao e controlavel isto implica que ao menos uma equacao do sistema linear e linearmente dependente de outra e desta forma nao ha solucao para o problema Os modos controlaveis poderao ser alocados arbitrariamente e os naocontrolaveis da malha fechada sao iguais ao da planta malha aberta Pratica embora em teoria os polos possam ser alocados arbitrariamente caso o sistema seja controlavel ao se tentar alocar os polos muito distantes a esquerda do eixo imaginario ou seja polos com constante de tempo muito pequena os ganhos Ki tendem a aumentar vertiginosamente e entao o sinal de controle ut tambem tende a crescer Isso ira naturalmente saturar o sistema fısico e tiralo da regiao linear Logo e necessario respeitar os limites do sistema fısico ao especificar os polos desejados para a malha fechada Observacao os ganhos de realimentacao de estados nao devem ser necessariamente positivos ao contrario dos ganhos de um controlador que esta no ramo direto como o PID AvancoAtraso de Fase etc 6 103 Considere o sistema de controle do posicionamento angular de um satélite O modelo no espaço de estados que preserva o significado físico das variáveis de estado é Pela definição método algébrico da Alocação de Pólos temse que Alocação de Pólos Resolução Exemplo 81 Como o sistema é de segunda ordem então serão somente dois pólos a serem alocados que são justamente os pólos dominantes De maneira geral para um sistema de ordem n outros n2 pólos também devem ser alocados Para isto podese usar o critério da parte real do modo a alocálos distantes dos pólos dominantes cerca de 5 vezes Neste caso em específico somente os pólos dominantes são necessários Logo αs s s1s s2 αs s 0 8 j2 0872s 0 8 j2 0872 αs s 0 8 j2 0872s 0 8 j2 0872 αs s² 1 6s 5 Agora calculamos detsl A BK Neste caso também por ser um sistema de segunda ordem temos dois estados e portanto teremos dois ganhos de realimentação de estados ou seja K K1 K2 Alocação de Pólos Resolução Exemplo 81 Sendo assim detsl A BK s 0 0 1 0 K1 K2 detsl A BK s 1 0 0 detsl A BK s 1 K1 K2 detsl A BK ss K2 K1 detsl A BK s² K2s K1 Logo detsl A BK αs s² K2s K1 s² 1 6s 5 e a solução é K1 5 e K2 1 6 e a lei de controle a ser aplicada no sistema é ut 5K1t 1 6x2t Alocação de Pólos Resposta das variáveis de estado à condição inicial x0 1 0 T do Exemplo 81 Amplitude das Variáveis de Estado Tempo s Considere a equação de estados do sistema representado na forma canônica controlável dotx1t 0 cdots 0 cdots dotxn1t 0 cdots 0 dotxnt a0 a1 quad ut O determinante de sl A BK será detsl A BK beginbmatrix s 1 0 cdots 0 0 s 1 0 cdots 0 0 0 0 cdots a0 a1 a2 cdots K1 K2 K3 Kn endbmatrix O resultado anterior mostra que é possível determinar o vetor de ganhos simplesmente por inspeção dos pólos em malha aberta e do polinômio de pólos a ser alocado Entretanto é necessário medir as variáveis de estado e fisicamente quase nunca o modelo que preserva o significado físico das variáveis de estado estará na forma canônica controlável Para contornar este problema podese aplicar ao vetor de ganhos do sistema em sua representação no espaço de estados que preserva o significado físico das variáveis de estado ou uma outra representação qualquer uma transformação de similaridade que converta a representação original para a forma canônica controlável ou seja Kcanon KT Multiplicando a equação anterior por T1 pela direita temse K alpha0 a0 alpha1 a1 cdots alphan1 an1 T1 Vimos como encontrar uma matriz T específica para esta conversão na aula anterior Perceba a necessidade do sistema ser controlável para encontrar T1 é necessário encontrar a última linha da inversa da matriz de controlabilidade Se o sistema não é controlável então não é possível encontrar uma inversa para MC e consequentemente não há como determinar o vetor de ganhos K Este é um método mais adequado para se resolver computacionalmente porém ainda não é o mais indicado de se resolver via computador O método mais indicado para se resolver computacionalmente o problema da alocação de pólos é a Fórmula de Ackermann que se baseia no Teorema de CayleyHamilton que diz que uma matriz quadrada A deve satisfazer sua própria equação característica Ou seja dada uma matriz quadrada A e sua equação característica detλI A λn αn1λn1 α1λ α0 0 a seguinte equação deve ser válida An αn1An1 α1A α0I 0 Aplicandose o Teorema de CayleyHamilton diretamente à matriz de sistema em malha fechada A BK leva à fórmula de Ackermann K 0 0 1 MC1ΨA α onde MC é a matriz de controlabilidade e ΨA α é o polinômio matricial ou seja o polinômio de pólos a serem alocados avaliado em A ΨA α An αn1An1 α1A α0I Exemplo 82 Considere um sistema dinâmico LIT contínuo cuja uma representação no espaço de estados é x1t 0 0 1 x1t 0 ut x2t 1 1 0 x2t 0 ut x3t 6 0 5 x3t 1 e yt 1 1 1 x1t x2t x3t 0 ut Considere que em malha fechada é desejado que o sistema tenha pólos em s12 2j4 e s3 10 Calcule o vetor de ganhos K via método matricial convencional transformação para forma canônica controlável e pela Fórmula de Ackermann Resolução Exemplo 82 Vamos começar pelo método matricial convencional Calculandose a equação característica do sistema em malha aberta detλI A 0 λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ 0 0 1 1 1 0 0 λ 0 1 1 λ 1 0 6 0 λ 5 0 λλ 1λ 5 1λ 16 0 λ3 6λ2 11λ 6 0 e desta forma temos a0 6 a1 11 e a2 6 Alocacao de Polos Resolucao Exemplo 82 O proximo passo e calcular a equacao caracterıstica do sistema em malha fechada polinˆomio de polos a serem alocados Sendo assim αs s s1s s2s s3 αs s 2 j4s 2 j4s 10 αs s 2 j4s 2 j4s 10 αs s2 4s 20s 10 αs s3 14s2 60s 200 e entao α0 200 α1 60 e α2 14 Em seguida devemos encontrar a matriz de transformacao linear na realidade a sua inversa que transforma para a forma canˆonica controlavel Comecando pela matriz de controlabilidade precisaremos de AB 0 0 1 1 1 0 6 0 5 0 0 1 1 0 5 A2B AAB 0 0 1 1 1 0 6 0 5 1 0 5 5 1 19 18 103 Então a matriz de controlabilidade será MC B AB A²B MC 0 1 5 0 0 1 1 5 19 Precisaremos também de qA e qA² Então qA 0 1 0 0 0 1 1 1 0 qA² qAA 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 Finalmente K α0 a0 α1 a1 α2 a2 T¹ K 200 6 60 11 14 6 0 1 0 1 1 0 1 1 1 Alocacao de Polos Resolucao Exemplo 82 Calculandose ΨA α teremos ΨA α A3 α2A2 α1A α0I ΨA α 0 0 1 1 1 0 6 0 5 3 14 0 0 1 1 1 0 6 0 5 2 60 0 0 1 1 1 0 6 0 5 200 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ΨA α 30 0 19 5 1 6 114 0 65 84 0 70 14 14 14 420 0 266 0 0 60 60 60 0 360 0 300 200 0 0 0 200 0 0 0 200 146 0 9 41 153 8 54 0 101 22 103 Resolução Exemplo 82 Então teremos K 0 0 1 Mc1 ψA α K 0 0 1 5 4 1 146 0 9 1 5 0 41 153 8 0 1 0 54 0 101 K 0 1 0 146 0 9 41 153 8 54 0 101 K 41 153 8 que é o mesmo resultado obtido por meio do método matricial convencional Uma vez que é necessário medir os estados para que se possa realimentálos é natural considerar o caso em que os sensores não são unitários Como estamos trabalhando com realimentação estática de estados vamos considerar que os sensores deverão ser modelados como um ganho dc Hk Para isso a banda passante dos sensores deve ser muito maior que a do sistema em malha fechada lembrar que a escolha dos sensores faz parte do projeto do sistema de controle Seja por exemplo o sensor que mede o estado xi O estado medido será xmedt Hk xit Pela realimentação estática de estados temos ut K1 xmedt Kn xmedt ut K1 Hk x1t Kn Hk xnt Desta forma fica claro que para que tenhamos a lei de controle original os ganhos de cada estado devem ser divididos pelo ganho dc do sensor correspondente a seu estado K K1Hk1 K2Hk2 KnHkn Alocacao de Polos Diagrama de blocos da alocacao de polos com sensor naounitario 25 103 Até então estávamos considerando no projeto de sistemas de controle via espaço de estados que o sistema era do tipo regulador ou seja sistemas nos quais por essência não há entrada de referência Veremos então como fazer o projeto de sistemas do tipo servomecanismo sistemas com entrada de referência cujo objetivo é fazer com que a saída rastreie um sinal desejado a entrada de referência Inicialmente veremos o projeto via realimentação total de estados e na sequência sistemas com observadores de estado Naturalmente precisamos incluir a entrada de referência rt na lei de controle por realimentação de estados e a maneira mais simples de se fazer isso é através de ut K1 x1t K2 x2t Kn xnt Kr rt ut K1 K2 Kn x1t x2t Kr rt ut K xt Kr rt onde Kr ℝ é um escalar que veremos como designar posteriormente Sistemas Rastreadores Diagrama de blocos geral de um sistema de controle via realimentacao total de estados com entrada de referˆencia 27 103 Sistemas Rastreadores Conectando a lei de controle ao sistema teremos xt Axt B Kxt Krrt xt Axt BKxt BKrrt xt A BK xt BKrrt Vemos entao que os polos em malha fechada nao serao alterados pela inclusao da entrada de referˆencia em relacao ao visto para sistemas reguladores anteriormente Desta forma procedese o projeto via alocacao de polos normalmente para o calculo do vetor K restando determinar Kr Vamos determinar Kr de acordo com o requisito de resposta estacionaria Para isto aplicandose a Transformada de Laplace na equacao acima e tomandose condicoes iniciais nulas teremos sXs A BK Xs BKrRs Xs sI A BK1 BKrRs 28 103 Sistemas Rastreadores Pela equacao de saıda da planta sabese que Y s CXs logo a funcao de transferˆencia em malha fechada sera Y s Rs C sI A BK1 BKr Logo sabendose o sinal de entrada e possıvel calcular Kr de acordo com a amplitude desejada para o sinal de saıda em regime permanente yss lim s0 sY s lim s0 sC sI A BK1 BKrRs E comum fazer com que o ganho dc da malha seja unitario lim s0 Y s Rs 1 ou seja a saıda rastreia a entrada em regime permanente com perfeicao Isto equivale por exemplo fazer com que um degrau de amplitude 1 V na entrada de referˆencia r gere em regime permanente um sinal de saıda tambem do tipo degrau mas de amplitude 1 us assumindo que os polos em malha fechada foram alocados de maneira que o sistema seja assintoticamente estavel 29 103 Sistemas Rastreadores Isto equivale a lim s0 C sI A BK1 BKr 1 Kr 1 lim s0 C sI A BK1 B Logo primeiro calculase K de acordo com o desejado para a resposta transitoria e na sequˆencia calculase Kr de acordo com o desejado para a resposta estacionaria 30 103 Sistemas Rastreadores Exemplo 83 Considere o sistema de controle de posicionamento angular de um satelite do Exemplo 81 Dado os polos alocados calcule o valor de Kr do sistema servomecanismo de maneira que o ganho dc seja unitario 31 103 Resolução Exemplo 83 Do Exemplo 81 temos que o vetor de ganhos K é K 5 1 6 Para que o ganho dc do sistema em malha fechada seja unitário temse Kr 1 lim s0 C sI A BK1 B Então sI A BK s 0 0 1 0 K1 K2 sI A BK 0 0 0 0 Calculandose a inversa sI A BK1 s K1 ss K2 s K1 sK1s K2 1 Resolução Exemplo 83 E então C sI A BK1 B 1 0 0 1 1 C sI A BK1 B s K2 1 K1 s C sI A BK1 B s K2s K1 C sI A BK1 B s2 K2s K1 Finalmente temos então Kr 1 lim s0 1 s2 K2s K1 1K1 K1 5 Sistemas Rastreadores Resposta ao degrau unitario 1 V em rt 0 1 2 3 4 5 6 0 02 04 06 08 1 12 14 Tempo s Amplitude Referência Saída Vemos entao que o overshoot de 30 o tempo de acomodacao de 5 s e o ganho dc unitario foram atingidos 34 103 Vale a pena destacar um caso especial no qual uma das variáveis de estado é a própria saída Suponha sem perda de generalidade que a saída seja a variável de estado x1t ou seja yt x1t yt Cxt 1 0 0 xt x1t Quando isto ocorre podemos colocar a lei de controle diretamente em função do erro et rt yt como em um sistema de controle típico que conhecemos Para isto basta que Kr K1 ut K1x1t K2x2t Knxnt K1rt ut K1rt x1t K2x2t Knxnt ut K1rt yt K2x2t Knxnt ut K1et K1et K2x2t Knxnt Observe que este é o caso que ocorre no Exemplo 83 O procedimento obviamente não está limitado ao caso em que a saída é a variável x1t podendo ser qualquer uma delas tomandose o devido cuidado na generalização do procedimento Este é um procedimento adequado para ser aplicado na prática uma vez que em modelos que preservam o significado físico das variáveis de estado a saída geralmente será apenas uma delas Veremos agora o que ocorre com os zeros da malha fechada com a adição da entrada de referência Tomando o caso mais geral temse que ẋt A BKxt BKr rt yt Cxt O sistema anterior tem solução nãotrivial uma vez que Xs₀ e Rs₀ são nãonulos Isto significa que o determinante da matriz de coeficientes que é um polinômio em s₀ deve ser zero Logo as raízes do polinômio fornecem os zeros do sistema em malha fechada O procedimento anterior embora em teoria possa forçar com que a saída em regime permanente assuma qualquer valor e consequentemente zerar o erro em qualquer circunstância na prática não irá funcionar uma vez que o modelo exato da planta nunca é conhecido O erro só será nulo de acordo com o número de pólos na origem que a planta naturalmente possui Sistemas Rastreadores Diagrama de blocos geral de um sistema de controle via realimentacao total de estados com entrada de referˆencia e inclusao de integrador 39 103 A solução quando é desejado zerar o erro para um determinado tipo de entrada independente do modelo da planta é incluir integradores no ramo direto Anteriormente isto era feito utilizando controladores PI ou PID Utilizaremos estrutura semelhante e a lei de controle deverá ser adaptada para ut Kxt K₁ et Kxt K₁ ₀ᵗ rτ yτ dτ As equações de estado do sistema são dotxt Axt But dotet rt yt rt Cxt Ao se conectar a lei de controle o sistema em malha fechada será beginbmatrix dotxt dotet endbmatrix beginbmatrix A BK BK C 0 endbmatrix beginbmatrix xt et endbmatrix beginbmatrix 0 1 endbmatrix rt Exemplo 84 Considere o sistema de controle de velocidade de um servomotor O modelo no espaço de estados que preserva o significado físico das variáveis de estado é beginbmatrix dotx1t dotx2t endbmatrix beginbmatrix 4 4 1 2 endbmatrix beginbmatrix x1t x2t endbmatrix beginbmatrix 2 0 endbmatrix ut Sendo assim os pólos dominantes serão s12 zetaomegan pm jomegansqrt1 zeta2 s12 0 516915 477 pm j15 477sqrt1 0 51692 s12 8 pm j13 249 Os autovalores de A são lambda12 3 pm j1 7321 e prontamente vemos que o sistema não possui pólos na origem necessitando então da inclusão do integrador na malha para garantir o erro nulo em regime permanentemente para degrau Começando pelo cálculo da matriz de controlabilidade expandida MCi Bi Ai Bi Ai2 Bi 2 8 24 0 2 12 0 0 2 Sistemas Rastreadores Resposta ao degrau unitario Au 1 rads do sistema compensado do Exemplo 84 0 01 02 03 04 05 06 07 0 02 04 06 08 1 12 14 Velocidade Angular rads Tempo s Saida Referencia Vemos que o overshoot de 15 tempo de acomodacao de 0 5 s e erro nulo em regime para degrau foram atingidos 47 103 Sistemas Rastreadores Resposta das variaveis de estado ao degrau unitario Au 1 rads do sistema compensado do Exemplo 84 0 01 02 03 04 05 06 07 0 2 4 6 8 10 Amplitude das variaveis de estado Tempo s Corrente de Armadura A Velocidade Angular rads Observe a grande amplitude maxima da corrente de armadura que nao e a saıda do sistema quando comparada a seu valor em regime permanente 48 103 Observadores de Estado A realimentacao total de estados full state feedback da maneira como vimos pode sofrer problemas de implementacao pratica pois nem sempre e possıvel medir todos os estados do sistema seja por falta de interpretacao fısica dos estados e consequentemente inexistˆencia de sensores que mecam estes estados ou por ina cessibilidade da planta para posicionar os sensores Desta maneira fazse necessario lancar mao de algo que possa a partir das in formacoes conhecidas como o modelo da planta e os sinais de entrada e saıda estimar os estados da planta Tal sistema e conhecido como estimador de estados ou observador de estados Considere um sistema dinˆamico SISO LIT estritamente proprio representado atraves de um modelo no espaco de estados xt Axt But yt Cxt E desejado conectar a este sistema um observador de estados que produza uma estimativa ˆx dos estados reais da planta x a partir do modelo da planta matrizes de estado A B e C e da entrada u e saıda y da planta Note que os estados reais da planta x e principalmente as condicoes iniciais x0 sao desconhecidas 49 103 Observadores de Estado Diagrama de blocos geral Desta forma a equacao de estados geral do observador de estados devera ser da forma ˆxt Fˆxt Gyt Hut Sendo assim devemos de alguma maneira designar as matrizes F G e H de maneira que ˆx seja uma estimativa valida de x O metodo que vamos utilizar aqui consite em dizer que a funcao de transferˆencia da entrada u para um iesimo estado qualquer xi e igual a da entrada para a estimativa do iesimo estado ˆxi ou seja Xis Us ˆXis Us Claro que isto e feito para todos os estados ou seja a matriz de transferˆencia de Us para Xs devera ser igual de Us para ˆXs Xs Us ˆXs Us 50 103 Observadores de Estado Aplicandose a Transformada de Laplace na equacao de estados da planta fornece sXs x0 AXs BUs Uma vez que queremos a funcao matriz de transferˆencia por definicao x0 0 e logo isolandose Xs na equacao anterior teremos sXs AXs BUs Xs sI A1 BUs Aplicandose a Tranasformada de Laplace na equacao de estados do observador fornece s ˆXs ˆx0 FˆXs GY s HUs De maneira similar temse que ˆx0 0 e entao s ˆXs FˆXs GY s HUs ˆXs sI F1 GY s sI F1 HUs ˆXs sI F1 GY s HUs 51 103 Entretanto aplicandose a Transformada de Laplace na equação de saída da planta resulta em Ys CXs Substituindose este termo na última equação fornece Xs sl F1GCXs HUs Agora faremos algumas manipulações algébricas na equação anterior Vamos colocar sl A1 B em evidência sl A1 B sl F1GCsl A1 B sl F1 H Observadores de Estado A equacao anterior sera satisfeita se escolhermos H B e tivermos A F GC Desta forma escolhendose F A GC H B a equacao de estados do observador sera ˆxt A GC ˆxt But Gyt Veja que ha um parˆametro livre no projeto do observador de estados que e a matriz G a qual devera ser escolhida de forma a satisfazer algum criterio A equacao do observador tambem pode ser escrita como ˆxt Aˆxt But G yt Cˆxt 54 103 Resolução Exemplo 84 Calculandose então o polinômio matricial ΨiAi αi ΨiAi αi Ai3 α2Ai3 α1Ai α0I ΨiAi αi Ai3 56Ai3 880Ai 9600I Observadores de Estado Observadores de Estado Vamos definir o erro cometido pelo observador et xt ˆxt Derivando a equacao anterior teremos et xt ˆxt Substituindose as equacoes de estado da planta e do observador teremos et Axt But A GC ˆxt But Gyt et Axt Aˆxt GCˆxt Gyt Uma vez que yt Cxt temse et Axt Aˆxt GCˆxt GCxt et A GC xt A GC ˆxt et A GC xt ˆxt et A GC et Logo a dinˆamica do erro cometido pelo observador de estados e igual a propria dinˆamica do observador de estados 56 103 Observadores de Estado Resta definir agora um criterio para escolher G para o projeto do observador de estados Um criterio e fazer com que a dinˆamica do observador seja muito mais rapida que a do sistema Na pratica um bom criterio e fazer com que o observador seja de duas a quatro vezes mais rapido que o sistema Isto equivale a fazer com que os polos do observador tenham constante de tempo de duas a quatro vezes menor que a do sistema ou equivalentemente que o modulo da parte real dos polos seja duas a quatro vezes maior Considere o vetor de erros et Particularmente nao e conhecido o estado inicial da planta x0 e entao a condicao inicial e0 tambem nao e conhecida Resolvendo a equacao de estado do erro cometido pelo observador temse et eAGCte0 Desta forma fazer com que os polos do observador sejam estaveis ou seja estejam no SPE e rapidos faz sentido uma vez que qualquer que seja o estado inicial da planta x0 o erro das estimativas das variaveis de estado ira esvanecer rapida mente 57 103 Observadores de Estado Entretanto ha algumas limitacoes O modelo do sistema foi assumido exato ou seja as matrizes de estado A B e C foram assumidas igual a do sistema real Como na realidade nenhum modelo e capaz de descrever com perfeicao o comportamento real do sistema a equacao do erro e mais complexa que a mostrada Os disturbios que incidem sobre o sistema fısico foram ignorados Tomandose a representacao no espaco de estados mais elaborada teremos xt Axt But Bwwt yt Cxt vt onde wt e o vetor de sinais de disturbio que incidem sobre o processo e vt e o sinal de ruıdo de medicao sobre o sensor Desta forma a dinˆamica do erro sera dada por et A GC et Bwwt Gvt Logo os erros nao esvanecem com o passar do tempo mesmo que os erros de modelagem sejam ignorados 58 103 Observadores de Estado Considere a dinˆamica do observador de estados ˆxt A GC ˆxt But Gyt Suponha que seja desejado que o observador de estados possua o seguinte polinˆomio de polos αes sn αen1s αe1s αe0 que devera ser especificado de acordo com a dinˆamica do sistema Vemos entao que a matriz de sistema do observador e A GC Logo seus autova lores ou seja os polos em malha fechada serao det sI A GC Logo podemos escolher G de maneira que o observador de estados possua o po linˆomio de polos desejado det sI A GC sn αen1sn1 αen2sn2 αe1s αe0 Igualando os coeficientes em termos da potˆencia de s nos dois membros da equacao anterior gera um sistema linear de n equacoes e n incognitas os valores dos ganhos Gi 59 103 Observadores de Estado Ha contudo algumas limitacoes O procedimento gera um sistema linear de n equacoes linearmente indepen dentes se e somente se o sistema for observavel Ou seja caso o sistema seja observavel entao o procedimento e determinado e os polos do observador podem ser alocados arbitrariamente em qualquer lugar do plano complexo Se o sistema nao e observavel isto implica que ao menos uma equacao do sis tema linear e linearmente dependente de outra e desta forma nao ha solucao para o problema Isto implica que a dinˆamica do erro referente aos modos observaveis podera ser alterada de acordo com o desejado mas a dinˆamica referente aos modos naoobservaveis sera igual a destes modos do sistema em malha aberta Embora em teoria os polos do observador possam ser alocados arbitrariamente caso o sistema seja observavel ao se tentar alocar os polos muito distantes a esquerda do eixo imaginario ou seja polos com constante de tempo muito pequena os ganhos Gi tendem a aumentar vertiginosamente e entao os ruıdos de medicao tendem a ser fortemente acoplados na dinˆamica do erro Logo nao se deve alocar os polos do observador excessivamente mais rapidos do que o necessario Os ganhos do observador de estados tambem nao devem ser necessariamente positivos 60 103 Exemplo 85 Considere um determinado sistema dinâmico LIT contínuo cujo um possível modelo no espaço de estados é x₁t 0 13 x₁t 13 ut x₂t 1 4 x₂t yt 0 1 x₁t x₂t Construa um observador de estados que seja 4 vezes mais rápido que o sistema para estimar as variáveis de estado do sistema Resolução Exemplo 85 Inicialmente vamos encontrar as raízes características deste sistema por meio dos autovalores de A Sendo assim detλI A 0 λ 0 0 λ 0 13 1 4 0 λ 1 λ 4 0 cujas raízes são λ₁₂ 2 j3 Desta forma de modo que o observador seja quatro vezes mais rápido que o próprio sistema é necessário que a constante de tempo do observador seja quatro vezes menor ou de maneira equivalente que a parte real dos polos do observador estejam quatro vezes à esquerda que os polos do sistema Os polos do observador poderiam ter sem prejuízo parte imaginária porém para efeito de simplicidade vamos considerar que os polos são reais e iguais pois para a velocidade da resposta é a parte real que importa Sendo assim s₁₂ s s₁s s₂ s² 16s 64 Agora iremos calcular detslAGC Como temos dois estados a serem estimados então o vetor de ganhos G do observador é G G1 G2 então Então finalmente pela definição da alocação de polos do observador de estados detslAGC αes s² G2 4s G1 13 s² 16s 64 o que imediatamente nos dá G1 51 e G2 12 Calculandose A GC 0 13 51 12 0 1 0 64 1 16 finalmente podemos escrever a equação de estados do observador de estados x1t x2t 0 64 x1t x2t 13 0 ut 51 12 yt Observadores de Estado Comparacao entre as variaveis de estado reais e estimadas e resposta do vetor de erros a uma entrada degrau unitario na planta e condicao inicial x10 1 e x20 1 0 05 1 15 2 25 10 0 10 Tempo s x1t 0 05 1 15 2 25 2 0 2 x2t Tempo s 0 05 1 15 2 25 5 0 5 Tempo s et Real Estimado Real Estimado e1t e2t 65 103 Considere que o sistema está representado na forma canônica observável x1t x2t 0 0 a0 x1t x2t 0 1 0 a1 xn1t xnt yt 0 0 1 O determinante de slAGC será s 0 0 a0 0 0 0 G1 1 s 0 a1 0 0 0 G2 0 0 s an2 0 0 0 Gn1 0 0 1 s an1 0 0 0 Gn Reescrevendo a última equação s 0 0 a0 G1 1 s 0 a1 G2 0 s an2 Gn1 0 0 1 s an1 Gn Que sempre irá resultar em s n an1 Gn s n1 a1 G2 s a0 G1 Igualando os coeficientes de si ao polinômio de pólos do observador de estados resulta em G1 αe0 a0 G2 αe1 a1 Gn αen1 an1 Observadores de Estado Logo se o sistema estiver na forma canˆonica observavel nao e necessario resolver o sistema linear para encontrar o vetor de ganhos G αe0 a0 αe1 a1 αen1 an1 O resultado anterior mostra que e possıvel determinar o vetor de ganhos do observa dor simplesmente por inspecao da funcao de transferˆencia da planta como ocorreu no Exemplo 85 Entretanto quase nunca o modelo no espaco de estados utilizado estara na forma canˆonica observavel Para contornar este problema podese aplicar ao vetor de ganhos do observador em sua representacao no espaco de estados original uma transformacao de similaridade que converta para a forma canˆonica observavel ou seja Gcanon T1G Multiplicando a equacao anterior por T pela esquerda temse G TGcanon 68 103 Observadores de Estado Reescrevendose a ultima equacao G T αe0 a0 αe1 a1 αen1 an1 Vimos como encontrar a matriz T especıfica para esta conversao na aula anterior Perceba a necessidade do sistema ser observavel para encontrar T e necessario encontrar a ultima coluna da inversa da matriz de observabilidade Se o sistema nao e observavel entao nao e possıvel encontrar uma inversa para MO e consequente mente nao ha como determinar o vetor de ganhos do observador G Este e um metodo mais adequado para se resolver computacionalmente porem ainda nao e o mais indicado de se resolver via computador 69 103 Observadores de Estado O metodo mais indicado para se resolver computacionalmente o problema do ob servador de estados tambem e a Formula de Ackermann Aplicandose o Teorema de CayleyHamilton diretamente a matriz de sistema do observador A GC leva a formula de Ackermann G ΨA αeMO 1 0 0 1 onde MO e a matriz de observabilidade e ΨA αe e o polinˆomio matricial de αes ou seja o polinˆomio αes avaliado na matriz A ΨA αe An αen1An1 αe1A αe0I 70 103 Exemplo 86 Considere um sistema dinâmico LIT contínuo no qual uma possível representação no espaço de estados é x1t 0 0 1 x1t 0 ut x2t 1 1 0 x2t 0 ut x3t 6 0 5 x3t 1 ut yt 1 1 1 x1t 0 x2t 0 x3t Considere que seja desejado projetar um observador de estados de forma que os três pólos do observador sejam s 6 Calcule o vetor de ganhos G via método matricial convencional transformação para forma canônica observável e pela Fórmula de Ackermann Resolução Exemplo 86 Vamos começar pelo método matricial convencional Calculandose a equação característica do sistema em malha aberta detλI A 0 λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 6 0 5 0 λ 0 1 1 λ 1 0 6 0 λ 5 λλ 1λ 5 1λ 16 0 λ3 6λ2 11λ 6 0 e desta forma temos a0 6 a1 11 e a2 6 O próximo passo é calcular a equação característica do desejada para o observador de estados polinômio de pólos a serem alocados do observador Sendo assim αes s s1s s2s s3 αes s 6s 6s 6 αs s 63 αs s3 18s2 108s 216 e então αe0 216 αe1 108 e αe2 18 Em seguida devemos encontrar a matriz de transformação linear que transforma para a forma canônica observável Começando pela matriz de observabilidade preciseramos de CA 1 1 1 0 0 1 0 0 1 5 1 4 CA2 CAA 5 1 4 0 0 1 1 1 0 0 5 23 1 15 Observadores de Estado Resolucao Exemplo 86 Entao a matriz de observabilidade sera MO C CA CA2 MO 1 1 1 5 1 4 23 1 15 Calculandose a sua inversa teremos MO 1 1 1 1 5 1 4 23 1 15 1 1 1 1 4 0 3 1 7 0 8 0 1 1 8 2 2 0 4 Para o calculo de T precisamos da ultima coluna de MO 1 Logo p 1 1 1 4 0 3 1 7 0 8 0 1 1 8 2 2 0 4 0 0 1 0 3 0 1 0 4 74 103 Precisaremos também de Ap e A2p Então Ap 0 0 1 0 3 1 1 0 04 6 0 5 0 4 A2p AAp 0 0 0 1 1 1 04 0 2 6 0 5 02 0 6 5 02 14 Então teremos T p Ap A2p 03 04 02 01 02 06 04 02 14 Observadores de Estado Resolucao Exemplo 86 Finalmente G T αe0 a0 αe1 a1 αe2 a2 G 0 3 0 4 0 2 0 1 0 2 0 6 0 4 0 2 1 4 216 6 108 11 18 6 G 26 6 33 2 47 8 e entao temos G1 26 6 G2 33 2 e G3 47 8 e temos neste caso um ganho de observador de estados que e negativo o que pode realmente ocorrer Pela Formula de Ackermann temse G ΨeA αeMO 1 0 0 1 e ja temos MO 1 e αes 76 103 Observadores de Estado Resolucao Exemplo 86 Calculandose ΨeA αe teremos ΨeA αe A3 αe2A2 αe1A αe0I ΨeA αe 0 0 1 1 1 0 6 0 5 3 18 0 0 1 1 1 0 6 0 5 2 108 0 0 1 1 1 0 6 0 5 216 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ΨeA αe 30 0 19 5 1 6 114 0 65 108 0 90 18 18 18 540 0 342 0 0 108 108 108 0 648 0 540 216 0 0 0 216 0 0 0 216 138 0 37 85 125 12 222 0 47 77 103 Observadores de Estado Resolucao Exemplo 86 Entao teremos G ΨeA αeMO 1 0 0 1 G 138 0 37 85 125 12 222 0 47 1 1 1 4 0 3 1 7 0 8 0 1 1 8 2 2 0 4 0 0 1 G 138 0 37 85 125 12 222 0 47 0 3 0 1 0 4 G 26 6 33 2 47 8 que e o mesmo resultado obtido por meio do metodo matricial convencional 78 103 Estabilizabilidade e Detectabilidade Definicao Estabilizabilidade Um sistema e dito estabilizavel se todos seus modos caracterısticos instaveis sao controlaveis Um sistema estavel e estabilizavel uma vez que nao ha modos instaveis Um sistema controlavel e estabilizavel uma vez que nao ha modos naocontrolaveis Um sistema sera naoestabilizavel se houver um ou mais modos instaveis que sejam naocontrolaveis nao excitados pela entrada 79 103 Estabilizabilidade e Detectabilidade Definicao Detectabilidade Um sistema e dito detectavel se todos seus modos caracterısticos instaveis sao observaveis Um sistema estavel e detectavel uma vez que nao ha modos instaveis Um sistema observavel e detectavel uma vez que nao ha modos nao observaveis Um sistema sera naodetectavel se houver um ou mais modos instaveis que sejam naodetectaveis nao aparecam na saıda 80 103 Caracterısticas da Malha Fechada Na pratica medir todos os estados para a realimentacao nao e possıvel por uma serie de motivos ja vistos e entao lancase mao do observador de estados Logo nao e feita a realimentacao dos estados medidos mas sim dos estados esti mados ou observados de acordo com a lei de controle ut Kˆxt 81 103 Caracterısticas da Malha Fechada A inclusao do observador de estados naturalmente ira aumentar a ordem do sistema uma vez que e incluıdo um novo sistema de ordem n na malha Logo a malha fechada sera de ordem 2n Mas o que ocorre com os polos do sistema em malha fechada Vamos comecar observando a planta A equacao de estado conectandose a lei de controle por realimentacao de estados observados e xt Axt But xt Axt BKˆxt Ja o observador de estados ˆxt A GC ˆxt But Gyt ˆxt A GC ˆxt BKˆxt Gyt ˆxt A BK GC ˆxt Gyt ˆxt A BK GC ˆxt GCxt 82 103 Empilhando as variáveis de estado da malha fechada composta por xt e xt teremos xt A BK xt G C A BK GC xt Os autovalores de Af1 A BK GC A BK GC irão fornecer os pólos em malha fechada Entretanto a matriz de malha fechada anterior não evidencia algo particular que ocorre Vamos considerar ao invés das variáveis de estado estimadas a equação do erro cometido pelo observador et A GCet Sabemos que et xt xt Logo xt Axt BKxt et xt A BKxt BKet Características da Malha Fechada Empilhando novamente as variáveis de estado da planta e o erro cometido pelo observador xt et A BK BK xt 0 A GC et Isto não configura um problema pois podese imaginar que o vetor de estados da malha fechada xTt eTt é resultado de uma transformação de similaridade aplicada no vetor de estados xTt xTt Sendo assim os pólos em malha fechada também podem ser determinados pelos autovalores de Af2 A BK BK 0 A GC Logo detsl Af2 sl 0 0 sl A BK BK 0 A GC Características da Malha Fechada Reescrevendo a última expressão teremos detsl Af2 sl A BK BK 0 sl A GC Uma expressão útil para cálculo de determinantes de matrizes particionadas diz que D E GD EG¹F DG FD¹E dado que as inversas existem Esta regra deriva do Complemento de Schur Logo utilizandose a regra acima temse que detsl Af2 sl A BKsl A GC A equação acima é conhecida como Princípio da Separação e nos diz que os pólos da malha fechada são compostos pelos pólos da alocação mais os pólos do observador sendo que os pólos do observador não interferem nos da alocação Logo podese dividir o projeto em dois primeiro calculase o vetor de ganhos da alocação K como se realimentação total de estados fosse utilizada Em seguida calculase o vetor de ganhos G do observador de estados preferencialmente de modo que os pólos da alocação sejam dominantes Caracterısticas da Malha Fechada Vamos considerar novamente a equacao de estados do observador com realimentacao dos estados estimados ˆxt A BK GC ˆxt Gyt A lei de controle por realimentacao de estados estimados e ut Kˆxt Vemos entao que para o observador a sua entrada e a saıda da planta e sua saıda e a entrada da planta Isto se assemelha a um controlador em um sistema de controle sem entrada de referˆencia 86 103 Caracterısticas da Malha Fechada Logo ao se utilizar um observador de estados em conjunto com a realimentacao de estados estimados dase o nome de controladorestimador O modelo geral no espaco de estados do controladorestimador e ˆxt A BK GC ˆxt Gyt ut Kˆxt e consequentemente sua funcao de transferˆencia sera GC s Y s Us K sI A BK GC1 G Observe que o numero de polos do controlador sera sempre igual ao numero de polos da planta Por este motivo este controlador tambem e conhecido como controlador de ordem completa e difere de controladores PID e AvancoAtraso de Fase que possuem estrutura fixa Observe tambem que o sinal negativo da equacao de saıda do controlador aparece no subtrator na malha Esta e a maneira mais comum de se implementar na pratica tais sistemas 87 103 Caracterısticas da Malha Fechada Exemplo 87 Considere o sistema de controle de posicionamento angular de um satelite do Exemplo 81 Dado os polos alocados faca o projeto de um observador de estados de ordem plena quatro vezes mais rapido que os polos da alocacao e determine a funcao de transferˆencia e o modelo em variaveis de estado do controladorestimador controlador de ordem completa e os polos do sistema em malha fechada 88 103 Características da Malha Fechada Resolução Exemplo 87 Do Exemplo 81 as matrizes de estado são A 0 1 B 0 0 0 C 1 0 D 0 os pólos definidos para a alocação são s12 08 j20872 e o vetor de ganhos da alocação de pólos é K 5 16 Como é desejado que os pólos do observador sejam quatro vezes mais rápidos que os da alocação eles deve ser 4 vezes mais afastados do eixojω no plano complexos Fazendoos reais e iguais teremos se1 se2 4Reals1 32 e então o polinômio característico desejado para o observador é αes s se1s se2 s² 64s 1024 Calculandose então detsl A GC detsl A GC 0 1 0 0 G1 1 0 0 0 G2 detsl A GC detsl A GC s G1 G2 detsl A GC s² G1s G2 Logo pela definição detsl A GC α es s² G1s G2 s² 6 4s 10 24 e logo G1 6 4 e G2 10 24 Portanto G 6 4 10 24 A função de transferência do controladorestimador é GCs Ksl A BK GC¹G Calculandose então A BK GC A BK GC 0 1 0 0 5 1 6 6 4 1 0 10 24 A BK GC A BK GC 0 1 0 0 5 1 6 6 4 0 0 10 24 A BK GC 6 4 1 15 24 1 6 Calculandose então sl A BK GC sl A BK GC s 0 6 4 1 0 s 15 24 1 sl A BK GC s 6 4 1 15 24 s 1 6 Resolução Exemplo 87 O modelo em variáveis de estado do controladorestimador é Características da Malha Fechada Caracterısticas da Malha Fechada De maneira mais geral para o projeto de servossistemas com entrada de referˆencia e realimentacao de estados estimados temse ˆxt A GC ˆxt But Gyt Mrt ut Kˆxt Krrt onde rt e a entrada de referˆencia A matriz M e o escalar Kr podem ser designados sob diversas perspectivas como assegurar os zeros em malha fechada rastrear o sinal de referˆencia entre outros Aqui iremos designalos de maneira a simplificar o projeto e tambem conseguirmos obter a funcao de transferˆencia de um controlador de ordem completa controlador estimador Sendo assim fazemos M G e Kr 0 Sendo assim ut Kˆxt e entao ˆxt A GC ˆxt BKˆxt Gyt Grt ˆxt A BK GC ˆxt Grt yt 96 103 Caracterısticas da Malha Fechada Portanto a funcao de transferˆencia do controladorestimador e Us Rs Y s K sI A BK GC1 G Us Rs Y s K sI A BK GC1 G ou seja igual a funcao do controladorestimador sem a entrada de referˆencia A malha de controle entao e a ja tradicionalmente usada 97 103 Caracterısticas da Malha Fechada Desta forma o projeto e feito da mesma forma projetar pela alocacao de polos projeto de K de forma que dois polos sejam dominantes e se necessario outros distantes dos dominantes e tambem pelo observador projeto de G polos distantes dos dominantes Desta forma podemos assegurar a localizacao de todos os polos em malha fechada assim como e feito sem o observador porem sem a necessidade de medir todas as variaveis de estado sendo apenas a saıda necessario medir Devese atentar para o fato que o controladorestimador pode inserir zeros no sistema em malha aberta Como os zeros da malha fechada sao iguais aos zeros da malha aberta estes zeros com origem no controladorestimador podem afetar a resposta transitoria desejada se nao estiverem suficientemente distantes a esquerda dos polos dominantes desejados Observe que no Exemplo 87 o controladorestimador insere um zero no sistema em 48 384s 51 2 0 s 1 0582 e os polos dominantes da malha fechada sao s12 0 8 j2 0872 Entao supoe se que este zero ira afetar de certa forma o desempenho da resposta transitoria do sistema em malha fechada Infelizmente com este procedimento nao e possıvel escolher a localizacao dos zeros em malha fechada 98 103 Caracterısticas da Malha Fechada Resposta ao degrau unitario do sistema de posicionamento angular do satelite Exemplo 87 Projeto via controladorestimador e Exemplo 83 Projeto via Realimentacao Total de Estados 0 2 4 6 8 10 0 05 1 15 2 t s Amplitude rad Com controladorestimador Real Total de Estados Conforme esperado o zero inserido pelo controladorestimador proximo aos polos do minantes e nao suficientemente afastado a esquerda no planos tende a aumentar o overshoot diminuir o tempo de subida e manter inalterado o tempo de acomodacao 99 103 Caracterısticas da Malha Fechada Conforme vimos nos casos em que a planta nao possui polos na origem uma expansao com integradores e desejado de forma a aumentar o Tipo do sistema e garantir o erro nulo em regime permanente Entretanto conforme vimos a expansao utilizada gera sempre um sistema naoobservavel e desta forma nao e utilizavel em projetos que envolvam o observador de estados Sendo assim seria desejavel uma alternativa para a expansao com integradores que seja possıvel de ser utilizada com observadores de estado com a abordagem de controladorestimador Considere a malha abaixo As equacoes da planta sao xt Axt But yt Cxt Dut Ja no integrador ut ut 100 103 Características da Malha Fechada Desta forma considerandose que a entrada da planta é uma nova variável de estado o que claramente ocorre visto que há um integrador imediatamente antes de ut lembrese dos diagramas de simulação e combinandose as equações da planta e do integrador teremos xt ut A B 01n 0 xt ut 0n1 1 ut yt C D xt ut 0 ut Logo as matrizes de estado do sistema expandido com o integrador serão Ai A B Bi 0n1 0 Ci C D Di 0 Caracterısticas da Malha Fechada Observe que conforme vimos o sistema nao sera controlavel e observavel se houver um cancelamento de polos e zeros na funcao de transferˆencia Sendo assim se a planta e controlavel e observavel ou seja o par A B e controlavel e o par A C e observavel o sistema expandido so nao sera controlavel eou observavel se a planta possuir um zero na origem que cancela com o polo na origem do integrador A planta possuir um zero na origem e muito raro em sistemas reais Mesmo assim convem checar a controlabilidade e observabilidade do sistema expandido Sendo assim procedese o projeto da alocacao de polos e do observador de estados tomando como base o sistema expandido matrizes Ai BiCi Di e depois obtemse a funcao de transferˆencia do controladorestimador GCis Ki sI Ai BiKi GiCi1 Gi E comum incluirmos o integrador inserido na funcao de transferˆencia do controlador A malha de controle fica entao 102 103 Características da Malha Fechada Observe que uma vez que a planta é de ordem n e a expansão com integrador aumenta a ordem em 1 então a planta expandida é de ordem n 1 Sendo assim o controladorestimador GCis é de ordem n 1 então todo o sistema será de ordem 2n 2 ou seja a inclusão do integrador juntamente com o controladorestimador aumenta a ordem em n 2 A inclusão do integrador no controlador faz com que GCs seja de ordem n 2 Uma possível representação em variáveis de estado do controlador com o integrador incluso é xt ut Ai BiKi GiCi 0n11 xt ut Gi rt yt ut 01n1 1 xt ut 0 rt yt É possível provar via Complemento de Schur a partir do modelo em variáveis de estado do controlador que a função de transferência é Us Rs Y s 1 s KiI Ai BiKi GiCi1Gi conforme esperado por meio da análise do diagrama de blocos anterior