Análise de Sistemas Dinâmicos: Transformada de Laplace e Função de Transferência

Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Aula 2 Sistemas Dinˆamicos I ECA602 Sistemas de Controle Prof Fernando Henrique UNIFEI Universidade Federal de Itajuba Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 1 27 Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Sistemas dinˆamicos Sistema dinˆamico linear e invariante no tempo Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 2 27 Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Sistemas dinˆamicos Sistema dinˆamico linear e invariante no tempo Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 2 27 Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Sistemas dinˆamicos Sistema dinˆamico linear e invariante no tempo u1t y1t u2t y2t au1t bu2t ay1t by2t Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 2 27 Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Sistemas dinˆamicos Sistema dinˆamico linear e invariante no tempo ut yt ut T yt T Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 2 27 Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Representacoes de sistemas A ferramenta utilizada para representar sistemas dinˆamicos em tempo contınuo sao as equacoes diferenciais a2yt a1 yt a0yt b1 ut b0ut a1 yt a0y2t b0ut a1 yt a0tyt b0ut Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 3 27 Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Representacoes de sistemas Exemplo excitacao de motor CC Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 4 27 Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Representacoes de sistemas Relacao entre tensao e corrente Rit Ldit dt vt Relacao entre corrente e fluxo ϕt Kit Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 5 27 Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Representacoes de sistemas Sistemas mecˆanicos M xt B xt Kxt ft Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 6 27 Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Representacoes de sistemas Sistemas termicos C θt θt R qt τ θat R Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 7 27 Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Representacoes de sistemas Sistemas de nıvel escoamento laminar Aht ht R qt Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 8 27 Semel rll reer ICTol got t Lexe 1 Andlise Transformada de Laplace Funcdo de transferéncia No OR oNoAAN ALO SMO LMCI RATES Sistemas de nivel escoamento turbulento qt ht A R ast At Ait HO an R Sistemas dinamicos NXT cota eLeOLo1 Andlise Transformada de Laplace Funcdo de transferéncia No OR oNoAAN ALO SMO LMCI RATES e O comportamento de um sistema ndo linear pode ser razoavel mente bem representado por uma aproximacao linear em torno de determinado ponto de operacao Para isso podese fazer uso da expansdo em séries de Taylor af 1ldf a Fl fa u2 5 a2 w 2 L Lx t Lz Truncando a série para uma expansao linear df fefa FZ w2 v Lx df f da v w Lz Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Representacoes de sistemas Sistemas de nıvel escoamento turbulento Aˆht 1 2 hR ˆht ˆqt Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 11 27 Sistemas dinamicos Representacdes Analise Transformada de Laplace Funcdo de transferéncia Analise de sistemas e A resposta de um sistema linear e invariante no tempo pode ser obtida com base na soma de duas componentes Resposta Respostade Resposta de total entrada nula estado nulo s S SS condiées iniciais sinal de entrada SY emia laaliaey Representacdes Anilise Transformada de Laplace Funcdo de transferéncia ANAL omeLSMSTsiRs aaFels e Resposta de entrada nula solugdo da EDO homogénea e Resposta de estado nulo convoluao da resposta ao impulso do sistema com o sinal de entrada n rit yt ce ut gt i1 resposta total SS estado nulo entrada nula Transformada de Laplace Transformada de Laplace e A transformada de Laplace é uma conversdo de dominio que pode ser utilizada como ferramenta para a analise de sistemas dindmicos lineares e invariantes no tempo Transformada de Laplace CO LIfe Fs fo fleet ed A variavel s é a frequéncia complexa Saotjw Sistemas dindmicos Nolet pl Lexa Andlise Transformada de Laplace Funcdo de transferéncia Transformada de Laplace e Exemplo Transformada de Laplace de ft Aeudt onde ugt 6 a fundo degrau unitario 1 t0 uqt at 0 t0 ut ft 1 A 0 t 0 t Sistemas dindmicos Nolet pl Lexa Andlise Transformada de Laplace Funcdo de transferéncia Transformada de Laplace CO Fs ftenal 0 CO Ae ugte dt 0 CO Ae e dt 0 co a e Stat dt 0 CO eer Sa 0 A sta Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Transformada de Laplace ft Fs δt 1 udt 1 s t 1 s2 eat 1 s a senωt ω s2 ω2 cosωt s s2 ω2 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 17 27 Transformada de Laplace Transformada de Laplace AntiTransformada de Laplace 1 ojoo ft LP sf Flsetas 27j oJjoo e Alternativa para obtencdo da transformada inversa expansao em fracdes parciais e Conversdo da funcdo em uma soma de termos mais simples cujas transformadas podem ser encontradas na tabela e O formato geral da funcdo é dado por uma razdo entre po lindmios Ns 8 Fs Ds em que a ordem de Ns deve ser menor do que a ordem de Ds Sistemas dindmicos Nolet pl Lexa Andlise Transformada de Laplace Funcdo de transferéncia Transformada de Laplace e Exemplo s3 s3 k k Fs s3s42 s1s2 s1 542 e Calculo de ky s 3 143 k ss 2 N as 0 1 1 2 e Calculo de ko s 3 243 k SEES Gaon TS tag 241 Sistemas dindmicos Nolet pl Lexa Andlise Transformada de Laplace Funcdo de transferéncia Transformada de Laplace 2 1 Fs s stl s42 1 1 t 2 1 MO s2 Da tabela de transformadas ft 2e e Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Transformada de Laplace Linearidade Lkft kFs Lf1t f2t F1s F2s Deslocamento em frequˆencia Leatft Fs a Deslocamento no tempo Lft T esT Fs Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 21 27 Teorema da derivaao c TD sr 70 dt d ft FP F sf0 FO d ft n nok pk1 0 fA sFs 5 s f0 k1 Teorema da integracao t F L frar Fs 0 Ss Teorema do valor inicial lim ft Jim sFs Teorema do valor final li eo Convoluao t L fit rfalrar L fit fot FsFos 0 Funcdo de transferéncia Funcao de transferéncia e A fungao de transferéncia Gs de um sistema dinadmico li near e invariante no tempo é definida como a transformada de Laplace de sua resposta ao impulso unitdrio gt para condides iniciais nulas Funao de Transferéncia CO Gs gteat 0 J Pode ser obtida diretamente da equacao diferencial aplicando se propriedades da transformada de Laplace Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Funcao de transferˆencia dnyt dtn an1 dn1yt dtn1 a1 dyt dt a0yt bm dmut dtm bm1 dm1ut dtm1 b1 dut dt b0ut Aplicando a transformada de Laplace e utilizando a propriedade da diferenciacao a ambos os lados da equacao snY san1sn1Y s a1sY sa0Y s termos de condicoes iniciais envolvendo yt bmsmUsbm1sm1Us b0Us termos de condicoes iniciais envolvendo ut Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 25 27 Sistemas dinamicos Representacdes Analise Transformada de Laplace Funcdo de transferéncia Funcao de transferéncia e Considerando as condicées iniciais nulas sY s an1s Ys a sYs ags bmsUs bm1s Us b1sUs boUs s dy18 1 tays ao Ys Oms bm1s tb Hee bys bo Us Ys bs bm1s bis bo Gs e Us s Anis 1 4a18 a9 Sistemas dinˆamicos Representacoes Analise Transformada de Laplace Funcao de transferˆencia Funcao de transferˆencia Seja o sistema modelado pela equacao diferencial yt 3 yt 2yt ut ut Sua funcao de transferˆencia e dada por Gs Y s Us s 1 s2 3s 2 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 27 27