Fundamentos de Sistemas de Controle em Malha Fechada - Aula 01

ECA602 Sistemas de Controle Universidade Federal de Itajuba Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologia da Informacao Aula 01 Fundamentos de Sistemas de Controle em Malha Fechada Prof Caio Fernandes de Paula caiofernandesunifeiedubr 2 Semestre de 2023 1 92 Introducao O que e um sistema de controle Um sistema de controle e uma interconexao de outros sistemas ou melhor subsistemas de forma a alterar as caracterısticas ou comportamento de um determinado sistema Quais caracterısticas Estabilidade Sensibilidade Rejeicao de Disturbio Erro em Regime Permanente Resposta Transitoria Como Manual com a interferˆencia de um operador Automatico sem a interferˆencia de um operador 2 92 Introducao Discutiremos certas caracterısticas que sistemas de controle em malha fechada devem possuir Embora outros sistemas de controle possam possuir outras caracterısticas as mais gerais sao Estabilidade desejase que o sistema de controle responda de maneira controlada quando excitado por entradas ou condicoes iniciais Um sistema que nao e estavel e na pratica inutil Sensibilidade como nenhum modelo de qualquer sistema fısico disponıvel e exato e de sejado saber como o sistema de comporta em face de variacoes de parˆametros conhecidas acerca do modelo Desejase portanto que o sistema de controle seja insensıvel a tais variacoes Disturbio qualquer sistema fısico possui entradas indesejadas que tendem a perturbar a sua resposta Tais entradas sao conhecidas como disturbios e e desejado que o sistema os rejeitem quando ocorrem Erro em Regime Permanente quando comandamos um sistema de controle com uma determinada entrada de referˆencia e possıvel que a saıda nao seja exatamente igual a essa entrada em regime permanente Esta diferenca e conhecida como erro em regime permanente Resposta Transitoria sabemos que a resposta apresentada pelo sistema que independe da entrada e conhecida como resposta natural Se o sistema e estavel chamamos esta resposta entao de transiente ou transitoria Em muitos casos e desejado mudar tambem esta resposta 3 92 Sistema de Controle em Malha Aberta e Fechada Em um sistema de controle definimos como planta como a parte do sistema que precisa ser controlada Neste sentido ha duas variaveis de suma importˆanca que estao relacionadas a planta a variavel de processo e a variavel manipulada A variavel de processo ou por vezes chamada de variavel controlada e o sinal que carrega a informacao do que e desejado controlar eou modificar no sistema Alguns exemplos a temperatura em uma cˆamara termica o nıvel de fluıdo num reservatorio a velocidade de um motor a altitude de vˆoo de uma aeronave o pH de uma solucao quımica o preco de um produto a populacao de um ecossistema entre outros muitos e incontaveis exemplos A variavel manipulada e o sinal que e utilizado pelo projetista ou operador para alterar a variavel de processo para o comportamento desejado Em um controle manual pode assumir diversas formas mas em um controle automatico e um geral um sinal eletrico ou seja tensao ou corrente eletrica Ha ainda a variavel de disturbio que e um sinal que tende a alterar a variavel de processo mas que o projetista ou operador nao possui acao ou controle algum 4 92 Sistema de Controle em Malha Aberta e Fechada No controle manual a decisao sobre o valor da variavel manipulada cabe unica e exclusivamente ao operador enquanto que no controle automatico a decisao sobre a variavel manipulada e feita de forma sem interferˆencia do operador mas em esquema que e previamente determinado por um projetista A variavel manipulada um sinal eletrico em geral de baixa potˆencia e por vezes insuficiente ou fisicamente incompatıvel com o processo sendo controlado Sendo assim o sistema que faz a interface entre a variavel manipulada e o processo e chamado de atuador Em geral consideremos o atuador como parte da planta Os atuadores podem ser componentes como amplificadores de potˆencia motores eletricos valvulas solenoides bombas de vazao entre diversos outros exemplos ou ate mesmo um conjunto destes Observe que os atuadores podem ter suas proprias dinˆamicas que devem ser consideradas na planta 5 92 Sistema de Controle em Malha Aberta e Fechada Em um sistema de controle automatico ha um sistema central na sua concepcao o controlador ou compensador Este sistema e responsavel por processar uma informacao sobre as caracterısticas do sistema para produzir a variavel manipulada Chamase entao de acao de controle esta tomada de decisao Desta forma daqui por diante iremos utilizar o termo sinal de controle para a variavel manipulada e simplesmente saıda pra variavel de processo No controle em malha aberta nenhuma informacao da variavel de processo e utilizada na acao de controle Temos entao o seguinte diagrama de blocos de um sistema de controle em malha aberta com os sinais tomados em suas respectivas Transformadas de Laplace e os sistemas em suas Funcoes de Transferˆencia GPs e a funcao de transferˆencia da planta GC s e a funcao de transferˆencia do controlador Rs e a transformada de Laplace do sinal de entrada de referˆencia paradigma desejado Y s e a transformada de Laplace do sinal de saıda da planta variavel de processo Us e a transformada de Laplace do sinal de controle para a planta variavel mani pulada 6 92 Sistema de Controle em Malha Aberta e Fechada Temos entao que Y s GPsGC sRs Intuitivamente poderıamos entao projetar o controlador como o inverso da planta ou seja GC s G 1 P s e entao Y s GPsG 1 P sRs Y s Rs e entao terıamos o controle perfeito a saıda segue a referˆencia instantaneamente sem erro Obviamente ha uma serie de problemas nisso e no controle em malha aberta em geral Disturbios a planta tem alem do sinal de controle o sinal de disturbio que incide sobre a saıda por meio de uma dinˆamica GDs Logo Y s GPsUs GDsDs e entao Y s Rs GDsDs ou seja o disturbio incide de maneira implacavel e irrestrita na saıda Incerteza acerca do modelo da planta e impossıvel obter um modelo exato da planta entao o cancelamento entre polos e zeros entre planta e controlador e inviavel Mesmo que fosse possıvel obter o modelo exato da planta se esta e instavel ou seja possui polos no SPD terıamos um cancelamento entre polos e zeros no SPD entre planta e controlador o que e inadmissıvel Ordem do controlador sistemas reais possuem mais polos que zeros Ao se fazer GC s G 1 P s o controlador tera mais zeros que polos o que impossibilita sua implementacao fısica 7 92 Sistema de Controle em Malha Aberta e Fechada Um sistema de controle em malha fechada utilizase da medida da saıda para ajustar a proxima acao sobre o processo em um conceito denominado realimentacao negativa Uma informacao de erro e gerada ao se comparar uma dada referˆencia paradigma a ser atingido com a saıda da planta de processo medida atraves do sensor O erro e processado pelo controlador ou compen sador que por sua vez sera o responsavel por atuar sobre a planta por meio da geracao de um sinal de controle variavel manipulada de forma a atingir a resposta desejada 8 92 Sistema de Controle em Malha Aberta e Fechada Assim e possıvel modificar o comportamento em malha fechada de um sistema dinˆamico linear e invariante no tempo manipulando as funcoes de transferˆencia dos blocos no caso principalmente o controlador Hs e a Funcao de Transferˆencia do sensor Funcao de transferˆencia em malha fechada Y s Rs Ts GCsGPs 1 GCsGPsHs GCsGPs e conhecida como funcao de transferˆencia do ramo direto e GCsGPsHs e conhecida como funcao de transferˆencia da malha aberta 9 92 Sistema de Controle em Malha Aberta e Fechada O erro na realidade e melhor definido como sendo a diferenca entre a entrada de referˆencia Rus o paradigma que se deseja para a saıda na mesma unidade da saıda e a saıda do sistema a ser controlado Es Rus Y s Observe que a menos que Hs 1 o erro nao e um sinal interno a malha Quando Hs 1 temse o que chamamos de realimentacao unitaria O diagrama de blocos de um sistema com realimentacao unitaria e o seguinte 10 92 Sistema de Controle em Malha Aberta e Fechada O sensor e o sistema responsavel por traduzir a informacao acerca da saıda da planta em um sinal eletrico uma vez que implementamos malhas de controle com componentes eletrˆonicos sejam analogicos ou digitais Logo a unidade da funcao de transferˆencia do sensor e sempre unidade eletrica unidade da saıda da planta Temos sensores dos mais variados tipos como os de temperatura termopar ter morresistˆencia pirˆometros etc de nıvel regua resistiva ultrassˆonico capaci tivo etc de pressao pressostato etc de posicao angular encoder servopo tenciˆometro etc velocidade angular tacˆometro etc deslocamento e velocidade angular LVDT etc tensao voltımetro TP etc corrente amperımetro TC etc entre muitos outros Sensores podem possuir uma dinˆamica propria ou seja a saıda do sensor unidade eletrica em funcao da entrada do sensor unidade da saıda da planta e regida por uma equacao diferencial Logo podemos obter uma funcao de transferˆencia Hs do sensor Na grande maioria das vezes escolhemos o sensor de forma que sua largura de banda seja muito maior que a largura de banda da planta Em outras palavras escolhemos sensores que respondem muito mais rapido a resposta transiente desaparece muito mais rapidamente que a planta Sendo assim desprezamos o transitorio do sensor e consideramos apenas o seu ganho dc Hk dado por Hk lim s0 Hs 11 92 Sistema de Controle em Malha Aberta e Fechada Como veremos adiante no curso e sempre mais simples de se trabalhar com reali mentacao unitaria pois isto simplifica bastante a analise e projeto de sistemas de controle Desta maneira quando o sensor pode ser modelado por um ganho dc Hk e possıvel converter um sistema de controle com realimentacao naounitaria em um com realimentacao unitaria da seguinte forma E facil notar que para ambos os diagramas de blocos anteriores a funcao de trans ferˆencia em malha fechada Ts e dada por Ts GCsGPs 1 GCsGPsHk 12 92 Controladores Basicos e Acoes de Controle O controlador ou compensador representa um papel importante em uma malha de controle pois e o responsavel por processar uma in formacao a respeito da planta no caso o erro proveniente entre a referˆencia desejada o paradigma e a saıda medida e gerar uma acao de controle capaz de corrigir ou aprimorar o desempenho da planta Existem basicamente duas classes ou estruturas de controladores am plamente utilizados o controlador PID e suas variantes e o contro lador Avanco de FaseAtraso de Fase Phase LeadPhase Lag 13 92 Controlador P O controlador P ou controlador proporcional e o controlador mais simples encontrado A acao de controle u denominada entao acao de controle proporcional e dada por ut KPet onde KP e conhecido como ganho proporcional No domınio de Laplace temse que Us KPEs Us Es GCs KP A utilizacao deste controlador e bastante limitada uma vez que ele e um controlador estatico 14 92 Controlador P Us Es R4 R3 R2 R1 KP R2R4 R1R3 15 92 O controlador I ou controlador integral é na realidade um integrador puro ideal A ação de controle u denominada então ação de controle integral é dada por ut Ki t 0 eτdτ onde Ki é conhecido como ganho integral No domínio de Laplace temse que Us K I s Es Us Es G Cs K I s Controlador I Us Es R4 R3 1 R1C2s KI R4 R1R3C2 17 92 Controlador I O integrador puro nao deve ser implementado fisicamente desta maneira uma vez que para baixas frequˆencias a acao de controle tende ao infinito saturando o ampop Geralmente colocase um resistor Ri em paralelo ao capacitor C2 de forma a limitar a acao integral em baixas frequˆencias Us Es R4 R3 1 R1C2s R1 Ri 18 92 Controlador D O controlador D ou controlador derivativo e na realidade um derivador puro ideal A acao de controle u denominada entao acao de controle derivativa e dada por ut KD d dt et onde KD e conhecido como ganho derivativo No domınio de Laplace temse que Us KDsEs Us Es GCs KDs 19 92 Controlador D Us Es R4 R3 R2C1s KD R2R4C1 R3 20 92 Controlador D O derivador puro nao deve ser implementado fisicamente desta maneira uma vez que para altas frequˆencias a acao de controle tende ao infinito saturando o ampop Geralmente colocase um resistor Rd em serie ao capacitor C1 de forma a limitar a acao derivativa em altas frequˆencias Us Es R4 R3 R2C1s RdC1s 1 21 92 O controlador PI ou controlador proporcionalintegral possui tanto as ações de controle proporcional quanto integral A ação de controle u é dada por ut K P et K I t 0 eτdτ O controlador PI ou controlador proporcionalintegral possui tanto as ações de controle proporcional quanto integral A ação de controle u é dada por ut K P et K I t 0 eτdτ No domínio de Laplace temse que Us K P Es K I s Es Us Es G Cs K P K I s Controlador PI Controlador PI Us Es R4 R3 R2 R1 R4 R3 1 R1C2s KP R2R4 R1R3 KI R4 R1R3C2 25 92 Outra forma de definir o controlador PI é em termos de um ganho proporcional KP e um tempo de integração TI Controlador PI O inverso de TI e por vezes definido como taxa de restabelecimento e indica quantas vezes a parte proporcional da acao de controle e duplicada a cada minuto sendo geralmente medida em repeticoes por minuto A interpretacao da acao de controle proporcionalintegral pode ser vista na figura abaixo na qual e aplicado um degrau unitario em et vermelho e temse a saıda ut para um controlador P e um PI 27 92 Controlador PD Controlador PD O controlador PD ou controlador proporcionalderivativo possui tanto as acoes de controle proporcional quanto derivativa A acao de controle u e dada por ut KPet KD d dt et No domınio de Laplace temse que Us KPEs KDsEs Us Es GCs KP KDs 28 92 Controlador PD Controlador PD Us Es R4 R3 R2 R1 R4 R3 R2C1s KP R2R4 R1R3 KD R2R4C1 R3 30 92 Controlador PD Outra forma de definir o controlador PD e em termos de um ganho proporcional KP e um tempo de derivacao TD GCs KP 1 TDs Logo temse que TD KD KP s E por consequˆencia GCs R2R4 R1R3 1 R1C1s Logo TD R1C1 s 31 92 Controlador PD A acao derivativa e tambem frequentemente chamada de controle de taxa e tem carater antecipatorio Em outras palavras o tempo de derivacao significa em quanto tempo a acao proporcionalderivativa se antecipa em relacao a acao proporcional A interpretacao da acao de controle proporcionalderivativa pode ser vista na figura abaixo na qual e aplicado uma rampa unitaria em et e temse a saıda ut para um controlador P e um PD 32 92 O controlador PID ou controlador proporcionalintegralderivativo possui todas as três ações de controle vistas anteriormente atuando em conjunto A ação de controle u é dada por ut KP et KI 0t eτdτ KD ddt et No domínio de Laplace temse que Us KP Es KIs Es KD s Es UsEs GCs KP KIs KD s e R1 C1 R2 C2 R4 R3 u UsEs R4R3 R2R1 C1C2 R4R3 1R1 C2 s R4R3 R2 C1 s KP R4R3 R2R1 C1C2 KI R4R1 R3 C2 KD R2 R4 C1R3 Outra forma de definir o controlador PID é em termos de um ganho proporcional KP e dos tempos de integração TI e de derivação TD GCs KP 1 1 TIS TDS Logo temse que TI KP KI Logo TI R1C1 R2C2 s TD R1R2C1C2 R1C1 R2C2 s Controlador PID O controlador PID da forma como foi definido anteriormente nao oferece a possibilidade de designar os trˆes parˆametros de forma independente um deles ira ficar amarrado aos outros dois Uma maneira de corrigir isso e utilizar uma estrutura em circuito eletrˆonico mais similar a sua definicao como mostra a figura abaixo 37 92 Us Es R6 R5 R2 R1 1 R3C1s R4C2s KP R2R6 R1R5 TI R2R3C1 R1 KI R6 R3R5C1 TD R1R4C2 R2 KD R4R6C2 R5 Controlador PID A interpretacao da acao de controle proporcionalintegralderivativa pode ser vista na figura abaixo na qual e aplicado uma rampa unitaria em et e temse a saıda ut para um controlador P um PD e um PID 39 92 Controlador Avanco de FaseAtraso de Fase A estrutura no domınio de Laplace de um controlador Avanco ou Atraso de Fase LeadLag e dada por Us Es GCs a1s a0 b1s 1 a0 a1 a0 s 1 b1s 1 onde o ganho a0 e conhecido como ganho dc e os parˆametros a1 e b1 sao reais e positivos Outra forma bastante conhecida do controlador LeadLag e Us Es GCs KC τzs 1 τps 1 Os controladores LeadLag por sua natureza sao bastante utilizados em situacoes onde nao e necessario incluir polo na origem e acao deri vativa e proibida O controlador sera Avanco de Fase se τz τp e sera Atraso de Fase se τz τp 40 92 Controlador Avanco de FaseAtraso de Fase 41 92 Controlador Avanco de FaseAtraso de Fase Us Es R4 R3 R2 R1 R1C1s 1 R2C2s 1 KC R2R4 R1R3 τz R1C1 τp R2C2 42 92 Controlador AvancoAtraso de Fase O controlador AvancoAtraso de Fase e uma cascata de dois controla dores sendo um Avanco de Fase e o outro Atraso de Fase A estrutura no domınio de Laplace e dada por Us Es GCs KC τz1s 1 τp1s 1 τz2s 1 τp2s 1 Como veremos adiante na disciplina a parte avanco de fase e impor tante para atingir um determinado objetivo enquanto que a parte atraso de fase e importante para outro Logo caso as duas partes sejam ne cessarias lancase mao de um controlador AvancoAtraso de Fase 43 92 Controlador Avanco de FaseAtraso de Fase 44 92 Controlador AvancoAtraso de Fase Us Es R6 R5 R4 R3 R1 R3C1s 1 R1C1s 1 R2C2s 1 R2 R4C2s 1 KC R4R6 R3R5 τz1 R1 R3C1 τp1 R1C1 τz2 R2C2 τp2 R2 R4C2 45 92 Plantas e Processos Industriais Modelar um sistema significa obter alguma representacao seja matematica grafica maquete etc que descreva como o sistema se comporta Obviamente estamos interessados em conhecer o modelo matematico de um sistema dinˆamico As trˆes principais formas de se modelar matematicamente um sistema dinˆamico sao Modelagem Caixa Branca ou modelagem conceitual Implica em conhecer as leis e fenˆomenos que regem o sistema Modelagem Caixa Preta ou modelagem empırica Implica em obter um mo delo a partir de dados de medicoes das entradas e saıdas Modelagem Caixa Cinza e um misto entre as duas anteriores Pressupoese que haja um conhecimento a priori do sistema o qual nao pode ser extraıdo dos dados As duas ultimas tecnicas tambem sao conhecidas como Identificacao de Sistemas Por mais refinado e complexo que um modelo seja ele nunca sera capaz de explicar com absoluta fidelidade o comportamento de um sistema real Veremos como modelar algumas plantas e processos industriais mais comuns em aplicacoes de sistemas de controle 46 92 Plantas e Processos Industriais Na modelagem de circuitos eletricos utilizamse as duas leis de Kirchoff Lei de Kirchoff para as correntes e Lei de Kirchoff para as tensoes e as leis que determinam o comportamento tensaocorrente nos elementos basicos passivos Lei de Ohm no resistor Lei de FaradayLenz no indutor etc vt Rit vt Lit it C vt Em circuitos eletricos e desejado saber o comportamento da corrente em um indutor e da tensao em um capacitor em funcao dos sinais de entrada externos como fontes de tensao ou corrente A ordem da equacao diferencial que modela o sistema e igual ao numero de elementos armazenadores de energia capacitores e indutores independentes no circuito 47 92 Plantas e Processos Industriais Exemplo 11 Obter a equacao diferencial e a funcao de transferˆencia que modela o se guinte circuito eletrico 48 92 Plantas e Processos Industriais Resolucao Exemplo 11 Neste sistema a entrada e a fonte de corrente it e a saıda e a tensao no capacitor vt Aplicandose a Lei de Kirchoff para as Correntes LKC no no indicado no circuito temos it iRt iCt 0 onde iRt e a corrente no resistor e iCt e a corrente no capacitor Pela Lei de Ohm a corrente no resistor e iRt vtR Ja a corrente no capacitor e iCt C vt Sendo assim it 1 R vt C vt 0 RC vt vt Rit Para obter a funcao de transferˆencia basta aplicar a Transformada de Laplace na equacao anterior e obter a razao V sIs com condicoes iniciais nulas 49 92 Plantas e Processos Industriais Resolucao Exemplo 11 Logo RCsV s v0 V s RIs RCs 1V s RIs V s Is R RCs 1 50 92 Plantas e Processos Industriais Na modelagem de sistemas de nıvel e termicos e possıvel fazer uma analogia destes sistemas com circuitos eletricos RC de acordo com a tabela abaixo Circuito Eletrico Sistema de Nıvel Sistema Termico Resistˆencia Eletrica R Resistˆencia ao Escoamento R Resistˆencia Termica R Capacitˆancia Eletrica C Capacitˆancia de Reservatorio C Capacitˆancia Termica C Tensao Eletrica v Altura do Lıquido h Temperatura do Lıquido θ Corrente Eletrica i Vazao de lıquido q Fluxo de calor q 51 92 Em um sistema de nível é desejado saber o comportamento do nível de líquido ht em função de uma determinada vazão de entrada qit Utilizandose da analogia com o capacitor temse que a equação diferencial que relaciona o nível com as vazões é Cht qentramt qsaemt onde qentramt é a soma de todas as vazões que entram no tanque e qsaemt é a soma de todas as vazões que saem do tanque Em sistemas de nível cujo escoamento na saída é laminar número de Reynolds menor que 2000 temse uma lei que regula a vazão e altura análoga à Lei de Ohm ht Rlqot Entretanto se o escoamento for turbulento número de Reynolds maior que 3000 ou 4000 o que configura a maioria dos escoamentos reais a lei que regula vazão e altura depende de um termo nãolinear ht RT qot Em um sistema térmico é desejado saber o comportamento da temperatura do líquido θt em função do fluxo de calor de entrada qit Utilizandose da analogia com o capacitor temse que a equação diferencial que relaciona o nível com fluxos de calor é Cθt qentramt qsaemt onde qentramt é a soma de todas os fluxos de calor que entram no tanque e qsaemt é a soma de todos os fluxos de calor que saem do tanque Em sistemas térmicos a transferência de calor por condução ou convecção também é análoga à Lei de Ohm θt θat Rq0t onde θa representa a temperatura ambiente ou do outro líquido na qual ocorre a transferência de calor Plantas e Processos Industriais Exemplo 12 Obter a equacao diferencial e a funcao de transferˆencia que modela o se guinte sistema de nıvel Suponha que o escoamento e laminar 54 92 A capacitância de reservatório C vezes a derivada da altura ht é igual a soma de todas as vazões que entram menos a soma de todas as vazões que saem do tanque Logo C ht qentram qsaem A saída é a altura ht e a entrada é a vazão qit Resta apenas buscar uma maneira de eliminar qot Como é dito que o escoamento na vazão de saída qot é laminar então ht Rq0t onde R é a resistência ao escoamento laminar Plantas e Processos Industriais Resolucao Exemplo 12 Manipulandose a expressao anterior RC ht ht Rqit Para obter a funcao de transferˆencia basta aplicar a Transformada de Laplace na equacao anterior e obter a razao HsQis com condicoes iniciais nulas Logo RCsHs h0 Hs RQis RCs 1Hs RQis Hs Qis R RCs 1 56 92 Plantas e Processos Industriais Exemplo 13 Obter a equacao diferencial e a funcao de transferˆencia que modela o se guinte sistema termico 57 92 A capacitância térmica C vezes a derivada da temperatura θt é igual a soma de todos os fluxos de calor que entram menos a soma de todos os fluxos de calor que saem do tanque Logo C θt qentramt qsaemt C θt qit qot A saída é a temperatura θt e a entrada é o fluxo de calor qit Resta apenas buscar uma maneira de eliminar qot A troca de calor entre o fluido dentro do tanque e o ambiente representado por qot é dado através de θt θat Rqot onde R é a resistência térmica da parede do tanque e θat é a temperatura ambiente Logo C θt qit 1R θt 1R θat Plantas e Processos Industriais Resolucao Exemplo 13 Manipulandose a expressao anterior RC θt θt Rqit θat Observe que este e um sistema de duas entradas qit e θat porem a temperatura ambiente funciona como um disturbio pois nao se controla a temperatura do fluido no tanque manipulandose a temperatura ambiente Para obter a funcao de transferˆencia basta aplicar a Transformada de Laplace na equacao anterior com condicoes iniciais nulas Logo RCsΘs θ0 Θs RQis Θas RCs 1Θs RQis Θas Zerandose o disturbio ou seja Θas 0 a fim de encontrar a funcao de trans ferˆencia da planta teremos Θs Qis R RCs 1 59 92 Plantas e Processos Industriais Observe que os trˆes sistemas dos Exemplos 11 12 e 13 sao analogos ou seja e desejado saber o comportamento de uma variavel que re presenta potencial respectivamente eletrico gravitacional ou termico manipulandose uma variavel que representa fluxo respectivamente de eletrons de volume e de calor As trˆes funcoes de transferˆencia sao tambem analogas Gs R RCs 1 onde R representa resistˆencia ao fluxo e C uma capacidade inerente ao sistema que envolve as variacoes no potencial No caso do Exemplo 13 a funcao de transferˆencia do disturbio ou seja a dinˆamica com que o disturbio incide sobre a saıda e obtida zerandose Qis e entao teremos Θs Θas 1 RCs 1 60 92 Plantas e Processos Industriais Em sistemas mecânicos translacionais ou rotacionais a modelagem é feita utilizandose como princípio a Segunda Lei de Newton e sua variação para sistemas rotacionais que diz que o somatório de forças torques que age sobre um corpo é igual a sua massa M momento de inércia J vezes sua aceleração linear at aceleração angular αt Mat ft ou Jαt τt É importante lembrar que at vt xt ou αt ωt θt Para molas temse a Lei de Hooke ft Kxt ou τt Kθt onde K é o coeficiente da mola ou coeficiente de torção elástica Para amortecedores temse a Lei de atrito viscoso ft Bvt ou τt Bωt onde B representa o coeficiente de atrito viscoso É importante observar que molas e amortecedores podem estar presos a dois corpos distintos e portanto devese atentar para o deslocamento ou velocidade relativa entre os dois corpos Plantas e Processos Industriais Exemplo 14 Obter a equacao diferencial e a funcao de transferˆencia que modela o seguinte sistema mecˆanico translacional 62 92 Plantas e Processos Industriais Resolucao Exemplo 14 Observe que a mola e o amortecedor estao presos a uma superfıcie que nao se move Aplicandose a 2ª Lei de Newton na massa M Mxt f t Kxt 0 B xt 0 Mxt B xt Kxt f t Para obter a funcao de transferˆencia basta aplicar a Transformada de Laplace na equacao anterior e obter a razao XsFs com condicoes iniciais nulas Logo Ms2Xs sx0 x0 BsXs x0 KXs Fs Ms2 Bs KXs Fs Xs Fs 1 Ms2 Bs K 63 92 Sistemas Eletromecˆanicos Sistemas eletromecˆanicos sao sistemas que combinam uma parte modelada por meio de um circuito eletrico e parte modelada por meio de um sistema mecˆanico Maquinas eletricas incluindo motores e geradores constituem a maior parte de tais sistemas Dentre as maquinas eletricas estudaremos neste curso a maquina de corrente contınua A maquina de corrente contınua e composta de trˆes partes uma parte eletrica que se move rotor chamada de circuito da armadura uma parte eletrica fixa estator responsavel pela excitacao chamada de circuito de campo e a parte mecˆanica que e a carga mecˆanica acionada no caso de um motor ou da maquina primaria que fornece potˆencia mecˆanica no caso de um gerador No caso de um motor pode haver um sistema de engrenagens no acionamento da carga de forma a se adequar a velocidade eou torques exigidos pela carga Existem diversas maneiras de se configurar o circuito de campo Vamos estudar a maneira mais geral que e o de excitacao independente 64 92 Sistemas Eletromecˆanicos O diagrama geral do maquina de corrente contınua esta ilustrado abaixo 65 92 Sistemas Eletromecˆanicos O circuito da armadura e composto pela tensao de armadura eat corrente de armadura iat resistˆencia da armadura Ra indutˆancia da armadura La e pela tensao induzida nos terminais das espiras que formam o circuito da armadura imersos num campo magnetico chamada de forca contraeletromotriz que denotaremos por emt A analise do circuito da armadura gera a seguinte equacao eat Raiat La diat dt emt 0 O circuito de campo e o responsavel por criar o campo magnetico no qual o circuito da armadura esta imerso Ele e composto pela tensao de campo ef t pela corrente de campo if t pela resistˆencia de campo Rf e pela indutˆancia de campo Lf A corrente de campo if t estabelece um fluxo de campo ϕt do campo magnetico no qual a armadura esta imersa A analise do circuito de campo gera a seguinte equacao ef t Rf if t Lf dif t dt 0 66 92 Sistemas Eletromecˆanicos A parte mecˆanica e formada pelo rotor da maquina acionando a carga mecˆanica no caso de motores ou pela maquina primaria fornecendo potˆencia mecˆanica para a maquina eletrica no caso de geradores As variaveis sao o deslocamento θt e velocidade θt do eixo do rotor e no caso de motores a inercia da carga J e coeficiente de atrito viscoso dos mancais da maquina B Em geral a inercia do rotor pode ser desprezada em face da inercia da carga A analise da parte mecˆanica gera a seguinte equacao J θt τt B θt dt onde τt e o torque interno da maquina devido a corrente de armadura chamado de torque eletromagnetico e dt e o torque de disturbio que incide sobre o sistema representados por torque da carga perdas no ferro arrasto de enrolamento etc No caso de um motor o deslocamento ou velocidade do eixo do rotor podem ser controlados pelo circuito de campo atraves da tensao de campo sendo neste caso a armadura fixa a tensao de armadura e constante ou controlados pelo circuito da armadura atraves da tensao de armadura sendo neste caso a excitacao fixa a tensao de campo e constante como um ıma permanente em um servomotor 67 92 Sistemas Eletromecˆanicos No caso de um gerador a excitacao e fixa e o objetivo e controlar a tensao de arma dura por meio da velocidade da maquina primaria que fornece potˆencia mecˆanica Nao entraremos em detalhes do funcionamento da maquina mas equacoes que ligam as parte eletricas com a mecˆanica sao emt K1ϕtωt e τt K2ϕtiat onde K1 e K2 sao constantes construtivas da maquina τt e o torque interno da maquina ϕt e fluxo estabelecido pelo circuito de campo O fluxo de campo esta relacionado com a corrente de campo atraves de ϕt Kϕif t onde Kϕ tambem e uma constante construtiva da maquina 68 92 Sistemas Eletromecˆanicos O servomotor e um motor de corrente contınua controlado pela armadura especi ficamente construıdo para aplicacoes de controle de posicao e velocidade no qual o circuito de campo e substituıdo por um ıma permanente que gera um fluxo de campo constante Da parte eletrica temos eat Raiat La iat emt 0 Equacionandose a parte mecˆanica temos J ωt τt Bωt dt Aplicandose a Transformada de Laplace nas equacoes acima e zerandose as condicoes iniciais temos Eas Ems Las RaIas Ts Ds Js BΩs Isolandose a corrente de armadura e a velocidade angular Ias 1 Las Ra Eas Ems Ωs 1 Js B Ts Ds 69 92 Sistemas Eletromecânicos Considerandose que é um servomotor a excitação é um ímã permanente Logo o fluxo ϕ é constante Sendo assim as duas equações que ligam a parte elétrica com a mecânica ficam emt K1ϕωt km τt K2ϕiat kt Aplicandose a Transformada de Laplace nas equações acima Ems KmΩs Ts KT Ias Sendo assim a corrente de armadura e a velocidade angular ficam Ias 1 Las Ra Eas KmΩs Ωs 1 Js B KT Ias Ds Sistemas Eletromecˆanicos A partir das equacoes anteriores e possıvel montar o seguinte diagrama de blocos Assim a funcao de transferˆencia da planta do servomotor fazendose Ds 0 e dada por GPs Ωs Eas 1 Las Ra KT 1 Js B 1 1 Las Ra KT 1 Js B Km KT Las RaJs B KT Km GPs Ωs Eas KT JLas2 BLa JRas BRa KT Km 71 92 Sistemas Eletromecˆanicos Ja a funcao de transferˆencia do disturbio do servomotor fazendose Eas 0 e GDs Ωs Ds 1 Js B 1 1 Las Ra KT 1 Js B Km Las Ra Las RaJs B KT Km GDs Ωs Ds Las Ra JLas2 BLa JRas BRa KT Km Em geral nos servomotores a indutˆancia de armadura e desprezıvel ou seja La 0 Entao as funcoes de transferˆencia se reduzem a GPs KT JRas BRa KT Km GDs Ra JRas BRa KT Km 72 92 NaoLinearidades e Linearizacao Neste curso iremos nos ater a tecnicas de controle para a classe de sistemas dinˆamicos que sao lineares e invariantes no tempo Tais sistemas sao descritos por meio de equacoes diferenciais a parˆametros concentrados que por sua vez nos permite de terminar suas funcoes de transferˆencia Entretanto frequentemente na modelagem de sistemas reais iremos nos deparar com sistemas que sao naolineares e variantes no tempo Lembrar que um sistema e dito linear se ele satisfaz duas propriedades a aditividade e a homogeneidade Aditividade um sistema e aditivo se a resposta total e a soma das respostas que o sistema apresenta quando cada entrada e aplicada individualmente Seja y1 a resposta do sistema a entrada x1 y2 a resposta a entrada x2 e assim sucessivamente ate yn sendo a resposta a entrada xn entao a resposta a entrada x x1 x2 xn deve ser y y1 y2 yn Homogeneidade um sistema e homogˆeneo se a resposta for igualmente escalonada em relacao a entrada Ou seja dado a entrada escalonada ax a saıda deve ser ay E lembrar que um sistema e dito invariante no tempo se um deslocamento no tempo do sinal de entrada causa um deslocamento no tempo igual no sinal de saıda Seja yt a resposta de um sistema a entrada xt entao se o sistema for invariante no tempo a resposta a uma entrada xt T deve ser yt T 73 92 NãoLinearidades e Linearização A equação abaixo é um exemplo da representação de um sistema linear e invariante no tempo yt ayt xt Já equação abaixo é um exemplo da representação de um sistema nãolinear e invariante no tempo yt ay²t xt Já equação abaixo é um exemplo da representação de um sistema linear e variante no tempo yt atyt xt Já equação abaixo é um exemplo da representação de um sistema nãolinear e variante no tempo yt atyt xt Nãolinearidades e variações no tempo podem ocorrer na grande maioria dos sistemas Veremos agora como tratar as nãolinearidades e futuramente como analisar efeitos da variação no tempo Se o sistema é nãolinear e queremos trabalhar com sistemas lineares naturalmente o que devemos procurar é o processo chamado de linearização ou seja tornar o sistema nãolinear linear porém em torno de um ponto de operação Se considerarmos a nova variável δx x x como sendo a perturbação na entrada e a nova variável δy y y como sendo a perturbação na saída temos então δy Kδx NaoLinearidades e Linearizacao Como exemplo vamos voltar ao sistema de nıvel Analisando o sistema de nıvel para um escoamento turbulento temse que RTC ht ht RTqit Observe que se trata de um sistema naolinear por causa do termo ht Linearizandose nos pontos de operacao h e qi temse RTCδ ht 1 2 h δht RTδqit Agora uma vez que o sistema se torna linear entao a funcao de trans ferˆencia sera Gs δHs δQis RT RTCs 1 2 h Note que o comportamento dinˆamico e altamente dependente do ponto de operacao escolhido sendo mais linear ou menos linear dependendo da altura h 77 92 Se a grandeza de saída é função de duas grandezas de entrada então y fx1 x2 K1x1 x1 K2x2 x2 y y K1x1 x1 K2x2 x2 δy K1δx1 K2δx2 onde K1 fx1 x1x1x2x2 e K2 fx2 x1x1x2x2 NaoLinearidades e Linearizacao Observe o grafico da funcao raiz quadrada Dado um determinado ponto H quanto mais proximo de uma reta a derivada primeira no ponto a curva de H for em torno daquele ponto maior e a faixa de operacao da linearizacao do sistema Ou seja a linearizacao e mais efetiva a excursao em torno do ponto de operacao pode ser maior em torno de pontos em que a curva mais se assemelha a uma reta 78 92 NaoLinearidades e Linearizacao Figura Sistema maglev Exemplo 15 80 92 A Figura a seguir ilustra um sistema de levitação magnética conhecido como maglev no qual o objetivo é controlar o deslocamento linear de uma esfera metálica no ar por meio da força de atração exercida por um eletroímã A equação que relaciona o deslocamento linear da esfera metálica no ar ht em função da corrente da bobina do eletroímã it é uma equação diferencial nãolinear dada por mht mg k i²t h²t onde m é a massa da esfera g é a aceleração da gravidade e k é uma constante construtiva do eletroímã positiva Sendo assim a Mostre que num determinado ponto de operação i₀ o equilíbrio do sistema é atingido quando h₀ i₀ k mg b A partir da linearização em torno do ponto de operação encontrado no item anterior chegase a uma função de transferência do tipo δHs δIs a s² b com a 0 Determine os valores de a e b em função dos parâmetros m g k e da corrente de operação i₀ Resolução Exemplo 15 Os pontos de equilíbrio são tomados quando todas as derivadas são nulas Logo 0 mg k i0 ²h0 ² k i0 ²h0 ² mg h0 ² ki0 ²mg h0 i0 kmg Verificase que a função nãolinear é y fh i i²h² Logo utilizando a Série de Taylor para duas variáveis truncada no termo linear temos y fh0 i0 K1δh K2δi Resolução Exemplo 15 Calculandose K1 K1 fhhh0ii0 K1 h i²h² hh0ii0 K1 2i²h³hh0ii0 K1 2i0²h0³ K1 2i0²k i0²mg K1 2mgk i0 Resolução Exemplo 15 Calculandose K2 K2 fihh0ii0 K2 i i²h² hh0ii0 K2 2ih²hh0ii0 K2 2i0h0² K2 2i0k i0²mg K2 2mgk i0 y i02 h02 frac2mgki0sqrtfrac kmg delta h frac2mgki0 delta i mdeltadotht mg k left fracmgk frac2mgki0sqrtfrackmgdelta ht frac2mgi0 delta it right fracdelta Hsdelta Is frac2gi0 s2 frac2gi0sqrtfrackmg NaoLinearidades e Linearizacao Existem ainda alguns tipos de naolinearidades que sao muito comuns em equipa mentos principalmente em atuadores e sensores como a saturacao ou limitador o rele ideal a zona morta a folga backlash e a histerese Em geral estas naolinearidades ocorrem em equipamentos como sensores e atuado res quando e exigido como resposta algo alem de suas dimensoes eou capacidades fısicas Neste caso como escolha de sensores e atuadores e do projetista a melhor maneira de evitar estas naolinearidades e justamente escolher equipamentos e componentes que nao possuam tais caracterısticas ou que exibam tais caracterısticas longe da regiao de operacao do sistema Caso nao seja possıvel evitar devese trabalhar com algum tipo ou tecnica de controle naolinear Neste caso uma boa estrategia e o uso de funcoes descritivas para estas nao linearidades As figuras a seguir ilustram os graficos de entradasaıda das principais naolinearidades e alguns exemplos de onde encontralas 87 92 fracdelta Hsdelta Is frac2gi0 s2 frac2gi0sqrtfrackmg NaoLinearidades e Linearizacao Saturacao Exemplos amplificadores de potˆencia amplificadores operacionais lemes em aeronaves ou navios etc 88 92 NaoLinearidades e Linearizacao Rele Ideal Exemplos chaves eletrˆonicas ou mecˆanicas 89 92 NaoLinearidades e Linearizacao Zona Morta Exemplos sensores de posicao como servopotenciˆometros 90 92 NaoLinearidades e Linearizacao Histerese Exemplos termostato 91 92 NaoLinearidades e Linearizacao Folga Backlash Exemplos sistemas de engrenagens e marchas 92 92