Critérios de Módulo e Ângulo: Exemplos e Análise do Sistema de Controle

Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Aula 11 Lugar das Raızes Definicoes iniciais ECA602 Sistemas de Controle Prof Fernando Henrique UNIFEI Universidade Federal de Itajuba Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 1 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Introducao Considere o sistema de rastreamento por radar representado na figura abaixo Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 2 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Introducao Um diagrama de blocos que representa essa malha de controle e dado por Qual o efeito da variacao de K na resposta transitoria do sistema A funcao de transferˆencia em malha fechada e Ts KGs 1 KGs K s2 2s K A equacao caracterıstica e s2 2s K 0 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 3 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Introducao As raızes da equacao caracterıstica sao s 2 4 4K 2 1 1 K Variando K K s1 s2 0 0 2 025 01340 18660 05 02929 17071 075 05 15 1 1 1 125 1j05 1j05 15 1j07071 1j07071 175 1j08660 1j08660 2 1j 1j 225 1j11180 1j11180 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 4 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Introducao Representando de maneira grafica Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 5 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Introducao Olhando para o grafico concluımos que O sistema e estavel para qualquer K 0 Para 0 K 1 as raızes sao reais com diferentes constantes de tempo Para K 1 as raızes sao reais e iguais e o sistema e critica mente amortecido Para K 1 as raızes sao complexas A partir de K 1 o aumento de K nao modifica a parte real das raızes portanto o tempo de acomodacao e constante e igual a 4s Entretanto quanto maior K menor e o fator de amortecimento ζ e portanto maior o overshoot Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 6 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Introducao Apesar dos polos do sistema em malha fechada nao constitui rem o unico fator que influencia a resposta do sistema de pende tambem dos zeros do sistema do sinal de entrada e das condicoes iniciais note que olhando para o grafico das raızes da equacao caracterıstica confome K varia fomos capazes de chegar a diversas conclusoes sobre o efeito da variacao de K na resposta transitoria do sistema Esse grafico e chamado de lugar das raızes do sistema em questao Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 7 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Introducao Definicao O lugar das raızes de um sistema e o lugar geometrico o grafico das raızes da equacao caracterıstica do sistema ou seja os polos da funcao de transferˆencia em malha fechada quando um determinado parˆametro em geral um ganho K varia Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 8 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Criterios de modulo e ˆangulo De maneira geral na discussao do lugar das raızes considerase que o sistema tem a estrutura com 0 K Nesse caso a funcao de transferˆencia Gs contempla as funcoes de transferˆencia tanto da planta quanto de um eventual contro lador que esteja inserido na malha Ou seja Gs e a funcao de transferˆencia do ramo direto A equacao caracterıstica para o sistema definido dessa maneira e 1 KGsHs 0 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 9 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Criterios de modulo e ˆangulo Um ponto s1 no plano complexo faz parte do lugar das raızes de um sistema Gs se e somente se s1 satisfaz a equacao caracterıstica para algum valor real de K A equacao caracterıstica pode ser reescrita como KGsHs 1 Como Gs e Hs em geral sao funcoes de variavel complexa essa equacao pode ser decomposta em KGsHsKGsHs 1r180 r 1 3 5 Assim podese escrever K 1 GsHs e GsHs r180 r 1 3 5 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 10 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Criterios de modulo e ˆangulo A equacao K 1 GsHs e chamada de criterio de modulo Como K pode assumir qualquer valor entre zero e infinito essa equacao sempre pode ser satisfeita para valores arbitrarios de s Desse modo satisfazer o criterio de modulo nao e uma condicao necessaria e suficiente para determinar se o ponto faz parte do lugar das raızes do sistema Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 11 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Criterios de modulo e ˆangulo Portanto a condicao para um ponto s1 fazer parte do lugar das raızes e dada pelo criterio de ˆangulo Gs1Hs1 r180 r 1 3 5 Se um ponto s1 estiver no lugar das raızes ou seja se ele satisfaz o criterio de ˆangulo o valor de K que impoe a raiz s1 para a equacao caracterıstica e K 1 Gs1Hs1 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 12 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Criterios de modulo e ˆangulo Os criterios de modulo e ˆangulo podem ser visualizados de outra maneira Considere a representacao da funcao GsHs s z1 s p1s p2 Se desejamos saber se s1 faz parte do Lugar das Raızes temos Gs1Hs1 s1 z1 s1 p1s1 p2 Gs1Hs1 s1 z1 s1 p1s1 p2 Gs1Hs1 θz1 θp1 θp2 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 13 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Criterios de modulo e ˆangulo Gs1Hs1 s1 z1 s1 p1s1 p2 Gs1Hs1 s1 z1 s1 p1s1 p2 Gs1Hs1 θz1θp1θp2 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 14 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Criterios de modulo e ˆangulo O criterio de ˆangulo e dado por θz1 θp1 θp2 r180 r 1 3 5 Se a condicao acima for satisfeita pelo criterio de modulo tem se que o ganho K que impoe a raiz s1 e K s1 p1s1 p2 s1 z1 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 15 28 Introducado Critérios de médulo e angulo Exemplos 7 Va aN Critérios de modulo e angulo jo é SP SZ a 6 Yo Z p P Generalizando para o critério de 4ngulo temos m n S82 S2 Op r180 r 4143 45 i i e Se um ponto s estiver no lugar das raizes ou seja se ele satisfaz o critério de Angulo o valor de A que impée a raiz 51 para a equacdo caracteristica é IT s1 pil K St LH s1 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Exemplos Exemplo 1 Dado o sistema representado na figura abaixo determine se os se guintes pontos fazem parte do lugar das raızes e em caso afirma tivo qual o valor de K para que isso ocorre a s1 3 b s1 1 j5 c s1 2 j5 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 17 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Exemplos Como a realimentacao e unitaria o criterio de ˆangulo fica Gs r180 r 1 3 5 Letra a s1 3 G3 1 33 2 1 3 0 3333 G3 0 3333 0 r180 r 1 3 5 Portanto o ponto s1 3 nao faz parte do lugar das raızes de Gs Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 18 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Exemplos Letra b s1 1 j5 G1 j5 1 1 j51 j5 2 1 26 0 0385 G1 j5 0 0385 180 Portanto o ponto s1 1 j5 faz parte do lugar das raızes de Gs Pelo criterio de modulo K 1 0 0385 26 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 19 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Exemplos Letra c s1 2 j5 G2 j5 1 2 j52 j5 2 0 0345 j0 0138 G2 j5 0 0345 j0 0138 158 2 Portanto o ponto s1 2 j5 nao faz parte do lugar das raızes de Gs Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 20 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Exemplos Exemplo 2 Considere o sistema de controle representado abaixo com Cs KP Gs 8 0 6s2 1 6s 1 Hs 1 0 75s 150 a Mostre que o ponto s1 1 32j2 09 faz parte do lugar das raızes b Qual o valor de KP para que o sistema tenha esse polo em malha fechada Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 21 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Exemplos As funcoes de transferˆencia do sensor e da planta podem ser reescritas como Hs 1 0 75s 150 1 0 75 1 s 200 Gs 8 0 6s2 1 6 1 8 0 6 1 s 1s 1 6667 A equacao caracterıstica e 1 CsGsHs 0 1 KP 8 0 6 1 s 1s 1 6667 1 0 75 1 s 200 0 Para realizar a analise do lugar das raızes vamos considerar que K KP 8 0 6 1 0 75 8KP 0 45 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 22 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Exemplos Com K definido da maneira anterior a equacao caracterıstica fica 1 K 1 s 1s 1 6667s 200 0 onde redefinimos GsHs 1 s 1s 1 6667 1 s 200 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 23 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Exemplos Letra a Aplicando o criterio de ˆangulo para s1 1 32 j2 09 G1 32j2 09H1 32j2 09 1 890 0131 j1 7257 G1 32 j2 09H1 32 j2 09 180 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 24 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Exemplos Letra b Sabendo que o ponto s1 1 32j2 09 faz parte do lugar das raızes podemos aplicar o criterio de modulo K 1 GsHs 890 Pela definicao anterior de K K 8KP 0 45 890 8KP 0 45 KP 50 0625 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 25 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Exemplos O grafico do lugar das raızes e facilmente obtido utilizandose o MATLABOctave rlocus Entretanto um conhecimento basico acerca das regras de cons trucao e a capacidade de esbocar rapidamente o lugar das raızes de determinado sistema e essencial por fornecer insight sobre o efeito da variacao de parˆametros e da adicao de polos e zeros no projeto de controladores Dessa forma na aula seguinte estudaremos algumas regras basicas para realizar o esboco do lugar das raızes Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 26 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Exercıcio Exercıcio Considere o sistema Gs 1 ss 1s 2 com realimentacao unitaria Verifique se os seguintes pontos estao em seu lugar das raızes e em caso afirmativo qual o valor de K para que isso ocorre a s1 0 5 b s1 1 75 c s1 3 d s1 0 5 e s1 1j f s1 1 1j Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 27 28 Introducao Criterios de modulo e ˆangulo Exemplos Exercıcio Gtf11 3 2 0 rlocusG Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 28 28