Lista de Exercícios Resolvidos Estatística - Distribuição Normal e Amostral

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 5 1 Seja X a variável tempo de serviço dos funcionários de determinada localidade Se X tem distribuição normal com média 15 anos e desvio padrão 10 anos a Qual a probabilidade de um funcionário aleatoriamente escolhido ter pelo menos 10 anos de tempo de serviço b Tomandose uma amostra de 16 funcionários qual a probabilidade do tempo médio de serviço estar entre 13 e 16 anos 2 Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 10 de itens defeituosos na produção Supondo que a produção esteja sob controle isto é p 10 e que os itens sejam vendidos em caixas com 100 unidades a qual a probabilidade de que uma caixa contenha mais do que 10 de defeituosos b Qual a probabilidade de que uma caixa contenha no máximo 8 de defeituosos 3 Estimase que 10 dos livros de uma biblioteca estejam inutilizados Tomandose uma amostra de 64 livros qual a probabilidade de que encontremos no máximo 6 de livros inutilizados 4 Distribuição amostral de X Considere uma população fictícia formada pelas medidas 13579 O objetivo deste exercício é verificar as fórmulas para o valor esperado e o desvio padrão da média amostral X a Verifique que a média e a variância da população são respectivamente μ 5 e σ 2 8 b No caso de amostragem com reposição de tamanho n 2 faça uma lista de todas as amostras possíveis Obtenha então a distribuição de probabilidade de X c Verifique que o valor esperado e a variância de X são respectivamente EX 5 e Var X 4 Qual é a relação destes valores com os da parte a d Repita a parte b para o caso de amostragem sem reposição e verifique os valores de EX e Var X e Explique porque X é dito que um estimador nãoviesado para μ 5 Uma equipe de pesquisadores deseja estudar as condições de vida dos habitantes dos 15000 domicílios de uma cidadedormitório Devido a dificuldade de pesquisar todos os domicílios a equipe optou por selecionar aleatoriamente 36 domicílios Uma das variáveis de interesse no estudo em questão era o número de pessoas que residem em cada domicílio Para os domicílios selecionados obtevese as seguintes informações sobre o número de residentes em cada domicílio 5 6 3 3 2 3 3 3 4 4 3 2 7 4 3 4 2 1 5 4 4 3 3 4 3 3 1 2 4 3 4 2 4 5 3 5 a Os pesquisadores desejam saber o número médio de pessoas que residem em cada domicílio Como eles podem utilizar as informações obtidas para estimar este valor Determine a estimativa b Qual o estimador utilizado e sua distribuição de amostragem É necessário que a variável número de residentes em cada domicílio tenha distribuição normal Justifique sua resposta c Considerando que pelo último censo o número médio de pessoas em cada domicílio é 5 com variância 1296 determine i P X 4 ii P X 65 iii P X 2 iv P 35 X 5 d Estime o número médio de residentes por domicílio através de um intervalo de confiança de i 90 ii 95 iii 99 Compare a amplitude dos intervalos e interprete o resultado e Construa o intervalo de 95 de confiança para o parâmetro em questão considerando que a variância do número de residentes por domicílio permaneceu a mesma do último censo 6 Calcule o intervalo de confiança para a média em cada um dos casos abaixo Média amostral Tamanho da amostra Desvio padrão da população Coeficiente de confiança 170 cm 100 15 cm 95 165 cm 184 30 cm 85 180 cm 225 30 cm 70 7 Uma fábrica produz válvulas Sabese que o desvio padrão da duração é de 100 horas Uma amostra de 400 válvulas apresentou média de 400 horas a Qual a probabilidade da vida média estar entre 320 e 430 horas b Qual o intervalo de confiança de 99 para a vida média da população c Interprete o resultado obtido no item anterior d Tomandose 20 amostras de tamanho 400 em quantas amostras devemos esperar o resultado obtido em a e Qual o erro cometido na sua estimativa f Que tamanho deve ter a amostra para que seja 95 a confiança na estimativa 400 784 g Supondose que são produzidas 50000 válvulas qual o intervalo de confiança de 96 para a vida média da população 8 Da experiência passada sabese que o desvio padrão da altura de crianças de quinta série do primeiro grau é 5 cm Tomandose uma amostra de 36 dessas crianças observouse média de 150 cm a Qual o percentual de crianças com altura média acima de 148 cm b Qual o intervalo de confiança de 98 para a média populacional Interprete o resultado c Qual o erro cometido na sua estimativa d Que tamanho deve ter uma amostra para que o erro seja de no máximo 3 cm e Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo 150 098 tenha 95 de confiança 9 Com base em informações passadas acreditase que o desvio padrão da renda das famílias de uma certa região é de R 2000 Quantas famílias deve ser incluídas em uma amostra para que o erro de estimação da renda média seja no máximo de RS 100 com confiança de 95 10 a Explique as semelhanças e diferenças entre a distribuição normal e a distribuição t de Student com gl graus de liberdade b Em cada um dos casos calcule a probabilidade indicada i t 14398 gl 6 ii t 17823 gl 12 iii t 20595 ou t 20595 gl 25 iv t 196 gl 150 11 Com o objetivo de estimar o tempo médio de desemprego na periferia de Brasília pesquisouse um grupo de 64 desempregados entre 1000 cadastrados no SINE que apresentou tempo médio igual a 3 meses e desvio padrão de 1 mês Dados Fictícios a Construa o intervalo de 95 de confiança para o tempo médio de desemprego b Um intervalo de 99 de confiança construído para a mesma situação apresentaria menor amplitude c Qual o erro de amostragem associado ao intervalo construído d Se o desvio padrão fosse 2 o erro de amostragem seria maior que o do item c e Se a amostra fosse aumentada de 26 empregados o que aconteceria com intervalo de confiança 12 Numa tentativa de melhorar o esquema de atendimento um médico procurou estimar o tempo médio que gastava com cada paciente Uma amostra aleatória de 49 pacientes avaliados em um período de 3 semanas acusou uma média de 30 minutos com desvio padrão de 7 minutos a Fixe a confiança e construa um IC para o verdadeiro tempo médio de consulta b Qual o erro máximo associado à sua estimativa 13 Uma amostra aleatória de 200 livros de uma biblioteca revelou que 15 deles tinha pelo menos uma página danificada Obtenha um intervalo com 95 de confiança para a proporção de livros danificados na biblioteca Explique neste caso o significado do termo 95 de confiança 14 Para uma amostra aleatória de 100 trabalhadores em uma firma com 1200 empregados 70 preferem receber seus salários através de créditos em conta corrente bancária De posse dessa informação construiu o intervalo de 90 de confiança para a proporção de trabalhadores da firma que têm preferência pelo crédito em conta corrente para seus trabalhos 15 Antes de uma eleição um partido está interessado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis ao seu candidato Uma amostra piloto de tamanho 50 revelou que 70 dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão a Determine o tamanho da amostra para que o erro cometido na estimação seja de no máximo 001 com probabilidade de 90 b Se na amostra final com tamanho igual ao obtido em a observouse que 50 dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão construa um intervalo com confiança 90 para p c A semiamplitude do intervalo anterior é maior menor ou igual a 001 Comente 16 Uma empresa emprega 200 pessoas Numa amostra aleatória de 25 notas de despesas numa semana de dezembro um auditor constatou uma despesa média de 220 um com desvio padrão de 20 um a Qual é a estimativa intervalar com 99 de confiança para a despesa média da empresa com seus empregados b Qual é a estimativa intervalar com a mesma confiança para a despesa total da empresa com seus 200 empregados 17 Um fabricante de flashes deseja estimar a proporção de flashes perfeitos produzidos Como se trata de teste destrutivo ele deseja manter o tamanho da amostra o menor possível Determine o número de flashes que devem ser testados para estimar esta proporção com um erro máximo de amostragem de 004 considerando que o grau de confiança é de 95 se a O fabricante não tem idéia da proporção de defeituosos b O fabricante crê que a proporção de defeituosos é de 6 18 Em recente pesquisa levada a efeito junto a 200 habitantes de uma cidade 40 se mostraram favoráveis ao restabelecimento da pena de morte a Qual o IC099 para a verdadeira proporção de habitantes favoráveis à pena de morte b Qual o grau de confiança na afirmação de que tal proporção está entre 15 e 25 19 Uma pesquisa realizada numa universidade mostrou que 30 dos 120 alunos entrevistados eram chefes de família a Calcule um intervalo com 99 de confiança para a proporção de estudantes chefes de família b Se na universidade existem 15000 alunos matriculados calcule um intervalo com 99 de confiança para o número de estudantes chefes de família c Considerando que a amostra foi escolhida ao acaso os resultados anteriores são válidos no caso de amostragem com reposição E no caso de amostragem sem reposição 20 A policia rodoviaria fez recentemente uma pesquisa sobre as velocidades desenvolvidas numa rodovia no período de 2 às 4 horas da madrugada Nesse período foram observados 100 carros com velocidade média de 90 kmh e desvio padrão de 15 kmh Descreva a população de interesse e construa um intervalo com confiança 95 para a média populacional 21 Num estudo visando analisar o estado nutricional de crianças numa certa região foram estudadas 100 crianças de 7 anos matriculadas em escolas públicas Observouse um peso médio de 30 kg e um desvio padrão de 3 kg a Construa um intervalo com 95 de confiança para a média populacional b Quais suposições são necessárias com respeito ao método de amostragem e a população para a validade do intervalo anterior c Suponha que uma nova criança será observada futuramente Discuta a diferença entre as seguintes afirmações i estimase que o peso da criança será em média de 30 kg e ii estimase que o peso da criança será 30 kg Forneça estimativas de erro associadas a cada uma das afirmações 22 Estudos anteriores mostram que o desvio padrão da altura de crianças de quinta série é igual a 5 cm Uma amostra aleatória destas crianças forneceu o intervalo 150 098 com 95 de confiança Qual o tamanho da amostra utilizada 23 Discuta a veracidade das seguintes afirmações Considere em todos os casos amostragem aleatória simples a Uma característica populacional embora desconhecida é uma quantidade fixa Seu intervalo de confiança entretanto varia de amostra para amostra b Quanto maior o coeficiente de confiança maior é o comprimento do correspondente intervalo c Com um nível de confiança fixo para diminuir o comprimento do intervalo pela metade é usualmente suficiente duplicar o tamanho da amostra 24 No problema de teste de hipóteses descreva os conceitos de i hipóteses nula e alternativa ii erros de tipo I e II e iii região crítica 25 Indique as hipóteses nula e alternativa para cada uma das seguintes situações a Uma organização para teste de produtos duvida da afirmação de um fabricante de que suas pilhas tenham vida média de 25 horas sob operação contínua b Novas técnicas de aprendizagem não serão implementadas a menos que se prove que a taxa média de aprendizagem melhorará em comparação com a técnica atualmente em uso c Uma torrefação de café deseja evitar excesso no enchimento de pacotes de 500g d A mesma torrefação do item c deseja evitar excesso e deficiência no enchimento dos pacotes 26 Sabese que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuição normal com desvio padrão 2 kg A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha de produção se a média de consumo per capita fosse menor que 8 kg Caso contrário continuaria a fabricálo Foi realizada uma pesquisa de mercado tomandose uma amostra de 25 indivíduos e verificouse que x i 180 kg onde xi representa o consumo mensal do iésimo indivíduo da amostra a Com base nos resultados da amostra e com um risco de 5 qual deveria ser a decisão da diretoria b Se a diretoria tivesse fixado α 001 a decisão seria a mesma Justifique sua resposta 27 Uma companhia de cigarros anuncia que o índice médio de nicotina dos cigarros que fabrica apresentase abaixo de 26 mg por cigarro Um laboratório realiza 6 análises obtendo as seguintes quantidades de nicotina 27 24 21 25 26 22 Sabese que o índice de nicotina se distribui normalmente Podese aceitar ao nível de 10 de significância a afirmação do fabricante E ao nível de 5 28 No exercício 21 teste a hipótese nula H0 μ 30 kg contra a alternativa Ha μ 30 kg Use α 005 Qual é a relação do resultado do teste e o intervalo de confiança obtido na parte a Observe que as suposições necessárias para a validade dos testes são os mesmas necessários para a validade dos intervalos de confiança 29 No exercício 13 existe evidência que permita concluir que a proporção de livros danificados na biblioteca é maior do que 010 Use nível de significância α 005 30 Um jornal apresenta um artigo sobre uma provável contaminação da safra de morangos por carbonato um defensivo agrícola tóxico A Organização Mundial de Saúde OMS é responsável pela determinação dos limites de contaminação por carbonato ou outros pesticidas tendo estabelecido que este limite deve ser de 10 unidades de carbonato em média De posse dos resultados da análise química de 31 morangos a seguir transcritos média de 11 unidades de carbonato e desvio padrão de 35 unidades o que você poderia concluir sobre a contaminação da safra a nível de significância de 1 Interprete os resultados 31 Uma agência de propaganda afirma que a campanha promocional recente atingiu 45 das famílias de uma comunidade A empresa interessada que pagou a propaganda duvida dessa percentagem e resolve fazer um levantamento para verificar a autenticidade da afirmativa São pesquisadas 100 famílias das quais 30 tinham conhecimento da propaganda A um nível de 5 de significância você pode concluir que a empresa tem razão em duvidar da afirmação da agência de propaganda Nesta pesquisa o que representam erro do tipo I e o erro do tipo II 32 Uma empresa industrial C está estudando a compra de um grande lote de componentes produzidos pela companhia P Segundo P o seu processo de produção garante que a proporção p de componentes fora das especificações técnicas requeridas por C não é superior a 010 ou 10 O Departamento de Compras especificou o seguinte procedimento para decidir se a compra será realizada 20 componentes do lote serão escolhidos ao acaso e testados e a compra só será realizada se no máximo existir um componente fora das especificações Na situação descrita a probabilidade do lote ser rejeitado para valores de p menores ou iguais a 010 é chamada risco do produtor enquanto a probabilidade do lote ser aceito para valores de p maiores que 010 é chamada risco do consumidor a Calcule a probabilidade do lote ser rejeitado para p 001 005 010 020 030 Faça um gráfico dos valores obtidos b Identifique no gráfico os riscos do produtor para p 001 p 005 e p 010 e o risco do consumidor para p 020 e p 030 c Qual é o máximo valor possível do risco do produtor para 0 p 010 E o mínimo d Qual é o máximo valor possível do risco do consumidor para 010 p 1 E o mínimo