Exercícios - Correlação e Regressão Linear - Estatística 2021-1

Universidade Federal de Lavras Departamento de Ciências Exatas Prof. Daniel Furtado Ferreira 13a Correlação e Regressão Linear 1) Os dados a seguir representam quantidade de suor medidos em um braço não tratado (X) e suor em um braço tratado (Y ). Determinar o coeficiente de correlação entre X e Y , aplicar o teste t (obter a estatística) para H0 : ρ = 0 e obter a conclusão de acordo com o resultado do teste. Marque a alternativa que tem as informações corretas. Dados: t0,025;ν=7 = 2,364, SPXY = 0,29311, SQX = 47,87550 e SQY = 0,01733. Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X 6,625 5,508 4,279 2,104 1,117 1,308 5,881 7,796 2,688 Y 0,113 0,142 0,067 0,083 0,055 0,121 0,207 0,076 0,101 ( ) a) A estimativa é r = 0,3218, a estatística do teste é tc = 0,899 e a conclusão: “não se deve rejeitar a hipótese nula no nível de significância de 5% e existe relação linear entre as quantidades de suor dos braços tratados e não tratados”. ( ) b) A estimativa é r = 0,3218, a estatística do teste é tc = 0,899 e a conclusão: “deve-se rejeitar a hipótese nula no nível de significância de 5% e não existe relação linear entre as quantidades de suor dos braços tratados e não tratados”. ( ) c) A estimativa é r = 0,3218, a estatística do teste é tc = 0,899 e a conclusão: “não se deve rejeitar a hipótese nula no nível de significância de 5% e não existe relação linear entre as quantidades de suor dos braços tratados e não tratados”. ( ) d) A estimativa é r = 0,3218, a estatística do teste é tc = 0,899 e a conclusão: “deve-se rejeitar a hipótese nula no nível de significância de 5% e existe relação linear entre as quantidades de suor dos braços tratados e não tratados”. ( ) e) A estimativa é r = 0,3218, a estatística do teste é tc = 0,899 e a conclusão: “não se pode concluir absolutamente nada sobre a rejeição ou não da hipótese nula no nível de significância de 5% e também nada se pode afirmar sobre a relação entre as quantidades de suor dos braços tratados e não tratados”. 2) Os dados a seguir representam quantidade observadas de duas variáveis: X e Y . Ajustar o modelo de regressão linear simples dado por: Yi = β0 + β1Xi + ϵi. Marque a alternativa que tem o modelo ajustado correto. Unidade amostral 1 2 3 X 1 2 3 Y 3,1 4,9 7,2 ( ) a) O modelo ajustado é: ˆYi = 2 + 2Xi. ( ) b) O modelo ajustado é: ˆYi = 0,967 + 2,05Xi. ( ) c) O modelo ajustado é: ˆYi = −0,967 + 2,05Xi. ( ) d) O modelo ajustado é: ˆYi = 0,967 − 2,05Xi. ( ) e) O modelo ajustado é: ˆYi = 2 − 2Xi. 2 Gabarito 1) O programa R para obter a estimativa e para aplicar o teste são: x <- c(6.625,5.508,4.279,2.104,1.117,1.308,5.881,7.796,2.688) y <- c(0.113,0.142,0.067,0.083,0.055,0.121,0.207,0.076,0.101) cor(x,y)# Calula a correlação entre x e y res <- cor.test(x, y,method = "pearson")# aplica o teste t res # imprime o resultado do teste Os resultados são: > x <- c(6.625,5.508,4.279,2.104,1.117,1.308,5.881,7.796,2.688) > y <- c(0.113,0.142,0.067,0.083,0.055,0.121,0.207,0.076,0.101) > cor(x,y)# Calula a correlação entre x e y [1] 0.3217561 > res <- cor.test(x, y,method = "pearson")# aplica o teste t > res # imprime o resultado do teste Pearson’s product-moment correlation data: x and y t = 0.8991, df = 7, p-value = 0.3985 alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 95 percent confidence interval: -0.4354052 0.8123011 sample estimates: cor 0.3217561 Portanto, a resposta correta e a letra “c”. Você pode confrontar o valor calculado de t, com o tabelado de 2,364 e como o valor calculado é menor em módulo que o tabelado não se deve rejeitar H0. Alternativamente, você pode optar pelo valor-p que foi de 0,3985. como este valor é maior que o nível nominal de 0,05 de significância, então a hipótese nula não deve ser rejeitada neste nível de significância de 5%. 2) Para ajustar e testar os coeficientes de regressão podemos utilizar o seguinte programa: x <- c(1,2,3) y <- c(3.1, 4.9, 7.2) modelo <- lm(y~x) modelo$coefficients summary(modelo) Os resultados do programa R são: > x <- c(1,2,3) > y <- c(3.1, 4.9, 7.2) > modelo <- lm(y~x) > modelo$coefficients (Intercept) x 0.9666667 2.0500000 > summary(modelo) Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: 1 2 3 0.08333 -0.16667 0.08333 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 0.9667 0.3118 3.1 0.1986 x 2.0500 0.1443 14.2 0.0447 * Estatística Básica - CEX163 Ferreira, D.F. 3 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 0.2041 on 1 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9951,Adjusted R-squared: 0.9901 F-statistic: 201.7 on 1 and 1 DF, p-value: 0.04475 Assim, o modelo ajustado é: ˆYi =0,9667 + 2,0500Xi. O estimativa dada pelo coeficiente de regressão ˆβ1 foi significativamente diferente de 0 pelo teste t (valor-p = 0,0447). O R2 foi de 99,51%, mostrando uma alta explicação da variação da variável resposta pelo modelo de regressão. A resposta é, portanto, dada pela letra “b”. Obs. Vocês podem simplesmente copiarem estes programas e trocarem os dados para obter novos resultados em outros exercícios ou na prova. Baixem o R e o RStudio, se não fizeram isso antes, usando os links do campus virtual ou procurando no google. Estatística Básica - CEX163 Ferreira, D.F.