Funcoes de Uma Variavel Complexa - Teoria e Aplicações

Funcoes de Uma Variavel Complexa Sergio L Zani Sumario 1 Introducao 5 2 Os numeros complexos 9 3 Representacao vetorial de um numero complexo 13 4 Forma polar de um numero complexo 17 5 Raızes de numeros complexos 21 6 Alguns subconjuntos do plano complexo 25 7 Algumas funcoes elementares 29 8 Limite e continuidade 37 9 Derivacao e as equacoes de CauchyRiemann 41 10 Funcoes analıticas 51 11 Funcoes multivalentes 57 111 Raiz nesima 57 112 Logaritmo 59 113 Potˆencia 61 12 Curvas no plano complexo 63 13 Integracao 67 14 O Teorema de CauchyGoursat 75 141 Independˆencia do Caminho 77 15 Primitiva 79 16 A formula de Cauchy 85 3 17 Funcoes Harmˆonicas 93 18 Sequˆencias e Series 97 19 Series de Potˆencias 101 191 Serie de Taylor 112 192 Zeros de funcao analıtica 115 20 Series de Laurent 119 21 Singularidades 127 211 Singularidades e Serie de Laurent 129 22 O Teorema do Resıduo e Aplicacoes 131 221 Integrais Improprias Reais 135 222 Outros Tipos de Integrais 139 4 Capıtulo 1 Introducao Por que precisamos dos numeros complexos Antes de responder a esta questao vamos dar uma olhada porque ja precisamos estender o conceito de numeros para podermos resolver algumas equacoes algebricas simples Primeira mente assumiremos os naturais N 1 2 como o conceito primordial de numero Nos numeros naturais estao definidas duas operacoes a adicao e a multiplicacao ou Tambem existe uma ordem natural nestes numeros Considere o seguinte Problema 1 Encontre um numero natural que somado a 2 resulta em 1 Se n for este tal numero natural devera satisfazer n 2 1 11 Como o lado esquerdo da equacao 11 e sempre maior do que 2 1 2 vemos que nao existe solucao para este problema dentro dos numeros naturais Assim primeira extensao do conceito de numero se faz necessaria Daı surgem os numeros inteiros Z 2 1 0 1 2 que ampliam o conceito dos numeros naturais e preservam as operacoes e a ordem que ja existiam anteriormente O elemento 0 e tal que 0 m m para todo M N e dado n N n denota o inteiro que satisfaz n n 0 Note que problema 1 tem solucao em Z Vejamos o seguinte Problema 2 Encontre um numero inteiro cujo dobro seja a unidade Se n fosse um inteiro que solucionasse este problema deverıamos ter 2n 1 12 Porem o lado esquerdo de 12 e par enquanto que o numero um e ımpar Ou seja nao existe solucao para o problema 2 dentro dos numeros inteiros A solucao e ampliar mais uma vez o conceito de numeros estendendoo para o conjunto dos numeros racionais Aqui a extensao 5 e um pouco mais elaborada primeiro formamos o conjunto de todos pares ordenados p q com p q Z q 0 Depois dizemos que dois pares ordenados p q q 0 e m n n 0 sao equivalentes se pn qm Quando isto acontece representaremos por p q ou pq todos os pares m n n 0 tais que pn qm e chamaremos pq de um numero racional Podemos tambem definir a soma e a multiplicacao entre dois racionais da seguinte maneira p q m n pn qm qn e p q m n pm qn m n 0 Os numeros racionais tambem tˆem uma ordem natural que estende a ordem existente pre viamente nos inteiros dados dois racionais r s podemos supor que r pq q 0 e s mn n 0 e dizemos que r s se pn qm As operacoes e a ordem assim definidas para os numeros racionais preservam as anteriores Note que 2 apresenta solucao em Q Considere agora o Problema 3 Encontre um quadrado cuja area seja dois Se r for a medida do lado de um tal quadrado deverıamos ter r2 2 13 Esta equacao porem nao tem solucao dentro dos numeros racionais Basta ver que se colocar mos r pq e notarmos que podemos assumir que p e q nao apresentam divisores em comum com excecao de 1 ou 1 entao 13 e equivalente a p2 2q2 14 Assim p2 e par e portanto p e par por quˆe Logo podemos escrever p 2k para algum inteiro k Colocando esta informacao na equacao 14 obtemos 2k2 2q2 4k2 2q2 2k2 q2 Ou seja q2 e par e consequentemente q tambem e par Mas isto e impossıvel pois p e q nao possuem divisores comuns que sejam 1 e 1 Concluindo o problema 3 nao apresenta solucao em Q isto e nao existe nenhum numero racional que satisfaca a equacao r2 2 Note porem que existe uma infinidade de racionais que satisfazem a desigualdade r2 2 e que podemos tomar r2 tao proximo de 2 quanto quisermos Basta considerar por exemplo a sequˆencia de numeros racionais dada por r1 1 rn1 1 2rn 2 rn n 1 A proxima extensao a ser considerada a dos numeros reais e mais elaborada do que as anteriores e nao a apresentaremos aqui Contudo o conjunto dos numeros reais R pode ser entendido como um conjunto ordenado contendo os numeros racionais sobre o qual estao definidas duas operacoes adicao e multiplicacao que preservam as propriedades anteriores e satisfazendo o axioma do supremo todo subconjunto nao vazio X R e limitado superiormente 6 possui supremo isto e existe um numero real c tal que x c para todo x X e se d R satisfizer esta mesma propriedade entao c d Note que o conjunto X x R x 0 x2 2 e nao vazio pois 1 X e e limitado superiormente por 2 por exemplo Desta maneira X possui supremo em R Podese provar que o supremo de X digamos c satisfaz c2 2 resolvendose assim o problema 3 em R Considere o Problema 4 Encontre um numero cujo quadrado seja igual a 1 Se x R e solucao deste problema entao terıamos x2 1 Isto e impossıvel visto que como x 0 entao terıamos x 0 ou x 0 e assim x2 x x x x 0 uma contradicao Antes de continuarmos talvez seja natural tentar explicar porque se deveria resolver um problema como 4 Uma motivacao para isto pode ser dada pela equacao diferencial que descreve o movimento do pˆendulo y y 0 15 Note que as funcoes ex e ex x R satisfazem y y 0 e portanto e natural procuramos solucao de 15 da forma yx eλx Somos levados a λ2 1eλx 0 x R ou seja o quadrado de λ deve ser igual a 1 7 Capıtulo 2 Os numeros complexos Considere em C R R o plano cartesiano duas operacoes dadas por 1 x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 2 x1 y1 x2 y2 x1x2 y1y2 x1y2 x2y1 Tambem podemos definir a multiplicacao de um par x y por um numero real λ da seguinte forma λx y λx λy multiplicacao por escalar A primeira das operacoes acima nada mais e do que a soma de coordenadas vetoriais que ja e familiar de Algebra Linear ou Calculo II e como visto satisfaz as propriedades associativa e comutativa apresenta um elemento neutro e para todo par ordenado existe um recıproco que somada a ele resulta no elemento neutro Note que C com a adicao e a multiplicacao por escalar real e um espaco vetorial sobre R de dimensao dois Com relacao a operacao 2 temos a seguinte Proposicao 1 A operacao definida em C R R por x1 y1 x2 y2 x1x2 y1y2 x1y2 x2y1 e associativa e comutativa e satisfaz 1 0 x y x y para todo x y R2 Alem do mais se x y 0 0 entao existe u v C tal que x y u v 1 0 Prova 1 Associatividade Por um lado temos x1 y1 x2 y2 x3 y3 x1x2 y1y2 x1y2 x2y1 x3 y3 x1x2x3 x3y1y2 x1y2y3 x2y1y3 x1x2y3 y1y2y3 x1x3y2 x2x3y1 Por outro lado x1 y1 x2 y2 x3 y3 x1 y1 x2x3 y2y3 x2y3 x3y2 x1x2x3 x3y1y2 x1y2y3 x2y1y3 x1x2y3 y1y2y3 x1x3y2 x2x3y1 Comparando as expressoes acima obtemos o que querıamos mostrar 9 2 Associatividade Por um lado temos x1 y1 x2 y2 x1x2 y1y2 x1y2 x2y1 Por outro lado x2 y2 x1 y1 x2x1 y2y1 x2y1 x1y2 Comparando as expressoes acima obtemos o que querıamos mostrar 3 Elemento Neutro Temos 1 0 x y 1x 0y 1y 0x x y 4 Inverso Multiplicativo Se x y 0 0 entao podemos definir u v x x2 y2 y x2 y2 e obtemos x y u v x y x x2 y2 y x2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 y2 xy x2 y2 xy x2 y2 1 0 Exercıcio 1 Mostre que se x y 0 0 entao o inverso multiplicativo de x y e unico Se n N e z C definimos zn zn1 z n 2 z1 z O inverso multiplicativo de um numero complexo z nao nulo sera denotado por z1 e se m e um inteiro negativo definimos zm z1m Se z1 z2 C e z2 0 definimos z1 z2 z1z1 2 As operacoes de multiplicacao e adicao se relacionam atraves da distributividade como pode ser visto na seguinte Proposicao 2 Para quaisquer pares x1 y1 x2 y2 x3 y3 C temse x1 y1 x2 y2 x3 y3 x1 y1 x3 y3 x2 y2 x3 y3 Prova Por um lado temos x1 y1 x2 y2 x3 y3 x1 x2 y1 y2 x3 y3 x1x3 x2x3 y1y3 y2y3 x1y3 x2y3 x3y1 x3y2 10 Por outro x1 y1 x3 y3 x2 y2 x3 y3 x1x3 y1y3 x1y3 x3y1 x2x3 y2y3 x2y3 x3y2 x1x3 x2x3 y1y3 y2y3 x1y3 x2y3 x3y1 x3y2 Comparando as expressoes acima obtemos o que querıamos mostrar Definicao 1 O conjunto C munido das operacoes de adicao e multiplicacao definidas acima e chamado de corpo dos numeros complexos Vale a pena observar que as seguintes propriedades 1 x 0 y 0 x y 0 x y R 2 x 0 y 0 xy 0 x y R dizem que o subconjunto dos numeros complexos dado por R x 0 x R e preservado pela adicao e multiplicacao Desta forma e natural identificarmos R com o conjunto dos numeros reais Em outras palavras podemos assumir que o conjunto dos numeros reais e um subconjunto dos numeros complexos Como ja observamos C e um espaco vetorial sobre R com respeito a adicao e a multiplicacao por escalares reais Alem do mais por seus elementos serem pares ordenados C e um espaco vetorial bidimensional sobre R Desta forma como 1 0 e 0 1 formam uma base todo par z x y C se escreve de maneira unica como z x1 0 y0 1 Ja vimos que 1 0 e o elemento neutro da multiplicacao e como 1 0 R vamos denotalo tambem por 1 Vejamos o comportamento de 0 1 Temos 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 ou seja 0 12 1 0 21 Assim o numero complexo 0 1 possui quadrado recıproco aditivo do elemento neutro da adicao Usaremos a notacao i 0 1 obtendo i2 1 Com isto todo elemento z x y C pode ser escrito de modo unico como z x1 yi ou ainda z x yi Tambem escreveremos z x iy Dado z x iy x y R o numero x e chamado de parte real do numero complexo z e e denotado por ℜz O numero y e chamado de parte imaginaria do numero complexo z e e denotado por ℑz Temos z 0 se e somente se ℜz ℑz 0 Com esta nova notacao as operacoes em C podem ser escritas da seguinte forma 11 1 x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 iy1 y2 2 x1 iy1x2 iy2 x1x2 y1y2 ix1y2 x2y1 Alem do mais o inverso multiplicativo de z x iy 0 e dado por z1 x x2 y2 i y x2 y2 Exemplo 1 Encontre as partes real e imaginaria de z 1 i2 Temos z 1 i1 i 1 i i i2 2i Logo ℜz 0 e ℑz 2 Exemplo 2 Encontre as partes real e imaginaria de z 1 i1 i Temos z 1 i1 i1 1 i 1 1212 i 1 1212 1 21 i2 1 22i i Logo ℜz 0 e ℑz 1 12 Capıtulo 3 Representacao vetorial de um numero complexo Ja vimos que um numero complexo z xiy x y R e uma representacao de um par ordenado x y Assim podemos representalo num plano cartesiano xOy identificando o eixo x com os numeros reais os multiplos de 1 1 0 O eixo y representa os multiplos de i 0 1 e sera denominado de eixo imaginario 6 3 y x i 1 O Com esta visao geometrica dos numeros complexos definimos o modulo de z xiy x y R como z x2 y2 A partir daı definimos a distˆancia entre dois numeros complexos z1 e z2 como z1 z2 E imediato que valem as desigualdades ℜz ℜz z e ℑz ℑz z O conjugado de z x iy x y R e definido como z x iy Geometricamente z e a reflexao do vetor que representa z com relacao ao eixo real Note que valem as seguintes propriedades elementares Proposicao 3 Para todo z z1 z2 C temos 13 1 z z 2 z z 2ℜz 3 z z 2iℑz 4 z z 5 z z z R 6 z1 z2 z1 z2 7 λz λz se λ R Exercıcio 2 Prove as propriedades acima 6 3 y x i 1 O z s z Tambem temos Proposicao 4 Para todo z z1 z2 C temos 1 z2 zz 2 z1z2 z1 z2 3 z1z2 z1z2 14 4 z1z2 z1z2 se z2 0 5 z1 z2 z1 z2 6 z1z2 z1 z2 Prova Colocando x ℜz y ℑz x1 ℜz1 y1 ℑz1 x2 ℜz2 e y2 ℑz2 temos 1 zz x iyx iy x2 y2 ixy xy x2 y2 z2 2 Por um lado z1 z2 x1 x2 y1 y2 ix1 y2 x2 y1 x1 x2 y1 y2 ix1 y2 x2 y1 e pelo outro z1 z2 x1 iy1x2 iy2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 x1 x2 y1 y2 ix1 y2 x2 y1 3 Como z1 z22 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2 z12 z22 extraindo a raiz quadrada as expressões envolvem números reais obtemos o resultado 4 z1z2 z1z2 z2z2 1z22 z1 z2 1z22 z1z2 1z22 z1z2 z1z2 5 z1 z22 z1 z2z1 z2 z1 z2z1 z2 z1 z1 z2 z1 z1 z2 z2 z2 z12 z22 z1 z2 z1 z2 z12 z22 2 ℜ z1 z2 z12 z22 2z1 z2 z12 z22 2z1z2 z12 z22 2z1z2 z1 z22 extraindo a raiz quadrada obtemos o resultado 6 z1 z1 z2 z2 z1 z2 z2 e z2 z2 z1 z1 z2 z1 z1 z1 z2 z1 Daí z1 z2 z1 z2 ou seja z1 z2 z1 z2 Exemplo 3 Determine todos os valores a R para que a i 1 ai seja real Temos a i 1 ai a i 1 ai 1 ai 1 ai a a2i i a 1 a2 2a 1 a2 i1 a2 1 a2 Assim ℑ a i 1 ai 0 a2 1 a 1 ou a 1 Exemplo 4 Dados θ R e z cos θ i sen θ encontre z Temos z2 zz cos θ i sen θcos θ i sen θ cos2 θ sen2 θ 1 Logo cos θ i sen θ 1 Exemplo 5 Resolva a equacao iz 2z 1 i 0 Colocando x ℜz e y ℑz vemos que z satisfaz a equacao acima se e somente se ix iy 2x iy 1 i 2x y ix 2y 1 i 2x y 1 x 2y 1 x y 1 Exemplo 6 Determine todos os numeros complexos cujo quadrado seja igual ao conjugado Um numero complexo z x iy x y R e solucao deste problema se e somente se z2 z x iy2 x iy x2 y2 2xyi x iy x2 y2 x 2xy y y 0 ou x 12 Se y 0 a primeira equacao acima e equivalente a x2 x cujas solucoes sao x 0 ou x 1 Se x 12 a primeira equacao acima e equivalente a y2 34 cujas solucoes sao y 32 ou y 32 Assim o conjunto das solucoes do problema e dado por 0 1 1 i 3 2 1 i 3 2 16 Capıtulo 4 Forma polar de um numero complexo Dado um numero complexo z 0 podemos representalo em coordenadas polares como z r cos θ ir sen θ rcos θ i sen θ 41 onde r z e θ e o ˆangulo que o vetor representado por z faz com o eixo real medido no sentido antihorario em radianos Devido a periodicidade das funcoes seno e cosseno e evidente que a equacao 41 continua valida se substituirmos θ por θ 2kπ k Z Um ˆangulo θ que satisfaz 41 e chamado de argumento do numero complexo z e e denotado por arg z Enfatizamos que existem infinitos argumentos para um mesmo numero complexo Porem dado um intervalo de numeros reais da forma I θ0 θo 2π existe apenas um argumento em I para cada z 0 6 θ z r i 1 x y Colocando z x iy 0 x y R vemos que r x2 y2 Vejamos como se comporta o arg z 0 2π Se z for um numero real entao arg z 0 se ℜz 0 e arg z π se ℜz 0 Se z e um numero imaginario puro entao arg z π 2 se ℑz 0 e arg z 3π 2 se ℑz 0 Finalmente se ℜz 0 e ℑz 0 entao θ arg z fica determinado pela equacao tan θ ℑz ℜz e pelo quadrante onde se encontra o vetor que representa z Observacao 1 Dois numeros complexos coincidem se e somente se tˆem o mesmo modulo e seus argumentos diferem por um multiplo inteiro de 2π A representacao 41 continua valida quando z 0 tomando r 0 e θ R arbitrario 17 Exemplo 7 Encontre uma representacao polar para z 1 i Temos r z 2 Como z se encontra no primeiro quadrante temos que a solucao para tan θ 1 1 1 e θ π 4 Assim uma forma polar de z e 1 i 2 cos π 4 i sen π 4 Exemplo 8 Dado θ R determine uma forma polar dos seguintes numeros complexos a z cos θ i sen θ b v sen θ i cos θ E imediato que ambos numeros acima tˆem modulo 1 Note que z cos θ i sen θ cosθ i senθ que e uma forma polar para z Observe que u i cos θ i sen θ cos 3π 2 i sen 3π 2 cos θ i sen θ cos 3π 2 cos θ sen 3π 2 sen θ i cos 3π 2 sen θ sen 3π 2 cos θ cos θ 3π 2 i sen θ 3π 2 que e uma forma polar Exercıcio 3 Dado 0 θ π determine uma forma polar dos seguintes numero complexo z 1 cos θ i sen θ Proposicao 5 Seja z 0 Se θ e um argumento de z entao θ e um argumento de z Prova Escrevendo z rcos θ i sen θ tomando o conjugado obtemos z rcos θ i sen θ rcosθ i senθ Proposicao 6 Se rj e θj representam o modulo e um argumento respectivamente de zj C para j 1 2 entao r1r2 e θ1 θ2 representam o modulo e um argumento de z1z2 18 Prova Basta notar que z1z2 r1cos θ1 i sen θ1r2cos θ2 i sen θ2 r1r2cos θ1 cos θ2 sen θ1 sen θ2 icos θ1 sen θ2 cos θ2 sen θ1 r1r2cosθ1 θ2 i senθ1 θ2 Corolario 1 Se rj e θj representam o modulo e um argumento respectivamente de zj C para j 1 2 z2 0 entao r1r2 e θ1 θ2 representam o modulo e um argumento de z1z2 Prova Temos z1 z2 z1z2 z22 1 r2 2 r1r2cosθ1 θ2 i senθ1 θ2 r1 r2 cosθ1 θ2 i senθ1 θ2 Observacao 2 Seja zo cos θo i sen θo θo 0 Dado z C temos que zoz e a rotacao do vetor que representa z pelo ˆangulo θo no sentido antihorario Se θo 0 a rotacao e no sentido oposto A observacao acima segue imediatamente da proposicao 6 e do corolario 1 notandose que zo 1 A proposicao 6 se estende por inducao finita da seguinte maneira Proposicao 7 Se rj e θj representam o modulo e um argumento respectivamente de zj C para j 1 n entao r1 rn e θ1 θn representam o modulo e um argumento de z1 zn Tomando z z1 zn obtemos o seguinte Corolario 2 Se r e θ representam o modulo e um argumento respectivamente de z C entao para todo n N temos zn rncosnθ i sennθ Alem do mais se z 0 a formula acima e valida para todo n Z Corolario 3 De Moivre Para todo θ R e todo n Z temos cos θ i sen θn cosnθ i sennθ Prova Basta notar que cos θ i sen θ 1 19 Exemplo 9 Mostre que in n Z 1 1 i i Como i cos π 2 i sen π 2 obtemos in cos nπ 2 i sen nπ 2 Agora se n Z podemos escrever n 4k r onde r 0 1 2 3 e entao in cos 4k rπ 2 i sen 4k rπ 2 cos rπ 2 i sen rπ 2 1 se r 0 i se r 1 1 se r 2 i se r 3 20 Capıtulo 5 Raızes de numeros complexos Nas secoes anteriores vimos como operar com numeros complexos Nesta secao vamos nos ater a encontrar solucoes para equacoes do tipo zn zo 51 em que n N e zo C sao dados A melhor maneira para tratar este problema e usando a forma polar de representacao Primeiramente e claro que se zo 0 entao a equacao 51 apresenta somente a solucao z 0 Escrevendo z rcos θ i sen θ e zo rocos θo i sen θo vemos que 51 e equivalente a rncosnθ i sennθ rocos θo i sen θo 52 que por sua vez e equivalente a rn ro nθ θo 2kπ para algum k Z r nro θ θo n 2kπ n para algum k Z 53 E bom salientar que nro representa a raiz nesima positiva do numero real e positivo ro Quanto a equacao θ θo n 2kπ n vemos que para cada k Z temos um valor distinto de θ e para designar esta dependˆencia escreveremos θk ao inves de θ isto e θk θo n 2kπ n Tambem escreveremos zk nrocos θk i sen θk E facil ver que para todo k ℓ Z temos cosθkℓn i senθkℓn cos θk i sen θk 21 ou seja zkℓn zk Isto significa que podemos nos restringir as solucoes dadas por z0 zn1 54 Note que os numeros em 54 sao dois a dois distintos pois embora tenham o mesmo modulo seus argumentos nao diferem por nenhum multiplo inteiro de 2π veja a observacao 1 Em resumo se zo rocos θo i sen θo 0 a equacao 51 apresenta n solucoes raızes distintas dadas por zk nro cos θo 2kπ n i sen θo 2kπ n k 0 n 1 Note que se colocarmos ζ nro cos θo n i sen θo n e ζk cos 2kπ n i sen 2kπ n k 0 n 1 obtemos ζn zo ζn k 1 e as solucoes de 51 sao dadas por zk ζζk k 0 n 1 Ou seja conhecendose uma raiz de zo as outras raızes sao obtidas multiplicandoa pelas raızes da unidade Observe ainda que pela formula de De Moivre veja 3 temos ζk ζk 1 para k 0 n 1 De onde ζk ζ1ζk1 k 1 n 1 que geometricamente nos diz que ζk e obtido rodando ζk1 de um ˆangulo 2π n no sentido antihorario Desta maneira as raızes nesimas da unidade sao precisamente os vertices do polıgono regular inscrito na circunferˆencia z C z 1 tendo como um do vertices o numero um 6 1 θ1 2π 8 π 4 As raızes de z8 1 Exemplo 10 Encontre todas as raızes de z4 1 22 Como vimos as raızes sao dadas por ζk cos 2kπ 4 i sen 2kπ 4 cos kπ 2 i sen kπ 2 k 0 3 ou seja ζ0 1 ζ1 i ζ2 1 e ζ3 i Exemplo 11 Encontre as raızes de z3 1 i Como 1 i 2 cos 7π 4 i sen 7π 4 obtemos z0 6 2 cos 7π 12 i sen 7π 12 z1 6 2 cos 15π 12 i sen 15π 12 e z2 6 2 cos 23π 12 i sen 23π 12 23 Exercício 5 Descreva geometricamente o conjunto R z C ℜz2 1 Colocando z x iy xy R temos que ℜz2 x2 y2 e portanto ℜz2 1 x2 y2 1 que representa uma hipérbole Capıtulo 6 Alguns subconjuntos do plano complexo Ja vimos que a distˆancia entre dois pontos z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 x1 x2 y1 y2 R e dada por z1 z2 x1 x2 iy1 y2 x1 x22 y1 y22 que nada mais e do que a distˆancia usual entre dois pontos do plano euclidiano Desta forma definiremos conjuntos abertos fechados etc como feito em Calculo II Vamos as definicoes Definicao 2 1 Se zo C e r 0 o conjunto Dzo r z C z zo r e chamado de disco aberto centrado em zo e de raio r 0 2 Se zo C e r 0 o conjunto Dzo r z C z zo r e chamado de disco fechado centrado em zo e de raio r 0 3 Um ponto zo X C e chamado ponto interior de X se existir r 0 tal que Dzo r X 4 Dizemos que X C e aberto se todo x X e ponto interior de X 5 Dizemos que X C e fechado se o seu complementar for aberto 6 A fronteira de X C denotada por X e formada por todo ponto z C tal que z nao e ponto interior de X e z tambem nao e ponto interior do complementar de X Equivalentemente z X se e somente se para todo r 0 existem z1 X e z2 no complementar de X tal que z1 z2 Dz r Exemplo 12 O disco aberto e um exemplo de conjunto aberto bem como uma reuniao qualquer de discos abertos 25 Exemplo 13 O disco fechado e um exemplo de conjunto fechado bem como uma interseccao qualquer de discos fechados Podemos tambem trazer para o plano complexo as curvas que foram estudadas em Geometria Analıtica como as retas os cırculos as elipses etc Na geometria analıtica estas curvas sao expressas em termos das coordenadas dos pontos que estao sobre elas No plano complexo entretanto e mais conveniente expressalas em termos do ponto z e de seu conjugado z ou ainda com relacao ao modulo ou a distˆancia O que permite esta passagem sao as relacoes existentes entre as partes real e imaginaria de um numero complexo com relacao a este numero e o seu conjugado Exemplo 14 Considere a equacao geral da reta no plano cartesiano dada por ax by c 0 a2 b2 0 Enfatizamos que as constantes a b e c sao numeros reais e que um ponto que esta sobre esta reta tem coordenadas reais Mostre que a esta equacao pode ser escrita na forma αz α z β 0 onde z x iy x y R e α C β R Lembre que 2x z z e 2iy z z Com isto vemos que um ponto z x iy esta sobre a reta dada se e somente se az z 2 bz z 2i c 0 a bi 2 z a bi 2 z c 0 que esta na forma desejada Exemplo 15 Mostre que o cırculo Czo r z C z zo r pode ser escrito como zz αz α z β 0 onde α C e β R Temos z zo r z zo2 r2 z zoz zo r2 z zoz zo r2 zz zoz zoz zo2 r2 0 que esta na forma desejada Exercıcio 4 Descreva geometricamente o conjunto R z C ℜz ℑz 1 Colocando z x iy x y R temos que x ℜz e y ℑz 1 e assim z R se e somente se x y Desta forma R representa o semiplano fechado determinado pela reta z y que contem o ponto 1 0 26 Exercício 6 Descreva geometricamente o conjunto R z C z i z i 2 Colocando z x iy xy R temos que z R se e somente se z i 2z i x2 y 12 2x2 y 12 x2 y 12 4x2 4y 12 3x2 3y2 10y 3 0 x2 y2 103y 1 0 x2 y 532 1 259 0 x2 y 532 169 isto é R Ci53 43 o círculo centrado em i53 com raio 43 No visible text except one label near a small circle i53 Capítulo 7 Algumas funções elementares Seja D um subconjunto de C Uma função f a valores complexos sobre D é uma relação que a cada z D associa um único elemento de C denotado por fz Usaremos a notação F D C para representar uma função definida em D que toma valores em C As funções z ℜfz e z ℑfz são chamadas de partes real e imaginária de f respectivamente Usando a identificação z x iy x y x y R podemos definir as funções u v D R por ux y ℜfx iy e vx y ℑfx iy Note que u e v são funções de duas variáveis a valores reais Vejamos alguns exemplos de funções Exemplo 16 Fixados a0 an C definimos fz a0 a1z anzn z C que é chamada de função polinomial Os números a0 an são chamados de coeficientes de f Exercício 7 Mostre que se f é uma função polinomial com coeficientes reais então fz fz Em particular fzo 0 se e somente se fzo 0 Exemplo 17 Seja fz z2 3iz 2 Note que fi 1 3 2 0 mas fi fi 1 3 2 6 0 Exemplo 18 Se p e q são funções polinomiais definimos a função racional hz pzqz para todo z C tal que qz 0 Mais adiante veremos que para cada função polinomial digamos q existe somente um número finito de números complexos satisfazendo qz 0 Exercício 8 Seja fz 1z definida para z 0 Encontre as partes real e imaginária de f Colocando z x iy x y R temos 1 z z z2 x x2 y2 i y x2 y2 Assim as partes real e imaginaria sao dadas respectivamente por ux y x x2 y2 e vx y y x2 y2 x y 0 0 Exercıcio 9 Seja hz 1 i z i z 1 z 1 Mostre que imagem imagem do conjunto S cos θ i sen θ π θ π e o eixo real Note que S e o cırculo centrado na origem de raio um do qual foi excluıdo o numero 1 Para π θ π temos hcos θ i sen θ 1 icos θ isen θ 1 1 cos θ i sen θ 1 icos θ isen θ 1 1 cos θ i sen θ 1 cos θ i sen θ 1 cos θ i sen θ 1 i1 cos θ sen θ i1 sen θ cos θ 21 cos θ 1 cos θ sen θ 21 cos θ 1 i1 i 1 cos θ sen θ 1 cos θ R Alem do mais usando LHospital para funcao de variavel real temos lim θπ 1 cos θ sen θ 1 cos θ lim θπ sen θ cos θ sen θ lim θπ 1 cotg θ e lim θπ 1 cos θ sen θ 1 cos θ lim θπ sen θ cos θ sen θ lim θπ 1 cotg θ e como φθ hcos θ i sen θ e uma funcao contınua de π θ π vemos que a imagem de S pela funcao h e todo o eixo real Definicao 3 Definimos a funcao exponencial por exp z excos y i sen y onde x ℜz y ℑz Proposicao 8 Mostre que 1 expz1 z2 exp z1 exp z2 para todo z1 z2 C 30 2 exp z eℜz para todo z C em particular exp z 0 3 exp zn expnz para z C e n inteiro 4 exp z exp z 5 Se z e real entao exp z ez cos z expiz expiz 2 e sen z expiz expiz 2i Prova 1 Escrevendo zj xj iyj xj yj R j 1 2 e utilizando a formula para o produto veja 6 obtemos expz1 z2 expx1 x2 iy1 y2 ex1x2cosy1 y2 i seny1 y2 ex1cos y1 i sen y1ex2cos y2 i sen y2 exp z1 exp z2 2 basta notar que cos y i sen y 1 e eℜz 0 3 como exp z 0 para todo n Z temos exp zn excos y i sen yn enxcosny i senny expnx iny expnz 4 escrevendo z x iy x y R temos exp z excos y i sen y excos y i sen y excosy i seny expx iy exp z 5 Se z e real entao ℑz 0 z ℜz e pela definicao de exponencial temos exp z eℜzcosℑz i senℑz ezcos 0 i sen 0 ez Como z e real tambem temos ℜiz ℜiz 0 e ℑiz z ℑiz Assim expiz cos z i sen z expiz cosz i senz cos z i sen z cos z expizexpiz 2 sen z expizexpiz 2i Observacao 3 Em virtude da proposicao anterior veja 5 utilizaremos tambem a expressao ez para denotar exp z mesmo quando z C 31 Observacao 4 Note que z C tem modulo igual a um se somente se z eiθ para algum θ R Como as expressoes expizexpiz 2 e expizexpiz 2i estao definidas para todo numero complexo z e tendo em vista a proposicao 8 item 5 definimos as funcoes seno e cosseno por Definicao 4 cos z expiz expiz 2 e sen z expiz expiz 2i z C Proposicao 9 Para todo z z1 z2 C temos 1 cos z cos x cosh y i sen x senh y onde x ℜz e y ℑz 2 sen z sen x cosh y i cos x senh y onde x ℜz e y ℑz 3 cos z2 cos2 x senh2 y onde x ℜz e y ℑz 4 sen z2 sen2 x senh2 y onde x ℜz e y ℑz 5 cos z 0 se e somente se z π 2 kπ k Z 6 sen z 0 se e somente se z kπ k Z 7 cos2 z sen2 z 1 8 cos z cos z 9 sen z sen z 10 cosz cos z 11 senz sen z 12 cosz1 z2 cos z1 cos z2 sen z1 sen z2 13 senz1 z2 sen z1 cos z2 sen z2 cos z1 14 cosz1 z2 cos z1 cos z2 sen z1 sen z2 15 senz1 z2 sen z1 cos z2 sen z2 cos z1 16 cosz 2π cos z 17 senz 2π sen z Prova Colocando x ℜz e y ℑz temos 32 1 cos z expiz expiz 2 expy ix expy ix 2 eycos x i sen x eycos x i sen x 2 ey ey 2 cos x iey ey 2 sen x cosh y cos x i senh y sen x 2 sen z expiz expiz 2i expy ix expy ix 2i eycos x i sen x eycos x i sen x 2i ey ey 2i cos x iey ey 2i sen x cosh y sen x i senh y cos x 3 de 1 obtemos cos z2 cosh2 y cos2 x senh2 y sen2 x cosh2 y cos2 x senh2 y1 cos2 x cosh2 y senh2 y cos2 x senh2 y cos2 x senh2 y 4 de 2 obtemos sen z2 cosh2 y sen2 x senh2 y cos2 x cosh2 y sen2 x senh2 y1 sen2 x cosh2 y senh2 y sen2 x senh2 y sen2 x senh2 y 5 note que cos z 0 se e somente se cos z 0 Segue de 3 que colocando x ℜz e y ℑz entao cos z 0 se e somente se cos x 0 e senh y 0 ou seja se e somente se x π 2 kπ k Z e y 0 6 note que sen z 0 se e somente se sen z 0 Segue de 4 que colocando x ℜz e y ℑz entao cos z 0 se e somente se sen x 0 e senh y 0 ou seja se e somente se x kπ k Z e y 0 33 7 cos2 z sen2 z expiz expiz2 4 expiz expiz2 4 exp2iz exp2iz 2 exp2iz exp2iz 2 4 1 8 cos z expiz expiz 2 expiz expiz 2 cos z 9 sen z expiz expiz 2i expiz expiz 2i sen z 10 cosz expiz expiz 2 cos z 11 senz expiz expiz 2i sen z 12 temos cos z1 cos z2 sen z1 sen z2 1 4 expiz1 expiz1expiz2 expiz2 expiz1 expiz1expiz2 expiz2 1 4 expiz1 z2 expiz1 z2 expiz1 z2 expiz1 z2 expiz1 z2 expiz1 z2 expiz1 z2 expiz1 z2 1 2 expiz1 z2 expiz1 z2 cosz1 z2 13 temos sen z1 cos z2 sen z2 cos z1 1 4i expiz1 expiz1expiz2 expiz2 expiz2 expiz2expiz1 expiz1 1 4i expiz1 z2 expiz1 z2 expiz1 z2 expiz1 z2 expiz1 z2 expiz1 z2 expiz1 z2 expiz1 z2 1 2i expiz1 z2 expiz1 z2 senz1 z2 34 14 substitua z2 por z2 em 12 e use 10 e 11 15 substitua z2 por z2 em 13 e use 10 e 11 16 por 12 cosz 2π cos z cos 2π sen z sen 2π cos z 17 por 13 senz 2π sen z cos 2π sen 2π cos z sen z Observacao 5 Note que por 5 e 6 os zeros das funcoes complexas cosseno e seno sao os mesmos que os zeros das funcoes reais cosseno e seno respectivamente Desta forma podemos definir as funcoes complexas tg cotg sec e cosec de modo analogo ao caso real Definicao 5 Dizemos que uma funcao f definida num subconjunto D de C e limitada se existir K 0 tal que fz K para todo z D Exemplo 19 As funcoes seno e cosseno nao sao limitadas em C Usando 3 e 4 da proposicao 9 com z ni n 1 2 vemos que cos z sen z senh n en en 2 quando n Exemplo 20 Sejam A 0 e D z C ℑz A As funcoes seno e cosseno sao limitadas em D Se z x iy D x y R entao como y A temos cos z2 cos2 x senh2 y 1 ey ey2 4 1 e2A Tomando K 1 e2A vemos que cos z K para todo z D De modo analogo sen z K para todo z D Definicao 6 As funcoes complexas seno e cosseno hiperbolicos sao definidas por senh z exp z expz 2 e cosh z exp z expz 2 Deixamos como exercıcio a verificacao da seguinte Proposicao 10 Temos 1 cosh2 z senh2 z 1 para todo z C 2 cosh z2 senh2 x cos2 y para todo z x iy C x y R 3 senh z2 senh2 x sen2 y para todo z x iy C x y R 4 cosh z 0 se e somente z 2k1 2 πi para algum k Z 5 senh z 0 se e somente z kπi para algum k Z 35 No text found Capıtulo 8 Limite e continuidade Definicao 7 Sejam f D C C e zo C Dizemos que existe o limite de f em zo se existir L C tal que para cada ε 0 existir δ 0 tal que z D 0 z zo δ fz L ε Deixamos como exercıcio a verificacao de que se existir L C satisfazendo a definicao acima ele e o unico Neste caso usaremos a notacao L lim zzo fz Geometricamente a existˆencia do limite de f em zo significa que dado qualquer disco C centrado em L e possıvel encontrar um outro disco centrado em zo cujos pontos distintos de zo e que estao em D sao mandados por f em C Exemplo 21 Verifique que i lim zzo α α α constante ii lim zzo z zo iii lim zzo z zo iv lim zzo z zo Seja ε 0 i Tome δ 0 qualquer e daı α α 0 ε ii Tome δ ε Daı sempre que z zo δ temos z zo δ ε iii Tome δ ε Daı sempre que z zo δ temos z zo z zo z zo δ ε iv Tome δ ε Daı sempre que z zo δ temos z zo z zo δ ε Proposicao 11 Sejam f g funcoes tais que existem limzzo fz e limzzo gz Temos 1 Para quaisquer α β C temos lim zzoαfz βgz α lim zzo fz β lim zzo gz 37 2 limzzo fzgz limzzo fz limzzo gz 3 Se limzzo gz 0 então limzzo fzgz limzzo fzlimzzo gz Prova 1 Faça como exercício 2 Coloque L limzzo fz e M limzzo gz Usando a definição de limite tome δ1 0 tal que fz L 1 sempre que 0 z zo δ1 Segue que fz fz L L 1 L sempre que 0 z zo δ1 Usando a definição de limite existe δ2 0 tal que fz L ε21 M sempre que 0 z zo δ2 Também existe δ3 0 tal que gz M ε21 L sempre que 0 z zo δ3 Coloque δ minδ1 δ2 δ3 Se 0 z zo δ então fzgz LM fzgz M Mfz L fzgz M Mfz L 1 Lε21 L Mε21 M ε 3 Pela parte anterior basta mostrarmos que limzzo gz 1M Dado ε 0 pela definição de limite existe δ1 0 tal que gz M ε2 M2 sempre que 0 z zo δ1 Também existe δ2 0 tal que gz M M2 sempre que 0 z zo δ2 M gz M gz temos que gz M gz M M M2 M2 sempre que 0 z zo δ2 Tomando δ minδ1 δ2 temos 1gz 1M M gzMgz 1M ε2 M2 2M ε sempre que 0 z zo δ Exemplo 22 Como ja vimos que limzzo z zo segue da proposicao anterior que se fz e uma funcao polinomial que limzzo fz fzo Alem do mais se g e tambem polinomial com gzo 0 entao lim zzo fz gz fzo gzo Exercıcio 10 Encontre se possıvel limz0 z z Note que sobre se z 0 e real temos z z 1 e se z 0 e imaginario puro temos z z 1 Como todo disco centrado na origem possui numeros real e imaginario puro concluımos pela unicidade do limite que nao existe limz0 z z Proposicao 12 Sejam f D C C u e v as partes real e imaginaria de f e zo xoiyo C xo yo R A fim de exista o limite de f em zo e necessario e suficiente que existam os limites de u e v em xo yo Em caso afirmativo vale lim zzo fz lim xyxoyo ux y i lim xyxoyo vx y Prova Suponha que existam uo limxyxoyo ux y e vo limxyxoyo vx y Dado ε 0 existem δ1 δ2 0 tal que ux y uo ε 2 sempre que 0 z zo x xo2 y yo2 δ1 e vx y vo ε 2 sempre que 0 z zo x xo2 y yo2 δ2 Tomando δ minδ1 δ2 temos fzuo ivo ux yuoivx yvo ux yuovx yvo ε 2 ε 2 ε sempre que 0 z zo δ Reciprocamente se existir L limzzo fz entao para cada ε 0 existe δ 0 tal que fz L ε sempre que 0 z zo x xo2 y yo2 δ Colocando L U iV U V R temos que ux yU ux y U2 vx y V 2 ux yivx yU iV fzL ε e vx yV ux y U2 vx y V 2 ux yivx yU iV fzL ε sempre que 0 z zo x xo2 y yo2 δ 39 Exemplo 23 Utilizando a proposicao acima e observando as partes real e imaginaria das funcoes exponencial seno e cosseno vemos que se zo C entao i lim zzo exp zo ii lim zzo sen z sen zo iii lim zzo cos z cos zo Definicao 8 Sejam f D C C e zo D Dizemos que f e contınua em zo se lim zzo fz fzo Dizemos que f e contınua em D se f for contınua em todos os pontos de D Observacao 6 Segue da proposicao 11 que se f e g sao contınuas em zo entao para quaisquer α β C que αf βg e contınua em zo Alem do mais o produto fg e contınuo em zo e o mesmo vale para fg desde que gzo 0 Observacao 7 Segue da proposicao 12 que uma condicao necessaria e suficiente para que f seja contınua e que as suas partes real e imaginaria sejam contınuas Observacao 8 Segue do exemplo 22 que toda funcao polinomial e contınua e o mesmo vale para as funcoes racionais Vale a pena salientar que uma funcao racional e contınua sobre os pontos onde ela esta definida Exemplo 24 A funcao fz z z e contınua para todo z 0 Basta notar que se zo 0 entao lim zzo z z limzzo z limzzo z zo zo fzo Observacao 9 Segue do exemplo 23 que as funcoes exponencial seno e cosseno tambem sao contınuas Proposicao 13 Sejam f D C Ω C e g Ω C Se f e contınua em zo D e g e contınua em ζo fzo entao a composta g f D C tambem e contınua em zo Prova Dado ε 0 pela continuidade de g em ζo existe δ1 tal que gζ gζo gζ gfzo ε sempre que ζ ζo δ1 81 Por outro lado existe δ 0 entao fz ζo fz fzo δ1 sempre que z zo δ Combinando a desigualdade acima com 81 obtemos que gfz gfzo ε sempre que z zo δ 40 Capıtulo 9 Derivacao e as equacoes de CauchyRiemann Definicao 9 Sejam D C um aberto f D C e zo D Dizemos que f e derivavel em zo se o seguinte limite existir lim zzo fz fzo z zo ou equivalentemente caso exista lim h0 fzo h fzo h Em caso afirmativo escreveremos f zo lim zzo fz fzo z zo lim h0 fzo h fzo h e diremos que f zo e a derivada de f em zo Observacao 10 Note que f zo e a derivada de f em zo D se e somente se para qualquer ε 0 existir δ 0 tal que fz fzo f zoz zo εz zo sempre que z zo δ ou equivalentemente fzo h fzo f zoh εh sempre que h δ Proposicao 14 Se f D C e derivavel em zo D entao f e contınua em zo Prova Note que lim zzofz fzo lim zzo fz fzo z zo z zo 41 lim zzo fz fzo z zo lim zzoz zo f zo 0 0 ou seja lim zzo fz fzo Exemplo 25 Mostre que fz αz β e derivavel para qualquer zo C e f z α Temos lim zzo fz fzo z zo lim zzo αz β αzo β z zo lim zzo αz zo z zo α Exemplo 26 Mostre que fz z nao e derivavel em nenhum ponto Observe que para z zo fz fzo z zo z zo z zo z zo z zo Assim se tomarmos z zo h h R h 0 obtemos fz fzo z zo h h 1 Por outro lado tomando z zo hi h R h 0 obtemos fz fzo z zo hi hi 1 Como os pontos da forma zo h e zo hi podem ficar tao proximos a zo quanto quisermos vemos que nao existe lim zzo z zo z zo Valem as regras usuais de derivacao isto e temos a Proposicao 15 Sejam D C um aberto zo D e f g D C Se f e g sao derivaveis em zo entao 1 αf βgzo αf zo βgzo onde α β C 2 f gzo f zogzo fzogzo 3 f g zo fzogzofzogzo gzo2 desde que gzo 0 Prova 42 1 Como f zo e gzo existem temos lim zzo αfz βgz αfzo βgzO z zo α lim zzo fz fzo z zo β lim zzo gz gzo z zo αf zo βgzo 2 como f zo e gzo existem e f e contınua em zo temos lim zzo fzgz fzogzo z zo lim zzo fzgz gzo gzofz fzo z zo lim zzo fzgz gzo z zo gzo lim zzo fz fzo z zo fzogzo gzof zo 3 usando o item anterior basta mostrarmos que 1 g zo gzo gzo2 Como gzo existe g e contınua em zo e gzo 0 temos lim zzo 1 gz 1 gzo z zo lim zzo 1 gzgzo lim zzo gzo gz z zo gzo gzo2 Exemplo 27 Se fnz zn n N entao f nz nzn1 De fato do exemplo 26 obtemos f 1z 1 e por inducao se assumirmos que f n1z n 1zn2 entao pela proposicao anterior f nz z zn1 1 zn1 z n 1zn2 nzn1 Exemplo 28 Se fz a0 a1z anzn entao f z a1 2a2z nanzn1 Exemplo 29 Se gnz zn n N entao g nz nzn1 para todo z 0 Note que gn 1 fn fn como no exemplo 27 e portanto se z 0 g nz f nz fnz2 nzn1 z2n nzn1 No capıtulo anterior vimos que para que uma funcao f D C C fosse contınua era necessario e suficiente que as suas partes real e imaginaria fossem contınuas Como veremos a seguir para que f seja derivavel nao bastara que suas partes real e imaginaria tenham derivadas Os dois proximos teoremas nos mostram como elas se relacionam 43 Teorema 1 Sejam D C um aberto zo xo iyo D xo yo R f D C ux y ℜfz e vx y ℑfz Se f e derivavel em zo entao existem as derivadas parciais de u e v em xo yo e elas satisfazem u xxo yo v yxo yo e u y xo yo v xxo yo 91 Alem do mais f zo u xxo yo iv xxo yo v yxo yo iu y xo yo 92 Prova Como f zo existe por hipotese podemos calculala dos seguintes modos Primeiro modo Aproximando do ponto zo xo iyo por pontos da forma xo h iyo D com h R f zo lim h0 hR fxo h iyo fxo iyo h lim h0hR uxo h yo uxo yo h ivxo h yo vxo yo h u xxo yo iv xxo yo pois como o limite existe sabemos pela proposicao 12 que tambem existem os limites das partes real e imaginaria Segundo modo Aproximando do ponto zo xo iyo por pontos da forma xo iyo h D com h R f zo lim h0 hR fxo iyo h fxo iyo ih lim h0hR uxo yo h uxo yo ih ivxo yo h vxo yo ih lim h0hR vxo yo h vxo yo h iuxo yo h uxo yo h v yxo yo iu y xo yo Deste modo f zo u xxo yo iv xxo yo v yxo yo iu y xo yo resultando em nas equacoes 91 e 92 Observacao 11 As equacoes 91 sao chamadas de equacoes de CauchyRiemann Embora a parte real e a parte imaginaria de uma funcao f devam satisfazer estas equacoes para que exista a derivada de f a simples verificacao de 91 nao e garantia da existˆencia de f como mostra o seguinte exemplo 44 Exemplo 30 A funcao fz z5 z4 se z 0 0 se z 0 nao e derivavel em z 0 mas as suas partes real e imaginaria satisfazem as equacoes de CauchyRiemann em z 0 Se h reiθ r 0 e θ R entao fh f0 h h5 h4 h h4 h4 r4e4iθ r4 e4iθ Como a expressao acima depende do valor de θ vemos que nao existe a derivada de f em z 0 Por outro lado se u ℜf e v ℑF vemos que u0 0 v0 0 0 e para z x iy 0 x y R fz z5 z4 x iy5 x2 y22 x5 10x3y2 5xy4 x2 y22 iy5 10x2y3 5yx4 x2 y22 ux y ivx y Agora u x0 0 lim x0 ux 0 u0 0 x lim x0 x x 1 v y0 0 lim y0 v0 y v0 0 y lim y0 y y 1 verificando a primeira das equacoes de CauchyRiemann em 0 0 Tambem u y 0 0 lim y0 u0 y u0 0 x lim y0 0 y 0 v x0 0 lim x0 vx 0 v0 0 x lim x0 0 y 0 verificando a segunda das equacoes de CauchyRiemann em 0 0 Os resultados obtidos ate agora nao nos dao muita informacao de como calcular derivadas das funcoes complexas Com o que sabemos nao vamos muito mais longe do que o calculo das derivadas de funcoes polinomiais ou funcoes racionais pzqz p e q polinˆomios O proximo teorema nos fornece uma condicao suficiente para que uma funcao complexa possua derivada Esta condicao e que alem de que as partes real e imaginaria desta funcao existam e satisfacam as equacoes de CauchyRiemann elas tambem sejam de classe C1 isto e possuam derivadas parciais contınuas Teorema 2 Sejam D C um aberto zo xo iyo D xo yo R e f D C uma funcao tal que ux y ℜfz e vx y ℑfz possuam derivadas parciais de primeira ordem contınuas em xo yo Se u e v satisfazem as equacoes de CauchyRiemann 91 entao f e derivavel em zo e f zo e dada por 92 45 Prova Como u e v são de classe C1 sabemos de Cálculo II que existem funções ε₁ e ε₂ definidas em torno de 00 satisfazendo para todo rs R² suficientemente pequeno uxₒ r yₒ s uxₒyₒ uxxₒyₒr uyxₒyₒs ε₁rs vxₒ r yₒ s vxₒyₒ vxxₒyₒr vyxₒyₒs ε₂rs e limrs00 ε₁rsr²s² limrs00 ε₂rsr²s² 0 Colocando h r is e utilizando as equações de CauchyRiemann temos fzₒ h fzₒ uxₒ r yₒ s uxₒyₒ ivxₒ r yₒ s vxₒyₒ uxxₒyₒr uyxₒyₒs i uxxₒyₒr i vyxₒyₒs ε₁rs iε₂rs uxxₒyₒr vxxₒyₒs i vxxₒyₒr i uxxₒyₒs ε₁rs iε₂rs uxxₒyₒr si i vxxₒyₒr si ε₁rs iε₂rs uxxₒyₒ i vxxₒyₒ h ε₁rs iε₂rs e desta forma limh0 fzₒ h fzₒh uxxₒyₒ i vxxₒyₒ limhrsi0 ε₁rsrsi i ε₂rsrsi 0 pois εjrsr si εjrsr² s² 0 quando rs 0 1 12 Isto mostra que f é derivável em zₒ e fzₒ uxxₒyₒ i vxxₒyₒ Quanto à outra fórmula para fzₒ basta usar a fórmula acima e as equações de CauchyRiemann Observação 12 As fórmulas 92 também podem ser escritas da seguinte forma fz x fx iy i y fx iy Equivalentemente fx i fy 0 Exemplo 31 A funcao exponencial e derivavel em qualquer z C e expz exp z Como ux y ℜ exp z ex cos y e vx y ℑ exp z ex sen y sao funcoes de classe C1 para mostrar que a exponencial e derivavel resta mostrar que elas satisfazem as equacoes de CauchyRiemann De fato u xx y xex cos y ex cos y yex sen y v yx y e u y x y yex cos y ex sen y xex sen y v xx y Alem do mais expz x expx iy xex cos y iex sen y ex cos y iex sen y exp z Exemplo 32 Temos sen z cos z para todo z C Pelo item 2 da proposicao 9 temos que ux y ℜ sen z sen x cosh y e vx y cos x senh y sao de classe C1 e satisfazem as equacoes de CauchyRiemann pois u xx y xsen x cosh y cos x cosh y ycos x senh y v yx y e u y x y ysen x cosh y sen x senh y xcos x senh y v xx y Alem do mais senz xsen x cosh y i cos x senh y cos x cosh y i sen x senh y cos z pelo item 1 da proposicao 9 Exercıcio 11 Mostre que cos z sen z para todo z C Proposicao 16 Sejam D C um aberto zo D zo 0 e f D C u ℜf v ℑf Suponha que u e v sejam de classe C1 Entao u e v satisfazem as equacoes de Cauchy Riemann em zo roeiθo se e somente se as funcoes Ur θ ur cos θ r sen θ e V r θ vr cos θ r sen θ definidas numa vizinhanca de ro θo satisfazem as equacoes U r ro θo 1 ro V θ ro θo e 1 ro U θ ro θo V r ro θo 93 Alem do mais em caso afirmativo temse f zo cos θo i sen θo U r ro θo iV r ro θo 94 47 Prova Aplicando a regra da cadeia U r ro θo u xzo cos θo u y zo sen θo 95 U θ ro θo u xzoro sen θo u y zoro cos θo 96 V r ro θo v xzo cos θo v yzo sen θo 97 e V θ ro θo v xzoro sen θo v yzoro cos θo 98 Assim se u e v satisfazem as equacoes de CauchyRiemann comparando 95 com 98 e 96 com 97 obtemos as equacoes 93 Reciprocamente se U e V satisfazem as equacoes 93 entao de 95 e 98 obtemos u xzo v yzo cos θo u y zo v xzo sen θo 0 e de 96 e 97 v yzo u xzo sen θo u y zo v xzo cos θo 0 ou seja cos θo sen θo sen θo cos θo u xzo v yzo u yzo v xzo 0 0 cuja unica solucao e u xzo v yzo 0 e u y zo v xzo 0 que sao as equacoes de CauchyRiemann De 95 e 96 obtemos u x cos θo U r ro θo sen θo ro U θ ro θo e de 97 e 98 obtemos v x cos θo V r ro θo sen θo ro V θ ro θo Agora se u e v satisfazem as equacoes de CauchyRiemann entao f zo u x iv x cos θo U r ro θo sen θo ro U θ ro θo 48 i cos θo V r ro θo sen θo ro V θ ro θo cos θo U r ro θo sen θo V r ro θo i cos θo V r ro θo sen θo U r ro θo cos θo i sen θo U r ro θo iV r ro θo eiθo r U iV ro θo Observacao 13 As equacoes 93 sao chamadas de equacoes de CauchyRiemann na forma polar Exercıcio 12 Verifique que a funcao dada por Lz 1 2 logx2 y2 i arctg y x definida para x 0 e derivavel e calcule a sua derivada Usando coordenadas polares com r 0 e π 2 θ π 2 obtemos que Lr cos θ ir sen θ log r iθ Como as partes real e imaginaria de L sao de classe C1 podemos verificar que as funcoes Ur θ log r e V r θ θ sao suaves e U r 1 r U θ 0 V r 0 e V θ 1 satisfazem 93 Assim Lz Lreiθ eiθ r log r iθ eiθ 1 r reiθ r2 z z2 z zz 1 z Exercıcio 13 Verifique que a funcao dada na forma polar por Rz r cos θ 2 i sen θ 2 rei θ 2 definida para π θ π r 0 e derivavel e calcule a sua derivada Como as partes real U e imaginaria V de R sao de classe C1 e U r 1 2r cos θ 2 U θ r 2 sen θ 2 V r 1 2r sen θ 2 e V θ r 2 cos θ 2 satisfazem 93 vemos que R e derivavel e Rz Rreiθ eiθ r r cos θ 2 i sen θ 2 eiθ 1 2rei θ 2 1 2rei θ 2 1 2rei θ 2 1 2Rz 49 No text blank page Capıtulo 10 Funcoes analıticas Definicao 10 Sejam D um aberto zo D e f D C Dizemos que f e analıtica em zo se a f for derivavel em todos os pontos de algum disco aberto centrado em zo Dizemos que f e analıtica em D se f for analıtica em todos os pontos de D Uma funcao analıtica em C e chamada de funcao inteira Observacao 14 Usase tambem o termo holomorfa como sinˆonimo de funcao analıtica Exemplo 33 As funcoes polinomiais exponencial seno e cosseno trigonometricos ou hi perbolicos sao exemplos de funcoes inteiras pois sao derivaveis em todo ponto de C Exemplo 34 Como toda funcao polinomial possui apenas um numero finito de zeros podemos ver que as funcoes racionais sao analıticas em todos os pontos onde estao definidas Exemplo 35 A funcao fz z2 so e derivavel na origem Logo nao e analıtica em nenhum ponto De fato como as partes real e imaginaria de f sao respectivamente dadas por ux y x2 y2 e vx y 0 vemos que elas sao de classe C1 e as equacoes de CauchyRiemann sao satisfeitas somente na origem pois u xx y 2x 0 v yx y u yx y 2y 0 v xx y x y 0 0 Proposicao 17 Se f e g sao analıticas em zo entao as seguintes funcoes tambem o sao 1 αf βg onde α β C 2 fg 51 3 fg desde que gzo 0 Prova Faca como exercıcio Proposicao 18 Regra da Cadeia Sejam D Ω C abertos f D Ω e g Ω C Se f e analıtica em D e g e analıtica em Ω entao a composta g f D C tambem e analıtica em D e vale g fzo gfzof zo para todo zo D Prova Apresentaremos apenas a prova em dois casos especiais O primeiro caso e quando fz e constante Neste caso g f tambem e constante e a conclusao da proposicao e imediata O outro caso que consideraremos e quando fz fzo para todo z proximo a zo mas z zo Neste caso gfz gfzo z zo gfz gfzo fz fzo fz fzo z zo 101 Como f e contınua em zo e g e derivavel em fzo temos lim zzo gfz gfzo fz fzo gfzo Como f e derivavel em zo temos lim zzo fz fzo z zo f zo Logo segue de 101 que g f e derivavel em zo e vale g fzo gfzof zo Definicao 11 Uma poligonal em C e uma reuniao finita de segmentos de reta Ij aj1 t bjt C 0 t 1 onde aj bj C j 1 n satisfazendo b1 a2 bn1 an Definicao 12 Um conjunto D de numeros complexos e chamado de conexo se quaisquer dois pontos de D puderem ser conectados por uma poligonal contida em D Proposicao 19 Seja D um aberto conexo Se f D C satisfaz f z 0 para todo z D entao f e constante em D 52 Prova Como D e aberto e a derivada de f existe em todos os pontos de D temse que f e analıtica Como f z 0 segue de 92 que u xx y v xx y v yx y u y x y 0 Como D e conexo podemos usar um resultado de Calculo II para concluir que u e v sao constantes em D Portanto f u iv tambem e constante em D Corolario 4 Seja D um aberto conexo Se f D C e analıtica e fz e constante entao fz tambem e constante Prova Colocando f u iv como de costume seguese que u2 v2 c constante Derivando esta ultima expressao e usando as equacoes de CauchyRiemann obtemos u u x v v x 0 u u y v v y 0 u u x v u y 0 u u y v u x 0 u v v u u x u y 0 0 Agora se c 0 entao u v 0 e portanto f e constante e igual a zero Por outro lado se c 0 o sistema acima so admite a solucao trivial u x u y 0 Voltando as equacoes de CauchyRiemann obtemos tambem v x v y 0 e portanto f 0 Pela proposicao anterior f e constante As funcoes analıticas possuem uma propriedade geometrica bem interessante como pode ser vista no teorema a seguir Teorema 3 Sejam D C um aberto e f D C uma analıtica tal que f z 0 Sejam u ℜf e v ℑf Entao as curvas de nıvel de u e v se cruzam ortogonalmente Prova Como f 0 entao os vetores gradientes u e v sao nao nulos e por um resultado de Calculo II temos que u e v sao ortogonais as curvas de nıvel de u e de v respectivamente Porem pelas equacoes de CauchyRiemann u u x u y v y v x Assim u x u y v x v y v y v x v x v y v y v x v x v y 0 Exemplo 36 Considere fz z2 z 0 Como f z 2z 0 vemos que as curvas ux y ℜfz x2 y2 c1 e vx y ℑfz 2xy c2 se cruzam ortogonalmente Note que estas curvas sao hiperboles 53 3 2 1 0 1 2 3 y 3 2 1 1 2 3 x Figura 101 x2 y2 c1 e 2xy c2 3 2 1 0 1 2 3 y 3 2 1 1 2 3 x Figura 102 ex cos y c1 e ex sen y c2 54 Exemplo 37 Considere fz ez Como f z ez 0 vemos que as curvas ux y ℜfz ex cos y c1 e vx y ℑfz ex sen y c2 se cruzam ortogonalmente Exemplo 38 Encontre se possıvel uma famılia de curvas ortogonais as curvas dadas em co ordenadas polares por r2 cos 2θ α α R r 0 Seja Ur θ r2 cos 2θ e procuremos V r θ de classe C1 tal que freiθ Ur θ iV r θ seja analıtica Se uma tal V existir devera satisfazer as condicoes de CauchyRiemann na forma polar veja 93 U r r θ 2r cos 2θ 1 r V θ r θ V θ r θ 2r2 cos 2θ U θ r θ 1 rr22 sen 2θ 2r sen 2θ V r r θ Integrando a primeira equacao obtemos V r θ r2 sen 2θ ψr onde a funcao ψ e escolhida de modo a satisfazer a segunda equacao isto e 2r sen 2θ V r r θ 2r sen 2θ ψr ou seja ψr 0 isto e ψ e constante digamos ψ k R Desta maneira obtemos V r θ r2 sen 2θ k e como pode ser visto V e de classe C1 e satisfaz as equacoes de CauchyRiemann na forma polar Desta forma f e analıtica e portanto a famılia de curvas r2 sen 2θ k β β R e ortogonal a r2 cos 2θ α α R Note que fz freiθ r2 cos 2θ ir2 sen 2θ k r2 cos 2θ ir2 sen 2θ ik r2cos 2θ i sen 2θ ik r2e2iθ ik reiθ2 ik z2 ik Exemplo 39 Faca o mesmo para a famılia de cırculos x2 y2 α α 0 Coloque ux y x2 y2 e procuremos vx y de classe C1 tal que f u iv seja analıtica isto e que u e v satisfacam as equacoes de CauchyRiemann Devemos ter u xx y 2x v yx y u yx y 2y v xx y Integrando a primeira equacao obtemos vx y 2xy ψx onde ψ deve ser escolhida de modo a satisfazer a segunda equacao isto e v x 2y ψx 2y ψy 4y o que e impossıvel pois ψ e independente de y 55 Vemos assim que o metodo usado no exemplo anterior nem sempre se aplica Poderıamos ter iniciado com vx y x2 y2 e querer encontrar u de classe C1 tal que f u iv fosse analıtica Neste caso as equacoes de CauchyRiemann nos levariam a u xx y 2y v yx y u yx y 2x v xx y Como anteriormente integrando a primeira equacao obtemos ux y 2xy φy Como a segunda equacao tambem precisa ser satisfeita devemos ter 2x φy 2x que tambem e impossıvel Note entretanto que o feixe de retas que passa pela origem que e dado por ax by 0 a b R a2 b2 0 e uma famılia ortogonal aos cırculos x2 y2 α α 0 56 Capıtulo 11 Funcoes multivalentes 111 Raiz nesima Neste capıtulo vamos tratar na sua maior partede inversas para algumas funcoes elementares Vejamos como isto pode ser feito no caso da funcao de uma variavel real f R R dada por fx xn n N Quando n e ımpar para cada y R existe apenas um numero real x satisfazendo xn y Este numero e denotado por ny e a funcao inversa de f e simplesmente g R R gy ny Agora quando n e par xn e sempre maior ou igual a zero Desta forma a equacao xn y so pode ser resolvida quando y 0 Neste caso isto e quando y 0 a equacao xn y apresenta duas solucoes distintas a menos quando y 0 uma positiva e outra negativa Por convencao denotamos a solucao positiva por ny Assim a funcao f quando restrita ao intervalo 0 possui como inversa a funcao h 0 0 dada por hy ny Como veremos a situacao no complexo tera de ser tratada de modo diferente O primeiro aspecto a ser observado e que a equacao zn zo sempre possui solucao e na verdade se zo 0 ela possui n solucoes distintas Esta ocorrˆencia de solucoes se assemelha ao caso real em que n e par quando fizemos uma escolha sobre qual raiz seria escolhida No entanto a escolha aqui deveria ser feita entre as n solucoes existentes O outro aspecto a ser considerado decorre do modo como expressamos as raızes nesimas na forma polar Relembrando se expressarmos zo roeiθo entao as n raızes nesimas de zo sao dadas por uk nro cos θo 2kπ n i sen θo 2kπ n nroeiθo2kπn k 0 n 1 111 Fixemos por enquanto uma destas raızes e a denotemos por nz Como a expressao nz n reiθ nreiθ2kπn envolve θ o argumento de z devemos verificar se ela nao se altera quando o argumento e trocado por θ 2mπ pois esta mudanca nao altera o numero complexo z Isto claramente nao ocorre pois nreiθ2kπn nreiθ2mπ2kπn 57 se m nao for um multiplo de n Para se ver livre deste inconveniente podemos limitar a variacao do argumento de z tomando por exemplo π θ π A fim de simplificar a notacao vamos escolher a raiz correspondente a k 0 na equacao 111 Note que se zo e um numero real negativo entao duas maneiras de representalo na forma polar com sao zoeiπ e zoeiπ Embora a primeira destas representacoes nao esteja dentro do que impusemos para a variacao de θ ela pode se escrita como zoeiπ lim θπ zoeiθ Assim lim θπ n zoeiθ nrei π n enquanto que nzo n zoeiπ n zoei π n Desta forma a escolha que fizemos deixa des contınua a funcao raiz nesima nos pontos z R z 0 Na verdade qualquer outra escolha para k em 111 produziria o mesmo efeito Alem do mais se a restricao no argumento fosse determinada pela variacao θo θ θo 2π onde θo R a nova definicao de raiz nesima apresentaria descontinuidade no raio reiθo r 0 Antes de apresentarmos a definicao definitiva do que pretendemos dizer por funcao raiz nesima note que os unicos valores possıveis para n eiθn quando θ varia sao aqueles apresen tados em 111 com θ θo e r ro Geometricamente tomando z C escolhemos um de seus argumentos e apos isto rotacionamos os pontos do plano no sentido antihorario por um ˆangulo de 2π Com isto a imagem do ponto z pela rotacao coincide consigo proprio porem a expressao n eiθn passara para n eiθ2πn Aplicando mais uma rotacao como a anterior obtemos o novo valor de n ei4πθn Desta maneira apos n destas rotacoes o resultado sera n ei2πnθn que e igual a n eiθn Definimos a funcao multivalente raiz nesima n como sendo a relacao que a cada z associa todas as n raızes dadas como em 111 Vale a pena salientar que uma funcao multivalente nao e uma funcao no estrito senso da definicao de funcao ja que associa a um elemento do seu domınio mais de um valor Considere agora a funcao Rkz Rkreiθ nrei θ2kπ n θo θ θo 2π que coincide com um dos valores possıveis para a raiz nesima As suas partes real e imaginaria sao dadas respectivamente por Ur θ nr cos θ 2kπ n e V r θ nr sen θ 2kπ n sao funcoes de classe C1 para r 0 e satisfazem U r r θ 1 nr 1 n1 cos θ 2kπ n 1 r 1 nr 1 n cos θ 2kπ n 1 r V θ r θ e V r r θ 1 nr 1 n 1 sen θ 2kπ n 1 r 1 nr 1 n sen θ 2kπ n 1 r U θ r θ que sao as equacoes de CauchyRiemann na forma polar Logo Rk e analıtica e e chamada de um ramo da funcao multivalente raiz nesima e tambem e denotado por n Quando tomamos θo 0 e k 0 o ramo e chamado de ramo principal 58 112 Logaritmo Vamos definir o logaritmo de um numero complexo z log z atraves da relacao w log z z exp w Note que log z nao e definido quando z 0 pois ja vimos que a funcao exponencial nunca se anula Outra observacao pertinente e que como a exponencial complexa e uma funcao periodica de perıodo igual a 2πi expz 2πi exp z a expressao z exp w nao define w de maneira unica a partir de z Com efeito se para um dado z encontrarmos w tal que z exp w entao para todo k Z os numeros wk w 2kπi tambem satisfazem z exp wk Desta maneira o logaritmo tambem deve ser definido como uma funcao multivalente Representando z 0 na forma polar reiθ e se w for um dos valores de log z entao z exp w reiθ exp w eℜw r e ℑw θ 2kπ ou seja a parte real de w e o logaritmo real de r z e a sua parte imaginaria e um argumento qualquer de z Assim log z log z i arg z 112 onde o logaritmo que aparece no lado direito da igualdade acima e o logaritmo natural ou neperiano real Note que o argumento da variavel z e tambem uma funcao multivalente e assim devemos encarar a expressao 112 como uma igualdade de conjuntos ou seja para cada z 0 log z representa todos os numeros complexos da forma log z iargo z 2kπ com k Z e argoz e um argumento de zo fixado Exemplo 40 Calcule log i Temos log i log i i π 2 2kπ log 1 i4k 1 2 π i4k 1 2 π k Z Exemplo 41 Calcule log z se ℑz 0 z 0 Temos z z se z 0 ou z zeiπ se z 0 No primeiro caso log z log z 2kπi k Z e no segundo log z log z 2k 1πi k Z Quando restringimos a variacao do argumento em um intervalo θo θo 2π vemos que a representacao 112 fica definida de maneira unica para todo z 0 Porem como no caso da raiz nesima a funcao deixa de ser contınua sobre os pontos do raio Ro reiθo r 0 No 59 entanto se considerarmos a restricao do argumento ao intervalo aberto θo θo 2π vemos que as partes real e imaginaria do logaritmo sao dadas na forma polar por Ur θ log r e V r θ θ respectivamente Como ja vimos no exercıcio 12 estas funcoes sao de classe C1 e satisfazem as equacoes de CauchyRiemann na forma polar e portanto a funcao logaritmo quando restringirmos o argumento da variavel a um intervalo do tipo θo θo 2π e analıtica em todo o plano menos o raio Ro Cada uma destas restricoes e chamada de um ramo da funcao multivalente logaritmo No caso em que tomarmos θo π diremos que o ramo tomado e o ramo principal e o denotaremos por Log Exemplo 42 Seja fz log z um ramo do logaritmo Calcule log z Se z reiθ r 0 θo θ θo 2π entao tomando log z log r iθ e usando 94 obtemos log z eiθ r log r i rθ eiθ 1 r 1 reiθ 1 z Exemplo 43 Calcule Log1 i Escrevendo 1 i 2eiπ4 obtemos de imediato que Log1 i log 2 iπ 4 Proposicao 20 Se z1 e z2 sao nao nulos entao as seguintes igualdades de conjuntos sao validas 1 log z1z2 log z1 log z2 2 log z1 z2 log z1 log z2 Prova Antes de comecarmos a prova explicaremos o que queremos dizer com respeito a expressao igualdades de conjuntos No primeiro item isto significa que dado um dos possıveis valores de log z1z2 e possıvel encontrar um valor de log z1 e um valor de log z2 cuja soma seja igual ao valor dado do logaritmo de z1z2 e reciprocamente Isto e dados um valor de log z1 e um valor de log z2 e possıvel encontrar um valor de log z1z2 que coincida com a soma dos valores tomados de log z1 e log z2 O segundo item e tratado de modo semelhante Vamos provar somente o primeiro item Coloque zj zjeiθj onde θj e um argumento de zj j 1 2 Entao z1z2 z1z2eiθ1θ2 e assim log z1z2 log z1z2 iθ1 θ2 2kπ log z1 iθ1 log z2 iθ2 2kπ e vemos que log z1 iθ1 e um dos valores de log z1 e log z2 iθ2 2kπ e um dos valores de log z2 Reciprocamente log z1 log z2 log z1 iθ1 2mπ log z2 iθ2 2kπ log z1z2 iθ1 θ2 2m kπ log z1z2 iθ1 θ2 2m kπ que e um dos valores de log z1z2 60 113 Potência Se z 0 e α C definimos zα expα log z Dependendo do expoente α a função z zα é multivalente No entanto quando α n Z a definição acima coincide com aquela que já havíamos dado para zn De fato se z reiθ r 0 temos expn log z expnlog r iθ 2kπ expn log r expi n θ 2kπ explog rn expi n θ exp2k n π i rn ei n θ r ei θn zn que é independente de k Z Quando α 1n n N a definição acima também coincide com a da função multivalente raiz nésima De fato z1n exp1n log z exp1n log r iθ 2kπ exp1n log r expi θ 2kπn explog r1n expi θ 2kπn nr ei θ 2kπn nz Note que em geral quando tomamos um ramo do logaritmo a função fz zα com esta restrição é chamada também de ramo Note ainda que este ramo é uma função analítica pois é composição de duas funções analíticas No caso de tomarmos o ramo principal do logaritmo o ramo da função potência também será chamado de principal Exemplo 44 Seja fz zα um ramo da função potência Calcule fz Fixe um ramo do logaritmo com r 0 e θₒ θ θₒ 2π dado por log z log r i θ 2kπ Podemos usar a regra da cadeia para obter fz expα log z α log z expα log z α 1z α expα log zexplog z α expα log z log z α expα 1 log z α zα 1 onde deve ser entendido que zα 1 é o ramo da função multivalente z zα 1 com r 0 e θₒ θ θₒ 2π Exemplo 45 Encontre todos os valores de ii Temos ii expi log i expi log i i π2 2kπ exp 4k 12 π e 4k 12 π com k Z Note que todos os valores de ii são reais Observacao 15 Algumas propriedades algebricas que sao validas para potenciacao real perdem a veracidade no caso complexo Vejamos duas delas 1 Nao e verdade que sempre que z 0 e α β C temse zαβ zαzβ nem mesmo no sentido de igualdade de conjuntos Basta tomar z 1 α β 1 2 e os dois valores distintos para z 1 2 um igual a 1 e o outro igual a 1 Daı 1 1 2 1 2 11 1 mas 1 1 21 1 2 11 1 2 Nao e verdade que sempre que z 0 e α β C temse zαβ zαβ nem mesmo no sentido de igualdade de conjuntos Basta tomar α p N p 2 e β 1 np n N e daı vemos que zp 1 np representa np numeros distintos enquanto que zp 1 np z 1 n representa apenas n numeros distintos No entanto vale a seguinte propriedade cuja demonstracao e deixada como exercıcio Proposicao 21 Se z1 e z2 sao nao nulos e α C entao vale a seguinte igualdade de conjuntos z1z2α zα 1 zα 2 62 Capıtulo 12 Curvas no plano complexo Definicao 13 Uma curva no plano complexo e uma funcao contınua γ a b C isto e as funcoes de uma variavel real ℜγ ℑγ a b R sao contınuas Dizemos que a curva e simples se a t s b implicar em γt γs a menos que t a e s b Dizemos que a curva e fechada se γa γb Exemplo 46 γt cos ti sen t t 0 2π representa o cırculo unitario centrado na origem Esta curva e simples e fechada Exemplo 47 A cardioide γθ 1 2cos θeiθ 1 2cos θ cos θi 1 2cos θ sen θ 0 θ 2π e exemplo de uma curva fechada que nao e simples Figura 121 Cardioide Exemplo 48 γt z0 z1 z0t 0 t 1 z0 z1 C z0 z1 representa o segmento no plano complexo cujas extremidades sao z0 e z1 Note que esta curva e simples mas nao e fechada 63 Definicao 14 Considere uma curva γt xt iyt xt yt R a t b Dizemos que γ e suave se as funcoes de valores reais x y a b R possuem derivada contınua O vetor γ t xt iyt e chamado de vetor velocidade ou tangente a curva γ em γt Se γ t 0 para todo a t b dizemos que γ e uma curva regular Exemplo 49 Todas as curvas dos exemplos anteriores sao exemplos de curvas suaves e regu lares Vejamos mais especificamente o exemplo 47 Neste caso temos γ θ sen θeiθ i 1 2 cos θ eiθ eiθ sen θ i 1 2 cos θ Como eiθ 0 vemos que γ θ 0 se e somente se sen θi 1 2 cos θ 0 ou seja sen θ 0 e cos θ 1 2 o que e impossıvel Logo γ θ 0 para todo 0 θ 2π Exemplo 50 Considere a curva γt t3 it2 1 t 1 Esta curva e suave mas como γ 0 0 nao e regular Figura 122 Curva nao regular Definicao 15 O traco de uma curva γ a b C e a imagem desta curva Observacao 16 Muitas vezes usaremos a palavra curva significando na verdade o seu traco Exemplo 51 As curvas γt eit 0 t 2π e γt e2it 0 t π possuem o mesmo traco Qual O exemplo anterior serve para ilustrar que o mesmo traco pode ser percorrido de formas diferentes No entanto naquele exemplo temos γt γ2t 0 t π e percebemos que o que ocorreu foi uma mudanca de parˆametro da curva γ Isto sugere o seguinte 64 Definicao 16 Seja γ a b C uma curva suave Seja φ c d a b uma funcao suave cuja inversa φ1 a b c d tambem e suave Diremos que φ e uma mudanca de parˆametro e γt γφt c t d e uma reparametrizacao da curva γ Observacao 17 Se φ c d a b e uma mudanca de parˆametro entao temos φt 0 para todo t c d ou φt 0 para todo t c d No primeiro caso φc b e φd a ja no segundo φc a e φd b Exemplo 52 Seja γ a b C uma curva suave Considere φ a b a b dada por φt a b t Vˆese que φ e uma mudanca de parˆametro e γt γa b t a t b e uma reparametrizacao de γ Note que essa mudanca de parˆametro inverte a ordem sobre a qual o traco de γ e percorrido Exemplo 53 Considere γt cos t i2 sen t 0 t 2π O traco desta curva e uma elipse x y R2 x2 y2 4 1 que e percorrido no sentido antihorario Fazendose a mudanca do exemplo 52 obtemos γt γ02πt γ2πt cos2πti2 sen2πt cos ti2 sen t que representa a mesma elipse porem percorrida no sentido horario As vezes nos deparamos com tracos de curvas que sao mais facilmente parametrizaveis por partes ou seja sabemos parametrizar partes de um traco da curva e queremos a partir daı parametrizar todo o traco Neste caso precisamos saber como proceder para colar estes pedacos arcos da curva Vejamos como fazer Considere duas curvas γ1 a b C e γ2 c d C tais que γ1b γ2c Definimos γ a b d c C por γt γ1t se a t b γ2t c b se b t b d c 121 Note que a condicao γ1b γ2c assegura a continuidade de γ No entanto mesmo que γ1 e γ2 sejam suaves podemos ter que nao exista a derivada de γ em t b Observe que o traco de γ e a reuniao dos tracos de γ1 e γ2 Definicao 17 A curva γ dada por 121 e chamada de justaposicao das curvas γ1 e γ2 Definicao 18 Sejam γj aj bj C j 1 n curvas suaves tais que γ1b1 γ2a2 γn1bn1 γnan A justaposicao das curvas γ1 γ2 γn e chamada de caminho Observacao 18 As definicoes de caminhos fechados e simples sao analogas as definicoes usa das para curvas Definicao 19 Um contorno e um caminho fechado e simples Exemplo 54 A justaposicao das curvas γ1t t 0 t 1 γ2t 1 it 0 t 1 γ3t 1ti1t 0 t 1 e o caminho cujo traco representa o triˆangulo de vertices 0 1 e 1i Este caminho e exemplo de um contorno 65 Figura 123 Um contorno Teorema 4 Todo contorno γ divide o plano em duas regioes conexas disjuntas X1 e X2 com as seguintes propriedades 1 X1 X2 traco de γ 2 X1 e limitada 3 X2 e ilimitada A regiao X1 e chamada de interior da curva γ 66 Capítulo 13 Integração Definição 20 Seja g ab C uma curva contínua com ut ℜgt e vt ℑgt A integral de g sobre ab é definida por ab gt dt ab ut dt i ab vt dt Observação 19 ℜ ab gt dt ab ℜgt dt e ℑ ab gt dt ab ℑgt dt Proposição 22 Se fg ab C são contínuas e α C então 1 ab ft gt dt ab ft dt ab gt dt 2 ab αft dt α ab ft dt 3 ab ft dt ab ft dt Prova 1 Colocando u1 ℜf v1 ℑf u2 ℜg e v2 ℑg obtemos ab ft gt dt ab u1t u2t iv1t v2t dt ab u1t u2t dt i ab v1t v2t dt ab u1t dt i ab v1t dt ab u2t dt i ab v2t dt ab ft dt ab gt dt 2 Se α é real temos ab αft dt ab αu1t iαv1t dt ab αu1t dt i ab αv1t dt α ab u1t dt iα ab v1t dt α ab u1t dt i ab v1t dt α ab ft dt Agora ab ift dt ab iu1t v1t dt ab v1t iu1t dt ab v1t dt i ab u1t dt ab v1t dt i ab u1t dt i ab u1t dt i ab v1t dt i ab ft dt Finalmente colocando α β iη βη R combinando o item anterior e o que já foi demonstrado neste item obtemos ab αft dt ab β ft iηft dt ab β ft dt ab iηft dt β ab ft dt iη ab ft dt β iη ab ft dt α ab ft dt 3 Coloque reiθ ab ft dt Temos ab ft dt r eiθ ab ft dt ab eiθ ft dt ℜab eiθ ft dt ab ℜeiθ ft dt pois ab ft dt é real Daí ab ft dt ab ℜ eiθ ft dt ab ℜ eiθ ft dt ab eiθ ft dt ab ft dt Definicao 21 Sejam γ a b Ω C uma curva suave e f Ω C uma funcao contınua A integral de linha de f sobre a curva γ e definida por γ fz dz b a fγtγt dt Note que gt fγtγt e uma curva contınua se f e γ sao como na definicao acima Se colocarmos u ℜf v ℑf x ℜγ e y ℑγ entao γ fz dz γ fγtγt dt b a uxt yt ivxt ytxt iyt dt b a uxt ytxt vxt ytyt dt i b a uxt ytyt vxt ytxt dt γ udx vdy i γ vdx udy onde as ultimas integrais sao integrais de linha como visto em Calculo III Valem as seguintes propriedades Proposicao 23 Se f1 f2 Ω C C sao contınuas e γ a b C e suave entao γ α1f1z α2f2z dz α1 γ f1z dz α2 γ f2z dz onde α1 α2 C Prova Colocando uj ℜfj vj ℑfj βj ℜαj e δj ℑαj j 1 2 obtemos α1f1 α2f2 β1 iδ1u1 iv1 β2 iδ2u2 iv2 β1u1 δ1v1 β2u2 δ2v2 iβ1v1 δ1u1 β2v2 δ2u2 Assim usando as propriedades de integral de linha como visto em Calculo III γ α1f1z α2f2z dz γ β1u1 δ1v1 β2u2 δ2v2dx β1v1 δ1u1 β2v2 δ2u2dy i γ β1v1 δ1u1 β2v2 δ2u2dx β1u1 δ1v1 β2u2 δ2v2dy β1 iδ1 γ u1dx v1dy i γ v1dx u1dy β2 iδ2 γ u2dx v2dy i γ v2dx u2dy α1 γ f1z dz α2 γ f2z dz 69 Proposição 24 Sejam f Ω C C uma função contínua e γ1 ab Ω curva suave Se ϕ cd ab é uma mudança de parâmetro e γ2 é a reparametrização de γ1 obtida através de ϕ então γ1 fz dz γ2 fz dz se ϕ é crescente γ2 fz dz se ϕ é decrescente Prova Provaremos apenas o caso em que ϕ é decrescente O outro caso é deixado como exercício Como γ2t γ1ϕt temos γ2t γ1ϕtϕt Como ϕ é decrescente ϕc b e ϕd a Assim fazendo a mudança τ ϕt obtemos γ2 fz dz cd fγ2tγ2t dt cd fγ1ϕtγ1ϕtϕt dt ba fγ1τγ1τdτ ab fγ1τγ1τdτ γ1 fz dz Prova Exemplo 55 Se n Z calcule γ z z0n dz onde γt z0 Reit R 0 0 t 2π e n Z Observe que o traço de γ é o círculo centrado em z0 de raio R A função fz z z0n é contínua mesmo quando n é negativo em Ω C 0 Como γt Rieit e z z0 Reit temos γ fz dz 02π ReitnRieit dt 02π Rn1iein1t dt Se n 1 então a integral acima se reduz a 02π i dt 2πi Se n 1 então γ fz dz 02π Rn1icosn 1t i senn 1t dt Rn1i 02π cosn 1t Rn1i 02π senn 1t dt Rn1i senn 1t n 102π Rn1i cosn 1t n 102π 0 Assim γ1 z z0n dz 2πi se n 1 0 se n 1 6 2 Figura 131 Contorno de integracao Exemplo 56 Calcule γ 1 z dz onde γt 2 eit 0 t 2π Veja que 1 z z 01 mas o centro de γ e o numero 2 o raio e 1 ou seja este exemplo nao e um caso particular do exemplo anterior Assim 1 z e contınua numa regiao contendo o traco de γ Sabemos que qualquer ramo do logaritmo satisfaz log z 1 z Como a curva sobre a qual estamos integrando fica no semiplano x 0 tomaremos um ramo do logaritmo denotado por log pela restricao π θ π Desta forma a funcao φt log2 eit 0 t 2π e bem definida e suave Aplicando a regra da cadeia obtemos φt 1 2 eitieit ieit 2 eit Deste modo γ 1 z dz 2π 0 ieit 2 eit dt 2π 0 φt dt φ2π φ0 log2 e2πi log2 e0i log 3 log 3 0 Definicao 22 Se γa b Ω C e um caminho formado pela justaposicao das curvas suaves γ1 γn se f Ω C e contınua definimos γ fz dz n j1 γj fz dz Observacao 20 A propriedade enunciada na proposicao 23 continua valida para caminhos Exemplo 57 Calcule γ z dz onde o traco de γ e o triˆangulo de vertices 0 1 e i percorrido no sentido antihorario 71 Parametrizando cada um dos lados do triângulos por γ₁t t 0 t 1 γ₂t 1 t it 0 t 1 γ₃t 1 ti 0 t 1 obtemos γ₁ z dz ₀¹ t dt 12 γ₂ z dz ₀¹ 1 t it1 i dt ₀¹ t 1 t dt i ₀¹ 1 t t dt ₀¹ dt i ₀¹ 1 2t dt 1 it t² ₀¹ 1 γ₃ z dz ₀¹ 1 tii dt ₀¹ 1 t dt t t²2 ₀¹ 12 Deste modo γ z dz γ₁ z dz γ₂ z dz γ₃ z dz 12 1 12 0 Figura 132 Cardióide γt 1 cos t eit 22 ₀π 1 cos t1 cos t 1 cos t dt 22 ₀π 1 cos² t 1 cos t dt 22 ₀π sen² t 1 cos t dt 22 ₀π sen t 1 cos t dt 22 ₀π sen t 1 cos t dt 42 ₀π ddt 1 cos t dt 42 1 cos t ₀π 422 0 8 Assim basta mostrar a proposição quando γ é uma curva suave Como γ a b Ω é contínua o seu traço γ é um conjunto compacto Como a função g γ ℝ dada por gz fz também contínua e γ é compacto então ela atinge um máximo em γ que denotaremos por m maxz γ gz maxz γ fz Assim γ fz dz ab fγt γt dt ab fγtγt dt ab mγt dt m ab γt dt m ℓγ Exemplo 59 Utilize a proposição 25 para obter uma estimativa da integral γ zn dz onde n ℤ e γt Reit R 0 0 t π Precisamos saber o comprimento da curva e o máximo de zn sobre o seu traço Ora o comprimento é πR e para todo 0 t π temos Reitn Rn eint Rn Assim γ zn dz Rn πR πRn1 Observe que se n 2 então limR γ zn dz 0 Exemplo 60 Idem para γ 1z4 1 dz onde γt Reit 0 t 2π R 1 Sobre o traço de γ a função fz 1z4 1 pode ser majorada como segue fγt fReit 1R4 e4it 1 1R⁴ e4it 1 1R⁴ 1 1R⁴ 1 onde foi usada a seguinte versão da desigualdade triangular a b a b a b ℂ Desta forma γ 1z4 1 dz 1R⁴ 1 ℓγ 2π RR⁴ 1 Capıtulo 14 O Teorema de CauchyGoursat Neste capıtulo faremos uso do Teorema de Green como visto em Calculo III Teorema 5 Teorema de Green Sejam γ um contorno orientado no sentido antihorario e R o seu interior Se P e Q sao funcoes de classe C1 definidas em R entao γ Pdx γ Qdy R Q x P y dxdy Observacao 21 R R R Teorema 6 Teorema de CauchyGoursat Sejam γ e R como no enunciado do Teorema de Green Se f e uma funcao analıtica definida em um aberto contendo R entao γ fzdz 0 Prova A demonstracao que faremos sera somente no caso em que f e de classe C1 Esta parte e devida a Cauchy A parte sem a hipotese de f ser de classe C1 e bem mais elaborada e e creditada a Goursat Coloque u ℜf e v ℑf Aplicando o teorema de Green obtemos γ fzdz γ udx vdy i γ vdx udy R v x u y dxdy i R u x v y dxdy R v x u y dxdy i R u x v y dxdy 0 pois pelas equacoes de CauchyRiemann u y v x e u x v y 75 Exemplo 61 Calcule γ 1 z2dz onde γ eit 0 t 2π Como o contorno γ delimita a regiao R z C z 1 e fz 1 z2 e claramente analıtica em R x C z 1 obtemos γ 1 z 2dz 0 Exemplo 62 Calcule γ 1 z2dz onde γ 2 eit 0 t 2π Note que agora a funcao f nao esta definida em toda a regiao delimitada por γ Basta observar que 2 z C z 2 1 Desta maneira o teorema de CauchyGoursat nao se aplica Devemos assim calcular a integral usando apenas a definicao Temos γ 1 z 2dz 2π 0 ieit eit dt i 2π 0 dt 2πi O teorema de CauchyGoursat se aplica a regioes mais gerais do que aquelas dadas por in terior de contornos Mais precisamente ele continua valido para regioes simplesmente conexas que passamos a definir Definicao 24 Seja D um aberto conexo Dizemos que D e simplesmente conexo se o interior de qualquer contorno contido em D esta contido em D Observacao 22 Grosso modo um conjunto simplesmente conexo nao apresenta buracos Exemplo 63 Considere os conjuntos D1 z C z 1 D2 z C 1 z 3 e D3 z C 0 z 1 D3 D2 D1 Todos os trˆes conjuntos sao abertos e conexos No entanto somente D1 e simplesmente conexo Observe que embora o contorno γ1t 2eit esteja contido em D2 os seu interior z C z 2 nao esta O mesmo acontece em D3 com o contorno γ2t 1 2eit 76 Exemplo 64 O plano complexo e simplesmente conexo Com esta nova linguagem temos Teorema 7 Teorema de CauchyGoursat Seja D um conjunto simplesmente conexo Se f e analıtica em D entao para qualquer contorno γ contido em D temos γ fzdz 0 Exemplo 65 Se n N entao γ zndz 0 para qualquer contorno γ Em particular tomando se n 2 vemos que γ x2 y2dx 2xydy γ 2xydx x2 y2dy 0 para qualquer contorno 141 Independˆencia do Caminho Definicao 25 Seja f Ω C C uma funcao contınua Dizemos que a integral de f independe do caminho se para quaisquer dois caminhos γ1 e γ2 a b Ω tais que γ1a γ2a e γ1b γ2b temse γ1 fzdz γ2 fzdz Observacao 23 Se a integral de f independe do caminho usaremos a notacao z1 z0 fzdz para designar a integral de f ao longo de qualquer caminho contido em Ω que una os pontos z0 a z1 nesta ordem Teorema 8 Seja f Ω C C uma funcao contınua Sao equivalentes i γ fzdz 0 para qualquer caminho fechado contido em Ω ii A integral de f independe do caminho Prova Suponha que i seja valido Se γ1 e γ2 a b Ω sao dois caminhos tais que γ1a γ2a e γ1b γ2b entao γ a b Ω dado por γt γ12t a se a t ab 2 γ2a 2b 2t se ab 2 t b 77 é um caminho fechado Logo γ fzdz0 Mas γ fzdzγ1 fzdz γ2 fzdz pois γ2 é percorrida de γ2a a γ2b Assim γ1 fzdzγ2 fzdz Reciprocamente suponha que ii seja válida Se γ é um caminho fechado vemos que ildeγtγabt a t b tem o mesmo traço de γ porém é percorrido no sentido oposto Além do mais como γ é fechada ildeγ também é Assim ildeγaγbγa e ildeγbγbγb Logo por ii ildeγ fzdzγ fzdz 141 Mas já sabemos que se invertermos o sentido do percurso da curva a integral muda de sinal Assim ildeγ fzdzγ fzdz 142 Comparando as equações 141 e 142 obtemos γ fzdz0 Observação 24 O teorema de CauchyGoursat veja 7 continua válido se a integral for feita sobre caminhos fechados lembre que um contorno é um caminho fechado simples Juntando a observação acima e o teorema 8 obtemos Teorema 9 Seja Ω um conjunto simplesmente conexo Se f Ω ℂ é analítica então a integral de f independe do caminho Exemplo 66 Calcule γ ez dz onde γ é uma poligonal que liga o ponto z0 a zi Como fzez é uma função inteira podemos substituir a poligonal por qualquer outro caminho que ligue z0 a zi Por exemplo γ1tit 0 t 1 Temos γ1 ez dz 01 eit i dt eit01 ei 1 78 Capítulo 15 Primitiva Definição 26 Seja f Ω ℂ Dizemos que F Ω ℂ é uma primitiva de f se Fzfz para todo z Ω Teorema 10 Se Ω é um conjunto simplesmente conexo e f é uma função analítica em Ω então fixado z0 Ω a função Fzz0z fζ dζ z Ω é uma primitiva de f Prova Como Ω é simplesmente conexo e f é analítica a função F está bem definida pois a integral de f independe do caminho Queremos mostrar que para cada z Ω limh0 FzhFzh fz Fixemos z0 Ω e tomemos h ℂ tal que o segmento ligando z até zh esteja contido em Ω Lembrando que Fzh representa a integral de f de z0 até zh e que Fz é a integral de f de z0 até z então a diferença FzhFz representa a integral de f de z até zh isto é Fzh Fz zzh fζ dζ Como a integral acima independe do caminho podemos escolher como caminho o segmento que liga z até zh isto é γt z t h 0 t 1 Como zzh dζ h exercício podemos escrever Fzh Fzh fz 1h Fzh Fz h fz 1h zzh fζ dζ zzh fz dζ 1h zzh fζ fz dζ 79 1h γ fζ fz dζ 1h max0 t 1 fγt fz ℓγ max0 t 1 fz t h fz 151 pois ℓγγ Como f é contínua dado ε 0 existe um δ 0 tal que para todo w δ temos fzwfz ε Assim se tomarmos h tal que h δ então w t h a t 1 satisfaz w t h h δ e portanto fzwfz ε Assim segue de 151 FzhFzh fz ε sempre que h δ ou seja limh0 FzhFzh fz Corolário 5 Sejam Ω um conjunto simplesmente conexo e f Ω ℂ uma função analítica Então fixado z0 Ω a função F Ω ℂ dada por Fz z0z fζ dζ z Ω é analítica Prova Pelo teorema anterior a derivada de F existe em todo Ω e é igual a f Logo F é analítica em Ω Proposição 26 Sejam Ω um conjunto simplesmente conexo e f Ω ℂ uma função analítica Se F e G são primitivas de f então a diferença entre F e G é constante Em particular dado z0 Ω existe C ℂ tal que Fz z0z fζ dζ C Prova Seja H Ω ℂ dada por Hz Fz Gz Como Hz Fz Gz fz fz 0 e Ω é conexo segue de 19 que Hz é constante Quanto à outra conclusão basta lembrar que z z0z fζ dζ é primitiva de f Portanto Fz z0z fζ dζ C para alguma constante C Além do mais tomando z z0 vemos que C Fz0 Observação 25 Segue do Teorema 10 e da Proposição 26 que toda primitiva de uma função analítica definida em um conjunto simplesmente conexo é da forma z0 z fζ dζ C para algum z0 Ω e algum C C Proposição 27 Sejam Ω um conjunto simplesmente conexo e f Ω C uma função analítica Se F é uma primitiva de f e γ ab Ω é um caminho então γ fz dz Fγb Fγa Prova Sabemos que F pode ser escrita como Fz γa z fζ dζ C com C Fγa Também é sabido que a integral de f independe do caminho Logo γ fz dz γa γb fz dz γa γb fz dz C C Fγb Fγa Exemplo 67 Calcule γ ez2 z dz onde γt 1 cost eit 0 t pi Como ddz ½ ez2 ez2 z temos que Fz ½ ez2 é uma primitiva de fz ez2 z Assim γ ez2 z dz ½ ez2 γ0 γπ ½ ez2 0 2 1 e42 Exemplo 68 Seja Ω um conjunto simplesmente conexo que não contém a origem Se γ ab C é um caminho então γ 1z dz logγb logγa 152 Em particular se γ é fechada γ 1z dz 0 Isto segue do fato que a função log z é uma primitiva de 1z definida no conjunto simplesmente conexo Ω Porém se Ω contiver a origem a fórmula 152 deixa de ser válida Basta lembrar que γ 1z dz 2πi γt eit 0 t 2π Figura 151 Integração sobre região que não é simplesmente conexa Observação 26 O mesmo resultado do exemplo 68 é válido para a função 1z a se o contorno γ não contiver o ponto a no seu interior Neste caso a primitiva é logz a Vejamos agora como podemos proceder com a integração sobre um contorno γ no caso em que a função a ser integrada não é necessariamente analítica em todo o interior de γ Considere um contorno γ e n contornos γ1 γn satisfazendo as seguintes propriedades i cada γj está contido no interior de γ ii se j1 j2 então γj1 está contido no exterior de γj2 Seja R a região obtida do interior de γ eliminandose cada γj bem como o seu interior Note que a fronteira de R é a reunião dos contornos γ γ1 γ2 γn Se f é uma função analítica definida em um aberto contendo R e se γ γ1 γ2 γn são percorridos no sentido antihorário então γ fz dz γ1 fz dz γn fz dz 153 A prova deste fato requer mais ferramentas do que dispomos neste curso No entanto é facilmente visualizada pelas figuras 15 e 15 onde separamos a região R em duas partes simplesmente conexas A fronteira de cada uma destas partes é um contorno e a função f é analítica sobre ela e o seu interior Assim a integral de f ao longo de cada um destes dois contornos no sentido antihorário se anula Somando as duas integrais observamos que o resultado é uma soma de integrais ao longo de γ no sentido antihorário e de γj no sentido horário j 1 n Ao revertermos a ordem do processo das integrais sobre γj obtemos o resultado Exemplo 69 Seja γ um contorno contendo no seu interior o ponto a C percorrido no sentido antihorário Verifique que γ dzz a 2πi Figura 152 Subdividindo a região em duas simplesmente conexas Vamos retirar do interior de γ um disco fechado centrado em a e de raio ε 0 suficientemente pequeno Nesta nova região a função fz dzz a é analítica e por 153 temos γ dzz a γε dzz a onde γεt a ε eit 0 t 2π Logo γ dzz a 0 2π 1ε eit ε eit i dt 2π i Exemplo 70 Calcule γ 1zz2 1 dz onde γ é a elipse x2 y24 1 percorrida no sentido antihorário Do interior da elipse retiramos trˆes conjuntos fechados de raio ε 0 suficientemente pe queno centrado nos pontos 0 i e i Neste novo domınio a funcao 1 zz21 e analıtica e γ 1 zz2 1 dz γ1 1 zz2 1 dz γ2 1 zz2 1 dz γ3 1 zz2 1 dz onde γ1t εeit γ2t i εeit γ3t i εeit 0 t 2π Usando fracoes parciais temos 1 zz2 1 1 z 1 2 1 z i 1 2 1 z i Temos γ1 1 zz2 1 dz γ1 1 z dz 1 2 γ1 1 z i dz 1 2 γ1 1 z i dz Usando o Exemplo 68 e a Observacao 26 vemos que γ1 1 z dz 2πi e γ1 1 z i dz γ1 1 z i dz 0 Analogamente γ2 1 z dz γ2 1 z i dz 0 e γ2 1 z i dz 2πi γ3 1 z dz γ3 1 z i dz 0 e γ3 1 z i dz 2πi Reagrupando os resultados obtemos γ 1 zz2 1 dz 2πi 1 22πi 1 22πi 0 84 Capítulo 16 A fórmula de Cauchy Teorema 11 Fórmula de Cauchy Sejam Ω um conjunto simplesmente conexo γ um contorno contido em Ω orientado no sentido antihorário Se f é uma função analítica em Ω então fz0 12πi γ fzz z0 dz 161 para todo z0 contido no interior de γ Prova Como o interior do contorno γ é um conjunto aberto existe r0 0 tal que para todo 0 r r0 o círculo centrado em z0 de raio r também está contido no interior de γ Coloque γrt z0 reit 0 t 2π Como a função fzz z0 é analítica em Ω z0 segue de 153 que γ fzz z0 dz γr fzz z0 dz Agora γ fzz z0 dz γr fzz z0 dz γr fz fz0 fz0z z0 dz γr fz fz0z z0 dz fz0 γr 1z z0 dz γr fz fz0z z0 dz fz0 2πi Portanto γr fzz z0 dz fz0 2πi γr fz fz0z z0 dz a2π fz0 feit fz0reit rieit dt 02π fz0 reit fz0 dt 02π fz0 reit fz0 dt Como f é contínua em z0 dado ε 0 existe δ 0 tal que z z0 δ implica em fz fz0 ε2π Deste modo tomando r menor do que r0 e δ vemos que w z0 reit satisfaz para todo t 0 2π w z0 reit r δ Logo fw fz0 ε2π isto é fz0 reit fz0 ε2π Desta maneira γr fzz z0 dz fz0 2πi 02π fz0 reit fz0 dt 02π ε2π dt ε 162 Como a primeira expressão de 162 não depende de ε vemos que γr fzz z0 dz fz0 2πi que após a divisão por 2πi é a fórmula desejada Exemplo 71 Se γ é um contorno que contém z0 no seu interior e percorrido no sentido antihorário então tomando fz 1 na fórmula de Cauchy obtemos um resultado que já nos é familiar 1 12πi γ 1z z0 dz isto é γ 1z z0 dz 2πi Exemplo 72 Seja γ é um contorno que contém z0 no seu interior Calcule γ cos zz dz γ percorrido no sentido antihorário Basta tomar fz cos z e z0 0 na fórmula de Cauchy Obtemos γ cos zz dz 2πi cos 0 2πi Exemplo 73 Vamos refazer o cálculo da integral γ 1zz21 dz onde γ é a elipse x2 y24 1 percorrida no sentido antihorário fazendo uso da fórmula de Cauchy Como não é possível colocar a função 1zz21 na forma fzzz0 com f analítica no interior da elipse e para algum z0 veja que a única possibilidade seria fz zz0zz21 que não é analítica no interior da elipse mesmo quando z0 é tomado dentre um dos valores de 0 i i Vamos percorrer a elipse como mostra a figura abaixo Devido aos cancelamentos das integrais calculadas nos arcos que se encontram no interior da elipse cada um deles é percorrido duas vezes porém em sentidos opostos temos γ 1zz21 dz γ1 1zz21 dz γ2 1zz21 dz γ3 1zz21 dz γ1 f1zzi dz γ2 f2zz dz γ3 f3zzi dz onde f1z 1 zzi f2z 1 z21 e f3z 1 zzi sao analıticas sobre γ1 γ2 e γ3 e seus interiores respectivamente Desse modo podemos aplicar a formula de Cauchy em cada uma das integrais obtendo γ 1 zz2 1dz 2πif1i 2πif20 2πif3i 2πi1 2 2πi 2πi1 2 0 A integral γ 1 z2dz onde γ e um contorno contendo a origem no seu interior nao pode ser tratada diretamente usando a formula de Cauchy A razao para isto e que se colocarmos 1 z2 zz0 z2 zz0 a funcao fz zz0 z2 nao e analıtica no interior de γ para qualquer escolha de z0 Note que nem mesmo a escolha z0 0 e util aqui tampouco e possıvel usar de argumentos como no exemplo anterior em que percorremos a curva γ usando trˆes curvas auxiliares A diferenca aqui e que a funcao 1 z2 so nao esta definida em z 0 enquanto que 1 zz21 1 zzizi nao esta definida para mais de um ponto daı o uso de curvas auxiliares e as raızes de zz iz i sao todas simples a raız de z2 e dupla O teorema 12 que fornece uma generalizacao da formula de Cauchy sera util para tratar integrais como por exemplo γ 1 z2 dz Teorema 12 Formula de Cauchy para derivadas Sejam Ω γ f e z0 como no teorema 161 Entao f possui todas as derivadas em z0 e a nesima derivada e dada por f nz0 n 2πi γ fz z z0n1dz 163 onde γ e percorrido no sentido antihorario Prova Mostremos o caso n 1 Precisamos mostrar que lim h0 fz0 h fz0 h 1 2πi γ fz z z02dz Pela formula de Cauchy para h 0 suficientemente pequeno temos 1 h fz0 h fz0 1 h 1 2πi γ fz z z0 hdz 1 2πi γ fz z z0dz 1 2πhi γ fz 1 z z0 h 1 z z0 dz 1 2πhi γ fz h z z0 hz z0dz 1 2πi γ fz z z0 hz z0dz 87 Deste modo 1h fz0 h fz0 12πi γ fzz z02 dz 12πi γ fzz z0 hz z0 dz 12πi γ fzz z02 dz 12πi γ fzz z0 z z0 hz z0 hz z02 dz h2πi γ fzz z0 hz z02 dz h2πi γr fzz z0 hz z02 dz 164 onde γr é um círculo contido no interior de γ centrado em z0 de raio r contendo o ponto z0 h no seu interior γr é percorrido no sentido antihorário Assim se 0 h r2 e z z0 r z z0 hz z02 z z0 hz z02 z z0 h z z0 hr2 r hr2 r r2r2 r32 e daí fzz z0 hz z02 fzz z0 hz z02 2Mr3 onde M é o máximo de fz sobre o círculo z z0 r γr Com isto obtemos de 164 1h fz0 h fz0 12πi γ fzz z02 dz h2π γr fzz z0 hz z02 dz h2π 2Mr3 ℓγ Mℓγr3 h que tende a zero quando h tende a zero Logo limh0 fz0 h fz0h 12πi γ fzz z02 dz 6 j 6 9 0 1 γ γ1 γ2 A prova do caso n 2 segue os passos da prova que acabamos de mostrar com adaptacoes apropriadas Corolario 6 Toda funcao analıtica e de classe C Prova Dados n N e f analıtica segue do teorema anterior que f n1 existe em todo o domınio de f Consequentemente a funcao f n e contınua por ser derivavel Corolario 7 A derivada de uma funcao analıtica e tambem analıtica Exemplo 74 Seja γ um contorno que envolve a origem A integral γ 1 z2dz pode ser calculada usandose a formula 163 com fz 1 e z0 0 obtendo γ 1 z2dz 2πif 0 2πi0 0 Exemplo 75 Calcule γ z1 z3z1dz onde γ e um contorno percorrido no sentido antihorario e que envolve os pontos z 0 e z 1 Se tomarmos os contornos γ1 e γ2 como na figura 75 entao γ z 1 z3z 1dz γ1 z 1 z3z 1dz γ2 z 1 z3z 1dz γ1 f1z z3 dz γ2 f2z z 1dz onde f1z z1 z1 e f2z z1 z3 Usando a formula de Cauchy para derivada calculamos γ1 f1z z3 dz 2πi 2 f 1 0 πif 1 0 89 Mas f1z 2z12 e f1z 4z13 Logo γ1 f1zz3 dz πi4 4πi Agora γ2 f2zz1 dz 2πif21 4πi Portanto γ z1z3z1 dz 4πi 4πi 0 Teorema 13 Morera Sejam f Ω ℂ contínua e Ω simplesmente conexo Se a integral de f independe do caminho ou equivalentemente a integral de f se anula sobre qualquer caminho fechado contido em Ω então f é analítica Prova Fixado z0 a função Fz z z0 fζdζ z Ω está bem definida em Ω Mostremos que Fz fz Para isto procedemos como na prova do teorema 10 Temos Fzh Fz zh z fζdζ Como a integral acima independe do caminho podemos escolher como caminho o segmento que liga z até zh isto é γt zth 0 t 1 Como zh z dζ h podemos escrever Fzh Fzh fz 1h Fzh Fz hfz 1h zh z fζdζ zh z fzdζ 1h γ fζ fz dζ 1h max 0t1 fγt fz ℓγ max 0t1 fzth fz 165 pois ℓγ γ Como f é contínua dado ε 0 existe um δ 0 tal que para todo w δ temos fzw fz ε Assim se tomarmos h tal que h δ então w th a t 1 satisfaz w th h δ e portanto fzw fz ε Assim segue de 165 Fzh Fzh fz ε sempre que h δ ou seja lim h0 Fzh Fzh fz Pelo Corolário 7 Fz fz também é analítica em Ω Teorema 14 Liouville Se f é uma função inteira e limitada então f é constante Prova Seja M tal que fz M para todo z ℂ Tomando γt z Reit 0 t 2π temos fz 12πi γ fζζz2 dζ 12π max ζγ fζζz2 ℓγ mas ℓγ 2πR e para ζ γ isto é ζzR temos fζζz2 fζζz2 fζR2 MR2 Logo fz 12π MR2 2πR MR que tende a zero quando R tende a Desta forma fz 0 para todo z ℂ Segue daí que fz é constante existe R0 tal que R R0 implica em 1 an1 anR a1 anRn1 a0 anRn 1 2 Logo para z R0 temos fz 1 pz 2 anzn 2 anRn 0 Como f e contınua tambem e limitada para todo z R0 Logo f e limitada em C Pelo Teorema de Liouville 14 f deve ser constante e portanto p tambem e constante Isto e uma contradicao Portanto existe z0 C tal que pz0 0 92 Teorema 15 Teorema fundamental da álgebra Todo polinômio não constante possui uma raiz em ℂ Prova Seja p ℂ ℂ um polinômio Suponha que pz 0 para todo z ℂ A função fz 1pz é inteira Mostremos que f também é limitada Escrevendo pz an zn a1 z a0 com an 0 vemos que para z reiθ r 0 temos pz an zn 1 an1an z a1an zn1 a0an zn an rn 1 an1an r a1an rn1 a0an rn Como limr 1 an1an r a1an rn1 a0an rn 1 Capıtulo 17 Funcoes Harmˆonicas Considere f Ω C uma funcao analıtica Sabemos que f e de classe C isto e possui derivadas de qualquer ordem em Ω Segue daı que as funcoes u ℜf e v ℑf tambem sao de classe C em Ω Como f e analıtica u e v satisfazem as equacoes de CauchyRiemann u x v y e u y v x em Ω Derivando a primeira das equacoes acima com relacao a x e a segunda com relacao a y obtemos 2u x2 2v xy e 2u y2 2v yx em Ω Somandose ambas as equacoes 2u x2 2u y2 2v xy 2v yx 0 pois v tem derivadas parciais de segunda ordem contınua Vemos assim que u satisfaz 2u x2 2u y2 0 em Ω A equacao acima e chamada de equacao de Laplace e uma funcao de classe C2 que a satisfaca e dita harmˆonica Exercıcio 14 Prove que v ℑf f analıtica e tambem uma funcao harmˆonica Exemplo 76 As funcoes u1x y x2 y2 ℜz2 u2x y ex cos y ℜez e u3x y coshy cos x ℜ cos z sao exemplos de funcoes harmˆonicas em C 93 Exemplo 77 Nao existe funcao analıtica cuja parte real seja ux y x2 y2 Pois se existisse u deveria ser harmˆonico porem 2u x2x y 2u y2 x y 4 0 Como vimos toda parte real de uma funcao analıtica e harmˆonica O proximo teorema diz que se u for harmˆonica em uma regiao simplesmente conexa entao u e a parte real de alguma funcao analıtica Teorema 16 Sejam Ω um conjunto simplesmente conexo e u Ω R uma funcao harmˆonica Entao existe uma funcao analıtica f Ω C tal que u ℜf Prova Seja g Ω C dada por g u x iu y Como u e de classe C2 vemos que g e de classe C1 Como xℜg 2u x2 2u y2 yℑg e yℜg 2u yx 2u xy xℑg vemos que g e analıtica em Ω Como Ω e simplesmente conexoexiste uma primitiva G Ω C de g isto e G g em Ω Lembre que G e analıtica Agora colocando φ ℜG e ψ ℑG temos G φ x iψ x g u x iu y e tambem G ψ y iφ y g u x iu y Daı xφ u 0 e yφ u 0 Como Ω e conexo vemos que φ u e constante digamos φ u c R Desta maneira colocando f G c vemos que f e analıtica e ℜf ℜG c φ c u 94 Observacao 27 A funcao f do teorema acima e dada por fz z z0 u x iu y dz C conforme a prova do teorema 10 Exercıcio 15 Verifique que se u e Ω sao como no teorema acima e se γ a b Ω e tal que γa z0 y0 e γb x y entao γ u x iu y dz ux y ux0 y0 i γ u y dy u xdx Definicao 27 Seja Ω um aberto Denotamos por HΩ o conjunto de todas as funcoes harmˆo nicas em Ω Exemplo 78 HΩ e um espaco vetorial Exemplo 79 Se Ω e simplesmente conexo entao HΩ ℜf f Ω C e analıtica Exemplo 80 Seja Ω um conjunto simplesmente conexo que contenha a origem Se R e tal que γt Reit 0 t 2π esteja contida em Ω entao para todo a tal que a R temos ua 1 2π 2π 0 R2 a2 z a2 uzdt 1 2π 2π 0 R2 a2 Reit a2uReitdt 171 Seja f analıtica tal que ℜf u em Ω Se a 0 entao u0 ℜf0 ℜ 1 2πi γ fz z dz ℜ 1 2πi 2π 0 fReitRieit Reit dt ℜ 1 2π 2π 0 fReitdt 1 2π 2π 0 ℜfReitdt 1 2π 2π 0 uReitdt que e 171 com a 0 Suponha agora que a 0 Pela formula de Cauchy temos fa 1 2πi γ fz z adz 172 Agora como w R2 a e tal que w R2 a R2 a R R a R 95 vemos que a funcao gz fz z R2 a e analıtica em z z R Logo 0 1 2πi γ fz z R2 a dz 173 Subtraindo 173 de 172 temos fz 1 2πi γ fz 1 z a 1 z R2 a dz 1 2πi γ fz a2 R2 z aza R2dz 1 2πi 2π 0 fReit a2 R2 Reit aReita R2Rieitdt 1 2π 2π 0 fReit a2 R2 Reit aa Reitdt 1 2π 2π 0 fReit R2 a2 Reit aReit a dt 1 2π 2π 0 fReit R2 a2 a Reit2dt 1 2π 2π 0 fzz2 a2 z a2 dt Portanto ux y ℜ 1 2π 2π 0 fzz2 a2 z a2 dt 1 2π 2π 0 uzz2 a2 z a2 dt Exemplo 81 Tomando u 1 vemos que se a R 2π 0 z2 a2 z a2 dt 2π 0 R2 a2 Reit a2dt 2π Ou seja 2π 0 1 Reit a2dt 2π R2 a2 Observacao 28 Observe que pela formula 171 o valor de u no interior do disco z z R so depende dos valores de u na fronteira deste mesmo disco 96 Capıtulo 18 Sequˆencias e Series Definicao 28 Considere uma sequˆencia de numeros complexos zn isto e uma aplicacao que para cada n N associa um unico numero complexo zn Dizemos que zn e convergente se existir z C tal que para todo ε 0 existe no N satisfazendo zn z ε sempre que n no Proposicao 28 Se zn e convergente entao existe um unico numero complexo z satisfazendo a definicao acima Prova Se z e w satisfazem a definicao acima entao dado ε 0 e possıvel encontrar n1 N tal que zn z ε2 sempre que n n1 e tambem n2 N satisfazendo zn w ε2 sempre que n n2 Tomando no como o maior entre os numeros n1 e n2 vemos que se n no entao 0 z w z zn zn w ε2 ε2 ε para todo ε 0 Logo z w 0 isto e z w Observacao 29 Se zn e convergente e se z e o unico numero complexo que satisfaz a definicao 28 dizemos que z e o limite da sequˆencia zn e denotaremos por zn z ou lim n zn z Observacao 30 Geometricamente o fato de zn z significa que por menor que seja o disco centrado em zo sempre sera possıvel encontrar no N de modo que zn pertenca a este disco para todo n no Em geral quanto menor o disco maior sera no 97 Observação 31 Se uma sequência não for convergente diremos que ela é divergente Deixamos como exercício as provas das seguintes proposições Proposição 29 Se zn z e wn w então i zn wn z w ii λ zn λ z para todo λ ℂ iii existe M 0 tal que zn M para todo n ℕ isto é a sequência zn é limitada Proposição 30 Seja zn uma sequência em ℂ Sejam xn ℜzn e yn ℑzn Então zn é convergente se e somente se as sequências de números reais xn e yn convergem Em caso afirmativo temos limn zn limn xn i limn yn Exemplo 82 Analise a convergência das seguintes sequências zn in wn in e ζn 1n in Como ℜzn 0 0 e ℑzn 1n 0 a proposição 30 nos diz que zn é convergente e se limite é zero Note que ℜw2k ℜ i2k 1k não é convergente Logo pela proposição 30 a sequência wn também não converge Quanto à última sequência vemos que ela não é limitada pois para todo n ℕ temos ζn 1n2 n2 n2 n Logo pelo terceiro item da proposição 29 ζn não pode ser convergente Definição 29 Seja zn uma sequência em ℂ Dizemos que a série n0 zn é convergente se a sequência sn z0 zn for convergente Ou seja se existir S ℂ tal que para cada ε 0 existir no ℕ tal que S j0n zj ε para todo n no Neste caso denotamos S por n0 zn Observação 32 A sequência zn que dá origem à série n0 zn é chamada de termo geral desta série Seguem das proposições 29 e 30 as seguintes proposições Proposição 31 Se S n0 zn e T n0 wn então i n0 to zn wn S T ii n0 to λzn λS para todo λ ℂ Proposição 32 Sejam zn xn i yn xn ℜzn e ℑzn yn Então a série n0 to zn converge se e somente se as séries de números reais n0 to xn e n0 to yn convergem Neste caso n0 to zn n0 to xn i n0 to yn Também temos Proposição 33 Se n0 to zn é convergente então zn 0 Prova Coloque xn ℜzn e yn ℑzn Pela proposição 32 as séries de números reais n0 to xn e n0 to yn convergem Portanto por um resultado de Cálculo II temos xn yn 0 isto é zn xn i yn 0 Exemplo 83 A série n1 to in não é convergente pois n1 to ℑinn n1 to 1n diverge série harmônica No entanto temos inn 0 Observação 33 O exemplo acima mostra que a condição zn 0 não é suficiente para que a série formada por zn seja convergente No entanto a proposição 33 nos diz que esta condição zn 0 é necessária para a convergência de n0 to zn isto é se o limite de zn não existir ou se convergir para um número diferente de zero então a série n0 to zn será divergente Exemplo 84 Pela proposição 32 a série n1 to nin³ é convergente pois as séries de números reais n1 to ℜnin³ n1 to 1n² e n1 to ℑnin³ n1 to 1n³ são ambas convergentes Definição 30 Dizemos que a série n1 to zn é absolutamente convergente se a série n1 to zn for convergente Exemplo 85 A série n1 to i nn² é absolutamente convergente Basta notar que a série de números reais n1 to i nn² n1 to 1n² é convergente Proposição 34 Se n0 to zn é absolutamente então ela também é convergente Prova Colocando xn ℜzn e yn ℑzn vemos que xn² xn² yn² zn² e portanto xn zn Assim usando o critério de comparação para séries de números reais vemos que n0 to xn é absolutamente convergente e portanto convergente De modo semelhante se mostra que n0 to yn também é convergente Logo pela proposição 32 temos que n0 to zn é convergente Exemplo 86 Nem toda série convergente é absolutamente convergente como pode ser verificado pela série n1 to i2nn Esta série não converge absolutamente pois n1 to i2nn n1 to 1n diverge No entanto n1 to i2nn n1 to 1n n é convergente pelo critério de Leibinitz Cálculo II isto é como a sequência 1n é decrescente e tende a zero então a série alternada n1 to 1n n é convergente Capıtulo 19 Series de Potˆencias Definicao 31 Sejam zo C e an uma sequˆencia de numeros complexos A cada z C coloque zn anzzon A serie dada por n0 zn n0 anzzon e chamada de serie de potˆencias O numero complexo zo e chamado de centro da serie de potˆencias Neste capıtulo trataremos de estudar sob que condicoes uma serie de potˆencias e convergente Note que quando tomamos z zo a serie de potˆencias e convergente e seu valor e o termo independente a0 Veremos mais adiante que se a serie de potˆencias convergir quando tomamos algum outro valor de z zo entao sera possıvel definir uma funcao numa vizinhanca pelo menos num disco aberto de zo que a cada z nesta vizinhanca associa o valor da serie isto e fz n0 anz zon Na maior parte do capıtulo passaremos a estudar propriedades desta funcao A principal delas sera que f e uma funcao analıtica Reciprocamente o teorema de Taylor par funcoes analıticas nos garantira que toda funcao analıtica pode ser escrita como uma serie de potˆencias convergente em uma vizinhanca de cada ponto do domınio aberto da funcao Vamos comecar a nossa investigacao considerando a serie geometrica que e obtida tomando se zo 0 e an 1 na definicao 31 Sabemos que uma condicao necessaria para que uma serie seja convergente e que seu termo geral tenda a zero Como no presente caso zn zn vemos zn 0 se e somente se z 1 Assim para z 1 a serie geometrica e divergente Para z 1 considere a sequˆencia formada pelas somas parciais snz 1 z zn Temos 1 zsnz snz zsnz 1 z zn z z2 zn1 1 zn1 e daı snz n j0 zj 1 1 z zn1 1 z 191 101 Como z 1 vemos que zn11z zn11z 0 Desta maneira segue de 191 que n0 to zn lim n snz 11z para todo z tal que z 1 Exemplo 87 A série geométrica converge uniformemente no disco fechado Dr z z r onde 0 r 1 Porém a convergência não é uniforme no disco aberto D1 z z 1 Passemos a verificar estes fatos notamos primeiramente que se z Dr então zn rn Segue da proposição 35 com bn rn note que 0 r 1 que a série geométrica é uniformemente convergente em Dr Quanto à segunda afirmação vemos que por 191 para ε 0 existirá no tal que para todo n no temse snz j0 zj ε se e somente se zn1 1z zn1 1z ε zn1 ε 1z n1 log z log ε1z n1 logε1z log z pois z 1 Note agora que à medida que tomamos os pontos mais próximos à fronteira do disco z1 teremos que tomar no cada vez maior para que 191 fique válida para todo n no Teorema 17 Dada uma série de potências n0 an z zon então ocorre uma e somente uma das seguintes situações i n0 an z zon só converge em zzo ii existe r 0 tal que se zzo r a série n0 anz zon converge absolutamente e se 0 r r a convergência é uniforme no disco fechado Dr z z zo r Além do mais se z zo r a série n0 an z zon diverge iii a série n0 an z zon converge absolutamente para todo z ℂ e uniformemente em todo disco fechado Dr z za zo r Prova Seja D z n0 an z zon converge absolutamente Se D zo então temos i Se D zo então existe z1 D z1 zo Coloque ro z1 zo 0 Como n0 an z1 zon converge o seu termo geral tende a zero e é portanto limitado Assim existe M 0 tal que anz1 zon M para todo n Se 0 r ro e z zo r então anz zon z zoz1 zon anz zon M rron 192 Como 0 rro 1 vemos que n0 an z zon converge logo z D 103 Note que por 192 a série n0 anzzon converge uniformemente em Dr Para ver isto basta notar que o último membro de 192 independe de z Dr Veja que mostramos que Dr D para todo r z1 zo onde z1 D z1 zo Agora se todos os discos centrados em zo estiverem contidos em D então teremos D ℂ e com o que já foi demonstrado obteremos iii Por outro lado se isto não acontecer então existirá r 0 tal que Dr z zzo r D e Ds D para todo s r 193 As estimativas feitas em 192 com r ro mostram as duas primeiras afirmativas de ii Quanto à terceira basta ver que se z zo r então se a série n0 an z zon convergisse seria possível encontrar M 0 tal que an z zon M para todo n e assim para todo z satisfazendo r z zo z zo teríamos an z zon z zoz zon an z zon M z zoz zon Como z zo z zo 1 a série Ds anz zon convergiria absolutamente e portanto z D Mas segue daí que Ds D onde s z1 zo que contradiz 193 pois s r Observação 36 O número r que aparece em ii da proposição acima é chamado de raio de convergência da série Estendemos este conceito para dizer que em i o raio de convergência é zero e em iii é infinito Observação 37 O segundo item do teorema anterior nada afirma sobre a convergência da série sobre o círculo z zo r A próxima proposição nos fornece uma maneira de calcularmos o raio de convergência de uma série de potências desde que um determinado limite exista Proposição 36 Considere a série de potências n0 an z zon Se o limite da sequência nan converge então o raio de convergência da série acima será dado por r onde r 0 se limn nan se lim n nan 0 1 limn nan se 0 limn nan 104 Prova Provaremos apenas o caso em que 1 r limn n an 0 Se s r entao 1s 1r e pela definicao de limite existe no tal que n an 1s para todo n no Daı an 1 sn se n no Assim para z zo s e n no temos anz zon z zo s n Como z zos 1 a serie n0z zon e absolutamente convergente Como s r foi arbitrario a mesma serie e absolutamente convergente em Dr Agora dado r r tome s tal que r s r Um calculo como acima nos diz que anz zon s r n para z zo r e n grande Assim a serie e uniformemente convergente em Dr Agora se s r entao 1s 1r Logo existe n1 tal que 1s n an para todo n n1 Se tomarmos z zo s vemos que anz zon z zo s n Como z zo s 1 entao anzzon nao tende a zero e portanto a serie n0 anzzon nao pode ser convergente Vemos assim que o numero r e o raio de convergˆencia da serie Exemplo 88 Encontre os raios de convergˆencias das seguintes series a n0 n2nzn b n0 nnzn c n0 zn nn a Como limn n 2nn 2 limn nn 2 vemos que o raio de convergˆencia e 12 b Como limn nnn limn n vemos que o raio de convergˆencia e zero c Como limn n 1nn limn 1n 0 vemos que o raio de convergˆencia e infinito Deixamos como exercıcio a prova da seguinte 105 Proposição 37 Considere a série de potências n0 an zzon Se o limite da sequência an an1 converge então o raio de convergência da série acima será dado por r limn an an1 mesmo que o limite dê infinito Exemplo 89 A série n0 1n zn converge absolutamente para todo z ℂ pois como lim n 1n 1n1 lim n n1 n lim n n1 o seu raio de convergência é infinito pela proposição 37 Teorema 18 Seja fz n0 an zzon uma série de potências cujo raio de convergência r seja diferente de zero Então f é contínua no disco Dr z z zo r Prova Seja z1 Dr Tome r satisfazendo z1 zo r r Sabemos que a série dada por f converge uniformemente em Dr Assim dado ε 0 existe no tal que fz j0n aj z zoj ε3 para todo z Dr n no 194 Como o polinômio pnoz j0no aj z zoj é contínuo em z1 existe δ 0 tal que pnoz pnoz1 ε3 se z z1 δ Diminuindo δ 0 se necessário podemos supor que o disco aberto centrado em z1 de raio δ esteja contido em Dr Assim se z z1 δ fz fz1 fz pnoz pnoz pnoz1 pnoz1 fz1 ε3 ε3 ε3 ε pois z z1 Dr e também z z1 δ 106 Teorema 19 Integração termo a termo Seja fz n0 an z z0n uma série de potências cujo raio de convergência r seja diferente de zero Se γ a b ℂ é um caminho cujo traço esteja contido em Dr z z z0 r então γ fz dz n0 γ z z0n dz n0 ann1 γb z0n1 γa z0n1 Em particular se γ é um caminho fechado γ fz dz 0 Prova Como o traço γ de um caminho é um conjunto compacto existe r 0 tal que γ overlineDr Como a convergência de f é uniforme em overlineDr dado ε 0 existe n0 tal que jn aj z z0j ε para todo z overlineDr e n n0 Desta forma como f é contínua sua integral sobre γ existe e podemos escrever γ fz dz γ j0n aj z z0j dz γ jn1 aj z z0j dz j0n γ aj z z0j dz γ jn1 aj z z0j dz pois a primeira soma só apresenta um número de termos Segue daí que se n n0 então γ fz dz j0n γ aj z z0j dz γ jn1 aj z z0j dz 107 maxz γ jn1 aj z z0j ℓγ ε ℓγ Como γ está fixa segue que j0n γ aj z z0j dz γ fz dz isto é γ fz dz j0 γ aj z z0j dz A fórmula final segue do fato que ajj1 z z0j1 é uma primitiva de aj z z0j para j 0 Exemplo 90 Vamos aplicar o teorema anterior à função fz 11z n0 zn z 1 Como o disco D1 z z 1 é simplesmente conexo e f é analítica em D1 sabemos que ela possui primitiva neste domínio Uma tal primitiva é dada por Fz log1z onde tomamos o ramo do logaritmo satisfazendo z 1 reiθ 0 θ 2π log1z log 1z iθ π Note que com este ramo temos log 1 0 pois 01 eπi Assim F0 0 Para cada z D1 tomamos γt tz 0 t 1 Pelo teorema anterior e pelo fato de F ser uma primitiva de f temos log1z Fγ1 Fγ0 γ 11ζ dζ n0 γ ζn dζ n0 1n1 γ1n1 γ0n1 n0 zn1n1 n1 zn n Portanto com o ramo escolhido acima log1z n1 zn n 108 Corolario 8 Seja fz n0 anz zon uma serie de potˆencias cujo raio de convergˆencia r seja diferente de zero Entao f e analıtica no disco Dr z z zo r Prova Pelo teorema 18 f e contınua em Dr e pelo teorema 19 a integral de f e zero sobre todo caminho fechado contido em Dr Segue do teorema de Morera que f e analıtica em Dr Teorema 20 Derivacao termo a termo Seja fz n0 anz zon uma serie de potˆencias cujo raio de convergˆencia r seja diferente de zero Entao a derivada kesima de f num ponto z Dr z z zo r e dada por f kz jk jj 1 j k 1ajz zojk n0 k n n ankz zon e o raio de convergˆencia da serie acima tambem e r Prova Fixado z1 Dr tome z1 zo r r Selecione s 0 de modo que o disco centrado em z1 de raio s esteja contido no disco Dr zo z1 j s r r Coloque γt z1 seit 0 t 2π Como f e analıtica em Dr segue da formula de Cauchy para derivadas que f kz1 k 2πi γ fz z z1k1 dz 109 Mas para todo z Dr fzz z1k1 j0 aj z z0j z z1k1 j0N aj z z0j z z1k1 jN1 aj z z0j z z1k1 Integrando a expressão acima sobre γ obtemos fkz1 k2πi γ fzz z1k1 dz j0N k2πi γ aj z z0j z z1k1 dz k2πi γ jN1 aj z z0j z z1k1 dz 195 Mas γ jN1 aj z z0j z z1k1 dz maxz γ jN1 aj z z0j z z1k1 ℓγ 2πs sk1 maxz γ jN1 aj z z0j 2π sk maxz γ jN1 aj z z0j Como j0 aj z z0j converge absoluta e uniformemente em z z0 r e o traço de γ está contido neste disco vemos que para cada ε 0 existe n0 tal que para todo N n0 e para todo z γ temos jN1 aj z z0j ε Segue de 195 que para todo N n0 temos fkz1 j0N aj k2πi γ z z0j z z1k1 dz ε k2 ou seja fkz1 j0 aj k2πi γ z z0j z z1k1 dz Usando a fórmula de Cauchy para derivada k2πi γ z z0j z z1k1 dz dkdzk z z0j zz1 0 se j0k1 jj1jk1z1 z0jk se j k Portanto fkz1 jk aj jj1jk1z1 z0jk 110 jk aj j j kz1 zojk n0 ank n k n z1 zon Seja R o raio de convergˆencia da serie da primeira derivada de f Claramente por dominacao temos R r Suponha que R r Entao existem s satisfazendo r s R e z tal que z zo s Integrando a serie da derivada n0n 1an1z zon termo a termo do segmento que liga zo a z obtemos que n1 anz zon fz fzo e covergente Isto e um absurdo pois z zo r Logo R r Por inducao o raio de convergˆencia da serie da kesima derivada tambem e R Exemplo 91 Podemos aplicar a serie da derivada de fz 1 1 z n0 zn z 1 para obter varias outras representacoes de funcoes em serie de potˆencias De fato derivando a expressao acima obtemos 1 1 z2 n1 nzn1 n0 n 1zn z 1 Derivando mais uma vez 2 1 z3 n1 n 1nzn1 n0 n 2n 1zn z 1 ou seja 1 1 z3 1 2 n0 n 2n 1zn z 1 Prosseguindo o processo obtemos 1 1 zk 1 k 1 n0 n k 1 n 1zn n0 n k 1 k 1n zn n0 n k 1 k 1 zn z 1 k 1 Exemplo 92 Verifique que 1 1 z22 n0 1nn 1z2n z 1 111 Como 1 1 w n0 wn w 1 tomando w z2 vemos que 1 1 z2 n0 z2n n0 1nz2n z 1 pois w z2 1 e equivalente a z 1 Derivando a expressao acima obtemos para z 1 2z 1 z22 n0 1n2nz2n1 2 n1 1nnz2n1 2z n1 1nnz2n2 2z n0 1n1n 1z2n Logo z 1 z22 z n0 1n1n 1z2n e portanto 1 1 z22 n0 1nn 1z2n z 1 191 Serie de Taylor Ja vimos que toda serie de potˆencias cujo raio de convergˆencia seja positivo e uma funcao analıtica O proximo teorema diz que toda funcao analıtica pode ser representada localmente como serie de potˆencias isto e se f e analıtica em zo entao existe r 0 e uma sequˆencia an satisfazendo fz n0 anz zon para todo z zo r Mais precisamente temos Teorema 21 Serie de Taylor Seja f Ω C uma funcao analıtica definida em um aberto Ω Se zo Ω e r 0 e tal que Dr z z zo r Ω entao fz n0 f nzo n z zon para todo z Dr Prova Dado z Dr tome s tal que z zo s r Coloque γt zo seit 0 t 2π Pela formula de Cauchy e manipulacao algebrica podemos escrever 112 fz frac12 pi i intgamma fw frac1w z dw frac12 pi i intgamma fw frac1w zo zo z dw frac12 pi i intgamma fw frac1w zo cdot frac11 fraczzowzo dw Como para w in gamma isto é w zo s vemos que left fraczzowzo right fraczzos 1 e daí usando a série geométrica fz frac12 pi i intgamma fw frac1w zo sumn0infty leftfraczzowzo rightn dw frac12 pi i intgamma sumn0infty fracfww zon1 zzon dw frac12 pi i intgamma sumn0N fracfww zon1 zzon dw frac12 pi i intgamma sumnN1infty fracfww zon1 zzon dw frac12 pi i sumn0N zzon intgamma fracfww zon1 dw frac12 pi i intgamma sumnN1infty fracfww zon1 zzon dw ag196 sumn0N zzon frac1n fnzo frac12 pi i intgamma sumnN1infty fracfww zon1 zzon dw ag197 Mas como f é contínua e gamma é compacto existe M 0 tal que fw leq M para todo w in gamma Desta forma o último membro do lado esquerdo de 197 pode tende a zero quando N tende a infinito pois left frac12 pi i intgamma sumnN1infty fracfww zon1 zzon dw right leq frac12 pi maxw in gamma left sumnN1infty fracfwwzon1 zzon right ellgamma leq frac12 pi sumnN1infty fracMsn1 zzon 2 pi s M sumnN1infty leftfraczzosrightn o 0 quando N o infty pois é o resto da série geométrica cuja razão é fraczzos 1 Logo fz sumn0infty fracfnzon zzon quad extpara todo z in Dr Observacao 38 Note que se f e inteira isto e Ω C entao o raio de convergˆencia da serie de Taylor de f e infinito pois Dr C para todo r 0 Observacao 39 Nos referiremos a serie n0 fnzo n z zon como a serie de Taylor de f centrada em zo Exercıcio 16 Prove o seguinte Se uma funcao analıtica definida em um disco centrado em zo e representada por uma serie de potˆencias centrada em zo entao esta serie e a serie de Taylor de f centrada em zo Observacao 40 Quando zo 0 a serie de Taylor tambem e conhecida como serie de MacLau rin Exemplo 93 Encontre a expansao em serie de MacLaurin da funcao fz ez Como para todo n 0 1 temos f nz ez vemos que ez n0 f n0 n zn n0 1 nzn que e valida para todo z C Exemplo 94 Do exemplo anterior podemos escrever para todo z C eiz n0 1 nizn n0 in nzn e eiz n0 1 nizn n0 in n zn Somando as duas expressoes obtemos 2 cos z eiz eiz n0 in in n zn 2 k0 1k 2k z2k pois quando n e ımpar in in 0 e quando n 2k in in i2k i2k 21k Assim cos z k0 1k 2k z2k z C Derivando a expressao acima obtemos sen z k0 1k 2k 1z2k1 z C 114 Exemplo 95 Encontre a expansao em serie de Taylor em torno de zo 1 do ramo da funcao fz z com 1 1 e z reiθ π θ π O maior disco aberto centrado em zo 1 contido no domınio do ramo acima e D1 z z 1 1 E facil ver que as derivadas de f sao dadas por f nz 1 2 1 2 1 1 2 n 1 z 1 2 n 1 2 1 2 2 1 2n 1 2 z 1 2 n E claro que f 01 f1 1 f 11 12 e quando z 1 n 2 f n1 1 2n13 2n 3 1 2n 123 2n 32n 1 2 2n 1 1 2n 2n 1 1n12n1n 1 1n122n 1 4nn 1 Como a ultima expressao e valida mesmo com n 1 temos z n0 f n1 n z1n 12 n1 1n1 2n 1 4nnn 1z1n z D1 z z1 1 192 Zeros de funcao analıtica Nesta secao faremos uma aplicacao da serie de Taylor para mostrar que os zeros de uma funcao analıtica nao identicamente nula sao isolados Isto quer dizer que se zo e zero de uma funcao analıtica f nao identicamente nula o mesmo que dizer que zo e uma raiz da equacao fz 0 entao em algum disco centrado em zo nao existe nenhum outro zero de f Note que esta propriedade e satisfeita pelos polinˆomios que sao os exemplos mais simples de funcoes analıticas Resumiremos os resultados que temos em mente nos seguintes teoremas Teorema 22 Seja f Ω C uma funcao analıtica definida em um aberto Ω Se zo Ω e tal que todas as derivadas de f de se anulam em zo entao f se anula identicamente em todo um disco aberto centrado em zo Prova Seja Dr um disco centrado em zo contido em Ω Pela serie de Taylor para todo z Dr temos fz n0 f nzo n z zon Mas como f nzo 0 para todo n segue da formula acima que fz 0 para todo z Dr Observacao 41 Se Ω e conexo e f satisfaz as hipoteses do teorema acima podese mostrar que f e identicamente nula 115 Corolario 9 Se zo e um zero isolado de uma funcao analıtica f Ω C entao pelo menos uma das derivadas de f se anula em zo Observacao 42 Considere a funcao de uma variavel real a valores reais dada por fx e 1 x2 se x 0 e f0 0 Podese verificar que todas as derivadas de f existem e em x 0 elas se anulam No entanto f nao e identicamente nula Teorema 23 Seja f Ω C uma funcao analıtica definida em um aberto Ω Se zo Ω e tal fzo 0 e nem todas as derivadas de f de se anulam em zo entao zo e um zero isolado de f isto e em algum disco centrado em zo nao existe nenhum outro zero de f Prova Seja m o menor numero inteiro nao negativo tal que f mzo 0 mas f m1zo 0 Seja r 0 tal que o disco Dr z z zo r Ω Tomando a serie de Taylor de f em torno de zo vemos que fz n0 f nzo n z zon nm1 f nzo n z zon z zom1 n0 f nm1zo n m 1z zon z zom1gz onde gz n0 fnm1zo nm1 z zon e claramente analıtica em Dr Note que como gzo f m1zo m 1 0 existe 0 δ r tal que gz gzo2 para todo z Dδ z z zo δ Desta forma vemos que para z Dδ temos fz z zom1gzo 2 Assim se z Dδ e z zo entao fz 0 isto e fz 0 Isto mostra que zo e um zero isolado de f Corolario 10 Seja f Ω C uma funcao analıtica definida em um aberto Ω Se zo Ω e um zero isolado de f entao existe um inteiro positivo n e uma funcao analıtica g definida em um disco aberto D centrado em zo satisfazendo fz z zongz gzo 0 para todo z D Prova Se g e m sao como na prova do teorema anterior basta tomar n m 1 116 Definicao 33 Sejam f Ω C uma funcao analıtica definida em um aberto e zo Ω um zero isolado de f O numero n do corolario acima e chamado de ordem do zero zo Exemplo 96 A funcao fz 1 z2 1 x2 y2 nao e analıtica pois os seus zeros nao sao isolados Note que os zeros de f representam o cırculo centrado na origem de raio 1 Exemplo 97 zo 0 e um zero de ordem dois da funcao fz 1 cos z Basta ver que f0 1 cos 0 0 f 0 sen 0 0 f 0 cos 0 1 0 Note tambem que 1 cos z 1 k0 1k 2k z2k k1 1k 2k z2k z2 k1 1k 2k z2k1 z2 k0 1k1 2k 1z2k z2gz onde gz k0 1k1 2k1z2k e analıtica e g0 1 2 117 empty page Capıtulo 20 Series de Laurent Neste capıtulo vamos tratar de series de potˆencias nao necessariamente positivas isto e que remos estudar convergˆencia e propriedades de series dadas na forma n1 bnz zon n0 anz zon 201 O significado da primeira parcela acima e o limite caso exista da sequˆencia das somas parciais n j1 bjz zoj b1 z zo bn z zon Fixada uma sequˆencia bn considere n1 bnwn Se r e o raio de convergˆencia desta serie o qual suporemos diferente de zero entao se 0 r r a serie converge uniforme e absolutamente no disco Dr z z zo r Colocando w z zo1 vemos que w r e equivalente a z zo 1 r Deste modo a serie de potˆencias negativas n1 bnz zon converge uniforme e absolutamente na regiao z z zo 1 r onde r e qualquer numero positivo menor do que r Note ainda que se s r entao z zo 1s e equivalente a w s r Logo a serie n1 bnwn n1 bnz zon diverge Note que se n1 bnwn for inteira entao n1 bnz zon converge para todo z zo Resumindo uma serie de potˆencias negativas n1 bnz zon que converge em algum ponto convergira absoluta e uniformemente no complementar de discos abertos centrados em zo Se o raio de convergˆencia da serie n1 bnwn for r entao a serie de potˆencias negativas n1 bnz zon diverge quando z zo r Se r entao a convergˆencia de n1 bnz zon se da para todo z zo 119 Ao considerarmos uma serie como em 201 precisamos assegurar a convergˆencia de ambas parcelas A menos do caso trivial convergir somente em zo a serie n anz zon converge em um disco DR z z z1 R pode acontecer de R e neste caso DR C Quanto a serie de potˆencias negativas o seu domınio de convergˆencia e vazio caso em que nao converge em nenhum ponto ou da forma Cr z z zo r onde r 0 Desta forma para que 201 fique bem definida num aberto precisamos ter r R Neste caso o domınio de 201 e dado pelo anel ArR z r z zo R E claro que pode acontecer de 201 convergir em pontos dos cırculos de raio r ou R Deve estar claro que em ArR a serie 201 define uma funcao analıtica No entanto como ArR nao e simplesmente conexo a integral desta serie nao precisa se anular em todas as curvas fechadas contidas em ArR Agora se um contorno cujo traco esteja em ArR for tal que seu interior tambem esteja contido em ArR entao necessariamente a integral da serie sobre esta curva se anulara Vale observar que continuam validos teoremas analogos aos de integracao e derivacao termo a termo para a serie 201 O unico cuidado a ser tomado na integracao termo a termo e que o traco da curva sobre a qual a integracao ocorre deve estar contido em ArR O proximo teorema diz que toda funcao analıtica definida em um anel ArR possui repre sentacao em serie de potˆencias como em 201 Tal expansao e chamada de serie de Laurent da funcao Teorema 24 Serie de Laurent Seja f analıtica em ArR z r z zo R Entao para todo z ArR fz n1 anz zon n0 anz zon n anz zon onde an 1 2πi γ fζ ζ zon1dζ n Z e γt zo soeit 0 t 2π r so R Prova Dado z ArR tome s e S tais que r s S R Considere o contorno Γ abaixo que consiste nos arcos Cs CS dos segmentos l1 e l2 percorrido no sentido antihorario e contendo z em seu interior Os arcos sao dados por CSt zo Seit θ0 t θ0 2π ε Cst zo seit θ0 t θ0 2π ε Colocando A Cθ0 Aε Cθ0 2π ε 120 B Cθ0 Bε Cθ0 2π ε os segmentos l1 e l2 sao dados por l1t Aε tB Aε 0 t 1 l2t Bε tA Bε 0 t 1 zo z Γ CS Cs ℓ1 ℓ2 z Aε B A Bε 1 Como o interior do contorno Γ esta contido em ArR segue da formula de Cauchy que fz 1 2πi Γ fζ ζ zdζ 1 2πi CS fζ ζ zdζ 1 2πi Cs fζ ζ zdζ 1 2πi ℓ1 fζ ζ zdζ 1 2πi ℓ2 fζ ζ zdζ Como a expressao acima e valida para todo ε 0 tomando o limite quando ε tende a zero e usando o fato que a funcao gζ fζζ z e contınua sobre cada um dos caminhos CS Cs ℓ1 e ℓ2 obtemos fz 1 2πi γS fζ ζ zdζ 1 2πi γs fζ ζ zdζ γSt zo Seit γst zo seit 0 t 2π Observe que Bε B e Bε B quando ε0 Agora a integral 1 2πi γS fζ ζ zdζ 121 é desenvolvida como na prova do teorema de Taylor veja 196 resultando em frac12 pi i intgammas fracfzetazeta z dzeta frac12 pi i sumn0infty zzon intgamma fracfzetazeta zon1 dzeta Colocando an frac12 pi i intgamma fracfzetazeta zon1 dzeta ag202 obtemos frac12 pi i intgammas fracfzetazeta z dzeta sumn0infty an zzon Analisemos agora a integral frac12 pi i intgammas fracfzetazeta z dzeta Temos frac1zeta z frac1zeta zo zzo frac1zzo cdot frac11 fraczetazozzo Como para zeta in gammas também é valido left fraczetazozzo right fracszzo 1 podemos lançar mão da série geométrica e obter frac1zeta z frac1zzo sumn0infty left fraczetazozzo rightn sumn0infty fraczetazonzzon1 Logo frac12 pi i intgammas fracfzetazeta z dzeta frac12 pi i intgammas sumn0infty fraczetazonzzon1 fzeta dzeta frac12 pi i sumn0N frac1zzon1 intgammas fzeta zetazon dzeta frac12 pi i intgammas sumnN1infty fraczetazonzzon1 fzeta dzeta ag203 Tome M 0 tal que fzeta leq M para todo zeta in gammas Usando a majoração como na proposição 25 segue que left frac12 pi i intgammas sumnN1infty fraczetazonzzon1 fzeta dzeta right leq fracM2 pi sumnN1infty left fraczetazozzo rightn ellgammas M sumnN1infty fracsn1zzon1 M sumnN1infty left fracszzo rightn1 que tende a zero quando N tende a infinito pois s z zo Assim passando ao limite a expressao 203 chegamos a 1 2πi γs fζ ζ zdζ 1 2πi n0 1 z zon1 γs fζζ zondζ 1 2πi n1 1 z zon γs fζζ zon1dζ 1 2πi n1 1 z zon γs fζ ζ zon1dζ Colocando an 1 2πi γs fζ ζ zon1dζ 204 vemos que 1 2πi γs fζ ζ zdζ n1 an z zon n1 anz zon n 1 Como as integrais que aparecem nas definicoes de an e an veja 202 e 204 continuam as mesmas quando substituımos γS e γs pos γso dada por γsot zo soeit 0 t 2π onde so s R chegamos ao resultado procurado Observacao 43 O cırculo centrado em zo e de raio so que aparece no enunciado do teorema anterior pode ser substituıdo por qualquer outro contorno contido em ArR que contenha zo no seu interior Temos tambem o seguinte Corolario 11 Se f e como no teorema anterior veja 24 e γ e um contorno em ArR contendo zo no seu interior entao γ fzdz 2πia1 onde a1 e o coeficiente do termo z zo1 da serie de Laurent de f centrada em zo Observacao 44 Mais adiante veremos um resultado mais geral do corolario acima Observacao 45 A serie de Laurent de uma funcao f definida em ArR e unica isto e se fz n1 anz zon n0 anz zon n1 bnz zon n0 bnz zon z ArR entao an bn para todo n Z 123 Definição 34 Seja f como no teorema 24 O número a1 que é o coeficiente do termo z z01 da série de Laurent de f centrada em z0 é chamado de residuo de f em z0 e é denotado por a1 Res fzz0 Exemplo 98 Encontre a série de Laurent de fz e1z em torno de z0 0 e dê seu domínio de convergência Como ew sumn0infty frac1nwn w in mathbbC vemos que efrac1z sumn0infty frac1n frac1zn z eq 0 Exemplo 99 Seja f a função definida em Omega mathbbC backslash 12 por fz frac1z1z2 Note que f é analítica em Omega Encontre 1 A série de MacLaurin de f e o seu raio de convergência 2 A série de Laurent de f em A12 z1 z 2 3 A série de Laurent de f em A2 infty z 2 z Temos fz frac1z2 frac1z1 1 Usando a série geométrica vemos que frac1z1 frac11z sumn0infty zn z 1 Temos também frac1z2 frac12 cdot frac11fracz2 frac12 sumn0infty leftfracz2rightn sumn0infty fraczn2n1 z2 1 isto é z 2 Como a interseção do domínio de validade das duas séries acima é o disco z 1 temos fz sumn0infty left1 frac12n1rightzn z 1 Como limn o infty leftfrac1frac12n11frac12n2right limn o infty frac1 frac12n11 frac12n2 1 o raio de convergência da série é um 124 Capítulo 21 Singularidades Definição 35 Um ponto z0 in mathbbC é um ponto singular isolado ou uma singularidade isolada de uma função f se f não for analítica em z0 e existir r 0 tal que f é analítica em A0r z0 zz0 r Exemplo 103 A origem é ponto singular isolado das seguintes funções f1z fracsen zz f2z frac1zn n in mathbbN e de f3z efrac1z Definição 36 Se uma função não for analítica em z0 e além disso para todo r 0 existir um ponto em A0r onde f também não é analítica diremos que z0 é uma singularidade não isolada ou ponto singular não isolado de f Exemplo 104 A origem é uma singularidade não isolada da função fz 1sen1z Basta ver que para cada r 0 tomando n in mathbbN tal que 1npi r f não é analítica em z 1npi Definição 37 Um ponto singular isolado z0 de uma função f é classificado como 1 Removível quando existe um número complexo c tal que a função gz begincases fz extse z eq z0 c extse z z0 endcases é analítica em um disco centrado em z0 Em outras palavras existe uma função analítica numa vizinhança de z0 que coincide com f nesta vizinhança a menos do ponto z0 2 Pólo quando existirem um inteiro positivo m e um número complexo c eq 0 tal que a função gz begincases zz0m fz extse z eq z0 c extse zz0 endcases é analítica em um disco centrado em z0 Em outras palavras existe uma função analítica numa vizinhança de z0 que coincide com a função z mapsto zz0m fz nesta vizinhança a menos do ponto z0 e esta função é diferente de zero em z0 127 e calculando em z z0 obtemos gz0 2 am2 Prosseguindo obteremos gm1z0 m1 a1 isto é o residuo de f em z0 um pólo de ordem m é dado por a1 frac1m1 gm1z0 frac1m1 fracdm1dzm1 leftzz0m fzrightzz0 Exemplo 111 A função fz cos z z2 tem um pólo de ordem dois na origem pois z2 fz cos z que é inteira e cos 0 1 eq 0 O residuo de f na origem é dado por fracddz leftz2 fzrightz0 fracddz leftcos zrightz0 sen 0 0 A próxima proposição apresenta um modo de reconhecermos a ordem de um pólo Proposição 38 Sejam f e g analíticas em um disco centrado em z0 Se fz0 eq 0 e g tem um zero de ordem m em z0 então h f g tem um pólo de ordem m em z0 Prova Como z0 é um zero isolado de g temos que z0 é uma singularidade isolada de h Também podemos escrever gz z z0m varphiz com varphi analítica em um disco centrado em z0 e satisfazendo varphiz0 eq 0 Desta forma hz fracfzgz fracfzzz0m varphiz frac1zz0m fracfzvarphiz E assim zz0m hz que é igual a fracfzvarphiz coincide com uma função analítica num disco centrado e em z0 e fracfz0varphiz0 eq 0 Ou seja z0 é um pólo de ordem m de h Mais geralmente temos Proposição 39 Sejam f e g analíticas em um disco centrado em z0 Se z0 é um zero de ordem n de f e um zero de ordem m de g então a função h f g 1 tem um zero de ordem n m em z0 se n m 2 tem uma singularidade removível em z0 se n m 3 tem um pólo de ordem m n em z0 se m n 133 2 Se 1 z 2 entao 1z 1 e pela serie geometrica 1 z 1 1 z 1 1 1 z 1 z n0 1 z n n0 1 zn1 z 1 Como z 2 entao z2 1 e pela serie geometrica 1 z 2 1 2 1 1 z 2 1 2 n0 z 2 n n0 zn 2n1 z 2 Assim se z A12 fz n0 1 zn1 n0 zn 2n1 n0 1 zn1 zn 2n1 3 Se z 2 entao 2z 1 e tambem 1z 1 Temos 1 z 1 1 z 1 1 1 z 1 z n0 1 z n n0 1 zn1 e 1 z 2 1 z 1 1 2 z 1 z n0 2 z n n0 2n zn1 Logo fz n0 2n zn1 n0 1 zn1 n0 2n 1 zn1 z 2 Exemplo 100 Encontre a serie de Laurent de fz z3 sen 1 z em torno da origem Como sen w n0 1n 2n 1w2n1 w C temos sen 1 z n0 1n 2n 1z2n1 z 0 e daı z3 sen 1 z n0 1n 2n 1z2n2 k1 1k1 2k 3z2k z2 1 6 k1 1k1 2k 3z2k 205 125 Exemplo 101 Calcule γ z3 sen 1 z dz γt eit 0 t 2π Segue do corolario 11 que γ z3 sen 1 z dz 2πia1 onde a1 e o resıduo de f em zo 0 Mas de 205 temos a1 0 Assim γ z3 sen 1 z dz 0 Exemplo 102 Calcule γ sen 1 z dz γt eit 0 t 2π Usando o teorema 24 temos γ sen 1 z dz γ z3 sen 1 z z3 dz γ z3 sen 1 z z21 dz a22πi mas por 205 a2 1 Logo γ sen 1 z dz 2πi 126 3 Essencial quando nao for removıvel nem polo Observacao 46 Seja zo um polo de f Suponha que m1 m2 N e c1 c2 C c1 0 e c2 0 sejam tais que g1z z zom1fz se z zo c1 se z zo e g2z z zom2fz se z zo c2 se z zo sejam analıticas em um disco centrado em zo Entao como c1 e c2 sao diferentes de zero temos lim zzoz zom1m2 lim zzo z zom1 z zom2 lim zzo z zom1fz z zom2fz lim zzo g1z g2z c1 c2 0 Mas isto so e possıvel quando m1 m2 e consequentemente c1 c2 Definicao 38 Diremos que a ordem de um polo de uma funcao f e o unico inteiro que aparece na definicao 2 Observacao 47 Se zo e uma singularidade removıvel de f entao existe o limite limzzo fz Observacao 48 Se zo e um polo de ordem m de f entao o limite limzzoz zomfz existe e e diferente de zero Exemplo 105 A origem e uma singularidade removıvel de f1z sen zz pois a funcao gz n0 1n 2n1z2n e inteira para verificar isto use a proposicao 37 e satisfaz gz 1 z n0 1n 2n 1z2n1 sen z z z 0 Exemplo 106 A origem e um polo de ordem m da funcao fz 1zm Basta tomarmos gz 1 na definicao de polo Exemplo 107 A origem e uma singularidade essencial de fz e1z Basta notar que para todo inteiro m 0 o limite de f quando z tende a zero nao existe Basta ver que sobre o eixo real temos lim x0 xme 1 x 128 211 Singularidades e Serie de Laurent Um modo simples de classificar uma singularidade isolada de uma funcao e atraves de sua serie de Laurent De fato se zo e uma singularidade isolada de uma funcao f entao para algum r 0 podemos escrever fz n1 anz zon n0 anz zon z A0r Vejamos como identificar uma singularidade removıvel Sabemos que zo e uma tal singula ridade de f se existir uma funcao analıtica definida em um disco centrado em zo e que coincida com f a menos do ponto zo Esta funcao g por ser analıtica coincide com sua serie de Taylor centrada em zo gz n0 bnz zn fz n1 anz zon n0 anz zon Agora sabemos que a serie de Taylor e a serie de Laurent onde os coeficientes das potˆencias negativas sao todos nulos Desta forma pela unicidade da serie de Laurent temos an 0 n 1 Resumindo zo e uma singularidade removıvel de f se e somente se todos os coeficientes das potˆencias negativas da sua serie de Laurent se anulam ou seja a serie de Laurent de f e uma serie de Taylor Passemos agora aos polos Note que zo e um polo de ordem m de f se e somente se o mesmo zo for uma singularidade removıvel de hz z zomfz e limzzo hz c 0 Pelo que acabamos de aprender sobre singularidades removıveis isto equivale a serie de Laurent de h centrada em zo ser uma serie de Taylor isto e hz z zomfz n0 bnz zon e b0 lim zzo hz 0 em algum A0r Dividindo por z zom obtemos fz n0 bnz zonm b0 z zom bm1 z zo j0 bmjz zoj com b0 0 Assim para que zo seja um polo de ordem m de f e necessario e suficiente que os coeficientes an das potˆencias negativas z zon da serie de Laurent de f em torno de zo se anulem para n m 1 e am 0 Finalmente para que zo seja uma singularidade essencial de f e necessario e suficiente que na serie de Laurent de f em torno de zo haja uma infinidade de coeficientes an nao nulos das potˆencias negativas z zon 129 Exemplo 108 A funcao fz 1 z3 1 z n0 zn 0 z 1 apresenta na origem um polo de ordem trˆes Exemplo 109 A funcao n1 1 2nz2n n1 1 n2zn 1 4 1 z4 1 2 1 z2 z 1 22z2 apresenta uma singularidade essencial na origem Exercıcio 17 Uma singularidade isolada zo de f e removıvel se e somente se existe o limite de fz quando z tende a zo 130 Capıtulo 22 O Teorema do Resıduo e Aplicacoes Teorema 25 Teorema do Resıduo Seja f uma funcao analıtica definida em um aberto Ω Se γ e um contorno contido em Ω tal que no seu interior a funcao f tenha somente singulari dades isoladas e apenas um numero finito delas denotadas por z1 zn entao γ fz dz 2πi Res fzz1 Res fzzn 221 com o contorno sendo percorrido no sentido antihorario Prova Tome cırculos γjt zj rjeit 0 t 2π satisfazendo i cada γj esta contido no interior de γ ii se j1 j2 entao γj1 esta contido no exterior de γj2 O z1 z2 zn γ γ1 γ2 γn Entao por 153 temos γ fz dz γ1 fz dz γn fz dz 131 Aplicando o corolario 11 a cada uma das integrais do lado direito da igualdade acima obtemos γ fz dz 2πi Res fzz1 Res fzzn Antes de aplicarmos o teorema acima no calculo de integrais vejamos como podemos pro ceder para o calculo do resıduo de uma funcao f em um polo zo Se zo e um polo simples isto e de ordem um entao a serie de Laurent de f em torno deste ponto e da seguinte forma fz a1 z zo n0 anz zon 222 Multiplicando a expressao acima por zzo e tomando o limite quando z tende a zo obtemos lim zzoz zofz lim zzo a1 n0 anz zon1 a1 Res fzzo Exemplo 110 Encontre o resıduo de fz cos zz na origem Como cos z zfz e analıtica e cos 0 1 0 vemos que 0 e um polo simples de f Assim Res fz0 lim z0 zfz lim z0 cos z 1 Se zo e um polo de ordem m entao fz am z zom a1 z zo j0 ajz zoj em A0r com am 0 Desta maneira existe uma funcao analıtica g definida em um disco centrado em zo satisfazendo gzo 0 e e gz z zomfz n0 amnz zn am am1z zo a1z zom1 223 Note que gzo am Derivando 223 gz am1 2am2z zo m 1a1z zom2 e calculando em z zo obtemos gzo am1 Derivando mais uma vez gz 2am2 m 1m 2a1z zom3 132 Prova Por hipotese podemos escrever fz z zonψz gz z zomφz com ψ e φ analıticas num disco centrado em zo e tais que ψzo 0 e φzo 0 Segue daı que colocando ϑ ψφ hz z zon z zom ψz φz z zonmϑz 1 z zomnϑz e os resultados seguem analisandose o sinal de nm pois ϑ e analıtica em um disco centrado em zo e ϑzo 0 Observacao 49 Temos um outro modo de calcularmos o resıduo no caso de um polo simples Poderıamos tambem ter utilizado a definicao de polo de ordem um ou mesmo a expressao 222 para obter uma funcao analıtica g tal que gzo 0 com gz z zofz Como gzo a1 0 podemos escrever 1 fz z zo gz Derivando esta expressao obtemos 1 fz gz z zogz gz2 que calculada em zo fornece lim zzo 1 fz 1 gzo 1 a1 ou seja Res fzzo a1 lim zzo 1 fz 1 Exemplo 112 Calcule o resıduo de fz cot z na origem Como cot z cos z sen z cos 0 1 e 0 e um zero simples da funcao seno vemos que 0 e um polo simples de f Temos 1 fz 1 tg z1 sec2 z 1 Logo Res fz0 1 Exemplo 113 Calcule γ z z 12z2 1 dz onde γt 2eit 0 t 2π 134 A função fz z z12 z2 1 possui três pólos nos pontos z 1 duplo isto é de ordem dois z i simples e z i simples Note que como todos estes pontos estão contidos no interior de γ pelo teorema do resíduo temos γ z z12 z21 dz 2πi Res fz1 Res fzi Res fzi Calculando o resíduo em z 1 Res fz1 ddz z 12 fzz1 ddz z z2 1z1 1 z2 z2 12z1 0 Calculando o resíduo em z i Res fzi lim zi z i fz lim zi z z12 zi i i12 2i i4 Calculando o resíduo em z i Res fzi lim zi z i fz lim zi z z12 zi i i 12 2i i4 Logo γ z z12 z2 1 dz 2πi 0 i4 i4 0 Proposicao 40 Sejam p e q polinˆomios com coeficientes reais satisfazendo i e ii acima Entao px qx dx 2πisoma dos resıduos de pzqz nos polos contidos no semiplano ℑz 0 Prova Considere o contorno γR percorrido no sentido antihorario dado pela justaposicao dos caminhos ηRt t R t R e σRt Reit 0 t π onde R 0 Veja 221 6 R R γR σR ηR Figura 221 O contorno γR Pelo teorema do resıduo γR pz qz dz ηR pz qz dz σR pz qz dz 224 2πisoma dos resıduos de pzqz nos polos contidos no interior de γR Note que lim R ηR pz qz dz lim R R R pt qt dt pt qt dt pois sabemos que esta integral existe Coloque pz anzn a0 e qz bmzm b0 onde n e m sao os graus de p e q respectivamente Se R 1 z σ R isto e z R entao pz anzn a0 anzn a0 an a0zn cRn 136 Também temos qz bm zm 1 bm1bm z b1 bm zm1 b0 bm zm bm Rm 1 bm1 bm R b1 bm Rm1 b0 bm Rm Como lim R 1 bm1 bm R b1 bm Rm1 b0 bm Rm 1 existe R0 1 tal que R R0 implica em 1 bn1 bn R b1 bn Rn1 b0 bn Rn 12 Logo para R R0 temos qz bm2 Rm isto é 1qz c Rm Desta forma para todo R R0 temos σR pzqz dz maxzR pzqz ℓσR cc Rn Rm πR π cc Rnm1 Como n m 1 2 1 1 vemos que lim R σR pzqz dz 0 Por fim note que à medida que R cresce o contorno γR engloba todos pólos de pq que estão no semiplano ℑz 0 O resultado segue de 224 tomando o limite quando R Exemplo 114 Calcule from to 1 x4 1 dx Tomando pz 1 e qz z4 1 vemos que as hipóteses da proposição 40 estão satisfeitas Desta maneira tudo o que precisamos saber é onde estão os pólos de pq no semiplano ℑz 0 e o resíduo desta função nestes pontos Os pólos de pq são os pontos onde z4 1 0 Das quatro raízes de z4 1 isto é z1 eπ4 i z2 e3π4 i z3 e5π4 i e z4 e7π4 i as únicas que estão no semiplano ℑz 0 são z1 e z2 Como z4 1 se fatora em termos lineares como z z1z z2z z3z z4 vemos que os pólos de 1z4 1 são simples Para calcularmos o resíduo usaremos o método da observação 49 isto é Res 1 z4 1zz0 z4 11zz0 Em z1 Res 1 z4 1 zz1 4z31 zz1 1 4z13 1 4 e3π i4 2 8 1 i Em z2 Res 1 z4 1 zz2 4z31 zz2 1 4z23 1 4 e9π i4 1 4 eπ i4 2 81 i Assim from to 1 x4 1 dx 2π i 2 4 i 2 2 π Exercício 18 Se p e q satisfazem as hipóteses da proposição 224 então from to pxqx dx 2πi soma dos resíduos de pzqz nos pólos contidos no semiplano ℑz 0 Mais geralmente temos Proposição 41 Se f é uma função analítica tendo somente singularidades isoladas mas nenhuma delas sobre o eixo real e que satisfaz fz M zk onde k 1 para todo z com módulo suficientemente grande e ℑz 0 então from to fx dx 2πi soma dos resíduos de fz nas singularidades contidas no semiplano ℑz 0 Prova A prova da proposição 224 pode ser usada com pequenas modificações para mostrar o que se pede A verificação deste fato é deixada como exercício Exemplo 115 Calcule from 0 to cos x x2 1 dx 225 Como o integrando é par temos ₀ cos x x² 1 dx 12 cos x x² 1 dx A função fz eiz z² 1 satisfaz as condições da proposição 41 Para ver isto note que as únicas singularidades de f são os pólos simples em z₁ i e z₂ i Também se z 2 e ℑz 0 temos 12 z² 1 0 1 12 z² 1 0 z² 1 12 z² e eiz z² 1 eℑz z² 1 1 z² 1 1 z² 1 2 z2 Logo eix x² 1 dx 2πi Res eiz z² 1 zi Mas Res eiz z² 1 zi limzi zieiz z² 1 limzi eiz z i e1 2i Assim eix x² 1 dx π e Mas eix x² 1 dx cos x x² 1 dx i sen x x² 1 dx cos x x² 1 dx pois a função x sen x x² 1 é ímpar Portanto ₀ cos x x² 1 dx 12 cos x x² 1 dx π 2e 222 Outros Tipos de Integrais Suponha que fθ Rcos θ sen θ seja uma função contínua em 0 θ 2π A integral ₀²π Rcos θ sen θ dθ pode ser calculada com o auxílio do teorema dos resíduos se fizermos a mudança z eiθ De fato como z1 eiθ vemos que cos θ z z1 2 z² 1 2z e sen θ z z1 2i z² 1 2zi Além do mais ieiθ dθ dz ou seja dθ 1iz dz Assim colocando γt eiθ 0 θ 2π e assumindo que a função fz 1 zi Rz² 12z z² 12zi esteja definida em z 1 seja analítica sobre γ z z 1 e tenha apenas um número finito de singularidades no interior de γ e que estas singularidades sejam todas isoladas então ₀²π Rcos θ sen θ dθ γ Rz² 12z z² 12zi 1iz dz 2π soma dos resíduos de 1z Rz² 12z z² 12zi em z 1 Exemplo 116 Calcule ₀²π 14 sen θ dθ A função fθ 14 sen θ é uma função nos moldes acima Note que sen θ 4 Fazendo z eiθ obtemos sen θ z² 1 2zi e dθ 1iz dz Assim colocando γt eiθ 0 θ 2π obtemos ₀²π 14 sen θ dθ γ 1 4 z² 12zi 1iz dz γ 2 z² 8zi 1 dz 226 Note que z² 8zi 1 0 z 4 15 i ou z 4 15 i Como 4 15 i 4 15 1 e 4 15 i 4 15 1 vemos que o único pólo do integrando de 226 que está no interior do contorno é 4 15 i O resíduo neste ponto é Res 2 z² 8zi 1 z 4 15 i 2 limz 4 15 i z 4 15 i z² 8zi 1 2 limz 4 15 i 1 z 4 15 i 1 15 i Portanto ₀²π 14 sen θ dθ 2 15 π Exemplo 117 Calcule x sen x x² 1 dx Considere a função fz z eiz z² 1 Considere o contorno γR percorrido no sentido antihorário dado pela justaposição dos caminhos ηRt t R t R e σRt R eit 0 t π onde R 0 Veja 221 Como o único pólo de f no interior do contorno γR é z i pelo teorema do resíduo temos 2πi Res fzzi 2πi limzi z eiz z i π i γR z eiz z² 1 dz ηR z eiz z² 1 dz σR z eiz z² 1 dz RR t cos t t² 1 dt i RR t sen t t² 1 dt σR z eiz z² 1 dz i RR t sen t t² 1 dt σR z eiz z² 1 dz pois t t cos t t² 1 é ímpar Se R 1 e z σR isto é z R eiθ R cos θ i R sen θ temos z eiz z² 1 z z² 1 eiz z z² 1 eℜiz z z² 1 eR sen θ R R² 1 eR sen θ Logo σR z eiz z² 1 dz ₀π R eiθ eR eiθ R² e2 i θ 1 i R eiθ dθ R² R² 1 ₀π eR sen θ dθ 2 R² R² 1 ₀π2 eR sen θ dθ pois ₀π eR sen θ dθ ₀π2 eR sen θ dθ π2π eR sen θ dθ 227 e substituindo α π θ na segunda integral acima obtemos π2π eR sen θ dθ ππ2 eR sen π α dα ππ2 eR sen α dα ₀π2 eR sen α dα Substituindo a última integral em 227 chegamos a ₀π eR sen θ dθ 2 ₀π2 eR sen θ dθ Mas se 0 θ π2 temos sen θ 2θπ Para ver isto considere a função φθ sen θ 2θπ 0 θ π2 Como φ0 0 φπ2 e φθ sen θ 0 em 0 θ π2 vemos que φ é uma função cuja concavidade é voltada para baixo no intervalo 0 π2 e se anula nos extremos deste intervalo Portanto φθ 0 em 0 π2 como queríamos verificar Voltando à nossa integral temos σR zeizz² 1 dz 2R²R² 1 ₀π2 eRsenθ dθ 2R²R² 1 ₀π2 eR2θπ dθ 1πRR² 11 eR que tende a zero quando R tende a Portanto t sen tt² 1 dt lim R RR t sen tt² 1 dt πe Indice Remissivo caminho 65 comprimento de 72 conjunto aberto 25 conexo 52 fechado 25 fronteira 25 continuidade 40 contorno 65 curva 63 comprimento de 72 interior 66 justaposicao de 65 regular 64 simples 63 suave 64 derivada 41 distˆancia 13 equacoes de CauchyRiemann 44 forma polar 47 formula de Cauchy 85 para derivadas 87 formula de De Moivre 19 funcao analıtica 51 contınua 40 cosseno 32 cosseno hiperbolico 35 derivada 41 exponcencial 30 harmˆonica 93 holomorfa 51 inteira 51 limite 37 polinomial 29 seno 32 seno hiperbolico 35 integral 67 de linha 69 limite 37 logaritmo 59 numero complexo 9 argumento 17 conjugado 13 forma polar 17 modulo 13 parte imaginaria 11 parte real 11 raızes 22 polo 127 ordem de 128 simples 132 poligonal 52 ponto interior 25 ponto singular essencial 128 isolado 127 nao isolado 127 removıvel 127 potenciacao 61 primitiva 79 ramo da potˆencia 61 da raiz nesima 58 do logaritmo 60 143 principal da potˆencia 61 principal da raiz nesima 58 principal do logaritmo 60 resıduo 124 serie 98 convergente 98 de Laurent 120 de MacLaurin 114 de potˆencias 101 de potˆencias centro de 101 de potˆencias derivacao de 109 de potˆencias integracao de 107 de potˆencias raio de convergˆencia 104 de Taylor 112 sequˆencia 97 convergente 97 singularidade essencial 128 isolada 127 nao isolada 127 removıvel 127 teorema de CauchyGoursat 75 de derivacao termo a termo 109 de Green 75 de integracao termo a termo 107 de Liouville 91 de Morera 90 do resıduo 131 fundamental da algebra 91 zero isolado 115 144 Referˆencias Bibliograficas C CHURCHILL R V Variaveis Complexas e Aplicacoes Editora McGrawHill 1975 Sao Paulo 145