Propriedades e Definições de Anéis

Aneis Aneis Elisabete Sousa Freitas INMAUFMS 30 de maio de 2022 Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Seja A um conjunto nao vazio onde estejam definidas duas operacoes as quais chamaremos de adicao e multiplicacao denotadas por e AxA A ab ab AxA A ab ab a a NAS Algebra IIElisabete Aneis Definicao Dizemos que A e um anel se as seguintes 6 propriedades sao verificadas para quaisquer que sejam a b c A A1 a b c a b c A2 e A tal que a e e a a A3 x A existe y A tal que x y y x e A4 a b b a M1 a b c a b c AM a b c a b a c a b c a c b c Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Observacoes A2 Suponha e e A tais que a e e a a e a e e a a para todos a A Daı e e e e e e e portanto e e Concluimos que o elemento e e unico com esta propriedade ele e denominado o elemento neutro da adicao em A e sera indicado por 0 A3 Suponha x A e y y A tais que x y y x 0 e x y y x 0 Segue que y y 0 y x y y x y 0 y y Concluimos que o elemento y e unico com esta propriedade ele e denominado o oposto de x e sera denotado por x Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Definicao Dizemos que um anel A e um anel com unidade 1 se satisfaz a propriedade M2 f A f 0 tal que x f f x x para todo x A Observacao M2 Suponha f f A tais que x f f x x e x f f x x para todos x A Daı f f f e f f f portanto f f Concluimos que o elemento f e unico com esta propriedade ele e denominado o elemento unidade da multiplicacao em A e sera indicado por 1 Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Definicao Dizemos que um anel A e um anel comutativo se satisfaz a propriedade M3 x y y x para todos x y A Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Definicao Dizemos que um anel A e um anel sem divisores do zero se satisfaz a propriedade M4 x y A x y 0 x 0 ou y 0 Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Definicao Um Domınio de Integridade e um anel comutativo com unidade e sem divisores do zero Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Definicao Um Corpo e um anel comutativo com unidade que alem disso satisfaz a seguinte propriedade do elemento inverso M5 x A x 0 y A tal que x y y x 1 Observacao M5 Suponha x 0 e y y A tais que x y y x 1 e x y y x 1 Segue que y y 1 y x y y x y 1 y y Concluimos que o elemento y e unico com esta propriedade ele e denominado o inverso de x e sera denotado por x1 Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exemplos Z Q R n Z com n inteiro Zn com n 1 natural com as operacoes usuais sao exemplos de aneis Observamos que 2 Z 2 m m Z e um anel comutativo mas nao possue unidade Z6 0 1 2 3 4 5 e um anel comutativo com unidade mas nao e domınio de integridade Z5 0 1 2 3 4 e um corpo Q e R sao corpos Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis ExercıcioProve que se A e um anel qualquer entao sao validas as seguintes propriedades quaisquer que sejam x y z A a 0 x x 0 0 b x y x y x y c x y x y d x y z x y x z e y z x y x z x f 1 x x se 1 A g 1 1 1 se 1 A h 1 x x se 1 A Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis ExercıcioTodo corpo e um dominio de integridade Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exercıcio Seja A um domınio de integridade e a b c A Prove que se a 0 e ab ac entao b c Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Anéis Exercicio Seja D um dominio de integridade e seja a Da0 Prove que a seguinte funcdo é injetiva Ya D D xX ax o ac Algebra IIElisabete Aneis Exercıcio Use o exercıcio anterior para provar que todo domınio de integridade finito e um corpo Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exercıcio Seja A um anel tal que x2 x para todo x A prove que A e um anel comutativo Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exercıcio Seja A Z i a bi a b Z onde i2 1 e a bi c di a c e b d Vamos definir e em A do seguinte modo adicao a bi c di a b c di multiplicacao a bi c di ac bd ad bci Prove que A Z i e um domınio de integridade e calcule todos os elementos de Z i que sao invertıveis relativamente a multiplicacao Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exercıcio Prove que se definirmos no conjunto FR de todas as funcoes f R R a soma usual de funcoes f gx f x gx e o produto como f gx f gx entao FR nao e um anel Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exercıcio Calcule os divisores de zero nos seguinte aneis Z6 Z8 Z18 Z60 Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exercıcio Sejam A um anel B um conjunto e f B A uma funcao bijetiva Para cada x y B definimos x y f 1f x f y e x y f 1f x f y Prove que B e um anel Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exercıcio Considere R4 a b c d a b c d R com as operacoes definidas a seguir a b c d a b c d a a b b c c d d a b c d a b c d aa bb cc dd ab abcd cd ac ac db db ad ad bc bc O conjunto R4 com as operacoes e sera denotado por Quat Prove que Quat e um anel com unidade nao comutativo e que satisfaz a propriedade M5 do elemento inverso OBS Dizemos que Quat e um anel de divisao tambem chamado de corpo nao comutativo Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis